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这是我童年时代最喜欢的一本书，书的名字叫《从一到无穷大》，作者是著名的美
国天文学家 乔治.盖莫夫。 虽然这本书的出版时至今日已经有二十多年的时间了
，但这本书的内容也许在今天看来仍然不算落伍，事实上，其中的部分内容我至到
今天也没有完全弄懂。正如当年的译者所说的－－这是一本很值得一读乃至于一读
再读的书。
由于原书已经过于破旧，出于保留的目的我进行了扫校。但其中的部分附图由
于空间的原因，很难在网上发出来，不能不说是一个遗憾。
如果可能，我将陆续将这本书的内容一一贴上来，希望能找到志趣相同的爱好
者。
第一部分 做做数字游戏
第一章 大 数
１。你能数到多少？
有这么一个故事，说的是两个贵族决定做计数游戏－－谁说出的数字大谁赢。
“好，”一个贵族说，“你先说吧！”
另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“三”。
现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他表示弃权说：“你赢啦
！”
这两个贵族的智力当然是不很发达的。再说，这很可能只是一个挖苦人的故事
而已。然而，如果上述对话是发生在原始部落中，这个故事大概就完全可信了。有
不少探险家证实，在某些原始部族里，不存在比三大的数词。如果问他们当中的一
个人有几个儿子，或杀死过多少敌人，那么，要是这个数字大于三，他就会回答说
：“许多个。”因此，就计数这项技术来说，这些部族的勇士们可要败在我们幼儿
园里的娃娃们的手下了，因为这些娃娃们竟有一直数到十的本领呢！
现在，我们都习惯地认为,我们想把某个数字写成多大,就能写成多大－－战争
的经费以分为单位来表示啦，天体间的距离用英寸来表示啦，等等－－只要在某个
数字的后面加上一串零就是了。你可以一直这样写下去，直到手腕发酸为止。这样
，尽管目前已知的宇宙1)中所有原子的数目已经很大，等于300,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000，但是，你还可以写出比这更大的数目来。
上面这个数可以改写的短一些，即写成
exp(３Ｘ１０,７４)
在这里，10的右上角的小号数字74表示应该写出多少个零。换句话说，这个数
字意味着3要用10乘上74次。
但是在古代，人们并不知道这种简单的“算术简示法”。这种方法是距不到两
千年的某个佚名的印度数字家发明的。在这个伟大发明－－这确实是一项伟大的发
明，尽管我们一般意识不到这一点－－出现之前，人们对每个数位上的数字，是用
专门的符号反复书写一定次数的办法来表示的。例如，数字8732在古代埃及人写来
是这样的：(贴不上来：｛ )
而在凯撒（Julius Caesar）*的衙门里，他的办事员会把这个数字写成
MMMMMMMMDCCXXXII
这后一种表示法你一定比较熟悉，因为这种罗马数字直到现在还有些用场－－
表示书籍的卷数或章数啦，各种表格的栏次啦，等等。不过，古代的计数很难得超
过几千，因此，也就没有发明比一千更高的数位表示符号。一个古罗马人，无论他
在数学上是何等训练有素，如果让他写一下“一百万”，他也一定会不知所措。他
所能用的最好的办法，只不过是接连不断地写上一千个M，这可要花费几个钟点的艰
苦劳动啊（图１）。
在古代人的心目中，那些很大的数目字，如天上的星星的颗数，海里游鱼的条
数，岸边砂子的粒数等等，都是“不计其数”，就像“５”这个数字对原始部族来
说也是“不计其数”，只能说成“许多”一样。
阿其米德（Archimedes），公元前三世纪大名鼎鼎的大科学家，曾经开动他那
出色的大脑，想出了书写巨大数字的方法。在他的论文〖计砂法〗中这样写着：
有人认为，无论是在叙拉古*，还是在整个西西里岛，或者在世界所有有人烟和
无人迹之处，砂子的数目是无穷的。也有人认为，这个数目不是无穷的，然而想要
表达出比地球上砂粒数目还要大的数字是做不到的。很明显，持有这种观点的人会
更加肯定地说，如果把地球想象成一个大砂堆，并在所有的海洋和洞穴里装满砂子
，一直装到与最高的山峰相平，那么，这样堆起来的砂子的总数是无法表示出来的
。但是，我要告诉大家，用我的方法，不但能表示出占地球那么大的砂子的数目，
甚至还能表示出占据整个宇宙空间的砂子的总数。
阿基米德在这篇著名的论文中所提出的方法，同现代科学中表达大数目字的方
法相类似。他从当时古希腊算术中最大的数“万”开始，然后引进一个新数“万万
”（亿）作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位）、“亿亿亿”（第四阶
单位），等等。
