人们一谈到早期的无穷小分割和极限思想，往往想到古希腊的穷竭法。实际上，穷竭法并没有使用极限。在文艺复兴之前，在数学中真正使用过极限思想的是中国的刘徽。极限思想在中国萌芽很早。先秦名家有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的命题，墨家也有无限分割一尺之杆的方法，不过认为不会万世不竭，而最终归结为不可再分的“端”。汉司马迁《史记·酷吏列传》有“破觚为園〔同圆〕”的说法，直观地描述了多边形通过无限分割与圆的转化关系。而刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。
第一节 割圆术
对《九章算术》的圆面积公式【334】，在刘徽之前是以周三径一为基础，将圆内接正6边形周长作为圆周长，正12边形面积作为圆面积，用出入相补原理证明的。刘徽指出，圆的周长与直径“非周三径一之率”(《九章算术·方田章注》)，这个证明是不严格的。刘徽创造了新的方法：他从圆内接正6边形开始割圆，得到一个正【335】边形序列。设Sn是【335】边形面积，pn是每边长，如图35。
图35 割圆术
显然，n愈大，S-Sn愈小，所谓“割之弥细，所失弥少。”(同上)而“割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”(同上)即证明了 【336】。【335】边形每边与圆周间有余径rn。以边长乘余径，加到【337】边形面积上，则大于圆面积，即【338】。
而当n无限大时，rn→0，那么【339】
所谓“若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣”。这就证明了圆面积的上界序列与下界序列的极限都是圆面积：【340】。然后，刘徽说：“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。”(《九章算术·方田章注》)即将与圆合体的边数无限的正多边形分割成无限多个以圆心为顶点，以该多边形的每边为底的小等腰三角形，由于以每边长乘半径是小三角形面积的二倍，而与圆合体的正多边形的边长之和是L，这就证明了【334】。显然，这里包含了几个相当严谨的极限过程，并且是通过对圆面积的无穷小分割，再求其和进行证明的。这种方法与微积分产生前的面积元素法极为接近。数学史家史密斯(D.E.Smith，公元1860—？年)把微积分的发展概括为穷竭法、无穷小方法、流数法和极限四个阶段。刘徽已完成了前两个阶段，并已有明显的极限过程。
第二节 圆周率
刘徽指出，上述圆面积公式中的周径“谓至然之数，非周三径一之率也。”因此，需要求这个至然之数，这个至然之数就是圆周率。假定圆直径为2尺，他仍按照上述割圆程序割圆，并利用圆内接正6边形边长等于圆半径的性质及勾股定理，算出正6边形的边心距，进而求出余径r0，再次运用勾股定理，算出正12边形的边长p1，重复刚才的过程，依次计算出圆内接正12、24、48边形的边心距、余径、边长，96边形的边长、面积及192边形的面积：【341】【11.2】因此，确定【344】为圆面积近似值。利用已经证明过的圆面积公式，314=10·1/2L，【345】，与直径20寸相约，得L：d=157：50，相当于π=157/50=3.14。许多学者认为刘徽在求得【346】之后，利用【347】求得π=3.14，这是错误的。在计算圆周率时，刘徽并未证明【347】。恰恰相反，刘徽用π=157/50将与【347】相当的公式【348】修正为【349】。那种错误理解会把刘徽置于他从未犯过的循环推理错误之中。
刘徽认为π=157/50中，周率仍微少，又求出π=3927/1250。
南朝祖冲之进一步将π值精确到8位有效数字，相当于求出3.1415926<π<3.1415927。据推测，祖冲之是用刘徽割圆术求得上述值的，那么祖冲之要计算6144、12288边形的面积【350】。祖冲之进一步确定π=355/113为密率，π=22/7为约率。约率早被古希腊阿基米德所认识，在中国，南北朝刘宋的何承天也知道这个值。而密率则是个空前的创造，这是分母小于16604的一切分数中最接近π的真值的分数。祖冲之的圆周率值在世界上领先千年左右。1427年阿尔·卡西的圆周率精确值超过了8位有效数字。16世纪末德国奥托、荷兰安托尼兹先后提出了π=355/113。
第三节 弧田密率与会圆术
