这么一来，线上的点和整数之间的一一对应关系就建立不起来了。也就是说，
线上的点数所构成的无穷大数大于（或强于）所有整数或分数所构成的无穷大数。
刚才所讨论的线段是“1寸长”。不过很容易证明，按照“无穷大数算术”的规
则，不管多长的线段都是一样。事实上，1寸长的线段也好，1尺长的线段也好，1里
长的线段也好，上面的点数都是相同的。只要看看图6即可明了，AB和AC为不同长度
的两条线段，现在要比较它们的点数。过AB的每一个点做BC的平行线，都会与AC相
交，这样就形成了一组点。如D与D，E与E，F与F等。对AB上的任意一点，AC上都有
一个点和它相应，反之亦然。这样，就建立了一一对应的关系。可见，按照我们的
规则，这两个无穷大数是相等的。
通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有
的点数和线段上所有的点数相等。为了证明这一点，我们来考虑一条长1寸的线段A
B上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数（图7）。
假定线段上某点的位置是0.7512036......。我们可以把这个数按奇分位和偶分
位分开，组成两个不同的小数：
0.7108......
和
0.5236......
以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点，这个点就叫
做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形内的任意一点，比如说由
0.4835，0.9907这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起，就得到了线段上的
相应的“对偶点”0.49893057。
很清楚，这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平
面上都有一个对应的点，平面上的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来
的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点
数的无穷大数相等。
用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所
有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数
在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方
体内点数的多少与它们的大小无关。
尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数
。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的
样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。
按照“无穷算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母（读作阿
莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这
样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为
我们说“一条线段上有个点”或曲线的样子有种“，就和我们平常说“世界有
七大洲”或“一付扑克牌有五十四张”一样。
在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，无穷大数的级只要有几个，就足
够把人们所能想象出的任何无穷大数都包括进去了。大家知道，表示所有整数的数
目，表示所有几何点的数目，表示所有曲线的数目，但到目前为止，还没有人想得
出一种能用来表示的无穷大数来。看来，头三级无穷大数就足以包括我们所能想到
的一切无穷大数了。因此，我们现在的处境，正好跟我们前面的原始部族人相反：
他有许多个儿子，可却数不过三；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们
来数！
第二章 自然数和人工数
１．最纯粹的数学
数学往往被人们，特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为皇后，它当然不能屈尊俯就其它学科。因此，在一次“纯粹数学和应用数学联席会议上”，当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲，以求消除在于这两种数学家之间的敌对情绪时，他这样说：
☆经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是不符合事实的，纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去不曾对立过，将来也不会对立。它们是对立不起来的，因为在事实上它们两者毫无共同之处。☆
然而，尽管数学喜欢保持自己的纯粹性，并尽力远离其它学科，其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”，特别是物理学。事实上，纯粹数学的几乎每一个分支，包括诸如抽象群、不可逆代数、非欧几何等一向被认为是纯而又纯、决不能派任何用场的数学理论，现在也都被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了。
但是，迄今为止，数学还有一个大分支没找到什么用途（除了起智力体操的作用以外），它真可以戴上“纯粹之王冠”哩。这就是所谓“数论”（这里的数指整数），它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。（录入者，在计算机加密方面已经有所应用）
说来也怪，这门最纯粹的科学，从某种意义上说，又可以称为经验科学，甚至可称为实验科学。事实上，它的绝大多数定理都是靠用数学试着干某些事情而建立起来的，正如物理学定律是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样。并且，数论的一些定理已“从数学上”得到了证明，而另一些却还停留在经验的阶段，至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁，这一点也和物理学一样。
我们可以用质数问题作为例子。所谓质数，就是不能用两个或两个以上（１除外）较小的整数的乘积来表示的数，如１，２，３，５，７，１１，１３，１７，等等。而１２可以写成2×2×3，所以就不是质数。
质数是没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数的展延是不受任何限制的。
☆为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用Ｎ来表示。现在让我们把所有质数都乘起来，再加上１。这写成数学式是：
（1×2×3×5×7×11×13×……×N）＋1
这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数不能被到N为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。
因此，这个数要嘛本身也是个质数，要嘛就是能被比Ｎ还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。☆
这种证明方式叫做反证法，是数学家们爱用的工具之一。
我们既然知道质数的数目是无限的，自然就会想问一问，是否有什么简单方法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的哲学家兼数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一种名叫“过筛”的方法。这就是把整个自然数列１，２，３，４......统统写下来，然后去掉所有２的倍数、３的倍数、５的倍数等等。前１００个数“过筛”后的情况如图９所示，共剩下二十六个质数。用这种简单的过筛方法，我们已经得到了十亿以内的质数表。
如果能导出一个公式，从而能迅速而自动地推算出所有的质数（并且仅仅是质数），那该多简便啊，１６４０年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己找到了一个这样的公式。这个公式是
exp(2,exp(2,n))+1，n取自然数的各个值１，２，３，４等等。从这个公式我们得到：
exp(2,exp(2,1))+1=5
exp(2,exp(2,2))+1=17
exp(2,exp(2,3))+1=257
exp(2,exp(2,4))+1=65,537
这几个数都是质数。但在费马宣称他取得这个成就以后一个世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）指出，费马的第五个数不是个质数，而是6,700,417和641的乘积。因此，费马这个推算质数的经验公式被证明是错的。
还有一个值得一提的公式，用这个公式可以得到许多质数，这个公式是：
exp(n,2)-n+41
n也取自然数各个值１，２，３等等。已经发现，在n为１到40的情况下，用这个公式都能得出质数。但不幸得很，到了第四十一步，这个公式也不得了。
事实上，
exp(41,2)-41+41
这是一个平方数，而不是质数。
人们还试验过另一个公式，它是：
exp(n,2)-79n+1601
这个公式在n从１到79时都能得到质数，但当n=80时，它又不成立了！
因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今还没有解决。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 21:01:00
数论定理另一个有趣的例子，是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”
这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个大于2的偶数都能表示为两个质数之和。
从一些简单的例子，你很容易看出这句话是对的。例如,12=7+5,24=17+7,32=29+3，但是数学家们在这方面做了大量工作，却仍然既不能做出肯定的断语，也不能找出一个反证。1931年，苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了，每个偶数都能表示为不多于300,000个质数的和。“300,000个质数之和”和“2个质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“四个质数之和”。但是，从维诺拉多夫的“四个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后两步大概是最难走的。谁也不能告诉你，到底是需要几年还是需要几个世纪。(※我国青年数学工作者陈景润又把这个结果推进了一步。他的结论是：任何一个大于2的偶数都可以表示为一个质数和不多于两个质数的乘积之和※)
