四面楚歌
弦理论对吗?我们不知道。如果你也相信物理学定律不该分 离成大的和小的两个领域，而且还相信我们应该永不停息地寻找 一个没有应用极限的理论，那么，弦理论就是唯一好玩儿的东
① 1998年5月11日惠藤的谈话。
第9章证据:实验信号
西。不P，你可能认为，那只能说明物理学家缺乏想象，并不说 明弦理论而独一无二的。也许真是这样。你也可能会说， 物理学家留连于弦理论，只是因为变幻多姿的科学史恰好在这个21 方向上投来一丝光亮，这就像丢了钥匙的人只在街灯的昏暗光影 里去寻找。这也可能是真的。而且，假如你有些保守，或者爱玩 儿些诡辩，你甚至还可能说，物理学家无权把时间浪费在这样?
个幻想的理论上，它所提出的那些自然新特征比我们实验能探测 的任何事物还小10亿亿倍。
如果你是在20年代80年代弦理论刚闪亮登场时发这些抱 怨，可能我们今天的大多数物理学家都会有同感。例如，在80 年代中期，哈佛大学的诺贝尔奖获得者格拉肖，还有物理学家金 斯帕格(Paul Ginsparg，那时也在哈佛>，曾公开批评弦理论没有 实验检验的可能：
超弦理论追求的不是传统的理论与实验的统一，而 是一种内在的和谐，以精密、独特和优美来决定真理。 这个理论的存在，靠的是一些魔术般的巧合，无限大在 这里奇迹般地消失了，看似毫无关联（也可能尚未发现）
的数学领域也奇迹般地联系起来了。难道这些性质能成 为我们把超弦当成实在的理由吗？难道数?学和美学就这 样完全替代并超越实验了吗?°
在别的场合，格拉肖又说，
超弦理论野心勃勃，它要么完全正确，要么完全错 误。惟一的问题是数学太新、太难，再过几十年我们也
I Sheldon Glashow and Paul Ginsparg, “ Desperatedly Seeking Superstring?”
Physics Today, May, 1986，p. 7.
宇宙的琴弦
懂不了。T_
他甚至提出“物理学系是否还应该为弦理论家们掏钱？还让他们 去影响不懂事的学生吗？”他警告大家，弦理论在损害着科学， 跟中世纪的神学没什么两样。②
费曼在去世前明确表示，他不相信弦理论是解决困扰引力与 量子力学和谐统一的问题——特别是令人讨厌的无限大问题—— 的惟一良方：
我的感觉是——可能是错的——解决问题的途径有 很多。我想不会只有一种办法才能摆脱那些无穷大。对 我来说，一个理论只凭它摆脱了无穷大，还不足以令人 相信它就是独一无二的。③
格拉肖在哈佛的同事和伙伴乔基在20世纪80年代末也是弦理论 的积极批评者：
假如我们甘愿沉溺于那种在我们的实验朋友无能为 力的小距离尺度的“终极”统一的诱惑，我们就会陷入 困境，因为那样我们将无法剔除那些不相干的东西，而 这个过程才使物理学不同于i午多别的不那么有趣的人类
活动。④
① Shddon GJow 的话见 The Superworld I，ed, A. Zichichi(New York: Plenum, 1990), p. 250.
? Sheldon Glashow, Interactions (New York: Warner Books, 1988), p. 335.
③ 费曼的话见 Superstrings: A Theory of Every thing^eA. Paul Davies and Julian Brc?-wn (Cambridge, Eng: Cambridge University Press, 1988).
④ Howard Georgi 的话见 The New Physicsy ed. Paul Davies(Cambridge: Cambridge University Press, 1989)，p. 446.
第9章证据:实验信号
同许许多多的大问题一样，有积极的反对者，也会有热情的 支持者。惠藤说过，当他知道弦理论如何把引力和量子力学结合 在一起时，他经历了有生以来“最强烈的思想震撼”。著名弦理 论家、哈佛大学的瓦法(Cumrun Vafa)说，“弦理论无疑前所未 有地揭示了宇宙最深层的东西。”^诺贝尔奖获得者盖尔曼也说， 弦理论是“很迷人的东西”，他盼着它的某种形式能在某一天成 为整个世界的理论。③
我们看到，论战发生在物理学和关于物理学该怎么做的形形 色色的哲学之间。“传统论者”希望理论工作走几百年来的成功 之路，紧紧与实验观测相联系。但另一些人则认为我们有能力解 决当今实验技术不能直接检验的问题。
尽管众说纷纭，在过去的十年间，对弦理论的批判慢慢平息 了。格拉肖认为有两个原因。第一，在80年代中期，
弦理论家们曾狂热而野心勃勃地宣扬他们将很快回 答物理学的所有问题。现在，他们谨慎多了，我在80 年代的许多批评没有意义了。?
第二，他又指出
我们这些不是弦理论家的人在最近十年里什么进展 也没有，所以关于弦理论是不是惟一有希望的争论很强 烈，也很有影响。有许多问题不能在传统的量子场论的 框架下解决，这是明摆着的事情，它们可能由别的东西
①1998年3月4 n惠藤的谈话。
② 1998年1月12日瓦法的谈话。
③盖尔曼的话引自 Robert P. Crease and Charles C. Mann, The Second Creation (New
Brunswick, N. J. : Rutgers University Press, 1996)，p. 414.
④ 1997年】2月28日格拉肖的谈话。
_________ 宇宙的琴弦 ________
来觯决，而据我所知，那别的东西就是弦理论。$
乔基差不多也足这样回顾80年代的
弦理论在发屐之初的许多时候都被“贱卖” 了。这 些年里，我发现弦理论的某些思想引出了有趣的物理学 思路，对我自己的研究有很大作用。现在我更高兴地看 到人们在弦理论上付出辛劳，因为我能明白那些有用的 东西是如何从中产生的。1
格罗斯既是传统物理学家，也是弦理论家，他生动地总结了弦理 论的状况： .
我们像是在攀登大自然这座山，实验家总是赶在前 头，我们这些懒散的理论家老是落后。他们偶尔踢下一 块孖头.砸在我们头上。最终我们会觉悟，并沿着实验 家们开辟的路往前走。当我们与实验家走到一起时，我 们会告诉他们，我们觉悟了什么，是如何觉悟的。这是 最传统也最容易的（至少对理论家来说）登山途径。我们 都向往着能回到那些日子。但是现在，我们理论家可能 赶到前头了，这是更加孤独的征程。②
理论家并不想在自然的山峦独自登高，他们更愿与实验伙伴 们共同经历艰辛，分享快乐。可惜的是，我们的历史不同步，今
① 1997年12月28日格拉肖的谈话。
② David Gross, **Superstring and Unification”，in Proceedings of the XXIV Inter-national Conference on High Energy Physics，ed R. Kotthaus and J. KiJhn( Berlin: Springer-Verla^, 1988), p. 329.
第9章证据:实验信号
天的状况不够和谐，理论的登峰工具齐备了，实验的还没有。但 这并不是说弦理论与实验分道扬镳了。实际上，弦理论家很可能 “踢下一块理论的石头”，从超高能的山巅滚落到实验家们在下 面的大本营。这是当今弦理论研究的基本目标。当然，还没有哪 块石头从山巅飞落下来，但正如我们现在讲的，的确有几块诱人 的石头正摇摇欲坠呢。
走向实验
如果没有大的技术突破，我们永远也不可能聚焦到能直接看 到一根根弦的小尺度上来。物理学家可以用几英里大的加速器探 测100亿亿分之一米大小的尺度，更小的尺度需要更髙的能量， 这意味着把能量聚集到单个粒子的机器也应该更大。由于普朗克 长度比我们今天能达到的最小尺度低17个量级，用今天的技 术，加速器得有银河系那么大才能直接看见一根一根的弦。实际 上，特拉维夫大学的努辛诺夫（Shmuel Nussinov)已经证明，这个 基本的直观尺度的粗略估计似乎太乐观了，他更详细的研究表 明，我们需要的加速器该有整个宇宙那么大。（探测普朗克长度 下的物质所要求的能量大约等于1千千瓦小时，差不多是普通空 调工作1万小时的耗电量——这看来也不怎么稀奇。最大的技术 难题在于如何把这个能量完全集中到一个基本粒子，即一根弦 上。）美国国会最终取消了超导超级对撞机(SCS)的资助——那 “不过”才86千米的周长——所以，我们用不着焦急盼望有人 会拿钱来做普朗克的加速器。如果我们还想用实验来检验弦理 论，那只能用间接的方法。我们只好找出弦理论的某些物理结 果，在比弦本身尺度大得多的尺度下去观测它们。2
坎德拉斯、霍罗维茨、斯特罗明戈和惠藤在他们“破土奠 基”的文章里，向着这一目标迈出了第一步。他们不但发现弦理 论中多余的维度应该卷缩成卡-丘空间的形态，还计算了一些可
宇宙的琴弦
能对弦振动模式产生影响的结果：他们得到的一个承要结果显著 说明，弦理论可能为存在已久的粒子物埋学问题带来令人意想不 到的答案。
回想一下，物理学家发现的基本粒子分成三个组织相同的 族，后一族比前一族有更大的质量。弦理论出现以前，有一个问 题一直令人困惑：为什么粒子成族出现？为什么是三组？弦理论是 这样考虑的：典型的卡-丘空间都包含肴洞，像唱片或面包圈， 甚至像“面包圈链”，如图9.1。在高维卡-丘空间背景下，实 际上有多种不同类型的孔——孔本身可以有不同的维（“多维 孔”），但图9. 1说明了基本思想。坎德拉斯等人认真考察了这 些孔对弦振动模式可能产生的影响，下面是他们的发现。
图9. 1 面包圈（环）和它的多孔伙伴。.
