公式
FG 12 来描写。也可以用太阳和行星之间的势能
=
2
r
来描述。按照牛顿的理论，这个引力相互作用势能是
U =－
GmM :
，
r
其中
m是行星的质量，M⊙是太阳的质量，r是它们之间的距
·80·
离。
按照广义相对论，太阳与行星之间的引力作用势能应修
改成为以下的形式
U =.GmM:
.3 v2 GmM..+...... ，
r 2 c2 r
其中第一项和牛顿理论完全相同，第二项则是广义相对论带
来的修正，它与第一项比较是很小的，因为
v2
GM
..10.6
22
c cR
（参见上表，对于太阳的值），如果忽略第二项。就回到牛顿的
万有引力定律。
在上式中，第一项称为牛顿项，第二项等称为后牛顿项，在
GM
2 ..1的情况，它是广义相对论对牛顿理论的小修正。这
cR
种修正称为后牛顿修正。
行星近日点的进动
后牛顿修正虽然很小，但是有时它能起关键的作用。水
星近日点的进动，就是依靠后牛顿项来说明的。如果仅仅有
牛顿项，就不可能存在水星近日点的反常进动。
现在，不仅对水星观测到了反常的近日点进动，而且对其
它几颗行星也都有了定量的观测结果。下面的表中给出有关
几颗行星的反常近日点进动的观测值，以及根据后牛顿修正
理论得出的结果。我们看到，理论与观测的符合是相当好的。
·81·
行星行星理论
水星
金星
地球
伊卡鲁斯（小行星）
43.″11±0.″45/百年
8.″4±4.″8/百年
5.″0±1.″2/百年
9.″8±0.″8/百年
43.″03/百年
8.″6/百年
3.″8/百年
10.″3/百年
自转轴的进动
在牛顿的力学中，行星的自转是不参与引力相互作用的。
意思是说，太阳对行星引力的大小，只与行星的质量有关，而
与行星自转的快慢并无任何关系。牛顿的万有引力公式中，只
有物体的质量因子，而没有自转量。
但是，广义相对论则不同。有一些后牛顿修正项中，不仅
含有物体的质量因子，而且也含有物体的自转物理量，自转的
快慢对引力作用也有贡献。两个没有自转的质点之间的引力
相互作用与有自转的情况是不相同的。
这一新特征会引起自转轴的进动。也就是说，行星在运
动过程中它的自转轴的方向应当慢慢变化。对太阳系中的行
星来说，这个后牛顿的效应十分小，很难加以测定。何况还有
其它因素也会造成行星自转轴的变化，淹没了后牛顿的贡
献。
最近，利用脉冲星 PSR1913＋16，对于自转轴进动已经
给出了一个定性的观测证据。PSR1913＋16是由两颗致密
星（关于致密星我们在下章中还要仔细地讲）组成的。其中一
颗是具有高速自转的射电脉冲星。脉冲星的发射集中在一个
·82·
图
8-1 脉冲星的磁轴方向与它
的转动轴方向是不一致的。沿着
磁轴，有锥状的发射，因此，在转
动过程中，每当辐射锥指向地球，
我们就将收到一个脉冲
锥状体上（见图
8-1）。星体每自转一次，这个锥状辐射飞扫
过地球一次，我们就会测到一个射电脉冲。
PSR1913＋16于
1974年底被发现后，几年来的观测显
示出，它的射电脉冲形状（或叫脉冲轮廓）有少许的变化（见图
8-2）。这可能是自转轴进动的一种结果。
图
8-2 PSR1913＋16脉冲形状的变化，图中……线是
1977年
7月的观
测结果，┅┅线和——线分别是
1978年
6月和
10月的观察结果
·83·
因为辐射锥体的截面大体有下图所表示的形状。所以，
当自转轴进动时，扫过地球的区域是不同的。在图中标出了
1977年
7月和
1978年
10月可能的扫过线。所以，从脉冲形
状的变化使我们能估计自转轴进动的大小。按后牛顿修正理
论
PSR1913＋16自转轴的进动速率，应当是
1度/年，这个
值和观测是符合的。
图
8-3 脉冲轮廓变化的一种解释（阴影部分表示脉冲星辐射锥体的
截面，水平线则表示当脉冲星旋转时观测者视线所扫过的轨迹。当
自转轴进动时，视线穿过的区域发生了改变，使得观察到的脉
冲形状也发生了变化。图中实线表示
1978年
10月的观察
线，虚线表示
1977年
7月的观察线）
引力红移
既然对于在引力作用下速度大小可与光速相比拟时物体
不能再用牛顿引力理论，那么，光本身在引力场中的运动，一
定是从原则上就不能使用牛顿引力理论的。光与引力场之间
的相互作用，在本质上属于后牛顿的范围。本章的最后几节就
·84·
来谈谈在引力场中传播的光的几个新现象。
来谈谈在引力场中传播的光的几个新现象。
这个效应是说，当光在引力场中传播时，它的频率或者波
长会发生变化。一个在太阳表面的氢原子发射的光，到达地
球时，我们将发现它的频率比地球上氢原子发射的光频率要
低一点，即红移了（在可见光中，红光频率最低，所以一般把频
率降低的现象叫做红移，反之叫蓝移）。这是因为太阳表面上
的引力场比地球上的强
.
即
GM
值大
.
，如果有人在太阳表
.
2 .
.
cR .
面去接收从地球上发来的光，他会发现频率都要变高一点，即
蓝移了。
.