可见，谈到推导能自动给出直到任意大的所有质数的公式的问题，从现在来看，我们离这一步还远得很哩！目前我们甚至连到底存在不存大这样的公式，也都还没有把握呢！
现在，让我们换个小一点的问题看一看－－在给定的范围内质数所能占的百分比有多大。这个比值是随着数的增长加大还是减小，或者是近似为常数呢？我们可以用经验的方法，即通过查找各种不同数值范围内质数数目的方法，来解决这个问题。这样，我们查出，100之内有26个质数，在1,000之内有168个，在1,000,000之内有78,498个，在1,000,000,000之内有50,847,478个。把质数个数除以相应范围内的整数个数，得出下表：
数值范围 质数数目 比率 1/ln(n) 偏差（
%）
1－100 26 0.260 0.217 20
1－1000 168 0.168 0.145 16
1－exp(10,6) 78,498 0.078498 0.072382 8
1－exp(10,9) 50，847，478 0.050847478 5
从这张表上首先可以看出，随着数值范围的扩大，质数的数目相对减少了。但是，并不存在质数的终止点。
有没有一个简单方法可以用数学形式表示这种质数比值随范围的扩大而减小的现象呢？有的。并且，这个有关质数平均颁的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一。这条规律很简单。就是：从1到任何自然数Ｎ之间所含质数的百分比，近似由Ｎ的自然对数的倒数所表示。Ｎ越大，这个规律就越精确。
从上表的第四栏，可以看到Ｎ的自然对数的倒数。把它们和前一栏对比一下，就会看出两者是很相近的，并且，Ｎ越大，它们也就越相近。
有许多数论上的定理，开始时都是凭经验作为假设提出，而在很长一段时间内得不到严格的证明的。上面这个质数定理也是如此。直到上世纪末，法国数学家阿达马(Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家布散（deLa Vallee Poussin）才终于证明了它。由于证明的方法太繁难，我们这里就不介绍了。
既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，先要回溯到古埃及。古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长为3:4:5的三角形中，必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 21:06:00
公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番都（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3和4这两个整数？他证明了还有其他具有同样的整数（实际上有无穷多组）并给出了求这些数的一般规则。这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形。简单说来，求这种三角形的三边就是解方程
exp(x,2)+exp(y,2)=exp(z,2)
式中的x，y，z必须是整数。
1621年，费马在巴黎买了一本刁番都所著〖算术学〗的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书的空白处作了一些简短的笔记，并且指出，
exp(x,2)+exp(y,2)=exp(z,2)
有无穷多组整数解，而形如
exp(x,n)+exp(y,n)=exp(z,n)
的方程，当n大于2时，永远没有整数解。
他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”
费马死后，人们在他的图书室里找到了刁番都的那本书，里面的笔记也公诸于世了。那是在三个世纪以前。从那时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有相当大的进展，一门全新的数学分支－－“理想数论”－－在这个过程中创建起来了。欧拉证明了，方程
exp(x,3)+exp(y,3)=exp(z,3)
和
exp(x,4)+exp(y,4)=exp(z,4)
不可能有整数解。狄里克莱（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了exp(x,5)+exp(y,5)=exp(z,5)也是这样。依靠其它一些数学家的共同努力，现在已经证明，在N小于269的情况下，费马的这个方程都没有整数解。不过，对于指数N在任何值下都成立的普遍证明，却一直没能作出。人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明，就是在证明过程中有什么地方搞错了。为征求这个问题的解答，曾经悬赏过十万马克。那时，研究这个问题的人真是不少，不过，这些拜金的业余数学家都一事无成。
这个定理仍然有可能是错误的，只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了。不过，这个幂次一定要在比269大的数目中去找，这可不是一件容易事啊。
（录入者：这个定理于1995年？我记不清了，已经有数学家给出了证明，现在可以肯定地说，费马大定理是正确的了
神秘的sqrt(-1)（根号负一）
现在，让我们来搞点高级算术。二二得四，三三见九，四四一十六，五五二十五，因此，四的平方根为二，九的平方根为三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。
然而，负数的平方根是什么样呢？sqrt(-5)和sqrt(-1)之类的表达式有什么意义呢？
如果从有理数的角度来揣想这样的数，你一定会得出结论说，这样的式子没有任何意义，这是可以引用十二世纪的一位数学家拜斯.迦罗(Brahmin Bhaskara)的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。负数没有平方根，因为负数并不是平方数。”
可是数学家的脾气倔强得很。如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头，他们就会尽可能造出一些意义来。负数的平方根就在很多地方冒过头，既在古老而简单的算术问题上出现，也在二十世纪相对论的时空结合问题上露面。
第一个将负数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是十六世纪的意大利数学家卡尔丹(Cardan)。在讨论是否有可能将10分成两部分，使两者的乘积等于40时，他指出，尽管这个问题没有有理解，然而，如果把答案写成5＋sqrt(-15)和5-sqrt(-15)这样两个怪模怪样的表达式，就可以满足要求了。
尽管卡尔丹认为这两个表达式没有意义，是虚构的、想象的，但是，他毕竟把它们写下来了。
既然有人敢把负数的平方根写下来，并且，尽管这有点想入非非，却把10分成两个乘起来等于40的事办成了；这样，有人开了头，负数的平方根－－卡尔丹给它起了个大号叫“虚数”－－就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留，并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉1770年发表的代数著作中，有许多地方用到了虚数。然而，对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切如sqrt(-1)的数学式，都是不可能有的、想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都是不是少些什么。它们纯属虚幻。”
但是，尽管有这些非难和遁辞，虚数还是迅速成为分数和根式中无法避免的东西。没有它们，简直可以说寸步难行。
不妨说，虚数构成了实数在镜子里的幻象。而且，正象我们从基数1可以得到所有实数一样，我们可以把sqrt(-1)作为虚数的基数，从而得到所有的虚数。通常写作i。
不难看出
sqrt(-9)=sqrt(9)×sqrt(-1)=3i
sqrt(-7)=sqrt(7)×sqrt(-1)=2.646…..i
…..
这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭档。此外，实数和虚数结合起来，形成单一的表达式，例如5+sqrt(-15)=5+sqrt(15)i。这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表达式通常称做复数。
虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间，一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释后，这张面纱才被揭去，这两个人是：测绘员威塞尔(Wessel)，挪威人；会计师阿尔刚(Robert Argand)，法国巴黎人。
按照他们的解释，一个复数，例如3＋4i，可以象图10(录入者，就是一个复平面，这个大家应该都知道了)那样表示出来，其中3是水平方向的座标，4是垂直方向的座标。
所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点，而纯虚数则对应于纵轴上的点。当我们把位于横轴上的实数3乘以虚数单位i时，就得到位于纵轴上的纯虚数。因此，一个数乘以i，在几何上相当于逆时针旋转90（见图10）
如果把再乘以i，则又须再逆转90，这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了。因为3i×I=3×exp(i,2)=-3
或exp(i,2)=-1
“i的平方等于-1”这个说法，比“两次旋转90(都旋时针进行)便变成反向”更容易理解。
这个规则同样适用于复数。把3+4i乘以i，得到
(3+4i)I=3i+4exp(i,2)=3i-4=-4+3i
从图10可立即看出，正好相当于这个点绕原点逆时针旋转了90。同样的道理，一个数乘上-i就是它绕原点顺时针旋转90。这一点从图10也能看出.
如果你现在仍然觉得虚数带有一张神秘的面纱，那么，让我们通过一个简单的，包含有虚数的实际应用的习题来把这张面纱揭去吧。
（录入者：乔治先生在下边给出的这个例子中的故事非常有意思，有兴趣的话大家可以自己做一下试验，这非常有助于你对复数的威力的理解）
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-25 12:06:00
☆☆☆☆☆☆☆☆☆
从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏。它是这样写着的：
乘船到北纬（＿）、西经（＿），即可找到一座荒岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树。还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩。然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数，到松树向左拐个直角再走这么多步。在这里也打个桩。在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆
