2
证明这个力所主的加速度A 必等于v /r。
到 1684 年，总的引力问题就已经在大家的纷纷议论之中。胡克，哈雷
（Halley），惠更斯、雷恩 （Wren）似乎都独立地指出过：如果把本来是椭
圆的行星轨道当作是圆形的，则平方反比必为力的定律③。这一点可以立即
从两个前提中推出。一个前提是惠更斯的证明：半径为 r 的向心加速度a 是
2 2 2 3
v /r；另一个前提是刻卜勒的第三定律：周期的平方，即 r /v 随 r 而变化。
2 2 2
这后一结果说明v 随 1/r 变化。因而，加速度 v /r，也就是力随 1/r 而变
化。
几位对这个问题进行进一步研究的皇家学会会员，特别讨论到如果一个
行星像刻卜勒第三定律所指出的那样按平方反比的关系在吸引力下运行的
话，它是否又能按照他的第一定律在椭圆轨道上运行。哈雷由于觉得没有希
望从别的来源求得数学解决，就到剑桥三一学院去访问半顿。他发现牛顿在
两年前已经解决了这个问题，虽然他的手稿已经遗失，但牛顿重新写出一遍，
并和 “许多旁的材料”送给住在伦敦的哈雷。在哈雷的推动之下，牛顿又回
到这个问题。1685年，他克服了计算上的困难，证明一个由具有引力的物质
组成的球吸引它外边的物体时就好象所有的质量都集中在它的中心一样。有
了这个有成效的证明，把太阳、行星、地球、月球都当作一个质点看待的简
化方法就显得很合理了，从而就把从前粗略近似的计算提高到极其精密的证
明。格累夏博士在阐释这个证明的重要性时说：
从牛顿自己的话中，我们知道他在没有用数学证明这个定理以前，从来没有料到
有这样美妙的结果，但一经证明这个精妙的定理以后，宇宙的全部机制便立刻展开在他
眼前。??把数学分析绝对准确地应用于实际的天文问题，现在已经完全在他能力之内
了。①
这一成就为牛顿的独创的研究，扫除了障碍，于是他努力把天体的力和
地球吸引物体坠落的力联系起来。他利用皮卡尔 （Picart）测量地球所得的
新值，再回到重力与月球的老问题去。地球的引力现在可以看做有一个中心
了，而且就在地球的中心，验证他的假设也是很简单的事。月球的距离约为
① J.W.L.Glaisher, Address on the bi-centenary of the publication of Newton's Principia, 1887.
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地球半径的 60倍，而地球的半径是4000 英里。由此算出月球离开直线路径，
而向地球坠落的速度，约为每秒0.0044 英尺。如果平方反比律是正确的，这
个力量在地球表面应该比在月球强 （60）2倍，或 3600倍，所以在地面物体
坠落的速度为 3600x0.0044，或每秒约 16 英尺。这与当代观测的事实相合，
于是这个证明完全成立了。于是牛顿就证明了平常向地面坠落的苹果或石
头，与在天空中循轨道庄严运行的月球，同为一个未知的原因所支配。
他证明了重力必然要使行星轨道成为椭圆，也就意味着对刻 卜勒定律给
予合理的解释，并且把他在月球方面所得的结果推广到行星的运动上去。于
是整个太阳系的错综复杂的运动，就可以从一个假设中推出来。这个假定就
是：每一质点对于另一质点的引力，与两点的质量的乘积成正比并与其间的
距离的平方成反比。这样推导出来的运动和观测结果精密符合，达两个世纪
之久。彗星的运动一向认为是无规则而不能计算的，现在也就范了； 1695
年，哈雷说，他在 1682年所看见的彗星，从它的轨道来看，实在为重力所控
制；它周期地回来，事实上与贝叶 （Bayeux）毛毡上所绣的、在 1066年被人