空间的卡_丘部分的每一个孔都关联看一族最低能量的弦振 动模式。我们熟悉的基本粒子都该对应于最低能量的振动模式， 所以，多孔的存在(像多孔的面包圈）意味着弦振动模式应该是多 族的。假如卷缩的卡-丘空间有3个孔，那我们就会看到三族棊 本粒子。3这样，弦理论告诉我们，实验观察到的粒子族组织， 不是什么随机的解释不了的特征，而是构成多维空间的几何形态 存在多个孔洞的反映!这类结果令物理学家心动不已。
也许，你认为卷缩的普朗克尺度维——“山顶物理学”的独 特都在这里——的孔数就是一块落到一般能量下的试金石。毕
第9章证据:实验信号
竟，实验家能够——实际上已经——确定三族粒子与那孔数相对 应。遗憾的是，成千上万的已知卡-丘空间包含的孔数各不相 同，有的是3，但也有4，5, 25的，甚至还有多达480的。现 在的问题是，没人知道如何从弦理论方程导出哪些卡-丘形态构 成了多余的空间维。假如我们能找到一个能从无数可能中挑选出 某个卡-丘形态的原则，那么，石头就真的从山巅滚落到实验家 的大本营来了。假如从方程中选出的特殊卡-丘形态一定有3个 孔，我们便从弦理论发现了动人的“后言”，解释了本是一团迷 雾的已知的自然特征。但我们现在还没有发现那样的选择原则。 不管怎么说——这也是很重要的——我们看到弦理论具有回答粒 子物理学基本疑难的潜力，这本身就是一大进步。
粒子的族数不过是多维几何形态的一个实验结果。通过对弦 振动模式产生影响，多维的结果还包括力和物质粒子的具体性 质。看一个基本例子：斯特罗明戈和惠藤后来发现，每一族粒子 的质量依赖于——或者说取决于——卡-丘空间中各种多维孔洞 边界如何交叉和重叠。这个问题有点儿复杂，很难形象表达。大 概意思是说，当弦在卷缩维里振动时，卡-丘空间的孔的分布和 褶皱形态将直接影响可能的共振模式。细节很难讲，也并不都很 重要；重要的是，跟粒子族的情形一样，弦理论还能提供一个框 架来回答为什么电子和其他粒子的质量是那样的，等等诸如此类 的问题，以前的理论对这些问题是无话可说的。不过，完成这些 计算还是需要我们知道，多余的维具有哪样的卡-丘空间形态。
上面的讨论大概说明了，弦理论如何可能在未来的某一天解 释表1. 1列举的物质粒子的性质。弦理论家相信，根据同样的理 由，它还可能解释表1.2列举的基本力的信使粒子的性质。就是 说，当弦在展开和卷缩的空间里卷曲振动着运动时，无数振动模 式中的一小部分构成自旋等于1或2的集合，这些可能就是传递 力的弦振动状态。不管卡-丘空间是什么形式，总会有一种质量 为0、自旋为2的振动模式，我们说它就是引力子。不过，自旋
宇宙的琴弦
为1的信使粒子——它们的数目，所传递力的强度以及它们遵从 的规范对称性——则强烈依赖于卷缩维度的具体儿何形态，我们 还不能完全列举出来。这样，我们又一次看到，弦理论提供了一 个框架，能解释我们观察到的宇宙的信使粒子的性质，也就是能 解释基本力的性质。但是，我们还不知道那些多余的维卷缩成了 哪种卡-丘空间形式，所以还得不出确定的预言或“后言”（除 了惠藤讲的关于引力子的后言以外）。
我们为什么选不出那个“正确的”卡-丘空间形式呢？多数 弦理论家抱怨我们今天用来分析弦理论的理论工具还不够充分。 我们在第12章会更详细地讨论，弦理论的数学工具太复杂了， 物理学家只能在所谓微扰论的形式下做一些近似计算。在这近似 的框架下，每一种卡-丘空间似乎都是平等的，方程决定不出哪 个能比别的更基本。由于弦理论的物理结果敏感地依赖于卷缩维 度的准确形态，不能从大景卡-丘形态中选出一个，就不可能得 到确定的能用实验检验的结果。今天研究背后的一大动力就是发 展超越近似方法的理论方法，希望它能带来一些结果，特别是将 我们引向一个惟一的多维的卡-丘空间形式。我们将在第13章 讨论这些路线取得的进展。
数不尽的可能
于是你可能要问：即使我们还不知道弦理论选择的是哪种卡 -丘形式，那么，随便选一种形式能得出与我们的观测一致的物 理性质吗?换句话讲，假如我们把与每一种卡-丘形式相关联的 物理性质都找出来，然后汇集在一起，我们能找出哪一种与实在 相符吗?这是一个很重要的问题，但主要因为两点理由，我们很 难完全回答它。
我们先来看产生3族的卡-丘形式，这应该是合理的出发 点。这大大削减了可能的选择，但还是有很多。实际上，我们可
第9章证据:实验信G
以让面包圈变形，从一个形状变成许多形状——其实是无穷多种 形状而不会改变它的孔的数目。在图9.2中，我们将图9.1 下面的三孔圈变成现在这样。同样，我们可以从一个三孔的卡-丘空间开始，光滑地改变它的形状而不改变孔数，这样又生成一 个无限多形状的序列。（我们以前说万种卡-丘形式，已经把能 相互光滑变形空间的合并成一组，这样的一组算一种空间形22。 式。）问题是，弦振动的具体物理性质(它们的质量、它们对力的 响应）却严格受空间具体形变的影响，这样又回到原来的问题 ——我们没有办法选出哪种形式比别的形式更好。不论教授让多 少研究生去做.也不可能列出对应于无穷多空间形式的物理学。
认识到这一点后，弦理论家便去考察从可能的卡-丘形式的 某些样本能生成什么物理学。然而，即使在这种情形，他们也不 是一帆风顺的：理论家们现在用的近似方法并不是从一定的卡-丘形式导出所有的物观学。从粗略的意义说，它们会大大有助于 我们理解那些我们希望能与观察到的粒子相对应的弦振动；但 是，为得到精确确定的物理学结果（如电子的质量、弱力的强 度），我们需要比今天的近似框架精确得多的方程。想想我们在 第6章讲的，弦理论的“自然”能量尺度是普朗克能量，只有经 过极端精巧的能量消散，才能得到具有已知物质和力的粒子质量 的弦振动模式精巧的能量消散靠的是精确的计算，哪怕是很小 的误差，也会对精度产生巨大的影响。正如我们将在第12窄讨 论的，物理学家在90年代中期在超越现在的近似方程上已经取
宇宙的琴弦
得了重大进展，当然，前面的路依然很长。
那么，我们现在的情形怎样呢?虽然没有一个基本准则指导 我们选择一个卡-丘空间形式，也没有足够的理论工具从那样的 选择中得出所有的可观测结果，但我们还是可以问，是不是任何 一个卡-丘形式的选择都能产生一个与我们的观察一致(哪怕是 大体一致)的世界?答案是令人鼓舞的。尽管多数卡-丘空间生成 的结果与我们的世界迥然不同（不同数目的粒子族，不同数目和 类塑的基本力，以及其他许多不同的东西），但还是有几种选择 的物理学在性质上确实与我们实际看到的相同。那就是，有些卡 -丘空间在选择为弦理.论所要求的卷缩维的形态时，产生的弦振 动非常接近标准模型的粒子。而且，特别重要的是，弦理论成功 地将引力编织进了量子力学的框架。
就我们现在的认识水平，这样的局面已经够好的了。假如很 多卡-丘形式都能与实验大体相符，特别的某个选择与我们观察 的物理学之间的联系就不那么令人感兴趣了。许多选择都能满 足，那么即使从实验观点看似乎也选不出一个特别的来。另一方 面，假如没有一个卡-丘形式能产生我们看到的物理学性质，那 么弦理论就与我们的世界无关，虽然它的理论结构是那样美妙。 我们今天决定具体物理学结果的本领还低得可怜，凭这点能力， 找少数几个卡-丘形式，能在粗略水平上令人接受，就是很激动 人心的结果了。
解释基本物质和力的粒子性质，应该是一个——即使不是惟 一的——最伟大的科学成就。不过，你可能会问，不论现在或是 不远的将来，是不是有什么弦理论的预言——不是“后言”—— 能让实验物理学家们来证实?是的。
超粒子
从弦理论导出具体的预言，眼前还有许多理论障碍，这迫使
第9章证据:实验信号
我们去寻找由弦构成的宇宙的一般而不是特殊的方面。这里的一 般，说的是弦理论的那样一些基本特征，它们几乎（如果不是完 全的话)不受超出我们现在理论水平的那些具体性质的影响。即 使我们不懂得整个理论，还是可以满怀信心地讨论这些一般特 征。在以后的篇章里我们会讲很多例子；现在我们先看一点：超 对称性。
我们曾经进过，弦理论的一大基本特征是它具有高度的对称拉 性，它不仅包含了直观的对称性原理，还遵从这些原理的最大的 数学扩张——超对称性。正如第7章讲的，这意味着弦振动模式
是成对产生的——即所谓的超对称伙伴对--对伙伴的差别仅
在于差半个自旋单位。如果弦理论是对的，那么某些弦振动将对 应于已知的基本粒子，由于超对称伙伴的出现，弦理论也预言每 个这样的基本粒子都应该有一个超对称伙伴粒子。我们可以确定 这些超伙伴粒子该携带多大的力荷，却还没有办法预言它们的质 量。即便如此，超伙伴存在的预言是弦理论的一般特征之一，不 论我们未知的那些理论特征如何，它总是正确的。
然而，我们从没发现过已知粒子的超对称伙伴，这似乎说明 它们并不存在，弦理论错了。不过，许多粒子物理学家认为，那 说明超伙伴太重了，超出了我们今天的实验能力。现在，物理学 家还在瑞士日内瓦做庞大的加速器，叫大型重子对撞机。这台机 器很有希望发现超伙伴粒子。它在2010年以前大概就能运行 了，不久超对称性就可得到实验证明。正像施瓦兹说过的， “发现超对称应该不会等得太久；那一天的到来一定是激动人 心的。，，0
不过，你也许在想着两样事情。即使超伙伴找到了，仅凭这 一点也不能保证弦理论是正确的。正如我们看到的，尽管超对称 是在弦理论研究中发现的，但它也能走进点粒子理论，从而并不
① 1997年12月23日施瓦兹的谈话。
宇宙的琴弦
惟一属于弦。反过来讲，即使大型重子对撞机发现不了超伙伴粒 子，这一点也+能排除弦理论，因为超伙伴的质量也可能超过了 这台机器的能力。
话虽这样说，假如超伙伴真的发现了，那对弦理论来讲肯定 还是一个强有力的令人振奋的间接证据。
分数电荷
弦理论的另一个实验信号与电荷有关，似乎不像超伙伴粒子 那么“一般”，但也同样激动人心。标准模型的基本粒子的电荷 只有有限的几种：夸克和反夸克的电荷是1/3、2/3和-1/3、
-2/3;其他粒子的电荷为1，0和-1。这些粒子的组合能解释 宇宙间的所有已知物质。然而，在弦理论中，可能存在一些共振 模式对应着电荷大不相同的粒子。某些粒子可能具有非常奇怪的 分数电荷，如1/5、1/11、1/13或〗/53等等。这哩异乎寻常 的电荷可以来自一定几何形态的卷缩维度：这种空间的孔有一种 特殊性质，绕着它们的弦需要绕过一定的圈数才可能自行解开。4 细节并不重要，重要的是圈的数因在可能的弦振动模式中表现出 来了，那就是分数电荷的分母。
有些卡-丘空间有这种几何性质，而另一些没有，因此分数 电荷的可能出现并不像超伙伴粒子的存在那样“一般”。另一方 面，超伙伴的预言不是弦理论的独特预言，而几十年的经验告诉 我们，任何点粒子理论似乎都没有充分理由存在这些奇异的分数 电荷。这些电荷也可以硬塞进点粒子理论，但这种事情恐怕只有 冒失鬼才去做。分数电荷可能来自简单的多维几何形态，这一点 使得这些奇异的电荷成了自然的检验弦理论的实验信号。
跟超伙伴的情形一样，那种带奇异分数电荷的粒子我们也从 没见过，而我们对弦理论的认识也还不能确定地预言它们的质量 ——假如卷缩的维真有产生它们的恰当性质的话。看不到它们的
第9章证据:实验信号
原因还是那句老话：如果确实存在，它们的质量一定超出了我们 目前的技术能力——事实上，它们的质量可能是普朗克质量级 的。但是，假如未来某个实验遇到了这种奇异的粒子，那将成为 弦理论的一大证据。
几点猜想
我们还可能通过别的方法找到弦理论的证据。例如，惠藤曾 提出一个大胆的猜想；天文学家可能有一天会在他们收集的天文 数据里发现直接的弦理论信息。我们在笫6章说过，弦的典型尺 度是普朗克长度，但高能的弦可以大得多。实际上，大爆炸的能 量可能足以产生几根从宏观上看也足够大的弦，这些弦随着宇宙 膨胀可能长到天文学的尺度。我们可以想象，一根这样的弦可能 在现在或者将来的某一天扫过夜空，在天文学家们收集的数据里 留下醒目而可测的印迹（如微波背景辐射的温度出现小小偏移； 见第14章）。正如惠藤说的，“尽管那多少是个幻想，但却是我 最欣赏的证实弦理论的图像，因为没有什么能比在望远镜里看到 一根弦更激动人心的事了。”①
距离地球近一些的可能的弦理论实验信弓也有人提出来了。 我们看五个例子。第一，我们在表1. 1中说过，我们不知道中微 子到底是质量很小，还是根本没有质量。根据标准模型，它们是 没有质量的，但并没有什么特别深刻的原因。弦理论面临的一个 挑战就是，为现在或将来的中微子质量找一个令人信服的解释 ——特别是，如果实验最终证明它确实具有小小的非零质量。第 二，某些标准模型禁戒的假想过程在弦理论中却是可能发生的。 例如，质子可能分解（别担心，即使真有这种分解，也是十分缓 慢的），不同夸克的组合可能相互转变或者衰变，这些都违背了
o