这道指示很清楚、明白。所以，这位年轻人就租了一条船开往目的地。他找到了这座岛，也找到了橡树和松树。但使他大失所望的是，绞架不见了。经过长时间的风吹日晒，绞架已糟烂成土，一点痕迹与看不出了
我们这位年轻的冒险家陷入了绝望。在狂乱中，他在地上乱掘起来。但是，地方太大了。一切只是白费力气。他只好两手空空，启帆回程。因此，那项宝藏恐怕还在那岛上埋着呢！
这是一个令人伤心的故事。然而，更令人伤心的是：如果这个小伙子懂得点数学。特别是虚数，他本来是有可能找到这项宝藏的。现在我们来为他找找看，尽管已经为时太晚，于他无补了。
我们把这个岛看成一个复数平面，过两棵树干画一轴线（实轴），过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11)，并以两树距离的一半作为长度单位。这样，橡树位于实轴上的-1点上，松树则位于+1点上。我们不晓得绞架在何处，不妨用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒象个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在两根轴上，因此，应该是个复数，即
Γ=a+bi
现在来搞点小计算，同时别忘记了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在Γ，橡树在-1，两者的距离和方位便为-1-Γ。同理，绞架与松树相距1-Γ。将这两段距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按上述规则把两个距离分别乘以-i和i。这样便得出两根桩的位置为：
第一根：(-i)[-(1+Γ)]+1=i(Γ+1)+1
第二根：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)-1
(这一部分作者使用了向量减法，大家最好在纸上画一画，就明白这两个算式的意义了)
宝藏在两根桩的正中间，因此，我们应该求出上述两个复数之和的一半，即
(1/2)[i(Γ+1)+1+I(1-Γ)-1]=(1/2)[iΓ+i+1+i-IΓ-1]=(1/2)(2i)=i
现在可以看出，所表示的未知绞架的位置Γ已经在运算过程中消失了。不管这绞架在何处，宝藏都在i这个点上。
瞧，如果我们这位年轻的探险家能做这么一点点数学运算，他就无须在整个岛上挖来挖去，他只要在图11中打处×一挖，就可以把宝贝弄到手了。
如果你还是不相信要找到宝藏，可以完全不知道绞架的位置，你不妨拿一张纸，画上两棵树的位置。再在不同的地方假设几次绞架的位置。然后按羊皮纸文件上的方法去做。不管做多少次，你一定总是得到复数平面中那个位置。
依靠-1的平方根这个虚数，人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合，从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。下一章在介绍爱因斯坦的思维和他的相对论时，我们将再讨论这一发现。
第二部分 空间、时间与爱因斯坦
第三章 空间的不寻常的性质
大家都知道什么叫空间，不过，如果要抠这个词的准确意义，恐怕又会说不出个所以然来。你大概会这样说：空间乃包含万物，可供万物在其中上下、前后、左右运动者也。三个互相垂直的独立方向的存在，描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空间是三个方向的，即三维的。空间的任何位置都可利用这三个方向来确定。如果我们到了一座不熟悉的城市，想找某一家有名商号的办事处，旅店服务员就会告诉你：“向南走过五条街，往右拐，再过两条马路，上第七层楼。”这三个数一般称为座标。在这个例子里，坐标确定了大街、楼的层数和出发点（旅店前厅）的关系。显然，从其他任何地方来判别同一目标的方位时，只要采用一套能正确表达新出发点和目标之间的关系的坐标就行了。并且，只要知道新、老坐标系统的相对位置，就可以通过简单的数学运算，用老坐标来表示出新坐标。这个过程叫做坐标变换。这里得说明一句，三个坐标不一定非得是表示距离的数不可，在某些情况下，用角度当坐标要方便得多。
举例来说，在纽约，位置往往用街和马路来表示，这是直角坐标；在莫斯科则要换成极坐标。从城堡辐射出若干街道，环城堡又有若干条同心的干路。这时，如果说某座房子位于克里姆林宫正东北方向第二十条马路上，当然会很便当。
图12给出了几种用三个坐标表示空间中某一点的位置的方法，其中有的坐标是距离，有的坐标是角度。但不论什么系统，都需要三个数。因为我们所研究的是三维空间。
（录入者，这个图中给出了三种坐标，一种是直角坐标，一种极坐标，还有一种是双极坐标――似乎不很常见，据说在航海中很有用，这种坐标用某点与已知两点所成的角度来表示点的位置的，故坐标值是两个角度，很明显。它无法表示与已知的两点共线的所有点）
对于我们这些具有三维空间概念的人来说，要想象比三维多的多维空间是困难的，而想象比三维少的低维空间则是容易的。一个平面，一个球面，或不管什么面，都是二维空间，因为对于面上的任意一点，只要用两个数就可以描述。同理，线（直线或曲线）是一维的，因为只需要一个数便可以描述线上的各点的位置。我们还可以说，点是零维的，因为在一个点上没有第二个不同的位置。可是话说回来，谁对点感兴趣呢！
作为一种三维的生物，我们觉得很容易理解线和面的几何性质，这是因为我们能“从外面”观察它们。但是，对三维空间的几何性质，就不那么容易了，因为我们是这个空间的一部分。这个原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念，而一听说有弯曲的三维空间就大吃一惊。
不过，在讨论弯曲的三维空间之前，还是先来做几节有关一维曲线、二维曲面和普通三维空间的脑力操吧。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-25 12:22:00
２、不量尺寸的几何学
你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中，这是一门量度的科学，它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如，毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而，空间的许多最基本的性质，却根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。
现在举一个简单的典型拓扑学的例子，设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。
首先，十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条，那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样。事实上，我们可以取任何形状的闭曲面，就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时，上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几何学中，如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形，各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。
我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。
这样一来，我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。
我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。
数一数以后，我们得到下面的表。
━━━━━━━┯━━━━━┯━━━━━┯━━━━┯━━━━━┯━━━━
多面体名称 │ 顶点数Ｖ│ 棱数Ｅ │ 面数Ｆ│ Ｖ＋Ｆ │Ｅ＋２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
四面体 │ ４ │ ６ │ ４ │ ８ │ ８
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
六面体 │ ８ │ １２ │ ６ │ １４ │ １４
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
八面体 │ ６ │ １２ │ ８ │ １４ │ １４
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
二十面体 │ １２ │ ３０ │ ２０ │ ３２ │ ３２
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十二面体 │ ２０ │ ３０ │ １２ │ ３２ │ ３２
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古怪体 │ ２１ │ ４５ │ ２６ │ ４７ │ ４７
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前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式：
Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２
这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其它样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面。你会发现，结果还是一样。可见，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目。
这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理。
下面就是欧拉定理的证明，引自古朗特（R.Courant）和罗宾斯（H.Robbins）的著作〖数学是什么？〗。我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的。
为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会有所改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，V’-E+F=1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，V-E+F=2。
首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，Ｅ和Ｆ的数目都会增加。但由于每加一条对角线，Ｅ和Ｆ都增加１，因此V-E+F仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15C）。在这个三角形化了的网络中，V-E+F仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。
