记号
1.源于一般宏观经济因素的不确定性的方差
2iM2
2.源于公司特有不确定性的方差
2(ei)
RM和ei的协方差为零，因为
ei定义为公司特有的，即独立于市场的运动。因此证券
i的收益率的方差为：
2
2
22
=
(ei)
i
i
M+
两个股票超额收益率的协方差，譬如
Ri与Rj的协方差，仅仅来自于一般因素
RM，
因为ei和ej都是每个公司特有的，它们显然不相关。所以，两个股票的协方差为：
ijM2（10-4）
Cov(Ri,Rj)=Cov(
jRM)=
iRM,
如果我们有：
n个期望超额收益E(Ri)的估计，
n个敏感度协方差
的估计，
n个公司特有方差
i
2(ei)的估计，
1个（一般）宏观经济因素的方差
M2的估计，
那么，这一计算式就表明这些（
3n＋1）个估计值将为我们的单指数证券模型准
备好输入的数据。这样，对于有
50种证券的资产组合，我们将需要
151个估计值，而
不是1325个；对整个纽约证券交易所的大约
2700个证券，我们将需要8101个估计值，
而不是大约360万个！
[1]
一些操盘手经常用一个“修改过”的指数模型，它与等式
10-3相似，但是用总收益而不是超额收益。
输入每天的数据，这一模型的运用极为普遍。在这种情况下，短期国库券的收益率大约仅为每天
0.02%，所以总收益与超额收益几乎可以忽略。
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第10章单指数与多因素模型
243
很容易看出，简化后的指数模型为什么这么有用。对于巨大的证券市场，马克维
茨程序要求的估计数量在利用指数模型时仅仅需要其中的很小一部分。
另一优点不那么明显但同样重要。简化的指数模型对于证券分析的特别努力具有
决定意义。如果对每一对证券，我们都不得不直接计算其协方差，那么证券分析就不
能为企业所采用。例如，如果一个小组专长于计算机行业，另一组则专长于汽车行业，
则谁可能具有估计
IBM与通用汽车公司之间协方差的一般背景呢？任一小组都不具有
形成一个企业之间互动的信息判断所需的对其他行业的深入理解。相比较，指数模型
提出以一种简单的方式来计算协方差。证券间的协方差由单个一般因素的影响所生成，
为市场指数收益所代表，可以用等式
10-4简单地进行估计。
但是，这种简化来自于指数模型的假定，它并不是没有成本的。模型的“成本”
在于它置于资产收益不确定性结构上的限制。把不确定性分成简单的两部分—宏观
风险与微观风险，这一分类把真实世界的不确定性来源过分简单化了，并且错过了一
些依赖于股票收益的重要来源。例如，这种分类规则把行业事件排除在外，而这些事
件可能影响行业中的许多公司，但实质上却不影响整个宏观经济。
统计分析表明，相对于单指数，一些公司的公司特有成分是相关的。例如，在一
单独的行业股票（譬如计算机股票或汽车股票）当中的非市场成分。同时，统计上有
意义并不总是与经济上的重要性相吻合。从经济上来讲，与单指数模型假设更为相关
的问题是，用基于单因素或单指数假定估计的方差所组成的资产组合是否与用直接来
自于每组股票估计的方差所组成的资产组合有较大的差异，前者的有效性是否差些。
我们将在第28章的动态资产组合管理中进一步阐述这个问题。
概念检验
问题1：假定对股票A与B的指数模型由下列结果来估计：
RA＝1.0%＋0.9RM＋eA
RB＝-2.0%＋1.1RM＋eB
＝20%
(eA)＝30%
(eB)＝10%
M
找出每个股票的标准差和它们之间的协方差。
10.1.2指数模型的估计
等式10-3也提出，我们该如何实际测度市场与公司特有的风险。假定我们观察市
场指数的超额收益和一个有较长持有期的特定资产。我们用一年期标准普尔
500指数
和GM股票的每月超额收益作为例子。我们可以利用一个样本期间内的散点图（scatter
diagram）来简化结果，其结果如图
10-1所示。
在图10-1中，横轴测度了市场指数（超过无风险利率的）的超额收益，竖轴测度
了问题中资产（我们例子中的
GM）的超额收益。一对超额收益（一个是市场超额收
益，一个是GM的超额收益）组成了散点图中的一点。这些点从第
1到第12，代表着从
1月份到12月份每月的标准普尔500指数和GM的超额收益。单指数模型表明，
GM的超
额收益与标准普尔500指数的超额收益之间的关系由下式给定：
=
RGMt
GM+
GMRMt+eGMt
注意，这一关系类似于回归方程（regressionequation）。
在一个单变量的线性回归等式中，依赖变量标在一条截距为
、斜率为
的直线周
围。假定这条线的偏差
e与独立变量不相关；同样，它们相互之间也不相关。这是因
为，这些假定与我们把指数模型看作回归模型的那些假定相当的类似。我们通过
GM来
测度的GM对市场的敏感度，它是回归直线的斜率。回归直线的截距是
，它代表了
GM
244第三部分资本市场均衡
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平均的公司特有收益。在任一时期里，回归直线的特定观测偏差记为
eGMt，称为残值
（residuals）。每一个残值都是实际股票收益与由描述股票同市场之间一般关系的回归
等式所预测出的股票收益之间的差异。因此，它们测度了特定期间公司特有事件的影
响。利息参数
、和Var（e），可以用标准回归技术来估计。