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① 1998年3月4日惠藤的谈话。
宇宙的琴弦
点粒子量子场论中的某些确立已久的性质。5这些过程之所以特 别有意思，是因为它们是传统理论没有的东西，从而也成为物理 学的一个敏感信号：不求助新的原理，就解释不了它们。如果 能观测到这些过程发生，那么任何一个都能为生成弦理论的解释 提供肥沃的土壤。第三，某些卡-丘空间形式的选择会出现特別 的弦振动模式，对应于一些新的小的长程作用的力场。假如这些 新力的效应发现了，它们可能反映弦理论的某些物理特征。第 四，正如我们将在下一章看到的，天文学家收集了大量证据说明 我们银河系甚至整个宇宙都浸没在所谓的暗物质的汪洋里，但暗 物质至今还没得到确认。弦理论通过多种可能的弦振动模式，提 供了许多暗物质候选者；等到将来的实验结果揭示出暗物质的具 体性质以后，我们才能确定某个候选者。
最巵，联系弦理论与实验观测的第五种可能途径牵涉到宇宙 学常数——我们还记得，在第3章讨论过的，这是爱因斯坦为了 保证一个静态宇宙而临时在他原始的广义相对论方程里添加的一 个修正参数。后来发现宇宙在膨胀，爱因斯坦便取消了这一项， 但物理学家从那时就认识到，我们不能解释为什么宇宙学常数应 该是零。实际上，宇宙学常数可以解释为某种存在于真空的能 量，从而应该可以根据理论计算它的值，也可以用实验来检验。 但在今天，计算与实验一点儿也对不上：观测表明，宇宙学常数 要么为零(如爱因斯坦最终认为的），要么很小。计算表明，虚空 的量子力学涨落可能生成一个非零的宇宙学常数，比实验允许的 大120个数量级（1后面跟120个零）！这向弦理论提出了一个挑 战，也提供了一次机遇：弦理论的计算能与实验对应起来吗？能 解释宇宙学常数为什么是零吗？或者，假如实验最终确定它的值 很小但不是零，弦理论还能解释吗？假如弦理论家能响应挑战 ——现在还没有呢——这将为理论带来多么激动人心的支持啊！
_________ 第9章证据:实验信号______
评 判
物理学史充满了那样的思想，它们在第一次提出时似乎完全M 不可能证实，但经过意想不到的发展以后，最终还是走进了实验 的王国。原子的思想、泡利的中微子假设，中子星和黑洞的预 言，都是这样的例子——这些东西，我们现在完全相信了，但当 初它们却更像科幻小说的玄想，没有一点儿科学事实的影子。
弦理论出现的原因，至少跟那三个例子一样动人——事实 上，我们曾经欢呼，弦理论是自量子力学发现以来最重要最激动 人心的理论物理学进步。拿这两者来比较是很恰当的，因为量子 力学的历史告诉我们，物理学革命有时要经历几十年才能走向成 熟。与今天的弦理论相比，量子力学战线的物理学家该是很幸运 的：量子力学在尚未完全建立的时候，就能直接与实验结果发生 联系。即使这样，量子力学的逻辑结构也过了近30年才建立起 来，而又过了 20年它才完全与狭义相对论结合在一起。我们现 在是要把它与广义相对论结合起来，这是更富挑战性的使命；而 且，与实验相联系更是难上加难。与量子理论的开拓者们不同的 是，弦理论家没有看到一丝自然的光亮透过具体的实验结果来指 引他们一*步步往前走。
这就是说，弦理论的认识和发展可能在耗尽一代或几代物理 学家的心血后，还得不到一点实验响应。世界上热烈追求弦理论 的数不胜数的物理学家都知道，他们是在冒险：一生的奋斗可能 只换来飘忽不定的结果。当然，理论总会进步的，但它能克服今 天的障碍而得到确定的可以实验检验的预言吗?我们上面讨论的111 间接检验能为弦理论带来确凿的证据吗?这些问题每一个弦理论 家都很关心，但谁也说不清一点儿东西。我们只有等着答案的到 来。那么美妙而简洁的形式，那么强大的囊括万物的力量，那样 无限的预言能力，那么简单而自然地就消除了引力和量子力学的
宇宙的琴弦
矛盾，弦理论该能荡起多少人的激情，甘愿为它冒多大的风险！ 这些崇高的愿望在一点点地变得更实在——弦理论能揭示弦 宇宙的新物理学特征，也就是大自然的杰作中更微妙更深层的联 系。用上面的话讲，多数这样的特征都是一般性的，不论我们今 天未知的东西怎样，它们都是弦构成的宇宙的基本特征。在这些 特征里，最惊人的那些已经对我们不断演进的时空认识产生了深 远的影响。
注释
1.这是1997年12月28日我访问乔基时他对我说的。这次访间中， 乔基还告诉我，当实验否定了他和格拉肖在大统一理论中最先提出的质子 衰变的预言时（见第7章），他对超弦理论感到犹豫不决。他尖锐指出，他 的大统一理论所借助的能量比以前任何理论所考虑的都卨得多；而当预言 被证明是错误的时候——当他“被大自然压垮”的时候——他研究高能物 理学的态度忽然改变了。我问他，如果实验证明了他的大统一理论，会激 发他去关心普朗克尺度吗?他回答说，“是的，我很可能会的。”
2.说到这里，应该记住第6章后面注释3提出的那个猜想，弦只是 可能比原来想的长得多，从而有可能在几十年内通过加速器来接受实验的 检验。
3.对数学感兴趣的读者应该看到，更准确的数学表述是，粒子族的数 目是卡-丘空间欧拉数的绝对值的-半。欧拉数本身是流形的同调群维数 的交错和一在这里我们粗略地把同调群当作多维的孔洞。这样，从欧拉 数为± 6的卡-丘空间生成3个粒子族。
4.对数学感兴趣的读者知道，我们这里说的是具有有限非平凡基本群 的卡-丘空间，群的阶数在某些情况下决定了分数电荷的分母。
5.专业读者知道，这里有些过程破坏了轻子数守恒定律和电荷-宇称 -时间（C/T)反演对称性。
第四篇： 弦理论 与时空结构
第10章量子几何
在大约10年的时间里，爱因斯坦凭他的一双手推倒了 200 231 多年老的牛顿体系，为世界带来了可以证明的崭新而深刻的引力 理论。不论专家还是外行，都喜欢谈爱因斯坦在塑造广义相对论 时所表现的卓绝才华和惊人的创造力，不过，我们也不应该忘记 对他的成功有过极大帮助的历史环境。这里面影响最大的是黎曼 (Georg Bernhard Riemann) 19世纪的数学发现，他严格建立了描 写任意维弯曲空间的几何方法。1854年在哥廷根大学那篇著名 的就职演讲中，黎曼砸碎了平直空间的欧几里得思想锁链，开辟 了一条“民主的”几何道路——用统一的数学方法处理各种不同 的弯曲空间。正是黎曼的这种思想，为图3. 4和图3. 6那样的弯 曲空间带来了定量的分析方法。爱因斯坦的天才在于他认识到这 个数学宝贝仿佛就是为他实现引力新形象而定做的。他大胆宣 言，黎曼几何的数学与引力的物理学是天生的姻缘。
然而，在爱因斯坦完成他的杰作约百年后的今天，弦理论为
宇宙的琴弦
我们提供了一个引力的量子力学图景，不得不在距离尺度小到普 朗克长度时修改广义相对论。因为黎曼几何是广义相对论的数学 灵魂，所以它也必然需要改变，才可能忠实反映短距离下的弦理 论景象。广义相对论断言宇宙的弯曲性质是黎曼几何所描述的， 弦理论则认为只有当我们在大尺度下看宇宙才会是那样的。在普 朗克那样的小尺度下，我们会发现一种新的几何，它是新的弦理 论物理学的伴侣；这门新的几何框架叫量子几何。
与黎曼儿何的情形不同，弦理论家找不到什么现成的数学宝 贝躺在哪个数学家的书橱里，可以拿来当量子几何。所以，物理 学家和数学家们今天正轰轰烈烈研究弦理论，一点点筑成一门新 的物理学和数学的分支。尽管完整的故事还有待别人来写，他们 的研究已经揭幵了许多弦理论所赋予时空的新的几何性质——爱 因斯坦见了也会惊愕的性质。
黎曼几何
I
如果你在弹簧垫子上跳，垫子会因你的重量而塌陷、弯曲。 陷得最深的是你落脚的地方，而边缘则没多大影响。如果在垫子 上画一幅你熟悉的《蒙娜丽莎》，你会清楚地看到这个过程。当 弹簧垫子上什么也没有时，蒙娜丽莎与寻常一样；但当你站在垫 子上时，両会变形，特别是你脚下的部分，如图10.1。
这个例子触及了黎曼弯曲几何数学框架的根本特征。在高斯 (Carl Friedrich Gauss)、罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky)，波 里亚(Janos Bolyai)等前辈数学家的基础上，黎曼证明了，物体上 任何两个位置间距离可以用来定量表示物体的弯曲程度。粗略地 说，不均匀塌陷越大——距离关系偏离平直空间越远——物体的 曲率越大。例如，你脚下的垫子陷得最深，在那个区域里两点间 的距离关系扭曲也最严重。因此，垫子的这个区域有最大的曲 率，这跟你预料的一样。蒙娜丽莎的脸在那儿扭曲了，她那永恒
第丨0章最子儿何
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的谜一般微笑的嘴角露出一丝诡异的表情C
图10.1 当你站在“蒙娜丽莎床垫”上时，她的微笑扭曲了<.
爱因斯坦采纳了黎曼的数学发现，为它赋予了具体的物理学 意义。我们在第3章讲过，他说明了时空弯曲体现着引力的作 用。不过，现在我们要更近地来思考这种解释。从数学上讲，时 空曲率——与床垫的弯曲一样——反映了它的点之间的距离关系 的扭曲。从物理学看，物体感觉的引力是这种扭曲的直接结果。 实际上，如果让物体更小，当我们更深人地认识点的抽象的数学 概念的物理意义时，物理和数学将走得更近。但是，弦理论限制 了引力物理学能在多大程度上实现黎曼儿何的数学体系，因为它 限制了我们能让物体变得多小。当我们走近一根根的弦时，就不 能走得更远了。弦理论没有传统的点粒子概念——这是它能为我 们带来引力的量子理论的基本因素。这具体说明在根本上依赖于 距离概念的黎曼几何结构在超微观尺度下被弦理论改造了。
这些发现对广义相对论的宏观应用没有产生多大影响。例 如，在宇宙学中，物理学家依然把一个个星系当作一个个的点，
因为它们的大小与整个宇宙比起来是小得可怜的。因此，以这种 粗略的方式实现黎曼几何还是很精确的近似，广义相对论在宇宙 学背景的成功也证明了这一点。但是，在超微观的领域，弦的延
宇宙的琴弦
^ - I - - ----------------------- - - — -一 ??.. - —----~ ■一 ? — - " ■ —W-- — — - — —
展本性让我们看到黎曼几何肯定不会是正确的数学形式U正如我 们即将看到的，它将被弦理论的量子几何所取代，我们将面临一 呰崭新的意想不到的现象。
根据宇宙学的大爆炸模型，整个宇宙是在大约150亿年前从 一场奇异的大爆炸中轰然出现的。今天，我们看到——最早是哈 勃发现的——大爆炸的“碎片”，那亿万个星系，还在向外奔流 着。宇宙在膨胀。我们不知道宇宙是一直这样膨胀下去，还是有 那么一天会慢慢停下来，然后反过来经历一场宇宙的大收缩。天 文学家和天体物理学家正努力从实验来确定这一点，因为它的答 案依赖一个原则上可以观测的量：宇宙的平均物质密度。
假如平均密度超过所谓每立方厘米十万亿亿亿分之一 (10-29)克的临界密度——相当于宇宙中每立方米中有5个氢原 子——那么足够强大的引力将洋溢宇宙，把它从膨胀拉回来。假 如平均密度比临界值小，引力作用会很弱，挡不住宇宙永不停歇 的膨胀。（凭你自己的观察，你大概以为宇宙物质的平均密度大 大超过了临界值。但别忘了，物质与金钱一样，会朝着某些地方 聚集。拿地球或太阳系，或银河系的物质密度来作整个宇宙的密 度指标，就像拿比尔?盖茨（Bill Gates)的财产来作全球财富的指 标，我们知道多数人的财产与盖茨相比都是微不足道的，平均下 来要小得多；同样，星系间存在着大量几乎真空的区域，它们会 大大降低宇宙的平均物质密度。)
天文学家通过仔细研究星系在空间的分布，很好掌握了宇宙 可见物质的平均量。结果比临界值小许多。但不论从理论还是实 验，都有证据强烈表明宇宙还充满着看+见的暗物质。这些物质 不参与恒星能源的核聚变，所以不会发光，不能走进天文学家的 望远镜。现在还没人能认定暗物质，更谈不上它有多少。看来，
我们还说不清今天膨胀的宇宙会有什么样的未来。
为了讨论方便，让我们假定物质密度真的超过了临界值，在 遥远未来的某一天，宇宙将不再膨胀，而开始坍缩所有星系将
_____第10章最子几何 —
慢慢靠近，随着时间的流逝，它们靠近的速度将越来越快，最后 以疯狂的速度撞在一起。你应该看到，整个宇宙在挤压成一块不 断收缩的物质。就像我们在第3章讲的那样，它从亿万光年开始 收缩，速度在每时每刻增大，万物在不停地汇聚到一起，挤进一 个星系大小的空间；它收缩到百万光年，然后到一颗恒星的大 小，然后，一颗行星，一个橘子，一颗豆，一粒沙……照广义相 对论，它还要继续收缩下去，成一个分子，一个原子，最后在无 法抗拒的宇宙大挤压下，它没有了大小。根据传统理论，宇宙从 没有大小的原初状态爆炸而来，如果有足够的质量，它又在大收 缩中回到相同的终极挤压状态。