有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样，从，我们拿去了边和这个三角形的面，只留下顶点和两条边，从，我们拿去了平面、两条边和顶点。
在式的去法中，Ｅ和Ｆ都减少１，但Ｖ不变，因而V-E+F不变。在式的去法中，Ｖ减少１，Ｅ减少２，Ｆ减少１。因而V-E+F仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V-E+F＝3-3+1=1。我们已经知道，V-E+F并不随三角形的减少而改变，因此，在开始的那个网络中，V-E+F也应该等于1。但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面，因此，对于完整的多面体，V-E+F=2。这就证明了欧拉的公式。
欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图14中那五种。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-25 12:23:00
如果把前面几页的讨论仔细推敲一下，你可能就会注意到，在画出图14上所示的“各种不同”的多面体，以及在用数学推理证明欧位定理时，我们都作了一个内在的假设，它使我们在选择多面体时受了相当的限制。这个内在假设就是：多面体必须没有任何透眼。所谓透眼，不是气球上撕去一块后所形成的形状。而是象面包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样。
这只要看图16就清楚了。这儿有两种不同的几何体，它们和图14所示的一样，也都是多面体。
现在我们来看看，欧拉定理对这两个新的多面体适用不适用。
在第一个几何体上，可数出16个顶点、32条棱和16个面；这样，V+F=32，而E+2=34，不对了。第二个有28个顶点、54条棱和30个面;V+F=58,E+2=56，这就更不对了。
为什么会这样呢？我们对欧位定理作一般证明时的推理对于这两个例子错在哪里呢？
错就错在；我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或气球，而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡胶制品。对于这类多面体，无法进行上述证明过程所必需的步骤－－“割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面。”
如果是一个球胆，那么，用剪刀剪去一块之后，就很容易完成这个步骤。对于一个轮胎，却无论如何也不会成功。要是图16还不能使你相信这一点，你找条旧轮胎动手试一试也可以！
但是不要认为对于这类较为复杂的多面体，Ｖ，Ｅ和Ｆ之间就没有关系了。关系是有的，说得科学一点，即对于环状圆纹曲面型的多面体，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ。而对于那种蜜麻花型的，则Ｖ＋Ｆ＝Ｅ－２。一般说来，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２－２Ｎ，Ｎ表示透眼的个数。
另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关，它是所谓“四色问题”。假设有一个球面划分成若干区域；把这球面涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即有共同边界的区域）不能涂上同一种颜色。问完成这项工作，最少需要几种颜色？很容易看出，两种颜色一般来说是不够用的。因为当三条边界交于一点时（比如美国的弗吉尼亚、西弗吉尼亚和马里兰三州的地图，见图17），就需要三种颜色。
要找到需要四种颜色的例子也不难（图17）。这是过去德国吞并奥地利时的瑞士地图。
但是，随你怎么画，也得不到一张非得用四种以上颜色不可的地图，无论在球面上还是在平面上都是如此。看来，不管是多么复杂的地图，四种颜色就足以避免边界两边的区域相混了。
不过，如果这种说法是正确的，就应该能够从数学上加以证明。然而，这个问题虽经几代数学家的努力，至今仍未成功。这是那种实际上已无人怀疑。但也无人能证明的数学问题的又一个典型实例、现在，我们只能从数学上证明有五种颜色就足够了。这个证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和数个国家碰到一块的三重、四重等等交点数而得出的。
这个证明过程太复杂，写出来会离题太远，在这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学的书中找到它，并借以渡过一个愉快的晚上（说不定还得一夜不眠）。如果有谁能够证明无需五种、而只用四种颜色就足以给任何地图上色，或研究出一幅四种颜色还不够用的地图，那么，不论哪一种成功了，他的大名就会在纯粹数学的年鉴上出现一百年之久。
说来好笑，这个上色问题，在球面和平面的简单情况下怎么也证不出来；而在复杂的曲面，如面包圈形和蜜麻花型中，却比较顺利地得到了证明。比如，在砚面包圈型中已经得出结论说，不管它怎样分划，要使相邻区域的颜色不至相同，至少需要七种颜色。这样的也做出来了。
读者不妨在费点脑筋，找一个充气轮胎，再弄到七种颜色的油漆，给轮胎上漆，使每一色漆块都和另外六种颜色漆块相邻。如果做到这一点，他就可以声称他对面包圈型曲面确实心里“有谱”了。
注：四色问题已经于八十年代初借助于计算机的帮助解决了。
３、把空间翻过来
到目前为止，我们所讨论的都是各种曲面，也就是二维空间的拓扑学性质。我们同样也可以对我们生存在内的这个三维空间提出类似的问题。这么一来，地图着色问题在三维情况下就变成了：用不同的物质制成不同形状的镶嵌体，并把它们拼成一块，使得没有两块同一种物质制成的子块有共同的接触面，那么，需要用多少种物质？
什么样的三维空间对应于二维的球面或环状圆纹曲面呢？能不能设想出一些特殊空间，它们与一般空间的关系正好同球面或环状面与一般平面的关系一样？乍一看，这个问题似乎提得很没有道理，因为尽管我们能很容易地想出许多式样的曲面来，但却一直倾向于认为只有一种三维空间，即我们所熟悉并在其中生活的物理空间。然而，这种观念是危险的，有欺骗性的。只要发动一下想象力，我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中所进述的空间大不相同的三维空间来。
要想象这样一些古怪的空间，主要的困难在于，我们本身也是三维空间中的生物，我们只能“从内部”来观察这个空间，而不能像在观察各种曲面时那样“从外部”去观察。不过，我们可以通过做几节脑筋操，使自己在征服这些怪空间时不致过于困难。
首先让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型。球面的主要性质是：它没有边界，但却具有确定的面积；它是弯曲的，自我封闭的。能不能设想一种同样自我封闭，从而具有确定体积而无明显界面的三维空间呢？
设想有两个球体，各自限定在自己的球形表面内，如同两个未削皮的苹果一样。现在，设想这两个球体“互相穿过”，沿外表面粘在一起。当然，这并不是说，两个物理学上的物体如苹果，能被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起。苹果就是被挤成碎块，也不会互相穿过的。
或者，我们不如设想有个苹果，被虫子吃出弯曲盘结的隧道。要设想有两种虫子，比如说一种黑的和一种白的；它们互相憎恶，因此，苹果内虫蛀的隧道并不相通，尽管在苹果的皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去。这样一个苹果，被两条虫子蛀来蛀去，就会像图18那样，出现互相紧紧缠结、布满整个苹果内部的双股通道。但是，尽管黑虫和白虫的隧道可以很接近，要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去，却必须先走到表面才行。如果设想隧道越来越细，数目越来越多，最后就会在苹果内得到互相交错的两个独立空间，它们仅仅在公共的表面上相连。
如果你不喜欢用虫子作例子，不妨设想一种类似纽约的世界博览会大厦这座巨大球形建筑里的那种双过道双楼梯系统。设想每一套楼道系统都盘过整个球体，但要从其中一套的一个地点到达邻近一套的一个地点，只能先走到球面上两套楼道会合处，再往里走。我们说这两个球体互相交错而不相妨碍。你和你的朋友可能离得很近，但要见见面、握握手，却非得兜一个好大的圈子不可！必须注意，两套楼道系统的连接点实际上与球内的各点没有什么不同之处，因为你总是可以把整个结构变变形，把连接点弄到里面去，把原先在里面的点弄到外面来。还要注意，在这个模型中，尽管两套隧道的总长度是确定的，确没有“死胡同”。你可以在楼道中走来走去，决不会被墙壁或栅栏挡住；只要你走得足够远，你一定会在某个时候重新走到你的出发点。如果从外面观察整个结构，你可以说，在这迷宫里行走的人总会回到出发点，只不过是由于楼道逐渐弯曲成球形。但对于处在内部、而且不知“外面”为何物的人来说，这个空间就表现为具有确定大小而无明确边界的东西。我们在下一章将会看到，这种没有明显边界、然而并非无限的“自我封闭的三维空间”在一般地讨论宇宙的性质时是非常有用的。事实上，过去用最强大的望远镜所进行的观察似乎表明了，在我们视线的边缘这样远的距离上，宇宙好象开始弯曲了，这显示它有折回来自我封闭的明显趋势，就象那个被蛀食出隧道的苹果的例子一样。不过，在研究这些令人兴奋的问题之前，我们还得再知道空间的其它性质。
我们跟苹果和虫子的交道还没有打完。下一个总是是能否把一只被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈。当然，这不是说把苹果变成面包圈的味道。而只是说样子变得一样；我们所研究的是几何学，而不是烹饪法。让我们取一只前面讲过的“双苹果”，也就是两个“互相穿过”并且表皮“粘连在一起”的苹果。假设有一只虫子在其中一只苹果里蛀出了一条环形隧道，如图19所示。记住，是在一只苹果里蛀的。所以，在隧道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而在隧道内则只有那个未被蛀过的苹果的物质。这个“双苹果”现在有了一个由隧道内壁构成的自由表面（图19a）。
如果假设苹果具有很大的可塑性，怎么捏就怎么变形。在要求苹果不发生裂口的条件下，能否把这个被虫子蛀过的苹果变成面包圈呢？为了便于操作，可以把苹果切开，不过在进行过必要的变形后，还应把原切口粘起来。
首先，我们把粘住这“双苹果”的果皮的胶质去除，将两个苹果分开（图19b）。用Ｉ和Ｉ‘这两个数字表示这两张表皮，以便在下面各步骤中盯住它们，并在最后重新把它们粘起来。然后，把那个被蛀出一条隧道的苹果沿隧道切开（图19c）。这一下又切出两个新面来，记之以和，，将来，还是要把它们粘回去的。现在，隧道的自由面显示出来了，它应该成为面包圈的自由面。好，现在就按图19d的样子来摆弄这几块零碎儿。现在这个自由面被拉伸成了老大一块了（不过，按照我们的假定，这种物质是可以任意伸缩的！）。而切开的面，，，的尺寸都变小了。与此同时，我们也对第二个苹果进行手术，把它缩成樱桃那么大。现在开始往回粘。第一步先把，，粘上，这很容易做到，粘成后如图19c。第二步把被缩小的苹果放在第一个苹果所形成的两个夹口中间。收拢两夹口，球面就和重新粘在一起，被切开的面和也再结合。这一来，我们就得到了一个面包圈，溜溜的，多么精致！
搞这些有什么用呢？