GM .
总之，当光从引力场强
.即2 大.
的地方传播到引力
.
cR .
场弱
.
即
GM
小
.
的地方时，频率都要变低一些。在相反情
.
2 .
.
cR .
况，则要变高一些。
1960年以后，在地面实验室中定量地检验了引力红移理
论。庞德（
Pound）等人在一个
22.6米高塔的底部放一个
57Co的γ光源，在塔顶放一个
57Fe的接收器。这种穆斯堡尔实
验
(1)装置的频率稳定性可以高达
10-12。这时，当
57Co所发射
(1)
当原子核中发射
γ射线时，由于存在原子核的反冲，所以
γ射线的能量
总要比跃迁的能级小一些。因此，这种
γ射线不能再被该对能级共振
吸收。为了克服反冲的影响，穆斯堡尔把发射的原子核嵌在大块的晶体
中，这样，由于反冲质量大大增加，从而降低了由于反冲引起的
γ射线能
量降低，使上述共振吸收成为可能。
·85·
的γ射线到达顶部时，将发生一微小的红移。他们的测量结果
的γ射线到达顶部时，将发生一微小的红移。他们的测量结果
实验值，是
0.997 ± 0.008。
理论值
光线弯曲
一切物体在引力场附近时，都不可能走直线，因为引力的
作用要使它们的轨道偏向引力源。根据等效原理可以判断，
光在引力场中传播时，也会有类似的现象。因为，如果光的运
动形态与其它物体不一致，那么，我们就找不到一个爱因斯坦
电梯，能够在物体运动中以及在光的运动中同时消除引力的
作用。所以，要求存在能消除引力的局部惯性系，就能推断光
线在引力场中传播时一定要发生弯曲。
一束通过太阳表面附近引力场的星光，偏转角只有
1.″75，当没有太阳时，星光以直线传到我们的地球，但当太阳
出现在星体与地球之间时，光线发生弯曲，我们将看到星体的
位置移动到虚线的方向，即如图
8-4所示。
图
8-4 当太阳出现在星体与地球之间时，星光就会发生弯曲
1919年爱丁顿领导的观测队，第一次定量地证实了光线
弯曲的预言。在那年的
5月
29日，他们在西非的普林西比岛
上拍摄了日全食时太阳附近的星空照片，然后与太阳不在这
·86·
个天区时的星空照片相比较，即可求出光线弯曲的数值，结果
与理论预言相当好地符合。
1919年以后，几乎每逢有便于进行观测的日全食时。各
国的天文学家都要做这个光线弯曲的实验。下表中列出各次
观测的主要结果。
日全食日期地点观测值
1919.5.29 巴西 l.″98±0.16
1919.5.29 普林西比 1.″61±0.40
1922.9.21 澳大利亚 1.″72±0.15
1929.5.9 苏门答腊 2.″24±0.10
1936.6.19 苏联 2.″73±0.31
1936.6.19 日本 1.″28±2.13
1947.5.20 巴西 2.″01±0.27
1952.2.25 苏丹 1.″70±0.10
1973.6.30 毛里塔尼亚 1.″60±0.18
图
8-5 射电源
0116＋08，0111＋02及
0119＋11和太阳的位置示
意图（当太阳通过射电源
0116＋08附近时，根据观察到的三个射
电源之间位置的相对变化，可测出光线在引力场中弯曲的数值）
·87·
近年来射电天文学的定位技术大大提高，分辨率超过了
光学。因此检验光线弯曲的精度也大大提高了。可巧，每年
三、四月间太阳要在射电源
0116＋08附近通过一次（见图
8-5）。 0116＋08与
0119＋11及
0111＋02三个射电源几
乎构成一条直线。而当太阳通过
0116＋08附近时，它们的
相对位置将要发生变化。用这种方法得到的光线弯曲值是
1.″775±0.″019。
雷达回波的延迟
1964年，夏皮罗等提出了一个光在引力场中传播的新
的可以检验的效应。
夏皮罗从地球上利用雷达发射一束电磁波脉冲，这些电
磁波到达其它行星之后，将发生反射，然后再回到地球，被雷
达接收到。我们可以测出来回一次的时间，并对比两种不同
的情况，一种是电波来回的路程远离太阳。这时太阳的影响可
以不计；一种是电波来回的路程要经过太阳附近，受到引力场
的作用。后一种情况的回波要比前者延迟一些，这就是太阳
引力场造成的传播时间的加长，或叫做雷达回波的延迟。例
如，地球与水星之间的雷达回波最大延迟时间可达
240微秒。
为了避免由于行星表面的复杂因素的影响，也有人用人造天
体作为雷达信号的反射靶进行实验。
下页的表中列出雷达回波延迟的观测结果和它们的理论
预言：
·88·
实验日期实验日期反射天体工作波长观测值／理论值
1966.11—1967.8 Haystack 金星，水星
3.8厘米 0.9
1967—1970
Haystack
Arecibo
金星，水星
3.8厘米
7.0厘米
1.015
1969.10—1971.1
Deep space
Network
水手
6号
水手
7号
14厘米 1.00
两方面的符合同样是令人非常满意的。
·89·
第九章从经典的引力坍缩到黑洞
第九章从经典的引力坍缩到黑洞
GM
在上一章中我们曾经指出，强场的条件是
2 ..1。
cR
现在，我们从另一个角度来看这个问题。如果质量为
M
的体系所产生的引力场是强的，它们的空间尺度就应当是
R ..