写个大数字，看来似乎不足挂齿，没有必要专门用几页的篇幅来谈论。但在阿
基米德那个时代，能够找到写出大数字的办法，确实是一项伟大的发现，使数学向
前迈出了一大步。
为了计算填满整个宇宙空间所需的砂子总数，阿基米德首先得知道宇宙的大小
。按照当时的天文学观点，宇宙是一个嵌有星星的水晶球。阿基米德的同时代人，
著名的天文学家，萨摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus）**求得从地球到天球面的
距离为10,000,000,000斯塔迪姆，即约为1,000,000,000英里1)。
阿基米德把天球和砂粒的大小相比，进行了一系列足以把小学生吓出梦魇症来
的运算，最后他得出结论说：
很明显，在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的砂子粒数，不会超过一千
万的第八阶单位2)。
这里要注意，阿斯米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家们所观察到的小得
多。十亿英里，这只不过刚刚超过从太阳到土星的距离。以后我们将看到，在望远
镜里，宇宙的边缘是在5,000,000,000,000,000,000,000英里的地方，要填满这样一
个已被观测到的宇宙，所需要的砂子数超过
exp(１０,１００)粒（即１的后面有１００个零）
这个数字显然比前面提到的宇宙间的原子总数３Ｘ１０ ７４大多了。这里因为
宇宙间并非塞满了原子。实际上，在一立方米的空间内，平均才只有一个原子。
要想得到大数目字，并不一定要把整个宇宙倒满砂子，或进行诸如此数的剧烈
活动。事实上，在很多乍一看来似乎很简单的问题中，也常会遇到极大的数字，尽
管你原先决不会想到，其中会出现大于几千的数字。
有一个人曾经在大数目字上吃了亏，那就是印度的舍罕王(Shirham)。根据古老
的传说，舍罕王打算重赏象棋*的发明人和进贡者、宰相西萨＠班＠达依尔(Sissa
ben Dahir)。这位聪明的大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：“陛下，请
您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格
内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋
盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”
“爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明
所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿所偿的。”说着，他令人
把一袋麦子拿到了宝座前。
计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒
，。。。。。。还没到第二十格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面
前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全
印度的粮食，国王也兑现不了他对西萨。班许下的诺言了，因为这需要有18,446,7
44,073,709,551,615颗麦粒1)呀！
这个数字不象宇宙间的原子总数那样大，
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:49:00
在世界中心贝拿勒斯**的圣庙里，安放着一个黄铜板，板插着三根宝石针。每
根针高约一腕尺（1腕尺大约合20英寸），象韭菜叶那样粗细。梵天***在创造世界
的时候，在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的六十四片金片。这就是所谓
的梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则，把这些金片在
三根针上移来移去：一次只有移一片，并且要求不管在哪一根针上，小片永远在大
片的上面。当所有六十四片都从梵天创造世界时所放的那根针移到另外一根针上时
，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
图３是按照故事的情节所作的画，只是金片少画了一些。你不妨用纸板代表金
片，拿长钉代替宝石针，自己搞这么一个玩具。不难发现，按上述规则移动金片的
规律是：不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数总要比移动上面一片增加一倍