没有什么用，只不过让你作作脑筋操，体会一下什么是想象的几何学。这有助于理解弯曲空间和自我封闭空间这类不寻常的东西。
你大概还没有意识到过，你的身体也具有面包圈的形状吧。事实上，任何有生命的物体，在其发育的最初阶段（胚胎阶段）都经历过“胚囊”这一过程。在这个阶段，它呈球形，当中横贯着一条宽阔的通道。食物从通道的一端进入，被生命体摄取了有用成分以后。剩下的物质从另一端排出。到了发育成熟阶段，这条内部通道就变得越来越细。越来越复杂，但最主要的性质依然如故，面包圈型体的所有几何性质也没有改变。
好啦，既然你自己也是一个面包圈，那么，现在试试按照图１９Ａ的逆过程把它翻回去－－把你的身体（在思维中）变成内部有一条通道的双苹果。你会发现，你身体中各个彼此有些交错的部分组成了这个“双苹果”的果体，而整个宇宙，包括地球、月亮、太阳和星辰，都被挤进了内部的圆形隧道！
你还可以试画画看，看画成什么样子。如果你的成绩不错，那就连达利（SalvadoDali）本人也要承认你是超现实派的绘画权威了！（图20）
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-27 17:36:00
这一节已经够长了，但我们还不能就此结束，还得讨论一下左手系和右手系物体，以及它们写窨的一般性质的关系。这个问题从一副手套起最为便当。一副手套有两只。把它们比较一下就会发现（图21）它们的所有尺寸都相同，然而，两只手套却有极大的不同：你决不能把左手那只手套戴到右手上，也不能把右手那只套在左手上。你尽管把它们扭来扭去，但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套。另外，在鞋子的形状上，在汽车的操纵系统（美国的和英国的）上和在许多其他物体上，都可以看到左手系和右手系的区别。
另一方面，有些东西，如礼帽，网球拍等许多物体，就不存在这种差别。没有人会蠢到想去商店里买几只左手用的茶杯；如果有人叫你找邻居去借一把左手用的活动扳手，这也纯粹是在捉弄人。那么，这两类物体有什么区别呢？你想一想就会发现，在礼帽和茶杯等一类物体上都存在一个对称面，沿着这个面可将物体切成两个相等的部分。手套和鞋子就不存在这种对称面。你不妨试一试，无论怎么切，你都不能把一只手套割成两个相同的部分。如果某一类物体不具有对称面，我们就说它们是非对称的，而且就能把它们分成两类－－左手系的与右手系的。这两系的差别不仅在手套这些人造的物体上表现出来，在自然界中也经常存在。例如，存在着两种蜗牛，它们在其它各个方面都一样，唯独给自己盖房子的方式不同：一种蜗牛的壳呈顺时针螺旋形，另一种呈逆时针螺旋形。就是在分子这种组成一切物质的微粒中，也象在左、右手手套和蜗牛壳的情况中一样，往往有左旋和右旋两种形态。当然，分子是肉眼看不见的，但是，这类分子所构成的物质的结晶形状和光学性质，都显示出这种不对称性。例如，糖就有两类，左旋糖和右旋糖；还有两类吃糖的细菌，每一类只吞吃与自己同类的糖，信不信由你。
从上述内容看来，要想把一个右手系物体（比如说一只手套）变成左手系物体，似乎是完全不可能的。真的是这样吗？能不能想象出某种可以实现这种变化的奇妙空间呢？我们从生活在平面上的扁片人的角度来解答这个问题，因为这样做，我们能站在较为优越的三维的地位上来考察各个方面。请看图22，图上描绘了扁片国－－即仅有两维的空间－－的几个可能的代表。那个手里提着一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”因为他只有“正面”而没有“侧身”。他旁边的动物则是一头“侧身驴”，说得更严格一点，是一头“右侧身驴”。当然，我们也可以画出一头“左侧身驴”来。这时，由于这两头驴都局限在这个面上，从两维的观点来看，它们的不同正如在三维空间中的左、右手手套一样。你不能使左、右两头驴头并头地叠在一起，因为如果要它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，其中就得有一头翻个肚皮朝天才行，这样，它可就四脚朝天，无法立足喽。
图22 生活在曲面上的二维“扁片生物”就是这个样子的。不过，这类生物很不“现实”。那个人有正面而无侧面，他不能把手里的葡萄放进自己的嘴里。那头驴子吃起葡萄来倒是挺便当，但它只能朝右走，如果它要向左去，就只好退着走。驴子倒是常往后退的，不过这毕竟不那么象样。
不过，如果把一头驴子从面上取下来，在空间中掉转一下，再放回面上来，两头驴子就都一样了。与此相似，我们也可以说，如果把一只右手手套从我们这个空间中拿到四维空间中，用适当的方式旋转一下再放回来，它就会变成一只左手手套。但是，我们这个物理空间并没有第四维存在，所以必须认为上述方法是不可能实现的。那么，有没有别的方法呢？
让我们还回到二维世界上来。不过，我们要把图22那样的一般平面，换成所谓的梅比乌斯（Mobius）面。这种曲面是以一个世纪以前第一个对这种面进行研究的德国数学家来命名的。它很容易得到：拿一长条普通纸，把一端拧一个弯后，将两端对粘成一个环。从图23上可看出这个环该如何做。这种面有许多特殊的性质，其中有一点是很容易发现的：拿一把剪刀平行于边缘的中线剪一圈（沿图23上的箭头），你一定会预言，这一来会把这个环剪成两个独立的环；但做一下看看，你就会发现你想错了：得到的不是两个环，而是一个环，它比原来那个长一倍，窄一半！
让我们看看，一头扁片驴沿莫比乌斯面走一圈会发生什么。假定它从位置1（图23）开始，这时看来它是头“左侧身驴”。从图上可以清楚地看出，它走啊走，越过了位置2，位置3，最后又接近了出发点。但是，不单是你觉得奇怪，连它自己也觉得不对劲，它竟然处在蹄子朝上的古怪位置。当然，它能在面内转一下，蹄子又落了地，但这样一来，头的方向又不对了。
总之，当沿梅比乌斯面走一圈后，我们的“左侧面驴”变成了“右侧面驴”。要记住，这是在驴子一直处在面上而从未取出来在空间旋转的情况下发生的。于是我们发现，在一个扭曲的面上，左、右手系物体都可在通过扭曲处时发生转换。图23所示的梅比乌斯面是被称作“克莱茵瓶”的更有一般性的曲面的一部分（克莱茵瓶如图23所示）。这种“瓶”有一个面，它自我封闭而没有明显的边界。如果这种面在四维空间内是可能的，那么，同样的情况也能在三维空间发生，当然，这要求空间有一个适当的扭曲。要想象空间中的梅比乌斯扭曲自然决非易事。我们不能象看扁片驴那样从外部来看我们自己的这个空间，而从内部看又往往是看不清的。但是，天文空间并非不可能自我封闭，并有一个梅比乌斯式扭曲的。
如果情况确实如此，那么，环游宇宙的旅行家将会带着一颗位于右胸腔的心脏回到地球上来。手套和鞋子制造商兴许能由简化生产过程而获得一些好处。因为他们只需制造清一式的鞋子和手套，然后把一半产品装入飞船，让它们绕行宇宙一周，这样它们就能套进另一边的手脚了。
我们就用这个奇想来结束有关不寻常空间的不寻常性质的讨论吧。
第四章 四维世界
１、时间是第四维
关于第四维的概念经常被认为是很神秘、很值得怀疑的。我们这些只有宽度、厚度和高度的生物，怎么竟敢奢谈什么四维空间呢？从我们三维的头脑里能想象出四维情景吗？一个四维的正方体或四维的球体该是什么样子呢？当我们说的是“想象”一头鼻里喷火、尾上披鳞的巨龙、或一架翼上设有游泳池和两个网球场的超级客机时，实际上只不过是在头脑中描绘这些东西果真出现在我们面前时的样子。我们描绘这种图象的背景，仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物体－－连同我们本身在内－－的三维空间。如果说这就是“想象”这个词的念义，那我们就想象不了出现在三维空间背景上的四维物体是什么样子了，正如同我们不可能将一个三维物体压进一个平面那样。不过且慢，我们「确实」可以在平面上画出三物体来，因而在某种意义，可以说是将一个三维物体压进了平面。然而，这种压法可不是用水压机或诸如此类的物理力来实现，而是用“几何投影”的方法进行的。用这两种方法将物体（以马为例）压进平面的差别，可以立即从图２４上看出来。
用类比的方法，现在我们可以说，尽管不能把一个四维物体完完全全“压进”三维空间，但我们能够讨论各种四维物体在三维空间中的“投影”。不过要记住，四维物体在三维空间中的投影是立体图形，如同三维物体在平面上的投影图形一样。
为了更好地了解这个问题，让我们先考虑一下，生活在平面上的二维扁片人是如何领悟三维立方体的概念的。不难想象，作为三维空间的生物，我们有一个优越之处，即可以从二维空间的上方、即第三个方向上来观察平面上的世界。将它“投影”到平面上。旋转这个立方体，可以得到各式各样的投影。观察这些投影，我们那些二维的扁片朋友就多少能对这个叫做“三维立方体”的神秘图形的性质形成某些概念。他们仅是观看投影，他们也会说出这个东西有八个顶点、十二条边等等。现在请看图１６，你将发现，你和那些只能从平面上琢磨立方体投影的扁片人一样处于困难的境地了。事实上，图中那一家人如此惊愕地研究的那个古怪复杂的玩艺，正是一个四维超正方体在我们这个普通三维空间中的投影。
仔细端详这个形体,你很容易发现,它与图25中令扁片人惊讶不止的图形具有相同的特征:普通立方体在平面上的投影是两个正方形,一个套在另一个里面(录入者:想象一下,使用点光源,我们把这个立方体想象成用铁丝做成的立方体框架,点光源在这个框架的一个面的正上方,投影面在正下方),并且顶点和顶点都相连;超正方体在一般窨中的投影则由两个立方体构成,一个套在另一个里面,顶点也相连.数一数就知道,这个超正方体共有16个顶点,32条棱和24个面.好一个正方体啊,是吧?
让我们再来看看四维球体是什么样的。为此，我们最好还是先看一个较为熟悉的例子，即一个普通圆球在平面上的投影。不妨设想将一个标出陆地和海洋的透明球投射到一堵白墙上（图２７）。在这个投影上，两个半球当然重叠在一起，而且，从投影上看，美国的纽约和中国的北京离得很近。但这只是个表面印象，实际上，投影上的每一个点都代表球上两个相对的点，而一架从纽约飞到北京的收音机其投影则先移动到球体投影的边缘，然后再一直退回来。尽管从图上看来，两架收音机的航线相重合，但如果它们“确实”分别在两 个半球上飞行，那是不会相撞的。
这就是普通球体平面投影的性质。再发挥一下想象力，我们就不难判断出四维超球体的三维投影的形状。普通圆球的平面投影是两个相叠（点对点）、只在外面的圆周上连接的圆盘一样，超球体的三维投影一定是两个互相贯穿并且外表面相连接的球体。这种特殊结构，我们早在上一章讨论过了，不过那时是作为与封闭球面相类似的三维封闭空间的例子提出的。因此，这里只需再补充一句：四维球体的三维投影就是上一节讲到的两个沿整个外表皮长在一起的苹果（双苹果）。
同样地，用这种的方法，我们能够解答许多有关形体其他性质的问题。不过，无论如何，我们也决不能够在我们这个物理空间内“想象”出第四个独立的方向来。
但是，只要再多思考一下，你就会意识到，把第四个方向看得太神秘是毫无必要的。事实上，有一个我们几乎每天都要用的字眼，可以用来表示、并且也的确就是物理世界的第四个独立的方向，这个字眼就是“时间”。时间经常和空间一起被描绘我们周围发生的事件。当我们说到宇宙间发生的任何事情时，无论是说在街上与老朋友邂逅，还是说遥远星体的爆炸，一般都不只说它发生在何处，还要说出发生在何时。因此，除表示空间位置的三个方向要素之外，又增添了第四个要素－－时间。
再进一步考虑考虑，你还会很容易地意识到，所有的实际物体都是四维的：三维属于空间，一维属于时间。你所住的房屋就是在长度上、宽度上、高度上和时间上伸展的。时间的伸展从盖房时算起，到它最后被烧毁，或被某个拆迁公司拆掉，或因年久而坍塌为止。