当做是萨克逊人的灾祸预兆的那颗彗星，实在是同一颗彗星。
亚里斯多德以为天体是神圣而不腐坏的，和我们有缺陷的世界是不同类
的，而今人们却这样把天体纳入研究范围之内，并且证明天体也按照伽利略
和牛顿根据地面上的实验和归纳所得到的力学原理，处在这个巨大的数学和
谐之内。1687年牛顿的 《自然哲学的数学原理》的出版，可以说是科学史上
的最大事件，至少在近些年以前是这样的。
引力的次要效应之一是潮汐。在牛顿考虑这问题以前，人们有许多混淆
不清的看法。刻卜勒以为潮汐的成因在月球，但他是占星家，因而他同时相
信恒星与行星也有影响。也许正是由于这个缘故伽利略才嘲笑他悦： “对于
①
且球支配水以及神秘的特性等一类琐事，他都洗耳倾听，表示同意” 。
《原理》一书第一次为潮汐理论奠定了健全的基础。牛顿用数学的方法，
研究了月球与太阳的引力合在一起对于地上的水的影 155响，同时还把流动
的水的惯性及狭窄的海峡与运河的骚扰效果估计在内。潮汐情况是很复杂
的，自牛顿以来，有许多数学家提出过详细的理论，其中可以提到的有拉普
拉斯与乔治·达尔文爵士。但 《原理》书中的一般论述仍然是有效的。
质量与重量
给予物质以惯性并且和重量迥然不同的质量的概念，起初暗含在伽利略
的研究成果中，后来又明显地见于巴利安尼的著作中。巴利安尼是热那亚的
①
弓箭队长。他把质与重加以区别 。在 《原理》中，这个分别更加明确。牛顿
根据波义耳关于空气容积与压力的实验，从密度方面达到质量的概念。既然
在一定量的空气中，压力 P 与容积 U 成反比例，因此，它们的乘积 PV 是一
个常数，可以用来量度一定容积中空气的质量，或者用原子论来说，代表压
缩在那个容积里的质点的总数，牛顿给予质量的定义是： “用物体的密度和
① system of the World, Galileo Galilei, Fourth Dialogue, quoted by J.Proudman， Isaac Newton, ed.
W.J.Greenstreet, London, 1927,p.87.
① 看 “Newton and the Art of Discovery",by J.m.Child, in Isaac Newoln,p.127. Child 以为牛顿可能受了巴利安
尼的影响。
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体积的乘积来量度的、该物体中所合的物质的量”，而力的定义是 “一个物
体所受到的、足以改变或倾向千改变该物体的静止状态或等速直线运动状态
的作用”。
牛顿把观察的结果与定义归纳为运动三定律：
定律一：每一物体都始终维持其静止或等速直线运动的状态，只有受了外加的力，
才被迫改变这种状态。
定律二：运动的改变 （即运动量的改变率ma），与外加的致动的力成比例，而发
生于这种外力所作用的直线方向上。
定律三：反作用与作用总是相等而相反；换言之，两物体间的相互作用，总是大
小相等，方向相反。
牛顿所表述的动力学基本原理，支持了这一学科的发展达二百隼之久。
①
在 1883年马赫发表他的 《力学》第一版以前，没有人对这一表述所依据的
假定提出过严格的批评。马赫指出牛顿的质量定义与力的定义使我们陷入逻
辑上的循环论证中，因为我们只有通过物质对我们的感官所产生的作用才能
知道物质，而且我们也只能用单位容积中的质量来作密度的定义。
在总结动力学起源的历史时，马赫指出，伽利略、惠更斯与牛 156顿在
动力学上的研究成果，实际上只意味着发现了同一条基本原理，可是由于历
史上的偶然情况 （这在一个全新的学科中是不能避免的），这一条基本原理
却用许多貌似独立的定律或词句表达出来。