单指数模型回归等式的估计给出了证券特征线（securitycharacteristicline，SCL），
图10-1中画出了这条曲线（回归结果和原始数据见表
10-1）。证券特征线是典型的把证
券超额收益作为市场超额收益的函数的图形。
截距
斜率
市场指数超额收益
图10-1GM的证券特征线（SCL）
表10-1GM股票的证券特征线
月份
GM收益市场收益月国库券收益
GM超额收益市场超额收益
16.067.890.655.417.24
2-2.861.510.58-3.440.93
3-2-8.79-0.38
4-7.36-0.290.72-8.08-1.01
57.765.580.667.104.92
60.521.730.55-0.031.18
7-1.74-0.210.62-2.36-0.83
8-3.00-0.360.55-3.55-0.91
9-0.56-3.580.60-1.16-4.18
10-0.374.620.65-1.023.97
116.936.850.616.326.25
123.084.550.652.433.90
中值
0.022.380.62-0.601.75
标准差
4.973.330.054.973.32
回归结果
rGM-rt＝＋
(rM-rt)
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第10章单指数与多因素模型
245
（续）
月份
GM收益市场收益月国库券收益
GM超额收益市场超额收益
估计系数
-2.5901.1357
估计的标准差
(1.547)(0.309)
变量残值＝12.601
残值的标准偏差＝3.550
R2＝0.575
当然，由于持有期收益的这个样本实在太小，以至我们不能理想地统计收益率。
我们只用它来作证明。我们发现，对于这个样本期间，
GM股票的贝塔系数由回归曲
线的斜率估计出，为
1.1357。另外，证券特征线
SCL的截距为每月-2.59%。
对于每个月
t，我们的残值估计
et是从证券特征线
SCL的预测中得到的
GM超额收
益的方差，它等于：
方差＝实际收益-预期收益
eGMt＝RGMt-(
GMRMt＋
GM)
这些残值是
GM普通股收益中每月非预期的公司特有成分的估计。因此，我们可
以用以下式子来估计公司特有方差：
[1]
212
(eGM)=et=12.6010t=1.(12)
GM收益的公司特有成分的标准差
(eGM)每月为
12.60=3.55%，它与回归残值的
标准偏差相等。
10.1.3指数模型与分散化
由夏普[2]首先建立的指数模型也提供了资产组合风险分散化的另一个视角。假定
我们选择有
n个证券的等权重资产组合。每个证券的超额收益率由下式给出
Ri=
i+
iRM+ei
相似地，我们可以把股票资产组合的超额收益写成
PRM+eP（10-5）
RP=
P+
现在我们说明，随着资产组合中包括的股票数目的增多，归因于非市场因素的资
产组合风险部分将变得越来越小，这部分风险被分散掉了。相比较，市场风险依然存
在，无论组成资产组合的公司数目有多少。
为了理解这些结论，我们注意到等权重（每种资产权重
wi＝1/n）资产组合的超额
收益率为
iRM+ei)=.(n)
111.1
i÷.
RM+
1.(n)ei（10-6）
i=1ni=1ni=1ni=1èni=1.ni=1
RP=.(n)wiRi=.(n)Ri=.(n)(
i+
i+..(n)
比较等式10-5和10-6，我们看到资产组合对市场的敏感度由下式给出
=
1.n
P
i
ni=1
它是单个
的平均值。同时，资产组合有一个常数（截距）的非市场收益成分
i
[1]由于et的均值为零，
et2是该均值的平方差。因此，
et
2的平均值是公司特有成分的方差估计。我们把方
差残值的总和除以回归自由度
n－2＝12－2＝10，得出
2(e)的无偏估计。
[2]WilliamF.Sharpe，“ASimplifiedModelofPortfolioAnalysis”，ManagementScience，January1963.
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246第三部分资本市场均衡
=
1.n
P
i
ni=1
它是单个阿尔法的平均值。加上零均值变量
eP=
1.(n)ei
n
i=1
它是公司特有成分的平均值。因此，资产组合的方差为：
2(eP)（10-7）
P2=
P2M2+
22
p
我们定义资产组合方差的系统风险成分为依赖于市场运动的部分，即
M，它
也依赖于单个证券的敏感度系数。这部分风险依赖于资产组合的贝塔和
M2，不管资
产组合分散化程度如何都不会改变。无论持有多少股票，它们在市场中暴露的一般风
险将反映在资产组合的系统风险中。
[1]
相比较，资产组合方差的非系统成分是
2(eP)，它来源于公司特有成分
ei。因为这
些ei是独立的，都具有零期望值，所以平均法则可以被用来得出这样的结论：随着越
来越多的股票加入到资产组合中，公司特有风险倾向于被消除掉，结果只剩下越来越
小的非市场风险，这些风险被认为是可分散的（
diversifiable）。为更准确地理解这一
点，考虑有公司特有成分的等权重“资产组合”的方差公式。因为
ei是不相关的，
2(eP)=2(ei)=
12(e).(n)