但是，我们现在很清楚，当距离尺度在普朗克长度附近时， 量子力学使广义相对论的方程不再有效。我们必须运用弦理论。 那么，既然广义相对论允许宇宙的几何形式可以任意小——这相 应于黎曼几何的数学允许抽象的几何形式可以想怎么小就怎么小 ——我们自然会问，弦理论是如何改变这种图景的呢?我们很快 会看到，弦理论以一种奇异的方式为物理学能达到的距离尺度确 立了某个极限，它声称宇宙在任何空间维上都不可能收缩到普朗 克长度以下。
这个结果是怎么来的?你可能忍不住要凭自己现在对弦理论 的认识，大胆猜想一个答案。当然，你会说不论多少个点堆起来 ——点粒子就是那样的——体积总还是零。不过，假如粒子真是 一根根的弦，它们在完全随机的方向坍缩在一起，就可能填满体 积不为零的一团，仿佛一个橡皮筋卷起来的普朗克大小的皮球。 如果你这样想，那就走对路了，但可能会忽略一些重要而微妙的 特征——弦理论巧妙地利用这些特征发现宇宙应该有一个极限的 小尺度；这些特征则具体说明了即将到来的新的弦物理学和它可 能给时空几何带来的影响。
为解释这些重要问题，我们先来看一个例子，它忽略了无关 紧要的细节，但又不损害新物理学的特征。我们不考虑弦理论的
236
宇宙的琴弦
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所有10个空间维——甚至我们熟悉的4个展开的时空维也不都 考虑——我们还是回到那个花园水管的宇宙c在第8章引进这个 二维宇宙是为了说明卡鲁扎和克莱茵20世纪20年代的思想。现 在我们用它来作为一个“宇宙游乐场”。看看弦理论在这样简单 的情形会有些什么性质，然后我们根据这样得来的知识去更好地 认识弦理论所要求的所有空间维。为达到这个目标，我们想象管 子宇宙的横向维度开始是圆鼓鼓的，然后慢慢收缩，圆圈越来越 短，管子越来越细，趋向一根直线——这样我们看到一个简化的 大挤压过程的缩影。
我们的问题是，这样的宇宙坍缩的几何和物理性质，在弦的 宇宙和在点粒子的宇宙间会有什么显著的不同的特征吗？
新特点
我们还没有寻找弦物理有什么新的基本特征。一个在二维世 界的点粒子可以像图10. 2両的那样运动：在水管伸展的方向运 动，在环绕的方向上运动，或者在两个方向之间运动。一根弦的 小圈也能这样运动，不同的是，它会在运动中振动，如图10.3 (a)。这点差别我们已经较详细地讨论过了：弦通过振动而产生 诸如质量和力荷等特征。虽然这是弦理论的决定性的方面，但我 们现在不谈它，因为我们已经懂得了它的物理意义。
我们现在感兴趣的是点粒子运动与弦运动的另一点不同，它 直接依赖于运动所在空间的形状。W为弦是可以展开的物体，所 以除了已经讲的那些，它还有一种可能的运动形式：它能把管子 世界绕起来，如图10.3(b)。1弦仍在管子上滑行、振动，但却 是像这样绕着它运动。实际上，弦可以缠绕管子任何圈（也画在 图】0.3(b)), —样在滑行中振动。当弦这样卷曲时，我们说它是 缠绕式的运动。显然，缠绕式的运动是弦固有的可能运动形式， 点粒子没有对应的状态。我们现在要来认识这类性质全然不同的
第丨0章量子几何
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弦运动对弦本身和它所缠绕的维度的几何性质会产生什么影响。
ra 10.2 在柱丨w卜.运动的点粒子
图10.3 弦在柱面t能以两种不同方式运动——“缠绕式的”（b)和“非缠绕 式的” (a)c
缠绕的弦
我们前面关于弦的运动都讲的是未缠绕的弦。缠绕着空间卷 曲维度的弦也儿乎都有我们讲过的那些弦的性质。它们的振动也 跟未缠绕的伙伴一样，决定着它们的观测性质。两者的基本差别 是，缠绕的弦有一个极小质量，取决于卷缩维的大小和弦缠绕它 的圈数。弦的振动则决定超过极小质量的那一部分质量。
我们很容易明臼那极小质量是怎么来的。一根缠绕的弦有极 小长度，那是卷缩维的周长和弦缠绕它的圈数所决定的。弦的极 小长度决定它的极小质景：弦越长，它的极小质量也越大，因为 “东西更多”。由于圆周长正比于半径，所以缠绕弦的极小质量 正比于缠绕圆周的半径。用爱因斯坦的￡=腐2把^：量同能量 联系起来，我们也可以说束缚在缠绕弦内的能量正比于被缠绕的
宇宙的琴弦
圆周的半径。（未缠绕的弦也有极小长度，否则便又回到点粒子 的王国了。因为同样的理由，我们说未缠绕的弦也有--个极小但 非零的质量。从某种意义说这是对的，但第6章讲的那种量子力 学效应却可能消除生成这个质量的作用——零质量的光子、引力 子和其他无质量或几乎无质量的粒子就是这样产生出來的c从这 点看，缠绕的弦是不一样的。）
缠绕着的弦的存在如何影响它所缠绕的空间维的几何性质 呢？日本物理学家吉川敬治（Keiji Kikkawa)和山崎政实（Masami Yamasaki)在1984年第一次找到一个答案，令人惊讶而困惑。
我们来看管子宇宙大收缩的最后那“惊天动地”的一幕。照 广义相对论的方式，卷缩的空间向着普朗克长度收缩，然后继续 朝更小的尺度收缩下去；关于这一幕实际发生的事情，弦理论却 有着迥然不同的说法。弦理论认为，卷缩维半径小于普朗克长度 而且还在减小的管子宇宙里所发生的所有物理学过程，与半径大 的而且在增大着的管子宇宙中所发生的过程，绝对是完全相同 的!这就是说，当卷缩的空间向着普朗克尺度和更小的尺度坍缩 时，一切的努力都被弦化解了，弦把空间几何扭转回来。弦理论 证明，这种演化还可以说成是——或者更准确地解释为——卷缩 的空间收缩到普朗克尺度，然后开始扩张。弦理论重写了短距离 下的几何定律，原来似乎完全的宇宙坍缩现在好像成了宇宙反 弹。卷缩的维是可以收缩到普朗克长度的，但因为弦的缠绕，再 往下收缩实际却成了扩张。我们来看那是为什么。
弦的状态G
这种新的弦的缠绕图像的出现，意味着在管子宇宙中弦的能
①这一节和后面几节的有些思想不太好懂，如果你跟不上我们解说的思路 特別是，有时是孤苓芩的一个问题，请你不要泄气。
量有两个来源：弦的振动和缠绕。根据卡鲁扎和克莱茵的传统， 这两个来源都依赖于管子的儿何，也就是说，依赖于卷缩起来的 空间维的半径，不同的是空间维多了缠绕着的弦，而点粒子是不 可能发生缠绕的。于是，我们的第一件事情是准确地决定弦的振 动和缠绕的能量贡献是如何依赖于卷缩维圆周的大小的。为此， 我们遵照一种被证明是很方便的办法，把弦的振动分解为两个部 分：均勾的振动和普通的振动。普通的振动指我们讨论过多次的 寻常的振动，如图6. 2画的那些振动；均匀的振动说的是一种更 简单的运动：弦从一个地方到另一个地方的不改变形状的整体性 滑动。所有的弦运动都是滑动与振动的组合，不过在现在的情 形，我们很容易把它们区别开来。实际上，普通振动在我们的讨 论中不会起多大作用，我们讲完要点以后再考虑它的效应。
我们有两点基本发现。第一点，弦的均匀振动(整体滑动)所激 起的能量反比于卷缩维的半径，这是量子力学不确定性原理的直接 结果：小半径的空间更严格束缚了弦的活动，从而通过量子力学 的幽闭效应增大了弦运动的总能量。所以，当卷缩维的半径减小 时，弦运动的能量必然会增大——这明显是反比性的特征。第二 点，跟我们以前发现的一样，缠绕运动的能量正比而不是反比于维 的半径。记住，这是因为缠绕弦的最小长度一从而也是最小能量 ——正比于那个半径。这两个事实说明，大的半径意味着大的缠绕 能和小的振动能，而小的半径意味着小的缠绕能和大的振动能。
这将我们引向一个重要事实：任何一个卷缩维的圆周半径大 的二维世界(或者说较粗的管子世界)都对应着一个半径小的伙 伴，前者的弦的缠绕能等于后者的弦的振动能，而前者的弦的振 动能等于后者的弦的缠绕能。由于物理学性质关心的是弦结构的 总能量——而不在乎能量如何在缠绕和振动间分配——所以这两 个几何形态不同的管子世界没有物理学的区别。于是，我们看到 弦理论得到一个非常令人惊讶的结论：不论管子世界是“粗”还 是“细”，它们并没有什么区别。
宇宙的琴弦
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这是宇宙的一个“双赢”策略。假如你是位精明的投资者， 你遇到下面的困惑时也会这么做的。假定在华尔街上市的两种股
票--种是做健康器械的，一种是做心脏瓣膜的——牢牢地相
互关联着。它们今天的收盘价都是1美元一股。据可靠消息，如 果一家股票涨了，另一家就会跌；而且，那位消息灵通人士—— 他是完全信得过的(尽管他的做法有点儿违规)——告诉你，明天 这两家股票收盘时的价格肯定会互为反比。就是说，如果一家的 收盘价是2美元，则另一家该是1/2美元(50美分）；一家是10 美元，另一家就是1/10美元（10美分），等等。但是，那人不能 告诉你哪家高，哪家低。你该怎么办呢？
你会一下子把所有的钱都投进来，平均分配到两家公司的股 票c因为通过儿个例子你就能计算出结果，不论第二天股市如 何，你都不会赔的。最坏的情形也能保住本钱(两种股票都是1 美元1股)；但只要股价有变化——像你的内线说的那样——你总 会赚钱的。例如，健康公司在4美元收盘，而心瓣膜公司在1/4美 元收盘，两者之和是4.25美元，超过了前一天的2美元。而 且，从净赚的钱看，你用不着管哪家高哪家低。如果你只关心总 的收人，那么两家公司的不同状况并不会对结果发生影响。
弦理论中的能量也处于类似的情形。弦的能量也是两个来源 ——振动的和缠绕的——两者对总能量的贡献一般是不同的。但
242我们在下面会看到，不同的几何形态构成的一对--个产生高
缠绕/低振动能，一个产生低缠绕/高振动能——在物理上是没 有区别的。另外，在股票的情形，除了总收人以外，两种股票是 可以区别的；但两种弦的图景是绝对没有物理学区别的。
实际上，在股票市场也含有类似情形。不过，我们应该考 虑另一种投资方式：你没有将钱平均投向两家公司，而是买了 1000股健康公司，3 000股心脏瓣膜公司。这时候，你的总收人 与哪家公司收盘高低有关系。例如，健康收盘10美元，心脏收 盘〗/10美元时，你原来投人的4 000美元现在成了 10 300美
第10章量子几何
元；如果两家收盘情况相反，则你的股票价值该是30 100美元 ——多多了。
不管怎么说，反比例的股价会产生下面的结果。假如你有个 朋友，她买的股票跟你的相对——3000股心膜公司的，1 000股 健康公司的。于是，在健康收盘高（10美元)的情形，她的股值 是30 100美元，跟你在相反收盘情形的股值一样；同样，当心 膜收盘高时，她的股值为10 300美元，还是跟你在相反收盘情 形下的股值一样。这就是说，从总的股值看，两个股价的高低更 替的影响将完全被两种股票数量的交换所抵消。
记着最后这一点，我们现在回到弦理论，考虑在一个具体例 子中可能的弦能量情况。假定管子世界的圆圈半径是普朗克长度 的10倍，我们记作/? = 10。弦可以缠绕管子任意多圈，如1 圈、2圈、3圈，等等。弦缠绕管子的圈数叫缠绕数。缠绕的能 量决定了缠绕弦的长度，正比于半径与缠绕数的乘积。另外，任 何缠绕的弦都能振动，我们现在讲的整体的均匀振动的能量与半 径成反比，也就是半径的倒数1//?(这里是普朗克长度的1/10) 的整数倍。我们称这个整数因子为振动数。2
你可以看到，这种情形与我们在华尔街遇到的情形很相似。 在这里，缠绕数和振动数恰好相应于两家公司股票的份额，而 和1//?则类似于两种股票的收盘价格。现在，我们可以像你 计算股值那样，通过缠绕数、振动数和半径来汁算弦的总能量。 表10. 1列举了部分弦状态的总能量。表中还列举了在管子半径 R = \0情况下我们选择的缠绕数和振动数。
缠绕数和振动数可以是任何整数，所以完整的表是无限长 的。不过，就我们的讨沦来说，这几行有足够代表性了。从表中 可以看到，我们选择的是高缠绕能和低振动能的状态：缠绕能的 因子为10，而振动能的因子为1/10。
现在想象管子收缩，半径从10缩到9.2、7.1……直到 1.1、0.7，最后收缩到0.1(1/10),停下来。我们现在讨论这种
宇宙的琴弦
情形。对这个儿何特征不同的管子宇宙，我们可以得到类似的一 个弦能量表：现在缠绕能的因子是1/10，而振动能的因子是它 的倒数10。结果是表10. 2c 乍看起来，两张表是不同的。但仔细看看，除了数字的次序 不同外，两表的“总能量”是完全相同的。为在表10. 1中找到与 表10. 2的某个能量对应的值，只需要交换缠绕数和振动数。就是 说，当卷缩的维的半径发生改变时（如从10到1/10)，振动与缠 绕所扮演的角色也相互替换了。于是，只要我们考虑弦的总能 量，卷缩维的大小就不会产生什么影响。像那两种股票价格的变 化完全被股票份额的交换所补偿一样，把半径从10调换为1/10的