当两个物体互相作用，例如靠了其间的引力，或靠了一条把它们连接起
来的螺旋弹簧相互作用时，它们相互产生的反向加速度的比例是一定的，而
只决定于这两个物体中的某种东西，这种东西，如果我们愿意的话，可以叫
做质量。这个原理是靠实验建立起来的，我们可以下一个定义说：两个物体
的相对质量，是用它们的相反的加速度的反比例来量度的，而它们中间的力
就是其中任何一个物体的质量与其加速度的乘积。
这样我们可以摆脱牛顿的质量定义与力的定义中包含的逻辑上的循环论
证，而得到一个以实验为根据的简单陈述，由此可以推导出伽利略、惠更斯
和半顿的许多原理——如落体定律、惯性定律、质量的概念、力的平行四边
形，以及功与能量的等效。
通过落体的实验，伽利略发现速度与时间成正比例而增加。这样一来，
本原的关系就是：动量的憎加，可以用力与时间的乘积来量度，或 mV＝ft，
即牛顿定律。假使伽利略首先发现的事实是：由加速度a 而来的速度，随经
2
过的距离S，按平方的关系而增加，则这种关系v ＝
1
2as （实即等于惠更斯的功与能量的方程式：fs＝ mv2 ，看起来就是本原的
2
关系了。由此才见，力和动量所以看起来似乎比较简单和比较重要，功和能
量的概念所以稽迟很久才被人接受，主要是由于历史偶然性的缘故。事实上
它们是互相关联的，任何一方都可以从他方推导出来。
再回到牛顿的定义时，我们还可以用另一个方法逃避逻辑上的循环论
证。这个方法虽然不如马赫的方法完备，对有关的问题却有所阐发。牛顿已
经认识到，人们从肌肉用劲的感觉得到力的机械概念，他本来很可以从这条
道路找到一条逃避循环论证的途径。动力学可以看做是把我们对于运动中的
① Dr E. Mach, Die Mechanik in ihrer Enwickelung,1883.
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物质的感觉提高到理性水平的科学，正如热学同温暖的感觉有关一样。我们
从空间或长度与时间的经验，得到本原的观念；我们肌肉的感觉同样地给我
们力的观念。这一感官所粗略地量度出来的等量的力，作用于不同的物体时，
将产生不同的加速度，因此我们可以把每一物体的惯性，即对于f 力的抵抗，
称为它的质量，并可以说，它是用一定的力所产生的加速度 a 的反比来度量
的。因此m＝f/a。这样，质量的观念就是从一个心理状态，即我们的肌肉对
于力的感觉而来的。也许有人会批评这个方法把心理学引到物理学中来，但
是，指出这样做，就可以免除物理学中逻辑上的循环论证，却还是有一定意
义的。
在这样得到了质量的明确观念之后，我们就从实验中发现物体的相对质
量大致是一个常数。于是我们可以提出一个假设说：这个近似的常数是严格
真实的，或至少有高度准确的真实性，这样，我们就可以把质量M 当作长度
L、时间 T 以外的第三个基本单位。从这个假设得来的无数推论在 J．J．汤
姆生与爱因斯坦的时代以前，同观测与实验是高隆精确符合的。所以这个假
设是经过充分的验证的，除了非常特殊的情况外，它还是有效的。
质量既然可以用惯性来量度，剩下来的问题就是找出质量与重量的关系
了。所谓重量也就是把物体拉向地球的吸引力。这问题也为牛顿所澄清了。
史特维纳斯和伽利略的实验，表明两个重量不同的物体，W1 与W，以同
样的速度落地。物体的重量就是地球引力所产生的力，实验的结果证明重力
所生的加速度a 与a ，是相同的。根据上面所说的质量的定义，两物体的相
1 2
对质量m 与m 可用以下的关系来确定：
1 2
m =W /a 及m =W /a ,
1 1 1 2 2 2
a =W /m 及a =W /m .