。第一片只需要一次，下一片就按几何级数加倍。这样，当把第六十四片也移走后
，总的移动次数便和西萨。班。达依尔所要求的麦粒数一样多了１）！
把这座梵塔全部六十四片金片都移到另一根针上，需要多长时间呢？一年有31
,558,000秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次，日夜不停，节假日照常干，也需要将
近58万亿年才能完成。
把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒是很意思的。按照
现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在大约三十亿年前由不定形
物质形成的。我们还知道，给恒星，特别是给太阳提供能星的“原子燃料”还能维
持100--150亿年（见“创世的年代”一章）。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要
短于二百亿年，而不象这个印度传说中所宣扬的那样长！不过，传说毕竟只是传说
啊！
在文学作品中所提及的最大数字，大概就是那个有名的“印刷行数问题”了。
假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字，并且每一行都能自动换一个字
母或其它印刷符号，从而变成与其它行不同的字母组合。这样一架机器包括一组圆
盘，盘与盘之间像汽车里程表那样装配，盘缘刻有全部字母和符号。这样，每一片
轮盘转动一周，就会带动下一个轮盘转动一个符号。纸卷通过滚筒自动送入盘下。
这样的机器制造起来没有的困难，图4是这种机器的示意图。
现在，让我们开始这架印刷机，并检查印出的那些没完没了的东西吧。在印出
的一行行字母组合当中，大多数根本没有什么意思，如：
aaaaaaaaaa...
或者
booboobooboo...
或者
zawkporpkossscilm...
但是，既然这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合，我们就能从这堆玩
艺中找出有点意思的句子。当然，其中又有许多是胡说八道，如：
horse has six legs and...（马有六条腿，并且....)
或者
I like apples cooked in terpentin...（我喜欢吃松节油炒苹果......)
不过，只要找下去，一定会发现莎士比亚（William Shakespear）*的每一行著
作，甚至包括被他扔进废纸篓里去的句子！
实际上，这台机器会印出人类自从能够写字以来所写出的一切句子：每一句散
文，每一行诗歌，每一篇社论，每一则广告，每一卷厚厚的学术论文，每一封书信
，每一份订奶单.....
不仅如此，这架机器还将印出今后各个世纪所要印出的东西。从滚筒下的纸卷
中，我们可以读到三十世纪的诗章，未来的科学发现，2344年星际交通事故的统计
，还有一篇篇尚未被作家创作出来的长、短篇小说。出版商们只要搞出这么一台机
器，把它安装在地下室里，然后从印出的纸卷里寻找好句子来出版就是了－－他们
现在所干的也差不多就是这样嘛！
为什么人们没有这样干呢？
来，让我们算算看，为了得到所有字母和印刷符号的组合，该印出多少行来。
英语中有二十六个字母、十个数码（0,1,2....,9)、还有十四个常用符号（空
白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省字号、
小括号、中括号、大括号），共五十个字符。再假设这台机器有六十五个轮盘，以
对应每一印刷行的平均字数。印出的每一行中，排头的那个字符可以是五十个字符
当中的每一种，第二个字符又有五十种可能性，因此共有５０Ｘ５０＝２５００种
。对于这前两个字符的每一种可能性，第三个字符仍有五十种选择。这样下去，整
行进行安排的可能性的总数等于
或者５０65，即等于１０110。
要想知道这个数字有多么巨大，你可以设想宇宙间的每个原子都变成一台独立
的印刷机，这样就有3X１０74部机器同时工作，再假定所有这些机器从地球诞生以
来就一直在工作，即它已经工作了三十亿年或１０17秒。你还可以假定这些机器都
以原子振动的频率进行工作，也就是说，一秒钟可以印出 １０15行。那么，到目前
为止，这些机器印出的总行数大约是
这只不过是上述可能性总数的三千分之一左右而已。
看来，想要在这些自动印出的东西里面挑选点什么，那确实得花费非常非常长
的时间了。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:52:00