振动数 缠绕数 总能量
1 1 1/10+ 10= 10.1
1 2 1/10 + 20 = 20.1
1 3 1/10 + 30 = 30.1
) 4 1/10 + 40 = 40.1
2 1 2/10+ 10= 10.2
2 2 2/10 + 20 = 20.2
2 3 2/10 + 30 = 30.2
2 4 2/10 + 40 = 40.2
3 1 3/10+ 10= 10.3
3 2 3/10+20 = 20.3
3 3 3/10 + 30 = 30.3
3 4 3/10 + 40 = 40.3
4 I 4/10+ 10= 10.4
4 2 4/10 + 20 = 20.4
4 3 4/10 + 30 = 30.4
4 4 4/10 + 40 = 40.4
表io. 1 rm 10.3所示字宙中运动的弦振动和缠绕的例子，缠绕维的半径为 /? = 10o振动能的因？为1/丨0，缠绕能的因子为10,从而得出所列的总能 能id：单位为?朗克能ffl。例如，表中最后一列io. 1的意思是io. 1倍普朗
第10章量子几何
振动数_缠绕数___总能量
1 1 10+ 1/10= 10.1
1 2 10 + 2/10= 10.2
1 3 10 + 3/10= 10.3
1 4 10 + 4/10= 10.4
2 1 20+ 1/10=20. I
2 2 20+2/10 = 20.2
2 3 20 + 3/10 = 20.3
2 4 20 + 4/10=20.4
3 1 30+ 1/10=30.1
3 2 30 + 2/10 = 30.2
3 3 30 + 3/10 = 30.3
3 4 30 + 4/10 = 30.4
4 1 40+ 1/10 = 40.1
4 2 40 + 2/10 = 40.2
4 3 40+3/10 = 40.3
4 4 40 + 4/10 = 40.4
表 10. 2 同表10. 1,但半径为尺=1/10。
结果，也将通过交换振动数和缠绕数而消化。而且，这种结论 对任何半径和它的倒数都是成立的，我们选择/? = 10与/?= 1/10不过是为了简单方便。3
表10. 1和10. 2是不完整的，原因有两个。第一个我们讲 了，弦的振动数和缠绕数可以有无限多的可能，而我们只列举了 几个。这当然不会有什么问题——我们只要有耐性，想把表列多 长都行。我们会发现，表中的关系总是成立的。第二个原因是， 除缠绕能外，我们只考虑了来自弦的均匀振动的能量。现在，我 们要把普通振动也考虑进来，它们为总能量带来另一份贡献，而 且还决定着弦携带的力荷。但更重要的是，这些贡献与半径大小 无关。这样，即使我们在表10. 1和10. 2里考虑了这些更具体的 特性，两个表还是相互对应的，因为普通振动的贡献在任何情况
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宇宙的琴弦
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下都是相同的。于是，我们可以说，半径为《的管子世界里粒 子的质量和力荷与半径为1//?的情形是完全一样的。因为质量 与力荷决定着基本的物理现象，所以在物理上我们不能区别这两 种不同几何的宇宙。一个宇宙做的实验在另一个宇宙中也将有一 个对应的实验，它们的结果是一样的。
争 论
乔治和格雷茜走进二维管子世界，成了二维生命，做了那里 的物理学教授。两人各建起一个与对方竞争的实验室，都宣布自 己确定丫卷缩维的半径。两人的实验精度一贯令人佩服，但奇怪
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的是这回他们的结果却是矛盾的。乔治说半径io倍普朗克 长度，而格蕾茜穴称1/10倍普朗克长度。
“格蕾茜，”乔治说，“据我的弦理论计算，我知道，假如 圆圈维的半径是10,我就能预期看到表10. 1所列的那些能量的 弦。我已经用新的普朗克能M加速器做了好多实验，已经证实了 这个预言。所以，我相信，我敢说那圆的半径是R = w。”格 撕蕾茜替自己说了差不多同样的话，不过她的结论是她发现了表 10.2所列的能景，从而证明半径K = l/10。
格蕾茜灵机一动，让乔治看到两个表虽然次序小?同，内容却 是完全一样的。"丨乔治总要迟钝一些，他问，“怎么会这样呢？ 根据量子力学和缠绕弦的基本特征，我知道不同的半径会产生 不同的弦能童和力荷，如果承认这一点，那我们的半径应该是 相同的。”
格蕾茜根据她对弦物理学的新发现告诉乔治，“你说的差不 多是对的，可不完全。一般情况下，不同的半径会产生不同的能 量；但在特殊情形，例如两个半径互为倒数——10与1/10—— 则允许的能置和力荷实际上是完全一样的。你看，你说的缠绕， 我说是振动，而你说的振动，我说是缠绕。大自然可不管我们怎
第10章董子几何
么说；物理学决定于基本的物质构成——粒子质量(能量）和它所 带的力荷。不论半径是/?还是1//?，弦理论中基本物质构成的 这些性质是完全一样的。”
费好大气力乔治才明白过来，他回答说，“我想我明白了。 虽然你我给出的弦的具体描述有所不同——要么缠绕卷缩维的方 式不同，要么振动行为不同——但它们表现的物理学特征却是完 全相同的。因为宇宙的物理学性质还依赖于这些基本物质组成的 性质，所以在半径互为反比的两个宇宙间没有什么不同，也没有 办法区分它们。”说得完全正确。
三个问题
现在你可能会问：“您看，假如我是管子世界里的一个小生 命，我可以很简单地拿皮尺去测量管子的周长，从而毫无疑问地 确定它的半径——没有假设，没有但是，也没有别的可能。那 么，这对不同半径而又不可分辨的两个世界有什么意思呢？另 外，弦理论不是排除了普朗克长度以下的尺度了吗，为什么我们 还在谈多少分之一普朗克长度的半径的维度呢?最后，虽然我们 在讲二维的管子世界，但谁会真把它当真呢?——当我们把所有 的维都考虑进来时，它还能有什么用吗？”
我们先来看最后这个问题，答案会把我们带向前两个问题。
虽然我们在二维管子世界里进行讨论，仅限于1个展开维和 1个卷缩维，但这样做只是为了简单。如果我们有3个展开的维 和6个卷缩的维——后者是所有卡拉比-丘成桐空间里最简单的 形式——那些结论也是完全一样的。每个卷缩的维有一个半径，
它与半径为倒数的维将生成在物理学上完全相同的宇宙。
我们甚至还可以把这个结论推得更远。在我们的宇宙中，可 以看到三个展幵的空间维，据天文学家的观测，它们看起来都延 伸到大约150亿光年（1光年大约是9万亿公里，所以这延伸的
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的琴弦
距离大概是1.4亿亿亿公里）。我们在第8章讲过，没人知道在 那距离以外在发生什么。我们不知道它们是继续无限延伸下去， 还是卷曲回来形成一个巨大的圆，那都超过了我们的望远镜所能 “感觉”的。假如它们是卷曲的，那么在太空远行的宇航员不断 朝着同一个固定的方向走下去，就能最终绕宇宙一圈——像麦哲 伦(Magellan)环游地球那样——回到原来出发的地方。
看来，这拽我们熟悉的展开的维度也可能是些圆圈，从而也 像弦理论说的那样，ft与1/K的世界是不可区别的。具体说， 这些圆的半径应该是刚才讲的150亿光年，是普朗克长度的10 万亿亿亿亿亿亿亿（IO61倍），而且还在随宇宙膨胀而增大。如果 弦理论是对的，这个宇宙与一个展汗维度的半径只有1//?=1/ 1061 = IO'61普朗克长度的宇宙在物理学上是一样的！这是在弦理 论下我们熟悉的宇宙空间的另一幅图景。实际上，在那个“倒数 世界”，小圆圈还将随时间变得更小。因为/?增大，自然 会缩小。现在我们似乎真的走到尽头了。这能是真的吗?我们六 英尺的身躯怎么可能“活”在这样难以置信的微观世界里？那么 “一丁点儿”宇宙怎么能在物理上与我们看到的茫茫太空相同 呢?而且，我们现在也自然走近上面提的第二个问题：弦理论似 乎剥夺了我们探索普朗克尺度以下的距离的能力。但是，假如圆 半径/?大于汝朗克长度，它的倒数1//?自然只有普朗克长度的 若干分之一。那么结果呢？答案将关联我们的第一个问题，而且 揭示了空间和距离的重要而奇妙的一面。
两个距离
距离是我们认识世界的一个基本概念，它似乎很简单，人们 常常忽略了它还有玄之又玄的地方。狭义和广义相对论曾给我们 关于空间和时间的概念带来过惊人的影响，弦理论也生出一些新 奇的特征，这些经历使我们今天在距离的概念上也更小心翼翼
了。物理学中最有意义的定义是那些可操作的——就是说，定义 为所定义的东西提供了至少是原则上的测量方法。当然了，不管 概念怎么抽象，有了可操作的定义，我们就能在实验中揭示它的 意义，测量它的大小。
我们如何才能得到一个可操作的距离的定义呢?在弦理论的 背景下回答这个问题会令人大吃一惊的。1988年，布朗大学的 布兰登伯格(Robert Bmndenberger)和哈佛大学的瓦法两位物理学 家指出，假如某个空间维是圆，那么在弦理论中存在着两个不同 然而相关的可操作定义。每个定义都有一套不同的实验程序来测 量距离，而测量的基础大致说来却是很简单的一个原理：如果探 针以已知固定的速度运动，我们可以根据它经过某个距离的时间 来确定那段距离的长度。两个定义的差别在于实验过程所选择的 探针不同。第一个定义用的是未缠绕在圆维的弦，而第二个定义 用的是缠绕的弦。我们看到，弦理论中存在两种不同的可操作的 距离定义，原因正在于所用的基本探针具有延展的本性。在点粒 子理论中没有缠绕的概念，所以只有一种距离定义。
两种操作过程会有怎样不同的结果呢?布兰登伯格和瓦法的 发现既令人惊奇，也难以捉摸。借助于不确定性原理，我们大概 能明白那答案的意思。未缠绕的弦可以自由沿着圆周滑动，长度 正比于半径R0根据不确定性原理，弦的能量正比于1/尺(回想 一下我们在第6章讲过的探针的能量与它对距离敏感性的关 系）。另一方面，我们知道缠绕的弦有着正比于/?的极小能量，
于是不确定性原理告诉我们，它对距离的敏感程度正比于尺的 倒数，l/Ro将这个思想用数学公式表达出来，我们就能看到，
如果拿它们来测量空间的卷缩维度的半径，那么未缠绕的弦将测 得尺，而缠绕的弦将测得1//?。这里，我们的测量还是像从前 一样，以普朗克长度为单位。两个实验都可以说自己的结果是圆 周的半径——弦理论教导我们的是，以不同探针来测量距离可以 得到不同的结果。实际上，这个性质可以推广到所有长度和距离
^______巧，琴^______
的测量，而不仅限于确定卷缩维的大小。缠绕与未缠绕的弦探针 所获得的结果相互成反比。4
W 如果宇宙真像弦理论描绘的那样，我们为什么没在寻常的生 活和科学活动中遇到过那两种可能的距离概念呢?我们讲距离的 时候，似乎总是从经验来讲的，只有一种距离，没有任何线索暗 示还藏着另一种距离的概念。我们为什么会错过那个可能呢?原 来，尽管在我们的讨论里/?与1//?是高度对称的，但当/?(从 而1//?也)远远偏离1(当然还是指1个普朗克长度）时，两个可 操作的定义里实际上有一个是极难实现的（虽然还有一个是极易 实现的）。大概说来，我们总是操作那个容易的，完全忘了还有 另一种可能。
两种方法难易悬殊的原因在于所用探针的质量大不相同—— 要么缠绕的能量高，要么振动的能量高。假如半径/?(从而1//? 也）远离普朗克长度（即《=1)，这时候，所谓“高”能相应于 重得惊人的探针——例如比质子重百亿亿倍，而所谓“低”能， 差不多就足比岑质踅重一点儿的探针。在这样的背景下，两种 方法便有着天壤的难易差别。因为，我们今天的技术还产生不 出一根那样重的弦结构。在实践中，只有那个涉及较轻的弦结 构的方法才有技术上的可能，那也是我们在讨论距离问题时一 贯用的方法。这种方法培养了我们的直觉，从而也符合我们的 直觉。
把实际抛到一边，在弦理论主宰的宇宙中，我们可以自由选 择一种方法来测量距离。天文学家测量“宇宙的大小”，是通过 检验穿过太空碰巧进入他们望远镜的光子；显然，光子在这儿可 真是光光的没有质量的弦。结果，光子测得的距离是1061倍普 朗克长度，前面已经说过了。假如我们习惯的那3个空间维也是 卷曲的，假如弦理论是正确的，那么从原则上讲，用迥然不同的 (当然现在还没有的）仪器的天文学家，应该能测量重弦缠绕着的 空间有多大，他们将发现那距离是光子测得的距离的倒数。在这
第10章量子几何