1 1 1 2 2 2
①
现在我们了解，任何公式的玩弄 或任何形而上学的考虑 （如经院哲学由
亚里斯多德那里得来的）都不能导出两个自由落体的加速度的关系。等到史
特维纳斯和伽刊略用落体进行实验，才证明 a1＝a2，是一个事实。但是，这
一点既经证明之后，从方程式所规定的质量、重量与力的定义便得：
W W W m
1 2 或 1 1
m m W m
1 2 2 2
即两物体的重量与它们的质量成正比例。这是一个真正惊人的结果。牛
顿指出，这个结果要求重力必须 “是从一个原因而来的，这个原因并不是按
照其所作用的质点表面的数量而起作用 （机械的原因常是这样的），而是按
①
照物体所含的实际质量的数量起作用的” 。事实上，牛顿的天文学研究的结
果，证明重力的作用必定 “贯彻到太阳的中心和行星的中心，而不丝毫减少
它的力量”。
伽利略的实验没有达到，也不能达到很大的精确度。巴利安尼更仔细地
重新进行了这个实验。他从一点让一个铁球和一个同样大小的蜡球同时坠
落。他发现当铁球已落了50 呎而到地时，蜡球还差1呎。他正确地解释这个
差异是由于空气的阻力，这种阻力虽然对两个球体是一样的，但对于抵抗重
① 除非这玩弄者是爱因斯坦，而已公式中含有相对性原理。而相对性原理也是根据实验建立的。马赫在此
似乎错了；他说从他的质量的定义可以得到质量与重量的比例关系，但他暗暗地引入了 a1＝a2 的结果。
① Prlnslpia， 1713 .483—484 。
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②
量较小的蜡球更为有效 。牛顿对于这个结果更加以精密的考察。他从数学上
证明一个摆锤摆动的时间必定与其质量的平方根成正比，与其重量的平方根
成反比。他又用了不同的摆锤来做仔细而精确的实验，摆锤的大小相同，以
便它们所受的空气的阻力相同。有的摆锤是各种物质的实体，有的是空球装
上各种液体或谷类的颗粒。在所有的情况下，他都发现在同一地点，同长的
摆在度量误差的极小范围之内，摆动时间是相等的。这样，牛顿就以更大的
精确度证实了重量与质量成正比的结果，而这个结果本来是可由伽利略的实
验推出来的。
数学方面的改进
把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用
的工具——数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作
的时代，也就是数学知识与技术进步很大的时代。
牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后 159来虽
①
有争执，但看来都是独立发明出来的 。变速观念的出现，要求有一种方法来
处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t 所经过的空间 s来量度；
不论 s 与t 的大小如何 s/t，一量是一定的。但是如果速度是变化的，那么
要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的极短的时间
来量度在这个时间内经过的空间。当 s 与t 无限地缩小，而成为无限小时，
它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds ／dt，而叫做
s对于t 的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用
来不大方便，现在已被莱布尼茨的写法代替了。我们在这里不过是拿空间与
时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法
来处理。x 对于 y 的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx/dy 或牛顿的记法上
②
。
逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积
分，常常是比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个
③
质点的引力去计算整个球体的引力，就得用积分法 。阿基米得用了类似的方
法去计算面积与容积，但他的方法由于远远超过了他那时代，所以后来就失
传了。
含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微
①
分方程式：困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答 。有一个事实
说明牛顿了解这个原理：他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，
②
而所用的方法则无异于列出光线路径的微分方程式 。
在 《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多
② J.M ，Child，上引书.
① L.T.More，Lsaac Newton，New york ，1934，p ， 565 等页。
② 每个函数的微分系数之值都可计算出来，例如设y ＝x 则可得dy ／dx＝nxn-1.