不错，时间这个方向要素与其他三维很不相同。时间的间隔是用钟表量度的：嘀嗒声表示秒，当当声表示小时。而空间的间隔则是用尺子量度的。再说，你能用一把尺子来量度长、宽、高，却不能把这把尺变成一座钟来量度时间；还有，在空间里，你能向前、向后、向上走，然后再返回来；而在时间上却只能从过去到将来，是退不回来的。不过，即使有上述区别，我们仍然可以将时间作为物理世界的第四个方向要素，不过，要注意别忘记它与空间不太一样。
在选择时间作为第四维时，采用本章开头所提到的四维形体的方法较为便当。还记得四维形体，比如那个超正方体的投影是多么古怪吧？它居然有１６个顶点、３２条棱和２４个面！难怪图２６上的那些人会那么瞠目结舌地瞪着这个几何怪物了。不过，从这个新观点出来，一个四维正方体就只是一个存在了一段时间的普通立方体。如果你在５月１日用１２根铁丝做成一个立方体，一个月后把它拆掉。那么，这个立方体的每个顶点都应看做沿时间方向有一个月那么长的一条线。你可以在每个顶点上挂一本小日历，每天翻过一页以表示时间的进程。
现在要数出四维形体的棱数就容易了。在它开始存在时有１２条空间棱，结束时还有这样１２条，另外又有描述各个顶点存在时间的８条“时间棱”。用同样方法可以数出它有１６个顶点：５月１日有８个空间顶点，６月１日也有８个。用同样方法还能数出面的数目，请读者自己练习数一数。不过要记住，其中有一些面是这个普通立方体的普通正方形面，而其他的面则是由于原立方体由５月１日伸展到６月１日而形成的“半空间半时间”面。
这里所讲的有关四维立方体的原则，当然可以应用到任何其他几何体或物体上去，无论它们是活的还是死的。
具体地说，你可以把你自己想象成一个四维空间体，这很象一根长长的橡胶棒，由你出生之日 延续到你生命结束之时。遗憾的是，在纸上无法画出四维的物体来，所以 我们在图２９上用一个二维扁片人为例来表现这种想法。这里，我们所采取的时间方向是和扁片人所居住的二维平面垂直的。这幅图只表示出这个扁扁片人整个生命中一个很短暂的部分。至于整个过程则要用一根长得多的橡胶棒来表示：以婴儿开始的那一端很细，在很多年里一直变动着，直到死时才有固定不变的形状（因为死人是不动的），然后开始分解。
如果想要更准确一些，我们应该说，这个四维棒是由为数众多的一束纤维组成的，每一根是一个单独的原子。在生命过程中，大多数纤维聚在一起成为一群，只有少数在理性剪指甲时离去。因为原子是不灭的，人死后，尸体的分解也应考虑为各个纤维丝向各个方向飞去（构成骨骼的原子纤维除外）。
在四维时空几何学的词汇中，这样一根表示每一个单独物质微粒历史的线叫做“时空线”。同样，组成一个物体的一束时空线叫做“时空束”。
图３０是一个表示太阳、地球和彗星的时空线的天文学例子（这里把星体看成是点，否则应该认为是时空束）。如同前面所举的例子一样，我们让时间轴与二维平面（地球轨道平面）垂直。太阳的时空线在图中用与时间轴平行的直线来表示，因为我们这里假定太阳是不动的。地球绕太阳运动的轨道近似于圆形，它的时空线是一条围绕着太阳时空线的螺旋线。彗星的时空线先靠近太阳的时空线，然后又远离而去。
我们看到，从四维时空几何学的角度着眼，宇宙的历史和拓扑图形融洽地结合成了一体；要研究单个原子、动物或恒星的运动，都只需考虑一束纠结的时空线就行了。
２、时空当量
要把时间看作和空间的三维多少有些等效的第四维，会碰到一个相当困难的问题。在量度长、宽、高时，我们可以使用同一个单位，如１英寸、一英尺等。但时间既不能用英寸，也不能用英尺来量度。这时必须使用完全不同的单位。如分钟或小时。那么，它们怎样进行比较呢？如果面临一个四维正方体，它的三个空间尺寸都是１英尺，那么，应该取多长的时间间隔，才能使四个维相等呢？是１秒，还是１小时，还是一个月？１小时比１英尺长还是短？
乍一看，这个问题似乎毫无意义。不过，深入想一下，你就会找到一个比较长度和时间间隔的合理办法。你常听人说，某人的住处“搭汽车只需要二十分钟”某某地方“乘火车五个小时便可到达”。这里，我们把距离表示成某种交通工具走过这段距离所需要的时间。
因此，如果大家同意采用某种「标准速度」，就能用长度单位来表示时间间隔，反之亦然。很清楚，我们选用来作为时空的基本交换因子的标准速度，必须具备不受人类主观意志和主观物理环境的影响、在各种情况下都保持不变这样一个基本的和普遍的本质。物理学中已知的唯一能满足这种要求的速度是光在真空中传播的速度。尽管人们通常把这种速度叫“光速”，但不如说“物质作用的传播速度”更恰当些，因为『任何物体之间的作用力，无论是电的吸引力还是重力，在真空中的传播速度都是相同的』。除此之外，我们以后还会看到，『光是一切物质所能具有的速度的上限』，没有什么物体能以大于光速的速度在空间运动。（录入者：怎样理解“快子”？）
第一次测定光速的尝试是著名的意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei）在十七世纪进行的。他和他的助手在一个黑沉沉的夜晚到了佛罗伦萨郊外的原野，随身带着两盏有遮光板的灯，彼此离开几英里站定。伽利略在某个时刻打开遮光板，让一束光向助手的方向射去。助手已得到指示，一见到从伽利略那里射来的光，就马上打开自己那块遮光板。既然光线从伽利略那里到达助手，再从助手那里折回来都需要一定的时间，那么，从伽利略打开遮光板时起，到看到助手发回的光线，也应有一个时间间隔。实际上，他也确实观察到一个小间隔，但是，当伽利略让助手站到远一倍的地方再做这个实验时，间隔却没有增大。显然，光线走得太快了，走几路简直用不了多少时间。至于观察到的那个间隔，事实上是由于伽利略的助手不能在见到光线时立即打开遮光板造成的－－这在今天被称为反应迟误。
尽管伽利略的这项实验没有导致任何有意义的成果，但他的另一发现，即木星有卫星，却为后来首次真正测定光速的实验提供了基础。1675年，丹麦天文学家雷默（Olaus Roemer）在观察木星卫星的蚀时，注意到木星卫星消失在木星阴影里的时间间隔逐次有所不同，它随木星和地球之间的距离在各次卫星蚀时的不同而变长或变短。雷默当即意识到（你在研究图31B后也会看出），这种效应不是由于木星运动得不规则，而是由于当木星和地球距离不同时，所看到的卫星蚀在路上传播所需要的时间不同。从他的观测得出，光速大约为每秒钟十八万五千英里。难怪当初伽利略用他那套设备测不出来了，因为光线从他的灯传到助手那里再传回来，只需要十万分之几秒的时间啊！
不过，用伽利略这套粗糙的遮光灯所做不到的，后来用更精密的物理仪器做到了。在图31C上，我们看到的是法国物理学家斐索（Fizeau）首先彩的短距离测定光速的设备。它的主要部件是安在同一根轴两端上的两个齿轮，两个齿轮的安装正好使我们在沿轴的方向从一头看去时，第一个齿轮的齿对着第二个齿轮的齿缝。这样，一束很细的光沿平行于轴的方向射出时，无论这套齿轮处在哪个位置上，都不能穿过这套齿轮。现在让这套齿轮系统以高速转动。从第一个齿轮的齿缝射入的光线，总是需要一些时间才能达到第二个齿轮的。如果在这段时间内，这套系统恰好转过半个齿，那么，这束光线就能通过第二个齿轮了。这种情况与汽车以适当速度沿装有定时红绿灯的街道行驶的情况很类似。如果这套齿轮的转速提高一倍，那么，光线在到达第二个齿轮时，正好射到转来的齿上，光线就又被遮住了。但转速再提高时，这个齿又将在光束到达之前转过去。因此，注意光线出现和消失（或从消失到出现）所相应的转速，就能算出光线在两齿间传播的速度。为减低所需的转速，可让光在两齿轮间多走些路程，这可以借助图31c所示的几面镜子来实现。在这个实验中，当齿轮的转速达到每秒一千转时，斐索从靠近自己的那个齿轮的齿缝间看到了光线。这说明在这种转速下，光线从这个齿轮的齿缝到达另一个齿轮时，齿轮的每个齿刚好转过了半个齿距。因为每个齿轮上有五十个完全一样的齿。所以齿距的一半正好是圆周的百分之一，这样，光线走过这段距离的时间也就是齿轮转一圈所用时间的百分之一。再把光线在两齿间走的路程也考虑进来进行计算，斐索得到了光速为每秒300,000公里或186,000英里。这个结果与雷默考查木星的卫星所得到的结果差不多。
接着，人们又用了各种天文学方法和物理学方法，继两位先驱之后做了一系列独立的测量。目前，光在真空中的速度（常用字母c来表示)的最令人满意的数值是
c=299,776km/s
或
c=186,300英里/秒
在量度天文学上的距离时，数字一般都是非常大的，如果用英里或公里来表示，可能要写满一页纸，这时，用速度极高的光速作为标准就很便当了。因此，天文学家说某颗星离我们５“光年”远，就象我们说某地乘火车需要５小时一样。由于一年合31558000（录入者：应为31556926）秒，一光年就等于31558000X299776=9,460,000,000,000公里或5,879,000,000,000英里。采用“光年”这个词表示距离，实际上已把时间看作一种尺度，并用时间单位来量度空间了。同样，我们也可以把这种表示法反过来，得到“光英里”这个名称，意思是指光线走过１英里路所需要的时间。把上述数值代入，得出1光英里等于0.0000054秒。同理，１光英尺等于0.0000000011秒。这就回答了我们在上一节提出的那个四维正方体的问题。如果这个正方体的三个空间尺度都是１英尺，那么时间间隔就应该是0.0000000011秒。如果这个正方体存在了一个月的时间，那就应把它看作一根在时间方向上比其它方向长得非常多的四维棒了。
3、四维空间的距离
在解决了空间轴和时间轴上的单位如何进行比较的问题之后，我们现在可以问 : 在四维时空世界中两点间的距离应该如何理解?要记住，现在每一个点都是空间和时间的结合，它对应于通常所说的“一个事件”。为了弄清这一点，让我们看看下面的两个事件。
事件I:1945年7月28日上午9点21分，纽约市五马路和第五十街交叉处一层楼的一家银行被劫。
事件II: 同一天上午9点36分，一架军用飞机在雾中撞在纽约第三十四街和五、六马路之间的帝国大厦第七十九层楼的墙上。
这两个事件，在空间上南北相隔十六条街，东西相隔半条街，上下相隔七十八层楼 ; 在时间上相隔十五分钟。很明显，表达这两个事件的空间间隔不一定要注意街道的号数和楼的层数，因为我们可用大家熟知的毕达哥拉斯定理，把两个空间点的坐标距离的平方和开方，变成一个直接的距离。为此，必须先把各个数据化成相同的单位，比如说用英尺表达出来。如果相邻两街南北相距200 英尺，东西相距800英尺，每层楼平均高12英尺，这样，三个坐标距离是南北3200英尺，东西400英尺，上下936英尺，用毕达哥拉斯定理可得出两个出事地点之间的直接距离为
sqrt(3200^2+400^2+936^2)=3360英尺
如果把时间自作第四个坐标的概念确实有实际意义，我们就能把空间距离3360英尺和时间距离15分钟结合起来，得出一个表示两事件的四维距离的数来。
按照爱因斯坦（Aibert Einstm）原来的想法，四维空间的距离，实际上只要把毕达哥拉斯定埋进行简单推广便可得到，这个距离在各个事件的物理关系中所起的作用 ， 比单独空间距离和时间间隔所起的作用更为基本。
要把空间和时间结合起来，当然要把各个数据用同一种单位表达出来，正如街道间隔和楼房高度都用英尺表示一样，前面我们已经看到，只要用光速作为变换因子 ，这一点就很容易办到了。这样，5分钟的时间间隔就变成800，000，000，OO－－“ 光英尺 “ 。如果对毕达哥拉斯定理作简单的推广， 即定义四维距离是四个坐标距离（三个空间的和一个时间的）的平方和的平方根，我们实际上就取消了空间和时间的一切区别，承认了空间和时间可以互相转换。
然而，任何人－－包括了不起的爱因斯坦在内－－也不能把一根尺子用布遮上，挥动一下魔棒，再念念“时间来，空间去，变”的咒语，就变出一只亮闪闪的新牌子闹钟来!