个意义上，我们可以认为宇宙既可能像我们寻常感觉的那么大， 也可能小得可怜。根据轻弦模式，宇宙是巨大而膨胀的；而据重 弦模式，宇宙是渺小而卷缩的。这里没有矛盾，而是存在着两种 不同然而却同样合理的距离定义。由于技术的限制，我们很熟悉 第一种定义，而不管怎么说，两个概念都是一样有效的。
现在我们来回答前面的问题，大人如何能在小宇宙中生存？ 当我们测量一个人的身高，说他高1.8米时，我们一定在用轻弦 模式。为比较他们与宇宙的大小，我们必须用同样的过程来测量 宇宙，上面说过，那是150亿光年，比1.8米大多了。这样的人 类如何能活在重弦模式所测量的“小”宇宙中呢?这是一个没有 意义的问题——是在拿苹果同桔子比。现在我们有了两个距离概 念——轻弦探针的和重弦探针的——我们也该在相同的模式下比 较测量结果。
最小的距离
慢慢往前走，我们就要到头了。如果我们坚持用“容易的办 法”来测量——也就是用最轻的弦模式来测量——结果将总是大 于普朗克长度。为看清这一点，我们考虑假想的三维空间的大收 缩，并假定我们熟悉的那三维是圆的。为讨论方便，假定在思想 实验的开始，未缠绕的弦模型是轻的，我们用它来测量宇宙，发 现它有一个巨大的半径，正在随时间而收缩。当它收缩时，未缠 绕的弦变得越来越重，而缠绕的弦越来越轻。当半径一路收缩到 普朗克长度——即/?-1时——缠绕的弦与振动的弦正好有相同 的质量。这时，两种测量距离的方法都同样难以实验；而且，它 们将得出相同的结果，因为1也是它自己的倒数。
半径继续往下收缩，缠绕的弦将变得比未缠绕的更轻，这 样，它们自然成为我们用以测量距离的“更容易的方法”。根据 这种测量，结果是较重的未缠绕弦的结果的倒数，即半後大于
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1个普朗克长度，并且还在增大。这不过反映了，当未缠绕弦测 量的/?收缩到1，并继续收缩时，缠绕弦所测量的1//?将增大 到1并且继续增大C于是，当我们决意总以轻弦模式这种“更 容易的”方法来测量距离时，我们遇到的最小半径就是普朗克 长度。
因为轻弦模式测量的宇宙半径总是大于普朗克长度的，一个 特别的结果就是，我们避免了一个会趋向于零的大收缩。根据最 轻的弦模式的测量，宇宙半径不会朝比普朗克长度更小的方向收 缩，当它收缩到普朗克长度时，它会反过来开始增大。反弹的一 幕替代了无限的大挤压。
用轻弦模式测量距离，符合我们关于长度的传统概念——那 是早在弦理论发现以前就形成的了。如我们在第5章看到的，正 是因为这个距离概念，我们才在普朗克尺度以下的距离遇到了不 可克服的剧烈的量子波澜。我们又一次看到，弦理论凭它的两个 互补的距离概念避免了那可怕的超短距离。在广义相对论的物理 学框架和相应的黎曼几何的数学框架下，距离的概念只有一个， 它可以是任意小的数值。在弦理论的物理学框架和相应的新生的 量子儿何的领域里，距离的定义有两个。小心翼翼地运用这两个 定义，我们发现有一个概念在大尺度下，与我们的直觉和广义相 对论都是相容的，但在小尺度下却迥然不同。具体说来，小于普 朗克尺度的距离是不可能达到的。
上面讲的有点儿玄，我们把关键的一点再强调一遍。假如我 们硬是不在乎什么“难”与“易”的距离测量方法，而要坚持用 未缠绕的弦来测量，那么当/?收缩到普朗克长度以下时，我们 似乎真能走近比普朗克尺度更小的距离。但上面的讨论告诉我 们，那所谓“更小的距离”需要小心来理解，因为它可以有两种 不同的意思，而只有?-种符合我们的传统观念。在这里，当/? 收缩到普朗克长度以下时，如果我们还坚持用未缠绕的弦(这时 它们已经变得比缠绕的弦更重了）,那我们实际上是在用“难”
第丨0章M子/I何
的方法来测量距离，从而那“距离”的意思不满足我们标准的用 法。然而，这里讨论的绝不仅仅是语义学的问题、传统习惯的问 题或者测量的可行性问题。即使我们愿意用非标准的距离概念来 描写一个比普朗克长度更小的宇宙，我们遇到的物理学——如前 几节讨论的——并没有什么不同，还是那个大半径的宇宙(传统 距离的表义下）的物理学(举例来说，就像表10. 1与表10. 2那样 对应的物理学）。而真正有意义的正是物理，而不是语言。
布兰登伯格、瓦法和其他一狴物理学家根据这些思想重新写 下了宇宙学定律，在那里，大爆炸和可能的大收缩都不再是没有 大小的宇宙，而是一个每个维都是普朗克长度的宇宙。这当然是 一个诱人的图景，原来那个起源于并可能坍缩成一个无限致密的 点的宇宙所具有的那些数学的、物理的和逻辑的难题都烟消云散 了。尽管很难想象整个宇宙卷缩在一个普朗克尺度的小球里，但 比起想象它挤压成一个没有大小的点，还是好得多了。我们将在 第14章讨论，弦宇宙学还是一个年轻的领域，不过希望很大， 很可能为我们带来一个比标准大爆炸模型更容易理解的模型。
结论普遍吗
如果空间维不是圆，结果会怎样呢?上面讲的那些关于弦理 论的最小空间距离的惊人结论还能成立吗?谁也说不准。圆形维 度最基本的特征是允许弦的缠绕。只要空间维——不论什么形状 ——允许弦的缠绕，我们讲的大多数结论应该都还是成立的。但 是，假如有两维是球形的呢?这种情况下弦不能“牢牢”绕在球 面上，因为它总会“滑落下来”，像一根橡皮筋从篮球上滑下 来。另外，弦理论限定了这些维的收缩尺度吗？
大量研究表明，答案有赖于一个完全的空间维是卷缩的（如 我们这一章讲的），还是在坍缩的孤立的“一小块”空间(我们将 在第11章和13章讨论）。弦理论家普遍相信，不论形状如何，
—______宇宙的琴弦____
只要我们是在让一个完整的空间维发生收缩，它就像圆的情形一 样，有一个极限的尺度。确立这一观念是未来研究的一个重要 255目标，因为它将直接影响弦理论的诸多方面，包括它的宇宙学 意义。
镜像对称
爱因斯坦通过广义相对论在引力的物理学与时空的几何学之 间建立了联系。乍看起来，弦理论巩固并拓宽了物理与几何的联 系，因为振动弦的性质——它们的质量和所携带的力荷——基本 上取决于空间卷缩部分的性质。不过，我们刚开始看到了，量子 几何这一弦理论的几何物理学还有些奇奇怪怪的东西。在广义相 对论和“传统”几何学中，半径为/?的圆与半径为1//?的圆是 绝对不同的；然而在弦理论中，它们在物理上却是不可区别的。 这使得我们敢雄心勃勃地往前走得更远，我们想，也许还有差别 更大的空间几何形式——不仅大小不同，形态也不同——但在弦 理论中却找不出它们有什么物理的差别。
1988年，斯坦福大学直线加速器中心的狄克松（Lance Di-xon)有一个关于这方面的重大发现，欧洲核子研究中心(CERN) 的勒克（Wolfgang Lerche),哈佛的瓦法和当时在麻省理工学院 (M1T)的瓦纳（Nicholas Warner)也发现了同样的东西。这些物理 学家在基于对称性考虑的美学原则下提出一个大胆猜想，也许我 们可以为弦理论的多余卷缩维度选择两种不同的卡-丘空间形 式，它们生成的物理学却是完全一样的。
为说明这种奇思妙想的可能性如何能够发生，我们回想一 下，多余的卡-丘空间的孔洞数决定着弦能产生多少族可能的运 动形式。这些孔洞像我们见过的环或者若干个孔的环，如图 9.1。我们在纸上画的二维图有一大缺点，表现不出一个六维的 卡-丘空间可以具有不同维的孔洞。虽然我们画不出这些孔，但
第10章量子几何
可以用大家理解的数学来描述它们。关键的一点是，源自弦振 动的粒子族的数目只依赖于孔的总数，而与某个维的孔数无关 (因此，我们在第9章的讨论里并不在意孔的类型有什么不 同）。接下来我们想象两个卡-丘空间，它们在不同的维有不同 数目的孔，但孔的总数却是相同的。由于不同维的孔数不同， 所以这两个卡-丘空间有不同的形态。但是它们的孔的总数是 一样的，所以生成的宇宙有相同数目的粒子族。当然，这不过 是一个物理性质。如果要一切物理性质都是相同的，那要求就严 格得多。不过，这一点性质至少能说明狄克松-勒克-瓦法-瓦 纳猜想很可能是对的。
1987年秋，我来到哈佛大学物理系做博士后，我的办公室 刚好在瓦法的走廊下面。我的学位论文研究的就是弦理论中卷 缩卡-丘空间的物理和数学性质，所以瓦法常向我通报他在这 方面的工作。】988年秋的一天，他经过我办公室时停下来告诉 我，他和勒克、瓦纳有了那个猜想。我很感兴趣，但也有些怀 疑。兴趣来自这样的认识：如果猜想是对的，它将在弦理论的 研究中开辟一条新路；而怀疑来自我的担心：猜想是一回事， 证实那些理论性质却是另一回事。
在接下来的儿个月里，我总在考虑他的猜想。坦白地说， 我一半认为它是错的。然而，奇怪的是，我与普里泽（Ronen Plesser)做过的一个看似不相干的项0令我很快完全改变了看 法。普里泽那时是哈佛的研究生，现在在魏茨曼研究所和杜克 (Duke)大学，我们曾满怀热情地想发展一种方法，从一个初始 的卡-丘空间形式出发，用数学操作生成一种尚未知晓的卡-丘形式。我们特別感兴趣的是所谓的环形变换（orbifolding)技 术，先前是由狄克松、哈维(Jeffrey Harvey，在芝加哥大学）、瓦 法和惠藤在20世纪80年代中期发展起来的。粗略地讲，就是 将原来的卡-丘空间里不同的点粘在一起，按一定的数学法则 生成一个新的卡-丘空间。图10. 4示意了这样一个过程。这幅
宇宙的琴弦
图背后的数学是很可怕的，因为这一点，弦理论家只是对最简单 的空间形式——如图9. 1的髙维多孔面包圈——考察了这种技术 的应用情况。不过，普里泽和我发现，革普纳(Dcron Gepner，那 时在普林斯顿大学)的一些美妙的发现也许能提供一个有力的理论 框架，把环形变换技术推行到如图8. 9那样复杂的卡-丘空间。
经过几个月的紧张探寻，我们得到一个令人惊讶的结果。如 果以恰当方式把某些特殊的点粘接在一起，生成的卡-丘空间将 以一种奇异的方式表现出与原来空间的区别：新空间的奇数维的 孔数等于老空间的偶数维的孔数，反过来也对。特别的是，这意 味着孔的总数——从而粒子族的数目——是相同的；而这两个奇 偶相对的空间形态和基本几何结构当然是完全不同的。5
图10.4 所谓环形变换技术是这样一个过程：通过将初始卡-丘空间的不同 点粘接在一起而生成一个新的卡-丘空间。
结果与狄克松等+的猜想显然是相关的，这令我们很兴奋。 接下来，普里泽和我。又去研究一个关键问题：那两个卡-丘空间 除了粒子族的数目相同而外，别的物理性质也相同吗?经过两个
第10章量子几何_____ _
多月仔细而艰难的数学分析，其间还得到我的学位论文导师、牛 津大学的罗斯（Graham Ross)和老朋友瓦法的启发和鼓励，普里 泽和我最后得到了答案：差不多可以肯定是那样的。因为在数学 上需要交换两个空间的奇偶维度，所以我们以镜像流形来称这些 在物理上等价而儿何形式不同的卡-丘空间。6每一对镜像卡-丘空间当然并不是我们平常讲的互为镜像的两个空间。但是，尽 管它们有不同的几何性质，却能在用于弦理论的多余维度时生成 同一个物理的宇宙。
发现这个结果后的几个星期，我们是在焦虑中度过的。普 里泽和我都明白，我们正在弦理论的一个浪头上，我们证明 了，爱因斯坦建立的几何与物理学的紧密联系在弦理论中焕然 一新了：在广义相对论中意味着不同物理性质的不同几何形 式，在弦理论中却可能生成相同的物理。但是，假如我们错了 呢？假如那些物理性质以我们忽略了的某种微妙方式产生变化 呢?我们把结果告诉了丘成桐，他礼貌然而严厉地指出，我们一 定在哪儿错了；他说，从数学观点看，我们的结果太离奇了， 不会是真的。他的意见使我们很犹豫。如果一个小结论或不会 太引人注意的结论，犯点儿错误也许还算不得什么；而我们的 结果是在一个新方向上迈出的意想不到的一步，当然会引起强 烈反响。如果它错了，所有的人都会知道。
最后，我们把文章反复检查过，越来越有信心，就拿出去发 表。几天以后，我正坐在哈佛的办公室时，电话响了。那是德克 萨斯大学的坎德拉斯打来的。他开口就问我是不是坐好了。当 然。接着他告诉我，他和两个学生林克(Monika Lynker)和施姆里2% 克(Rolf Schimmrigk)发现了一样东西，会让我从椅子上蹦起来。
他们仔细考察了计算机生成的大量卡-丘空间例子，发现这些空 间几乎都是成对出现的，两个空间的差别仅在于奇数维和偶数维 的洞的数目相互交换r。我告诉他，我还坐得好好的——普里 泽和我已发现了相同的结果。坎德拉斯和我们的结果原来是互为
宇宙的琴弦
补充的：我们走得远一点，证明了镜像空间生成的物理学是一样 的；而坎德拉斯和他的学生证明大量的卡-丘空间都以镜像对的 形式出现。通过这两篇文章，我们发现了弦理论的镜像对称。7
镜像对称的物理学和数学