③ 每个微分，都有一个对应的积分；因此上面所举的微分例中xn 即是对应的积分。可以证明： 除非n 是
-1，那时积分是logx＋c。在每一例里，c 都是一个未知的常数。它在许多实际问题中，都是可以消去的。
① 举一个简单的例，方程式ydx＋xdy ＝o 可以改写为于是可以分项积分，便得
② Letter tO Flamsteed ． Calalogue of the Newton MSS， Cambrige ， 1888 。P ·xlll．
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结果可能是通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在
莱布尼茨和别尔努利 （BernouiIli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数
学和应用数学的基础。
牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提
出了很多方程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经
叙述过的动力学和天文学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置
表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。这一工作成果对于航海有无上
价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体静力学作了很多
的改进。
物理光学与光的理论
③
单凭他在光学上的成就，牛顿就已经可以成为科学上的头等人物 。光的
折射定律，即入射角与折射角的正弦之比为一常数，是斯内耳在 1621年所发
现的。费马则指出，按这条路径前进，通过时间最短。1666年牛顿得到 “一
个三梭镜来实验有名的色彩现象”，而且他选择了光学来做他讲课和研究的
第一个题目。他的第一篇科学论文也是讲的光学， 1672 年发表在 《皇家学
会哲学杂志》上。德·拉·普敕姆 （De la Pryme）在他的日记中说：1692
年牛顿往礼拜堂时，忘记了熄灯。这引起了一场火灾，把他的著作都焚毁了，
二十年的光学研究成果也在其中。但牛顿在他的书的序言中却没有提及这件
事。他说： “1675 年应皇家学会某些会员的请求，写了一篇关于光学的论
文，??其余则是大约十二年后加入的。”
1611 年，斯帕拉特罗的大主教安托尼沃·德·多米尼斯 （Antonio de
Domininis）提出一种虹霓的理论。他说山水滴内层表面反射161 出来的光，
因经过厚薄不同的水层，而显出色彩。笛卡尔提出一个更好的解释。他认为
色彩和折射率有关，并且成功地算出虹霓弯折的角度。马尔西 （Marci）使白
光透过棱镜，并发现有色彩的光线不再为第二棱镜所散射。牛顿把这些实验
加以扩大，并且把有色光线综合成白光，从而澄清了这个问题。他还认为望
远镜里妨碍视线的各种色彩也是由于类似原因而产生的，并且错误地断定，
要阻止白光分散成各种色彩就必然要在同时阻止放大率所必需的折射；因而
他认为要改进当时的折射望远镜是不可能的，于是他发明了反射望远镜。
其次，他还考察了胡克描写过的肥皂泡和其他薄膜上都有的薄膜的色
彩。他把一个玻璃三棱镜压在一个已知曲率的透镜上，颜色就形成圆圈，后
来被人叫做 “牛顿环”。牛顿仔细地测量了这些坏圈，并把它们一点一点地
和空气层厚度的估计数比较。他又用单色光重复了这个试验，这时只有光环
与暗环交错出现。牛顿断定每一确定颜色的光都是痉挛似地时而容易透射，
时而容易反射。如果在反射光下去看白色光所成的坏，某一在一定厚度下恰
好透射过去的颜色便不会反射到眼里，于是眼所看见的便是白色光减去这一
颜色的光，换言之即看见一种复色光。牛顿于是推断：自然物的颜色至少有
③ 看Optics ， or a Treaflse of the Refliections ， Refractions，Inflectlons andColours of Light ， bY Sir lsaac
Newton ， Knt ， London， 1704， 1717， 1 721， 1730，再看 “Newton ’S Work in Optics”， by E 。T 。
Whittaker， in lsaac Newton ed w 。J ． Grecnstreet ，London， 1927； and in A History of Theorles of theActhcr
and Elcctrlci，E.T.Whittaker， 1910 。