不过也已经够可观了。蒲式尔*小麦约有5,000,000颗，照这个数，那就得给西
萨。班拿来四万亿蒲式尔才行。这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所生产
的全部小麦。
这么一来，舍罕王发觉自己欠了宰相好大一笔债。要嘛是忍受西萨。班没完没
了的讨债，要嘛是干脆砍掉他的脑袋。据我猜想，国王大概选择了后面这个办法。
另一个由大数目字当主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的问题有关的。
偏爱数学的历史学家鲍尔(Ball)是这样讲述这段故事的２）：
上边的跟贴丢了一段内容，这里补上
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:55:00
上一节我们谈了一些数字，其中有不少是毫不含糊的大数。但是这些巨大的数
字，例如西萨、班所要求的麦子粒数，虽然大得难以令人置信，但毕竟还是有限的
，也就是说，只要有足够的时间，人们总能把它们从头到尾写出来。
然而，确实存在着一些无穷大的数，它们比我们所能写出的无论多长的数都还
要大。例如，“所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”显然都是无穷
大的。关于这类数字，除了说它们是无穷大之外，我们还能说什么呢？难产我们能
够比较一下上面那两个无穷大的数，看看哪个“更大些”吗？
“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个更大些？”－－这
个问题有意义吗？乍一看，提这个问题可真是头脑发昏，但是，著名数学家康托尔
（Georg Cantor）首先思考了这个问题。因此，他确实可被称为“无穷大数算术”
的奠基人。
当我们要比较几个无穷大的数的大小时，就会面临这样的一个问题：这些数既
不能读出来，也无法写出来，该怎样比较呢？这下子，我们自己可有点像一个想要
弄清自己的财物中，究竟是玻璃珠子多，还是铜币多的原始部族人了。你大概还记
得，那些人只能数到三。难道他会因为数不清大数而放弃比较珠子和铜币数目的打
算？根本不会如此。如果他足够聪明，他一定会通过把珠子和铜币逐个相比的办法
来得出答案。他可以把一粒珠子和一枚铜币放在一起，另一粒珠子和另一枚铜币放
在一起，并且一直这样做下去。如果珠子用光了，而还剩下些铜币，他就知道，铜
币多于珠子；如果铜币先用光了，珠子却还有多余，他就明白，珠子多于铜币；如
果两者同时用光，他就晓得，珠子和铜币数目相等。
康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同：我们可以给两组无穷
大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都一个不剩，这两组无穷大就是相等
的；如果有一组还有些没有配出去，这一组就比另一组大些，或者说强些。
这显然是合理的、并且实际上也是唯一可行的比较两个无穷大数的方法。但是
，当你把这个方法讨诸实用时，你还得准备再吃一惊。举例来说，所有偶数和所有
奇数这两个无穷大数列，你当然会直觉地感到它们的数目相等。应用上述法则也完
全符合，因为这两组数间可建立如下的一一对应的关系。
在这个表中，每一个偶数都与一个奇数相对应。看，这确实再简单，再自然不
过了！
但是，且慢。你再想一想：所有整数（奇偶数都在内）的数目和单单偶数的数
目，哪个大呢？当然，你会说前者大一些，因为所有的整数不但包含了所有的偶数
，还要加上所有的奇数啊。但这不过是你的印象而已。只有应用上述比较两个无穷
大数的法则，才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则，你就会吃惊地发现，
你的印象是错误的。事实上，下面就是所有整数和偶数的一一对应表：
按照上述比较无穷大数的规则，我们得承认，偶数的数目正好和所有整数的数
目一样大。当然，这个结论看来是十分荒谬的，因为偶数只是所有整数的一部分。
但是不要忘了，我们是在与无穷大数打交道，因而就必须做好遇到异常的性质的思
想准备。
在无穷大的世界里，部分可能等于全部！关于这一点，著名德国数学家希尔伯
特（David Hilbert）有一则故事说明的再好不过了。据说在他的一篇讨论无穷大的
演讲中，他曾用下面的话来叙述无穷大的似非而是的性质：
我们设想有一家旅店，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位
新客，想订个房间。“对不起，”旅店主说，“所有的房间都住满了。”现在再设
想另一家旅店，内设无限个房间，所有的房间也都客满了这时也有一位新客来临，