因此，我们在使用毕达哥拉斯公式将时空结合成一体时，应该采用某种不寻常的办法，以便保留它们的某些本质区别。
按照爱因斯坦的看法，在推广的毕达哥拉斯定理的数字表式中，空间距离与时间间隔的物理区别可以用时间坐标的平方项前的负号来加以强调。这样，两个事件的四维距离可以表示为三个空间坐标的平方和减去时间坐标的平方，然后开平方。当然 ，首先得将时间坐标化成空间单位。
因此，银行抢劫案和飞机失事案之间的四维距离应该这样计算:
sqrt(3200^2+400^2+936^2-800000000000000^2) 。
第四项与前三项相比是非常大的，这是因为这个例子取自“日常生活”， 而用日常生活的标准来衡量时，时间的合理单位真是太小了。如果我们所考虑的不是纽约市内发生的两个事件，而用一个发生在宇宙中的事件作为例子，就能得到大小相当的数字了 ， 例如，第一个事件是1946年7月1日上午9分整在比基尼岛（太平洋西部的一个珊瑚岛）上有一颗原子弹爆炸，第三个事件是在同一天上午9点10 分有一块陨石落到火星表面;这样，时间间隔为540000000000光英尺，而空间距离为650，000000000英尺，两者大小相当。
在这个例子中，两个事件的四维距离是:
sqrt((65×1O^10)^2-(54×10^10)^2)英尺=36×10^10英尺，在数上与纯空间距离和纯时间间隔都很不相同了。
当然，大概有人会反对这种似乎不太合理的几何学。为什么对其中的一个坐标不象对其他三个那样一视同仁呢?千万不要忘记，任何人为的描绘物理世界的数学系统都必须符合实际情况；如果空间和时间在它们的四维结合里的表现确实有所不同 ，那么，四维几何学的定律当然也要按它们的本来面目去塑造。而且，还有一个简单的办法，可以使爱因斯坦时空几何公式看来跟学校里所教的古老的欧几里得几何一样美好。这个方子是德国数学家闵科夫斯基(Hermann Minkovskij)提出的，做法是将第四个坐标看作纯虚数。你大概还记得在本书第二章讲述，一个普通的数字乘以sqrt(-1)就成一个虚数;我们还讲过，应用虚数来解几何问题是很方便的。
根据闵科夫斯基的提法，时间这第四个坐标不但要用空间单位表示，并且还要乘以sqrt(-1)。这样，原来那个例子中的四坐标就成了:
第一坐标:3200 英尺， 第二坐标:400 英尺，
第三坐标:936 英尺 ， 第四坐标:8×10＾11光英尺。
现在，我们可以定义四维距离是所有四个坐标距离的平方和的平方根了，因为虚数的平方总是负数，所以采用闵科夫斯基坐标的普通毕达哥拉斯表式在数学上是和采用爱因斯坦坐标时似乎不太合理的表达式等价的。
有一个故事，说的是一个患关节炎的老人，他问自己的朋友是怎样避免这种病的。
回答是：“我这一辈子每天早上都来个冷水浴。”
“噢，前者喊道，“那你是改患了冷水浴病喽!”
如果你不喜欢前面那个似乎患了关节炎的毕达哥拉斯定理，那么，你不妨把它改成虚时间坐标这种冷水浴病。
由于在时空世界里第四个坐标是虚数，就必然会出现两种在物理上有所不同的四维距离。
在上面那个纽约事件的例子中，两个事件之间的空间距离比时间间隔小 （用同样的单位），毕达哥拉斯定理中根号内数是负的，因此，我们所得到的是虚的四维距离；在后一个例子中，时间间隔比空间距离小，这样，根号内得到的是正数，自然意味着两个事件之间存在着实的四维距离。
如上所述，既然空间距离被看作实数，而时间间隔被看作虚数，我们就可以说：实四维距离同普通空间距离的关系比较密切;而虚四维距离则比较接近于时间间隔。在采用闵科夫斯基的术语时，前一种四维距离称为空距，后一种称为时距。
在下一章里，我们将看到空距可以转变为正规的空间距离，时距也可以转变为正规的时间间隔。然而，这两者一个是实数，一个是虚数，这个事实就给时空互变造成了不可逾越的障碍，因此，一根尺子不能变成一座时钟，一座时钟也不能变一根尺子。
1. 时空的相互转变
尽管数学在把时间和空间在四维世界中结合起来的时候，并没有完全消除这两者的差别，但可以看出，这两个概念确实极其相似。对于这一点，爱因斯坦以前的物理学是不甚了解的。事实上，各个事件之间的空间距离和时间间隔，应该认为仅仅是这些事件之间的基本四维距离在空间轴和时间轴上的投影（大家注意这句话，我觉得这话包含的意义非常深――笨猪），因此，旋转四维坐标系，便可以使距离部分地转变为时间，或使时间转变为距离。不过，四维时空坐标系的旋转又是什么意思呢 ？
我们先来看看图34a中由两个空间坐标所组成的坐标系。假设有两个相距为L的固定点。把这段距离投影在坐轴上，这两个点沿第一根轴的方向相距a英尺，沿第二根轴的方向相距b英尺。如果把坐标系旋转一个角度(图34)时，同一个距离在两根新坐标轴上的投影就与刚才不同，成为a’和b’了。不过，根据毕达哥拉斯定理，两个投影的平方和的平方根在这种情况下的值是一样的，因为这个数所表示的是那两个点间的真实距离，当然不会因坐标系的旋转而改变，也就是说
sqrt(a^2+b^2)=sqrt(a’^2+b’^2)
所以我们说，尽管坐标的数值是不定的，它们取决于所选择的坐标系，然而它们的平方和的平方根则与坐标系的选择无关。
现在再来考虑有一根距离轴和一根时间轴的坐标系。这时，两个固定点变成了两个事件，而两根轴上的投影则分别表示空间距离和时间间隔。如果这两个事件就是上一节所讲到银行抢劫案和飞机失事案，我们可以把这个例子画成一张图(图35a)，它很类似于图34a，不过图34a上是两根空间距离轴 。那么，怎样才能旋转坐标轴呢？答案是颇出乎意料、甚至令人愕然的：你要想旋转时空坐标系，那就请上汽车吧。
好，假定我们真的在9月28日的那个多事之晨坐上了一辆沿五马路行驶的汽车。如果我们能否看到这些事件仅取决于距离，那么，从功利主义的观点出发，我们最关心的就是被劫的银行和飞机失事的地点离汽车有多远。
现在看看图35a，汽车的时空线和两个事件都画在在上面，你立刻会注意到，从汽车上观装到的距离，与从其他地方（比如站在街口的警察）所观察到的不相同。因为汽车是沿着马路行驶的，速度比方说为每三分钟过一个路口（这在繁忙的纽约交通中是司空见惯的），所以从汽车上看，两个事件的空间距离就变短了。事实上，由于在上午9点21分汽车正穿过第五十二街，这时离发生抢劫案的地点有两个路口之远；在飞机失事时（上午9点36分），汽车在第四十七街口，距出事地点有十四个路口之远。因此，在测量对汽车而言的距离时，我们就会断言说，抢劫案和失事案两地相距14－2=12个路口 而不是对城市建筑而言的 50－34＝16个路口。再看一下图35a，我们就会看出，从汽车上记录到的距离不能象过去一样从纵轴（警察的时空线）来计量，而应当从那根表示汽车时空线的斜线上来计量。因此，这后一根线就起到了新时间轴的作用。
把刚才说过的这些 “零七八碎 ”归纳一下，就是：从运动着的物体上观看发生的事件时，时空图上的时间轴应该旋转一个角度（角度的大小取决于运动物体的速度），而空间轴保持不动。
这种说法，从古典物理学和所谓“常识”的观点来看，尽可奉为不渝的真理，然而却和四维时空世界的新观念直接冲突，因为既然认为时间是第四个独立的坐标，时间轴就应该和与三个空间轴垂直，不管你是坐在汽车上，电车上，还是坐在人行道上!