圆周率的计算及用十进分数(微数)逼近无理根实际上是极限思想在近似计算中的应用。刘徽还把这一思想用于弧田面积的计算。他首先证明了《九章算术》的弧田面积计算公式不准确，进而提出了求弧田密率的方法：他用勾股锯圆材的方法求出弧田所在的圆的直径，再利用类似于割圆的程序，将弧分成2、4、……，“割之又割，使至极细”，这就用一串小三角形面积之和逼近弧田面积。他又用勾股定理求出与上述小三角形相应的一串小弧田的弦、矢，即这串小三角形的底与高，“但举弦矢相乘之数，则必近密率矣。”用这种方法，可以把弧田面积精确到所需要的程度(如图36)。
图36 弧田密率
《九章算术》和后来的数学家只考虑弧田面积，未讨论过弧长的问题。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中创造了会圆术，提出了求弧长的近似公式(见图37)：【351】其中d为弧所在的圆径，c、v仍是弧田的弦、矢。后来郭守敬、王恂制定《授时历》，多次使用了会圆术。
图37 会圆术
第四节 刘徽原理
对《九章》提出的阳马体积公式【352】与鳖臑体积公式【353】，刘徽之前是取a=b=h的情形用棊验法证明的。然而在a≠b≠h的情形下，一个长方体分割成的三个阳马并不全等，六个鳖臑也不全等或对称，三个阳马的体积是否相等，六个鳖臑的体积是否相等，并不是显然的，棊验法无能为力。所以刘徽说：“鳖臑殊形，阳马异体。然阳马异体，则不可纯合，不纯合，则难为之矣。”(《九章·商功章·注》)他另辟蹊径，用无穷小分割成功地完成了这两个公式的证明。为此，他首先提出了一个原理：邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
即在一个堑堵中，恒有【354】
吴文俊把它称为刘徽原理。显然，只要证明了这个原理，由堑堵体积公式，上述两公式是不言而喻的。问题归结为证明刘徽原理。
刘徽用三个互相垂直的平面平分堑堵的长、宽、高，则其中的阳马分成一个小立方Ⅰ，两个小堑堵Ⅱ、Ⅲ和两个小阳马Ⅳ、Ⅴ，鳖臑分成两个小堑堵Ⅱ′、Ⅲ′和两个小鳖臑Ⅳ′、Ⅴ′。它们可以拚合成四个全等的Ⅱ—Ⅱ′、Ⅲ—Ⅲ′、Ⅳ—Ⅳ′、Ⅴ—Ⅴ′和小立方Ⅰ。(见图38)显然，在前三个小立方中，亦即在堑堵的3/4中，属于阳马与属于鳖臑的体积之比为2：1。第四个小立方中两者体积之比尚未知，但它的两小堑堵的构成与原堑堵完全相似，且其长、宽、高为原堑堵的一半。对这两个小堑堵重复上述分割、拚合，即“置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。”如此继续下去，“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？”从而在整个堑堵中证明了刘徽原理。其中的极限过程是非常明显的。
图38 刘徽原理之证明
刘徽原理及阳马、鳖臑体积公式的证明是刘徽体积理论的核心。对其他多面体，刘徽都是将它们分解成有限个长方体、堑堵、阳马、鳖臑，求其体积之和解决之，从而把他的体积理论建立在无穷小分割基础上。19世纪数学大师高斯曾提出四面体体积的解决不借助无穷小分割是不是不可能的猜想。这一猜想后来成为希尔伯特《数学问题》第三个问题的基础，并由希尔伯特的学生德恩作了肯定性解决。实际上，刘徽早在他们之前1600年就开始考虑这个问题。
第五节 祖暅之原理与球体积
祖暅之原理，西方称作卡瓦列利原理，是说等高的两组立体，若它们等高处的截面积相等，则其体积必相等。祖暅之用很简洁的语言概括道：“夫迭棊成立积，缘幂势既同，则积不容异。”(《九章算术·少广章注》)中国古代认识这个原理，经历了漫长的过程。在《九章算术》中，圆柱与方柱、圆锥与方锥、圆亭与方亭都是成对地出现，说明是通过比较两者的底面积从后者推导前者的体积的，这是祖暅之原理的雏形。刘徽则认识到，不仅要比较两立体的底面积，而且必须比较任意等高处的截面积。刘徽除了通过这一原理证明了圆锥、圆亭的体积公式外，有两点值得注意。一是他在证明羡除体积公式时提出“推此上连无成不方，故方锥与阳马同实。”(《九章算术·商功章注》)成，训层，就是说，同底等高的方锥与阳马每一层都是相等的方形，故其体积相等。刘徽进而提出，若一立体每一层都被一平面平分，则其体积被平分。刘徽由此解决了若干不同形状的鳖臑的体积公式，接近于提出：任意形状的四面体，其体积为底乘高的1/6。由于鳖臑在多面体理论中的关键地位，这一认识是非常重要的。二是他指出了《九章》开立圆术所蕴涵的球体积公式的错误，而错误的原因在于把球与外切圆柱的体积之比当成π：4。他设计了一种新的立体：用两相等的圆柱体正交，其公共部分称为牟合方盖。刘徽指出，球与外切牟合方盖的体积之比为π：4。显然，只要求出牟合方盖的体积，则球体积便迎刃而解。刘徽未能求出牟合方盖的体积，表示“以俟能言者”。