爱因斯坦在空间的几何与物理的现象间建立的紧密而独特的 联系，在弦理论中获得了解放，这是一个惊人的“范式的转 移”。但这些发展所带来的远不只是哲学态度的改变。镜像对称 特别重要的一点是为认识弦理论的物理和卡-丘空间的数学提供 了有力的工具。
在所谓代数几何领域从事研究的数学家在弦理论发现很久以 前就一直在为纯数学的理由研究卡-丘空间。他们发现了这些空 间的许多具体性质，没有一个显得有未来的物理意义。不过，卡 -丘空间的某些性质已经证明是很困难的——基本上不可能完全 揭示出来。但是弦理论的镜像对称的发现极大改变了这种局面。 大致说来，镜像对称说的是，原来认为毫不相干的特殊的卡-丘 空间对现在被弦理论紧紧联系在一起了。联结它们的是一个共同 的物理宇宙，任选一个空间作为卷缩维的空间形式，都将生成这 样的宇宙。这种意外的内在联系提供了一个新的有力的物理学和 数学工具。
举例来说，假如你在忙着计算与卷缩维的某个卡-丘形式相 关联的物理性质——如粒子的质量和力荷。你并不特别关心计算 结果与实验的联系，因为我们已经看到，现在做那些实验还有大 量理论和技术的障碍。实际上，你是在靠思想实验做计算，关心 的是假如选择了某个卡-丘空间，宇宙应该像什么样子。开始计 算的时候，一切都还顺利；但接着，你的计算遇到了难以逾越的 障碍。没人能帮你，世界上最好的数学家也不知道该怎么往下 算。你迷失了方向。但是你后来发现这个卡-丘空间有一个镜像
第10章量子几何
伙伴。因为这两个空间生成的弦物理是完全相同的，你意识到自 己可以自由地随便拿一个来做计算。于是，你用原来那个卡-丘 空间的镜像伙伴重新做刚才做的那些艰难计算，你相信计算的结 果——物理——应该是一样的。起初你可能认为重新做的计算也 会像原来那么难，但你却惊喜地发现，两个计算虽然结果会是一 样的，但具体形式却大不相同。原来某些可怕的困难的计算，在 镜像的卡-丘空间里变得非常简单了。为什么会这样呢?这不是 两三句话就能说明白的，不过，至少对某些计算来说，几乎肯定 是这样的，从而计算的难度就大大降低了。它的意义是自然的：
你从迷失的方向里走出来了。
这多少有点儿像下面的例子。假设有人陪你数一堆橘子，橘 子随便堆放在一只大果箱里，那箱子3米长，3米宽，3米高，
你一个个地数，但很快发现这太累人了。幸运的是，这时来了一 个朋友，他是看到橘子送来的。他告诉你，橘子原来整整齐齐堆 放在小箱子里(他正好拿着一只那样的箱子），小箱子堆在一起，
长、宽、高都是20个。你很快算出橘子来了 8000小箱，现在你 需要知道的只是数清一只小箱子里能堆放多少橘子。这是很容易 的。你从朋友那儿借来小箱子，用橘子把它填满，这样，原来那 艰巨的使命不费吹灰之力就能完成了。总之，发现一种聪明的计 算方法，做起来就容易得多。
弦理论中的许许多多计算都是这样的情形。从一个卡-丘空％ 间看，计算可能牵涉到大量艰苦的数学步骤；然而，如果转移到 它的镜像空间，计算可以更有效地重新组织，从而能够相对容易 地实现。这一点是普里泽和我发现的，后来，坎德拉斯和他的合 作者德克萨斯大学的奥莎(Xenia de la Ossa)、帕克斯(Linda Par-kes)和马里兰大学的格林(Paul Green),令人惊奇地将它投人了 实践。他们证明，几乎所有困难的计算都能在镜像空间里实现，
只需要几页的代算计算、一台小电脑。
这对数学来说更是特别激动人心的发现，因为其中的某些计
—__宇宙的琴弦 ____
算也曾令他们困惑过多年。用物理学家的话说，弦理论把它们都 解决了。
现在你该明白，在数学家和物理学家之间存在着许多有益的 而且通常是友好的竞争。事实上，两个挪威数学家——埃林斯鲁
德(Geir Ellingsrud)和斯特罗姆（Arild Str0mme)-就曾计算过坎
德拉斯和他的伙伴们用镜像对称成功解决了的一个问题。大体说 来，那相当于计算在某个特别的卡-丘空间里能“堆放”多少个 球，有点儿像我们在大果箱里数橘子的问题。1991年，在伯克 莱举行的一次物理学家和数学家会议上，坎德拉斯宣布他的小组 用弦理论和镜像对称得出的结果是317 206 375o埃林斯鲁德和 斯特罗姆也宣布了他们艰难的数学计算结果：2 682 549 425。几 天里，数学家和物理学家一直在争论：谁是对的?这个问题成了 弦理论定量可靠性的真正考验。许多人甚至说——多少带点儿玩 笑——这是弦理论能否与实验对比的最好检验。另外，坎德拉斯 的结果还远不仅是埃林斯鲁德和斯特罗姆也计算了的数值结果， 他们还宣布说回答了许多别的极端困难的问题——实际上，那些 难题是连数学家也从未想过的。可是弦理论可信吗？数学家和物 理学家们在会上进行了广泛的交流，但分歧最终还是没能解决。
大约一个月过后，一封电子邮件在参加过伯克莱会议的人中 间传开了，信的主题是物理学赢了！埃林斯鲁德和斯特罗姆在他 们的计算机代码中发现了一个错误，改正以后他们也证实了坎德 拉斯的结果。从那以后，许多数学家都来检验弦理论镜像对称的 定量可靠性：所有的检验它都胜利通过了。在物理学家发现镜像 对称近10年后，最近，数学家在揭示其内在的数学基础方面取 得了重大进展。根据数学家康泽维奇(Maxim Kontsevich),曼宁 (Yuri Manin)、田刚（Gang Tian)、李军（Jun Li)和吉温托尔（Alexander Givental)等人的重要成果，丘成桐和他的合作者们终于从 数学上严格证明了用来计算卡-丘空间能放多少个球的公式，从 而解决了困绕数学家几百年的一大难题。
______— 第10阜量子几____
除了这场特别的胜利，这些发现真正让我们看到了物理学开 始在数学舞台上崭露头脚了。过去许多时候，物理学家曾在数学 的仓库里“借”出一些工具来构造和分析物理世界的模型。现 在，通过弦理论的发现，物理学家开始偿还他们的债务，为数学 提供新的方法去解决他们未曾解决的问题。弦理论不仅树起一个 统一的物理学框架，还可能实现一个同样深远的数学大联合。
注释
1.为了讨论的完整，还应该说明，虽然到现在为止我们在书中讲的许 多东西都同样适用于开弦（两端自由的弦）或闭弦圈（这正是我们所关心 的），伹在这里讨论的问题上，两种弦将表现出不同的性质。毕竟开弦是不 会缠绕在某个卷缩维的。不过，桑塔?巴巴拉加利福尼亚大学的Joe Polc-hinski和他的两个学生戴建辉(音）和Robert Leigh在1989年说明了开弦如何 能很好地符合我们在这一章得到的结论。他们的成果最终将在第二次超弦 单命中发挥重要作用。
2.如果你想知道为什么均匀振动的允许能量是1//?的整数倍，请回想 一下第4章里的量子力学讨论——特别是关于那个仓库的讨论。我们从那 里知道，量子力学的能量像钞票一样，是离散的能量“元”组成的：是不 同能量“元”的整数倍。在管子世界均匀振动的弦的情形，能量元正好是 〗//?，我们在正文里用不确定性原理解释过了。这样，均匀振动的能量就 是1//?的整数倍，
3.从数学上讲，在卷缩维半径为或1//?的宇宙中，弦能最的形式 为v/R+wR,这里r为振动数，u；为缠绕数。同时交换^与M，和与 \/R——即交换振动数与缠绕数，同时半径换为倒数，这个方程的形式是 不变的。这就是两个宇宙的弦能量相同的原因。我们在讨论中用的是普朗 克单位，那也可以换成更传统的单位，即用一个所谓弦标度来改写能 簠公式——弦标度的值大约是普朗克长度，10^厘米。这样，弦能媛?可以 表达为v/R十wR/ot\在交换I；与和尺与c^/尺时，它是不变的。这 里，和a'//?用的是传统的距离单位。
宇宙的琴弦
4.你大概很奇怪，在半径为的卷缩维上缠绕着的弦怎么可能测得那半 径是1/i?呢？这种忧虑是很正常的，不过，问题本身却表述得不够准确。你知 道，我们在说弦绕着半径为R的圆时，必然利用了某个距离定义（这样“半径 为K”才有意义)。但这一个距离定义却是与未缠绕的弦模式相关的——即与 振动模式相关。从这个定义——也只有从这个定义一看，缠绕的弦是在空间 的卷缩维展开的。然而，从第二个距离定义——即与缠绕弦相关的那个定义 ——看，它们却是局限在空间的一点，就像第一种定义观点下的振动弦一样， 而那“一点空间”的半径在它看来是1/及，如正文所讲的。
这多少说明了缠绕和未缠绕的弦所测得的半径是互为倒数的，但是， 这一点还是有点儿难以捉摸，看来我们应该为对数学感兴趣的读者说说它 背后的数学。在普通的点粒子量子力学里，距离与动量（本质上还是能量） 通过傅里叶变换相联系。就是说，在半径为i?的圆周上的位置本征态4> 可以定义为丨x > = Z^p\p>,这里p= v/Ry而丨/>>是动量本征态 (类似于我们所说的弦的均勻振动模式——没有形变的整体运动模式)。但 在弦理论中，还存在另一个位置本征态的概念，|i>，通过缠绕弦的状态 来定义：= 这里； >>是缠绕弦的本征态，= 根
据这些定义，我们马上发现，x以2ttR为周期，i以2tt/尺为周期。这说 明x是半径为尺的圆周上的位置坐标，i是半径为1//?的圆周上的位置坐 标。说得再具体些，我们现在可以让两个波包|^>和|^>从原点开始随 时间演化，从而实现我们的两个操作方法来定义距离。不论用哪种方法， 圆周的半径都正比于波包回到原来状态所需的时间。由于能量为￡的状态 伴着相因子演化，所以对振动模式来说，时间（从而也是半径）% 1/￡?/?;而对缠绕模式来说，^?1/￡?1/J?。
5.对数学感兴趣的读者可以看到，更准确地说，弦振动的族数等于卡 -丘空间欧拉特征数的一半，这在上一章注3里已经说过了。这个数由 A2，1与力^之差的绝对值来确定。这里，是(fi，q) Hodge数。这两个 量分别给出了非平凡同调3-圆（“三维孔”）和同调2-圆（“二维孔”）的 数目（精确到一个数值变換)。因此，我们在正文里讲孔的总数，而准确地 说，族数依赖】??奇数维和偶数维孔洞数之差的绝对值。然而结果是相同的。 例如，如果两个卡-丘空间的差别在于各自的Z?2，1和A1，1 Hodge数是相互 交换的，粒子族数——以及“孔”的总数——是不会改变的。
6.这个名字源于这样一个事实：“Hodge钻石”——卡-丘空间中不同
第iO章量子几何
维的孔洞的数学概括——对一对卡-丘空间来说是互为镜像反射的。
7.镜像对称这一名同也用于物理学的其他完全不同的场合。如我们在 第7、8章讨论过的手征性问题——即宇宙是否是左-右对称的——讲的便 是另一种镜像对称。
第11章空间结构的破裂
假如你一个劲儿地拉扯一块橡皮膜，它迟早会破裂的。这 个简单的事实令许多物理学家在这些年里一直在想，构成宇宙 的空间结构是不是也可能出现这样的事情呢?就是说，空间结构 会分裂吗？当然，也许因为我们把橡皮膜的例子太当真了，才这 样被它引向了歧路：
在爱因斯坰的广义相对论看来，答案是否定的，空间结构 不会破裂、广义相对论的方程牢牢植根于黎曼几何，我们在前 一章讲过，那是分析空间相邻位置的距离关系的扭曲的一个数 学框架。为了使距离关系有意义，基本的数学形式要求空间背 景是光滑的——这是一个有严格数学意义的概念，不过它的寻 常意思也能把捤某&接本特征：没有褶皱，没有针眼，没有一 小块一小块“粘”起来的痕迹，当然也没有破裂。如果空间结 构生出这些不规则的东西，广义相对论方程就会崩溃，预示着 这样那样的宇宙灾难——那些灾难的结果显然没有出现在我们
第丨1章空间结构的破裂
运转良好的宇宙中。
有想象力的理论家并没有因此停止他们的想象。多年来，他 们一直在思考，也许某个超越爱因斯坦经典理论并融合量子物理 学的新物理学体系，会证明空间结构可能出现裂痕、破裂和重新 组合。实际上，当人们认识到量子物理学能破坏短距离下的涨落264 时，就有人怀疑裂痕和破碎可能是空间结构的普遍特征。虫洞的 概念(对星际旅行着迷的人该熟悉这个词儿)就是从这样的想象中 产生出来的。想法很简单。想象一下，假如你是某大公司的总裁 (CEO),总部在纽约世界贸易中心大厦的第90层。你还有一家 患难与共多年的伙伴公司，在中心另一幢楼的第90层。①两家 公司当然不可能搬迁。为了往来密切方便，你自然会想，在两幢 大厦间搭一座天桥，这样员工们就能自由往来而用不着上下90 层楼了。
虫洞也起着类似的作用：它是一个桥梁或隧道，为连结宇宙 两个区域提供了捷径。以二维模型来说，宇宙像图11.1的样 子。假如你公司的总部设在(a)图的下面那个圆圈处；通过那段w U型路径，从宇宙的一头走到另一头，你可以来到上面那个圆圈 处的另一个办公室。但是，假如空间结构可以破裂，生成图（b)
的孔洞，而孔洞还能生长“触角”，像图(c)那样结合起来，这 样，原来两个遥远的区域就通过一座空间桥梁联系起来了。这就 是虫洞。你可以看到，虫洞在某些地方像那座世界贸易中心的天 桥，但还有点根本的差别：世界贸易中心的天桥穿过一个存在的