想订个房间。
“不成问题！”旅店主说。接着，他就把一号房间里的旅客移至二号房间，二
号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移到四号房间，等等，这一来，新客
就住进了已被腾空的一号房间。
我们再设想一座有无限个房间的旅店，各个房间也都住满了。这时，又来了无
穷多位要求订房间的客人。
“好的，先生们，请等一会儿。”旅店主说。
他把一号房间的旅客移到二号房间，把二号房间的旅客移到四号房间，三号房
间的旅客移到六号房间，等等，等等。
现在，所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了。
由于希尔伯特讲这段故事时正值世界大战期间，所以，即使在华盛顿，这段话
也不容易被人们所理解。但这个例子却确实举到了点子上，它使我们明白了：无穷
大数的性质与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样。
按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明，所有的普通分数（如等
）的数目和所有的整数相同。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与
分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，即；然后写下两者之和为3的分数，即
和；再往下是两者之和为4的，即，，。这样做下去，我们可以得到一个无穷的分数
数列，它包括了所有的分数（图5)。现在，在这个数列旁边写上整数数列，就得到
了无穷分数与无穷整数的一一对应。可见，它们的数目又是相等的！
你可能会说：“是啊，这一切都很妙，不过，这是不是就意味着，所有的无穷
大数都是相等的呢？如果是这样，那还有什么可比的呢？”
不，事情并不是这样。人们可以很容易地找出比所有整数和所有分数所构成的
无穷大数还要大的无穷大数来。
如果研究一下前面出现过的那个比较一条线段上的点数和整数的个数的多少的
问题，我们就会发现，这两个数目是不一样大的。线段上的点数要比整数的个数多
得多。为了证明这一点，我们先来建立一段线段（比如说1寸长）和整数数列的一一
对应关系。
这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离
可以写成无穷小数的形式，如
0.7350624780056......
或者
0.38250375632......
现在我们所要做的，就是比较一下所有整数的数目和所有可能存在的无穷小数
的数目。那么，上面写出的无穷小数和，，这类分数有什么不同呢？
大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则：每一个普通分数都可以分成
无穷循环小数。如。我们已经证明过，所有分数的数目和所有整数的数目相等，所
以，所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等。但是，一条线段上的点可不
能完全由循环小数表示出来，绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容
易证明，在这种情况下，一一对应的关系是无法建立的。
假定有人声称他已经建立了这种对应关系，并且，对应关系具有如下形式：
当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数一个不漏地写光，因此，上
述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律（类似于我们用来排列分数的规律）
，在这种规律的指导下，他制定了上表，而且任何一个小数或迟或早都会在这张表
上出现。
不过，我们很容易证明，任何一个这类的声称都是站不住脚的，因为我们一定
还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多个小数。怎么写呢？再简单不过了
。让这个小数的第一小数位（十分位）不同于表中第一号小数的第一小数位，第二
小数位（百分位）不同于表中第二号小数的第二小数位，等等。这个数可能就是这
个样子（还可能是别的样子）：
这个数无论如何在上表中是找不到的。如果此表的作者对你说，你的这个数在
他那个表上排在第一百三十七号（或其他任何一号），你就可以立即回答说：“不
，我
作者：wyhsillypig 回复日期：2004-12-23 17:56:00
这个数不是你的那个数，因为这个数的第一百三十七小数位和你那个数的第一
百三十七小数位不同。”