在这个紧要关头，对这两种思想方法，我们只能遵循某一。或者保留那个旧有的时间与空间的概念，不再对统一的时空几何学作任何考虑；或者打破“常识”的老框也认定时间轴和空间轴一起旋转，从而使二者永远保持垂直（图35b）。
但是，旋转空间轴就意味着，从运动物体上观察到的两个事件的时间间隔 ，不同于从地面站上观察到的时间间隔，这就如同旋转时间轴在物理上意味着，两个事件的空间距离当从运动物体上观察时会具有不同的值（在上面例子中为12个路口和16 个路口）一样。因此，如果按照市政大楼的钟，银行抢劫案与飞机失事案相隔15分钟，那么，汽车上的乘客在他的手表上看到的就不是这样一个数字一一这可不是由于手表的机械装置不完善造成了手表走时不准，而是由于在以不同速度运动的物体上，时间本身流逝的快慢就是不同的，因此，记录时间的机械系统也相应地变慢了。不过在象汽车这样一低的速度下，时间变慢是微乎其微，简直是觉察不出来的。（这个现象在本章后面还要详细讨论。）
再举一个例子。设想一个人在一列行进的火车餐车上用饭，餐车上的侍者认为他是在同一个地方（第三张 桌子靠窗的位置）喝开胃酒和吃甜食的。但对于两个站在地面上从外向内张望的道岔工来说，一个正看到他喝开胃酒 ，另一个正看到他在吃甜食（西方人在就餐时往往先喝一点剌激食欲的开胃酒，最后一道食品是甜食，所以，这里的意思是说，整餐饭从头到尾都是在同一个地方吃的――译者）
）一一来说，这两个事件的发生地点则相距好几英里远。因此，我们可以说，一个观察者认为在同一地点和不同时间发生的两个事件，在处于不同运动状态的另一个观察者看来，却可以认为是在不同地点发生的。
从时空等效的观点出发，把上面话中的“地点”和“时间 ”两个词互换，就变成了：一个观察者认为在同一时间和不同地点发生的两个事件正在处于不同运动状态的另一个观察者看来，却可以认为是在不同时间发生的。把这些话用到餐车的例子时，那位侍者可以发誓说，餐车两头的两位乘客正好同时点燃了“饭后一枝烟”，而在地面上从车外向里看的道岔工却会坚持说，两人点烟的时间一先一后。
因此，一种观察认为同时发生的两个事件，在另一个观察者看来，则可认为它们相隔一段时间。
这就是把时间和空间看作仅仅是恒定不变的四维距离在相应轴上的投影的四维几何学，所必然要得出的结论。
2、以太风和天狼星之行
现在 , 我们自己来问问自己:我们使用这种四维几何学的语言,是否仅仅为了证明在我们的旧的、相当不错的时空观念中引入革命性变化的正确性 ?
如果回答是肯定的,那我们就向整个古典物理学体系提出了挑战,因为古典物理学的基础,是牛顿在两个半世纪以前对空间和时间所下的定义，即“绝对的空间,就其本质而言或与任何外界事物无关的,它从不运动, 并且永远不变”；“绝对的、真实的数学时间，就其本质而论,是自行均匀地流逝的,与任何外界的事物无关。”不用说,牛顿在写这几句话的时候，自己并不认为他是在叙述什么新的东西, 更没想到它会引起争论；他只不过把正常人的头脑认为显然如此的时空概念用准确的语言表达出来罢了。事实上,人们对古典的时空概念的正确性是如此深信无疑,因此,这种概念经常被哲学家们当作是先验的东西；没有一个科学家 ( 更不用说门外汉了)曾认为过它们可能是错误的,需要重新审查,重新说明。既然如此,为什么现在又提出了这个问题呢 ?
答案是 : 人们之所以放弃古典的时空概念,并把时间和空间结合成单一的四维体系,这并不是出自审美观的要求 ,也不是某位数学大师坚持的结果，而是因为在科学实验中不断发现了许多不能用独立的时间和空间这种古典概念来解释的事实。
古典物理学这座漂亮的似乎是永久性的城堡所受到的第一次震撼基础的冲击——一次松动了这精巧建筑物的每一块砖石 , 撼倒了每一堵墙的冲击一一是美国物理学家迈克耳逊 (Albut Abratum Michdon ) 1887 年所做的一个实验引起的。这个实验看起来并不起眼,但所起的作用不啻约书亚的号角对于耶利哥的城墙的作用。迈克耳逊实验的设想很简单 : 光在通过所谓 “ 光媒质以太——一种假设的、充满宇宙空间和一切物质的原子之间的均匀物质——时 , 会表现出一定的波动性来。
向池塘里丢进一块石子,水波就向各个方向传播；振动的音叉所发出的声音也以波的方式向四方传送 , 任何发亮的物体所发射出的光也是这样。水面上的波纹清楚地表明水的微粒在运动。声波则是空气或其他被声音穿过的物质在振动。但我们却找不出什么负责传递光波的物质媒介来。事实上,光的在空间中的传播显得如此轻易（与声音相比）, 以致使人觉得空间真是完全空虚的
不过，如果空间真是一无所有的话，硬说在本来无物可振之处有什么东西在振动 , 岂不是太不合乎逻辑了吗 ? 因此 , 物理学家只好引用一个新概念“光媒质以太” , 以便在解释光的传播时 , 在“振动”这个动词前面有一个实体作主语。从纯语法角度来说 , 任何动词都需要有一个主语 , 但是——这个 “也是”可要使劲说出来——语法规则没有也不能告诉我们 , 这个为了正确造句而引进的主语具有计么样的物理性质 !
如果我们把“光以太”定义为传播光波的东西,那么, 我们说光波是在光以太中传播的,这倒是一句无懈可击的话,不过,这只是无谓的重复而已。光以太究竟是什么东西和光以太具有什么物理性质,这才是实质的问题。在这方面,任何语法也帮不了我们的忙。答案只能从物理学中去找。
在后面的讨论中,我们会看到,十九世纪的物理学所犯的最大错误,就在于人们假设这种光以太具有类似我们所熟知的一般物体的性质。人们总是提到光以太的流动性、刚度和各种弹性性质,甚至还提到内摩擦。这一来,光以太就有了这样的性质:一方面,它在传递光波时,是一个振动的固体；另一方面,它对天体的运动却没有丝毫阻力,显示出极完美的流动性。于是,光以太就被比作类似于火漆的物质。火漆是硬的, 在机械力的迅速冲击下易碎；但如果静置足够长的时间,它又会因自己的重量而象蜂蜜那样流动。过去的物理学设想光以太与火漆相似,并充满整个星际空间。它对于光的传播这样的高速扰动,表现得象坚硬的固体；而对于速度只有光速的几千分之一的恒星和行星来说,它又象液体一样被它们从前进的路上推开。
这种我们可称之为模拟的观点,当用于一种除名称以外一无所知的物质上,以试图判断它具有那些我们所熟悉的普通物质的性质时,从一开始就遭到巨大的失败。尽管人们作了种种努力,仍找不出对这种神秘的光波传播媒介的合理力学解释。现在,以我们所具有的知识,是容易看出所有这一类尝试错在何处的。事实上,我们知道,一般物质的所有机械性质都可追溯到构成物质的微粒之间的作用力。例如,水的良好流动性,是由于水分子间可作几乎没有摩擦的滑动；橡胶的弹性是由于它的分子很容易变形；金刚石的坚硬是由于构成金刚石晶体的碳原子被紧紧地束缚在刚性结构上。因此,各种物质所共有的一切机械性质都是出自它们的原子结构,但这一条结论在用于光以太这样绝对连续的物质上时,就没有任何 意义了。
光以太是一种特殊的物质,它的组成和我们一般称为实物的各种较为熟悉的原子嵌镶结构毫无共同之处。我们可以把光以太称为“物质”(这仅仅因为它是动词“振动”的语法主语) , 但也可以把它叫做“空间”。不过我们要记住，我们前面已经看到,以后还会看到, 空间具有某种形态上或者说结构上的内容,因而它比欧几里得几何学上的空间概念复杂得多。实际上,在现代物理学中,“以太”这个名称（撇开它那些所谓的力学性质不谈的话）和“物理空间”是同义语。
但是,我们扯得太远了,竟谈起对“以太”这个词的哲学分析来了,现在还是回到迈克耳逊的实验上来吧。我们在前面说过,这个实验的原理是很简单的:如果光是通过以太的波,那么,安在地面上的仪器所记录到的光速将受到地球在星际空间中运动的影响。站在地球上正好与地球绕日的轨道方向一致之处,就会置身于“以太风”之中,如同站在高速行驶的航船甲板上,可感觉有股风扑面而来一样, 尽管此时空气是完全宁静的。当然,你是感觉不出“以太风”的,因为我们已经假设它能毫不费力地穿入我们身体的各个原子之间。不过,如果测量与地球行进方向成不同角度的光的速度,我们就可以察知它的存在。谁都知道，顺风前进的声音速度比逆风时大,因 此,光顺以太风和逆以太风传播的速度看来自然也会不同。
迈克耳逊想到了这一点,于是便着手设计出一套仪器,它能够记录下各个不同方向的光速的差别。当然, 最简单的方法是采用以前提过的斐索实验的仪器（图 31c）,把它转向各个不同的方向,以进行一系列测量。但这种做法的实际效果并不理想,因为这要求每次测量都有很高的精确度。事实上,由于我们所预期的速度差( 等于地球的运动速度)只有光速的万分之一左右,所以,每次测量都必须有极高的准确度才行。