空间区域-两幢大厦间的空间。而虫洞则生成一个新的空间区
域，因为二维空间整个就是图11. 1(a)的样子(在我们的二维例 子中）。薄膜外的区域只不过说明原来的图是不够充分的，它把 U-型宇宙描绘成我们更高维宇宙里的一样东西。虫洞生成新空 间，从而也宣告新的空间领域诞生。
①遗憾的是，2001年9月11日，世界贸易中心大厦在遭恐怖袭击后倒塌了。 译者
宇宙的琴弦
图11.丨（a)在U-型宇宙中，从一端到另一端的惟一路径是穿过整个宇宙；
(b)空间破裂，虫洞从两端生出；（c)虫洞两端结合，形成一座桥梁从宇宙 一端到另一端的捷径。
宇宙中有虫洞吗?谁也不知道。如果有的话，我们也不知道 它们是微观的，还是可能在宇宙的一个巨大区域展开。但是， 评价虫洞是真还是假，基本的一点在于决定空间结构是否可能 破裂。
黑洞为我们提供了另一个诱人的例子，空间结构在这里走到 了尽头。在图3. 7我们曾看到黑洞巨大的引力场导致了极端的空 间卷曲，从而空间结构在黑洞的中心显得破碎了。与虫洞情形不 同的是，有许多实验证据支持黑洞的存在，所以关于在黑洞中心 发生什么事情的问题，是科学的，而不是幻想的。在这样极端的 条件下，广义相对论的方程仍然是失败的。有些物理学家曾提 出，破碎的空间结构确实是存在的，但是黑洞的事件视界(它以 下的任何事物都逃不出引力的魔掌)遮住了那个宇宙“奇点”。 这个想法使牛津大学的彭罗斯（Roger Penrose)提出一个“宇宙监 督假说”，只有在事件视界的遮蔽下才可能出现那种空间奇异
第n章空间结构的破裂
性。另一方面，还在弦理论发现之前，就有物理学家猜想，量子 力学与广义相对论的恰当结合将证明，那种表面的空间破裂实际 上会被量子行为平滑掉——也可以说，破裂的空间又被“缝合” 起来了。
随着弦理论的发现和量子力学与引力论的融和，我们最终会 研究这些问题的。尽管现在弦理论还不能完全回答它们，但在过 去几年里有些密切相关的问题已经解决了。这一章里我们将讨论 弦理论如何第一次确定性地证明在某些物理背景下——在一定意 义上不同于黑洞和虫洞——空间结构是可能破裂的。
诱人的翻转
1987年，丘成桐和他的学生田刚（现在在麻省理工学院）做 了一次有趣的数学考察。他们发现，一定的卡-丘空间形式可以 通过我们熟悉的数学步骤变换成其他形式：空间表面破裂，生成 孔，然后照一定数学形式将孔缝合起来。2简单地说，他们认识 了处于卡-丘空间内部的一类特殊的二维球面——如皮球的表 面，如图11.2。（皮球跟所有普通物体一样是三维的，不过，我 们这里只谈它的表面，而不管它的组成材料的厚薄，也不管它所 包围的内部空间。皮球表面上的点的位置可以用两个数——“经 度”和“纬度”——来确定，因而它的表面跟我们前面讨论的水 管的表面一样，是二维的。）然后，他们考虑球面像图11. 3那样 逐渐收缩成一个点。这幅图和本章后面的圆都把卡-丘空间简化 了，只突出了关系最密切的那一 “小块”，但在头脑中我们应该 清楚，这样的形变发生在更大的如图11.2的卡-丘空间。最 后，田和丘想象，在尖点处将卡-丘空间轻轻分裂开（图U.4 (a)),然后粘接另一个球形的面（图11.4(b)),它可以再膨胀为 圆满的一团（图11.4(c)、(d))0
数学家称这样一个操作序列是一种翻转变换(yZ# -
宇宙的琴弦
图11.2 在卡-丘空间内部包含着一个球面，特别突出了球所在的区域。
、
(a) (b) (c) (d)
图11.3 卡-丘空间里的球收缩成一点，使空间结构破裂，在这里和后面的 图中，我们简化f长-丘空间，只画出了有关的部分。
(b) (c) (d)
图11.4 破裂的卡-丘空间在尖点处生成一个球面，使表曲重新光滑：图11.3中 的球被“翻转”过来了。
tionh那是说，原来的皮球似乎在整个卡-丘空间里“翻转” 到一个新的方向。丘、田和其他研究者还注意到，在一定条件 下，翻转生成的新卡-丘空间（如图11.4(d))与原来的卡-丘空 间（如图11.3(a))在拓扑学上是不相同的。这个奇特的说法实际 上等于说，绝对不可能不经过空间结构的破裂而将图11. 3(a)的 卡-丘空间变形成为图11. 4(d)的卡-丘空间。
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—— 一.————--------—-------------——-—■ ^
从数学观点看，丘-田过程的意义在于提供了一个从已知卡 -丘空间生成新空间的途径。不过，它的真正潜力还在物理学方 面，它提出一个诱人的问题：除了抽象的数学程序外，从图 11.3(a)到11.4(d)的序列真能在自然界出现吗?也许，空间结构 果然与爱因斯坦的想象不同，它可能分裂然后像上面讲的那样重 新修补好？
镜像图景
自1987年的发现以来的几年，丘常鼓励我去考虑翻转变换 是否能在物理学中实现。我没有去想这个问题。在我看来，翻转 变换只不过是抽象的数学过程，与弦理论的物理毫不相干。实际 上，我们在第10章的讨论中发现卷缩的空间维有一个极小半 径，可能有人因此认为弦理论不允许图11. 3的球面收缩成一个 点。不过，请记住，我们在第10章还讲过，假如是一块空间在 坍缩——在这里是卡_丘空间的一个球面——而不是整个维在坍 缩，则关于大小半径相同的论证就不适用了。但是，不管怎么 说，即使我们不能因为这一点理直气壮地排除翻转变换的可能， 空间结构看来仍然不太可能会发生破裂。
可是后来，在1991年，挪威物理学家吕特肯（Andy Liitken) % 和阿斯平沃尔（Paul Aspinwall,我的研究生同学，从牛津来的， 现在是杜克大学教授）提出了一个后来证明是很有趣的问题：假 如我们宇宙的卡-丘空间结构会经历空间破裂的翻转变换，那么 从镜像的卡-丘空间来看，它会是什么样子呢？为明白提出这个 问题的动机，我们需要回想一下，一对镜像卡-丘空间（当然指 的是被选作多余维度的那些形式)生成的物理学是相同的，但物 理学家为了认识物理而在两个空间遇到的数学困难却是大不相同 的。阿斯平沃尔和吕特肯猜想，从图11.3到11.4的复杂的数学 翻转变换可能有一种简单得多的镜像描述——能更清楚地表现相
宇宙的琴弦
关的物理图景。
那时候，镜像对称的认识深度还不能回答他们提出的问题。 不过，阿斯平沃尔和吕特肯发现，在镜像图景中似乎不会出现翻 转变换带来的灾难性的物理结果。大约同时，普里泽和我为寻找 卡-丘形式的镜像对的工作(见第10章)也意外将我们引到翻转 变换的问题上来。在数学上大家都熟悉，像图10.4那样粘接空 间的不同点——我们曾用这个程序来构造镜像对——会产生与图 11.3和图11.4中的破裂与缝合相同的几何状态。然而，普里泽 和我却没有发现有什么相关的物理学灾难。而且，在阿斯平沃尔 和吕特肯的发现(还有他们和罗斯以前的一篇论文)激励下，普里 泽和我发现，在数学上我们可以用两种不同的方法来修补空间的 破裂。一种方法得到图11. 3(a)的卡-丘形式，另一?种方法则得 到图11.4(d)的形式。这就说明，从图11.3(a)向图11.4(d)的 演化在大自然是能够发生的。
到1991年底，至少有儿位弦理论家强烈感到，空间结构能 发生破裂，但还没有人掌握能确定或否定这种惊人的可能性的数 学工具。
一步步往前
270 1992年，普里泽和我断断续续地努力证明过空间结构能发 生空间破裂的翻转变换。我们的计算得出些零星的间接证据，但 还没找到确定的证明。那年春天，普里泽去访问普林斯顿的高等 研究院，把我们最近关于在弦理论的物理条件下空间破裂的翻转 变换的一些认识私下告诉了惠藤。普里泽大概讲了我们的想法， 然后等惠藤回答。惠藤把头从黑板转过来，两眼望着办公室的窗 夕卜。大约过了一两分钟，他才转过头来，告诉普里泽说，如果我 们的想法是有用的，“那将是很惊人的。”这又激发起我们的热 情。可是不久，由于没什么进展，我们两个都去做弦殚论的其他
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课题了。
尽管这样，我还是在思考翻转变换的可能性。几个月过去 了，我越来越相信那应该是弦理论的一个不可分割的部分。普里 泽和我的初步计算以及我们与莫里森（David Morrison,杜克大学 的数学家)富有启发的讨论，似乎都说明惟有这才是镜像对称的 自然结果。实际上，在访问杜克期间，莫里森和我在卡茨(Sheldon Katz， 来自俄克拉何马州立大学，那时也在杜克访问）的一些 发现的启发下，初步提出了一个证明翻转变换能在弦理论中出现 的策略。但当我们坐下来计算时，才发现那是非常艰难的。即使 全世界最快的计算机，也需要一百多年才能完成那些计算。我们 取得了一点进展，但显然还需要新思想，以大大提高我们的计算 效率。碰巧，埃森大学的数学家巴提列夫(Victor Batyrev)在1992 年春夏的两篇论文无意间揭示了那个思想。
巴提列夫早就对镜像对称有过兴趣，特别当坎德拉斯和他的 合作者们用它成功解决了第10章最后讲的球数问题以后。不 过，他凭一个数学家的眼光，并不因为普里泽和我借以寻找卡-% 丘空间对的方法而感到不安。虽然我们用的工具是弦理论家都熟 悉的，巴提列夫后来却告诉我，我们的论文在他看来像“黑色魔 术”。这反映了物理学与数学两个学科间巨大的文化差异；当弦 理论在模糊它们的界限时，这些差异在两个领域的语言、方法和 风格上表现得更显著了。物理学家喜欢先锋派的作风，在寻求问 题的解决方法时宁愿改变传统法则，超越大家公认的界线。数学 家更喜欢古典风格，习惯按部就班做事情，在前一步没有严格确 立以前不会果敢地迈出下一步。两种作风各有优点，也各有缺 点；都展开了一条独特的通往创造性发现的道路。两条道路也跟
现代与古典音乐一样，不能讲谁对谁错--个人选择什么样的
方法路线，主要凭他个人的兴趣和修养。
巴提列夫开始在更传统的数学框架下重建镜像流形，他成功 了。在台湾数学家Shi -Shyr Roan以前工作的激发下，他找到一
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个系统地生成互为镜像的卡-丘空间对的数学程序。他的重建程 序可以约化为普里泽和我在我们考虑过的例子中发现过的程序， 但展现了一个用数学家更熟悉的方式表达的更为普遍的框架。
巴提列夫论文的另一方面是多数物理学家以前没有遇到过 的数学东西。就我来讲，虽然能把握他的论证的要点，却很难 理解许多关键的细节。但有一点是清楚的：如果正确理解和应 用他文章里的方法，很可能会走出一条认识空间破裂的翻转变 换的新思路。
在这些发现的激励下，那年夏天快结束的时候，我觉得自己 应该全身心地回到翻转问题上来，莫里森告诉我，他要离开杜克 到高等研究院去一年，我还知道阿斯平沃尔也将去那儿做博士 后。通过几个电话和电子邮件，我也决定离开康奈尔大学，到普 林斯顿去渡过1992年的秋天。
272 要长时间紧张地集中精力做件事情，恐怕很难找到比高等研 究院更理想的地方了。它于1930年建在一片如诗一般的森林边 的小山坡上，离普林斯顿大学校园只有几英里。人们都说在研究 院工作不会受到干扰，当然啦，因为这里本来就没有什么干扰。
1933年，爱因斯坦离开德国以后就来到研究院，在这里渡 过他的余生。在这幽静、孤独的苦行僧生活的环境里，一位老人 在思索他的统一场理论，这是怎样的图景，是不难想象的。这里 的空气仿佛也总是弥漫着深沉的思想，它可能令你兴奋，也可能 让你感到压抑——这得看你当时的思想状况是什么样的。
到研究院不久，保尔?阿斯平沃尔和我有一天走在纳索街头 (普林斯顿小城的主要商业街），想找一家大家都喜欢的地方晚 餐。这可不大容易，因为保尔爱吃肉，而我是个素食者。我们一 边走着，一边谈着自己的生活。谈话中，他问我有没有什么可以
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做的新东西。我告诉他，是有点儿新东西。然后，我向他详细讲 r我觉得重要的事情是应该证明，宇宙如果真是弦理论描绘的那 样，则它会发生空间破裂的翻转变换。我还简单讲了我正在探寻 的路线，并告诉他，我从巴提列夫的工作看到了新的希望，它大 概能弥补我们失去的一些东西。我想这些东西保尔应该是知道 的，会为它的前景感到兴奋。然而他没有。现在想来，他那时沉 默的原因主要是我们在思想上已经友好地竞争了很久，我们对对 方的观点总是有点儿吹毛求疵的。过些日子以后，他转变了看 法，我们都全心全意来关注空间翻转问题。

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