刘徽所期待的数学家便是200年后的祖暅之。这一工作很可能是祖暅之与其父的共同创作。祖冲之在《驳议》中说过：“立员旧误，张衡述而弗改。”可见他研究过球体积问题。祖氏父子在刘徽工作的基础上，继续考虑在一个正方体中用外切于球的两相等圆柱体正交分割出牟合方盖后的剩余部分。李淳风等《九章算术注释》记载祖暅之的方法是：考虑正方体与牟合方盖的1/8，即小立方棊ABCDEFGO，如图39(1)。按刘徽的分割方法，牟合方盖的1/8为AEFGO，称为内棊，如图39(2)。立方棊剩余部分被同时分割成三部分：ADEF、ABGF、ABCDF，称为外三棊，如图39(3)、(4)、(5)。考虑高AO上任一点N处的横截面NIJK，则其面积为球半径之平方r2，它由四部分组成：内棊横截面NMHL，外三棊横截面LHQK、MIPH、HPJQ。设内棊横截面积为【355】，ON=a，那么外三棊横截面积之和应为【356】，而由勾股形ONM，【357】，而【358】恰恰等于一个长、宽、高均为r的阳马距顶点为a处的横截面积，如图39(6)。由祖暅之原理，外三棊体积之和与上述阳马体积相等，即【359】，那么内棊体积为【360】，牟合方盖的体积为【361】。于是球体积【362】，最后圆满地解决了球体积问题。若取π=3，则球体积为【363】。祖暅之开立圆术取后者。
图39 牟合方盖之求积
第六节 尖锥术
刘徽和祖氏父子之后一千余年，极限和无穷小分割思想在中国不但没有明显的进步，甚至没有再达到刘、祖的水平。元赵友钦从圆内接正4边形割圆，只是验证了祖冲之的密率比较精确，理论贡献不大。实际上，刘徽的思想未引起后人的足够重视。十八世纪初，法国传教士杜德美(公元1668—1720年)传入了牛顿、格雷果里创造的三个三角函数的幂级数展开式，但未传入其推导方法。蒙古族数学家明安图(公元？—1766？年)以及董祐诚、项名达、戴煦、徐有壬(公元1800—1860年)、李善兰、夏鸾翔(公元1823—1864年)等以极大的精力研究这类问题及对数函数、指数函数的幂级数展开式，取得了非常大的成就。他们才智超人，精神可嘉，充分显示了中华民族的优秀分子不甘居他人后的气魄。然而，在西方已进入解析数学时代，不去设法学习他人的先进数学方法，而用初等方法穷几年甚至几十年的心血于几个公式，实在是不可效法的。
清代数学家中，在无穷小分割和极限思想上超过刘徽和祖氏父子的当首推李善兰的尖锥求积术。他在《方圆阐幽》中提出，“当知诸乘方皆可变为面，并皆可变为线”，即若x为任意正数，n为任意正整数，xn的数值可以表示成一个平面积，也可以表示成一条直线段。他进而指出，“当知诸乘方皆有尖锥”，“当知诸尖锥有积迭之理”，即当x在区间〔O，h〕内时，表示xn的平面积迭成一个尖锥体。他提出了诸尖锥的算法：由平面积axn积迭起来的尖锥体，高为h，底面积为【364】，其体积为【365】。这个命题相当于定积分【366】
图40 尖锥术
他还提出了相当于【367】的命题。李善兰将他的尖锥求积术应用于圆面积的计算。为此，他考虑单位圆的1/4。如图40，OABC为边长为1的正方形，其内容圆的1/4为OAQC。为求OAQC的面积，他先计算方内圆外部分ABCQ的面积。这是一个尖锥。此尖锥是ABD、ADE、AEF、AFG……无数个尖锥之和。诸尖锥之底为：【11.6】……尖锥求积术，尖锥ABCQ的面积应为：【371】因此，单位圆的面积为【372】
在《对数探源》中，李善兰还用尖锥术解决了对数函数的幂级数展开式。他求出了一尖锥合积【373】并证明了当y1，y2，y3……等比级数时，与其相对应的L(y1)，L(y2)，L(y3)……等差级数，故L(y)具有对数的性质。【374】这是n的自然对数【375】，它相当于定积分【376】李善兰的这些工作大体与欧洲牛顿、莱布尼茨完成微积分学之前数学家们的工作相类，是在他接触西方微积分学前完成的。尽管完成这一工作的预备知识中有明末清初以来传入的西方初等数学，但总的说来，是在中国传统数学基础上，未受西方微积分学思想影响的情况下独立完成的创造性工作。显然，那种认为中国古典数学无法发展为现代数学的看法是站不住脚的。