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一部分是由于它们的微细结构的缘故，他并且算出产生这种效果所必需的大
小。
格里马耳迪 （Grimaldi）的实验，证明极窄狭的光束平常虽走直线，但
遇到障碍时就沿障碍物的边角而弯曲，所以物影比其应有的形式为大，因而
形成了有颜色的边沿。牛顿重复并扩大了格里马耳迪的实验。牛顿证明让光
线通过两个刀口之间的狭缝，弯曲度就更大了。他对狭缝的宽窄和偏转的角
度都进行了仔细的观察与测量。
牛顿还考察了惠更斯所发现的光线通过冰渊石所生的异乎寻常的折射现
象。在这种矿石里，一条入射光产生了两条折射光；在把这两条光线的一条
分离出来，使它再通过另一冰洲石时，如果第二个冰洲石的结晶轴与第一个
的轴平行，这条光线仍能通过，如果152两个冰渊石的轴恰成正交，这条光
线便不能通过。牛顿看出这些事实说明不管一条光线怎样，它不能是对称的，
而必然在不同的方面有一些不同。这就是偏振理论的要点。
除了这些现象之外，在考虑光的性质时，还有一个事实也需要估计在内。
1676年，勒麦 （Roemer）观察到当地球行到太阳与木星之间时，木星的卫星
的掩食比平常约早七、八分钟，反之，若地球在太阳另一面时，木卫的掩食，
则常迟七、八分钟。在后一情形下，木卫的光线须行过地球的轨道，即比前
一情形的距离长些。观测所得的差异说明光的传播需要时间，而不是一发即
到。
牛顿说他本来还打算进行一些光学实验，但由于办不到，所以他对于光
的性质也就没有得出明确结论，只提出一些问题让别人去探讨与解答。他的
①
最后意见，似乎总结在第29 问题中 ：
光线是不是发光体射出的极小物体？因为这样的小物体可以直线地经过
②
均匀的介质，而不弯曲到阴影中去 。这正是光线的本性??。如果折射是由
于光线的吸引力形成的，则入射角的正弦必定与折射角的正弦成一定的比
例。
根据光的微粒说，很容易说明这个 “一定的比例”必定可以量度光线在
密的介质中的速度和在稀的介质中的速度的比例。牛顿继续说：
要使光线时而容易反射，时而容易透射，只需要它们是一些小物体。这
些小物体靠了它们的吸引力或某种别的力量，在它们作用的物体中激起颤
动，这些颤动比原来的光线更要迅速，于是次第赶上它们，并且搅动它们，
仿佛轮·流地增加或减少它们的速度，因而使它们具有那种特性。最后，关
于冰洲石的反常折射，看来那很象是隐藏在光和冰洲石晶体质点的某几边的
某种吸引力造成的。
把光线看做是射入眼中的微粒的观念，可以追溯到毕达哥拉斯派。思培
多克勒与柏拉图则认为眼里也射出一些东西。这种触须式的理论也为伊壁鸠
鲁和卢克莱修所持有。他们有一种混乱的观念，以为眼看物与手以棍触物有
些相同。亚里斯多德反对这看法，主张光是介质中的一种作用 （）。所有这
些都不过是 163猜度，无比对与不对，同样是无价值的。不过，在十一世纪，
阿耳哈曾 （Alhazen）却举出一些明确的证据，说明视象的原因在于对象，而
不是来自眼中，可是在他的时代以后很久，还时常有触须式的见解出现。
① 上引书，P. 347 。
② 这是不计算由衍射而来的微小偏折。
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笛卡尔认为光是一种压力，在充满物质的空间内传播。胡克说光是介质
中的迅速颤动。这个波动说经惠更斯加以相当详细的发挥。他用几何学的作
图法 （图4），描绘了折射的过程。当光的一个波阵面 （AC）由空气投到水
面 （AB）之时，水而上每一点就都成为一个反射到空气中去的小圆波，和散
布到水里去的另一个小圆波的中心。如果把水面每一点的小圆波依次绘出，
它们将相交而成新的波阵面，一在空气中，一在水里面 （DB）。在这些波阵
面，而且只有在这里，这些小波会彼此增强，而产生可感觉到的效果。这样
形成的波阵面与我们所知的反射和折射定律都很相合。如果光的速度在水中
比在空气中小 （这假设与微粒说所需要的恰好相反），则在某一瞬间，水中
小波的半径将比空气中小波的半径小，所以折射的光线将更接近于法线，这
正是自然界里所发生的现象。
波动说的主要困难，在于说明清晰阴影的存在，即在解释光的直线传播。
平常的波能绕过障碍物，不表现这种性质。一百年后弗雷内尔 （Fresnel）解
决了这个困难。他证明光的波长比所遇的障碍物的体积小得异常之多，所以
光波和平常的波不同。但在牛顿看来，光的直线路径似需要微粒说才能解释。
在上面所引的一节中，牛顿觉得要解释光的周期性，须得想象 164有一
种比光更速的颤动。在以前的问题中，他明白地想象有一种以太担任别的类
①
似的次要任务。例如，他在问题第 18里 说：
如果在两个大而高的倒置玻璃圆筒里，悬上两个小温度计，不要让它们和圆筒相