夏鸾翔在幂级数展开方面也有杰出的工作，并创立了计算一部分椭圆曲线绕长轴(或短轴)旋转所形成的曲面面积的积分的级数展开式，不过这是在《代微积拾级》的基础上完成的。
第十二章 中国古代数学的特征与意义
最后，作为这本小册子的总结，简述一下中国古典数学的特征、在世界数学史上的地位及其现实意义。
第一节 中国古代数学的特征
数学是研究客观事物的空间形式与数量关系的科学。它不受任何时间和空间的限制，强烈地显现这一本质属性。然而，在古代各个时期不同的文化传统中，数学的表现形式往往也不尽相同，各自呈现出自己的特征。比如中国古典数学在表现形式、思维模式、与社会实际的关系、研究的中心以及发展的历程等许多方面与其他文化传统，特别是古希腊数学有较大的区别。
首先是其表现形式，这里主要指数学经典的著作形式。古希腊数学常常采取抽象的公理化的形式，而中国古典数学则是以术文统率例题的形式。两种不同的形式，代表着迥然不同的两种风格。这两种形式和风格同样可以阐发数学理论的基础。有人往往忽略了这一点，把中国古代数学著作笼统地概括成应用问题集的形式。只要仔细分析、比较一下数学著作本身，就不难发现这个结论是极不正确的。比如最重要的著作《九章算术》，它的九章中，方田、粟米、少广、商功、盈不足、方程六章的全部及衰分、均输、勾股三章的部分，要么先列出一个或几个例题，然后给出十分抽象的“术”；要么先列出十分抽象的“术”，然后给出若干例题。这里的“术”都是些公式或抽象的计算程序；前者的例题只有题目及答案，后者的例题则包括题目、答案与“术”。所谓“术”就是阐述各种算法及具体应用，类似于后世的细草。《九章算术》中只有约五分之一的部分，即衰分、均输、勾股三章的约50个题目，可以说是应用问题集的形式。由此就得出《九章算术》是一部应用问题集的结论是不恰当的，正确的提法应是术文统率例题的形式。后来的《孙子算经》等的主体应该说是应用问题集的形式，但把一些预备知识放到了卷首。宋元数学高潮中的著作，贾宪《黄帝九章算经细草》的抽象性更高于《九章算术》，其它著作由于算法更为复杂，算法的抽象性有时达不到《九章》的程度，但是也作了可贵的努力，如《数书九章》的“大衍总数术”及其核心“大衍求一术”就是同余式解法的总术；“正负开方术”用抽象的文字阐述了开四次方的方法后，又声明“后篇效此”，说明也是普遍方法。朱世杰的两部著作都把大量预备知识、算法放在卷首，《四元玉鉴》的卷首还载有天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例。《测圆海镜》更是把“圆城图式”及后面要用到的定义、命题列入卷一的“识别杂记”。因此，总的说来，算法(术)是解应用题的关键，“术”自然就成为中国古代数学的核心。中国数学著作是以算法为核心，算法统率例题的形式。
其次是关于数学理论的研究。古希腊数学使用演绎推理，使数学知识形成了严谨的公理化体系。许多学者夸大了中国古算与古希腊数学的差别，认为中国古代数学成就只是经验的积累，没有推理，尤其是没有演绎推理。这是对中国古代数学缺乏起码了解的肤浅之见。遗憾的是，这种肤浅之见被某些科学泰斗所赞同而颇为流行，甚至成为论述现代科学没有在中国产生的出发点。诚然，中国古代数学与哲学结合得不像古希腊那么紧密，中国古代数学大家也不像古希腊数学大师那样大多是思想界的头面人物或思想流派的首领。一般说来，中国思想家对数学的兴趣远逊于古希腊的同仁，先秦诸子中即使数学修养最高的墨家，其数学成就也难望古希腊思想家的项背。同样，中国数学家，就整体而言，对数学理论研究的关注，也远不如古希腊数学家。比如，《九章算术》和许多数学著作对数学概念没有定义，许多数学问题的表述，并不严谨。这就要求读者必须站在作者的立场上，与作者共处于一个和谐的体系中，才能理解其内容，这或多或少也阻碍了数学理论的发展。硬说中国古代与古希腊同样重视数学理论研究，固然是不妥的。反之，说中国古代数学没有理论，没有推理，也是不符史实的。《周髀算经》记载，先秦数学家陈子在教诲荣方时，指出他之所以对某些数学原理不能理解，在于他“之于数未能通类”，他认为数学的“道术”，“言约而用博”，必须做到“能类以合类”。陈子大约处于《九章算术》编纂过程的初期。实际上，《九章》的编纂正是贯穿了“通类”、“类以合类”的思想。《九章算术》的作者把能用同一种数学方法解决的问题归于一类，提出共同的、抽象的“术”，如方田术、圆田术、今有术、衰分术、返衰术、少广术、开方术、盈不足术、均输术、方程术、勾股术等等，又将这些术及例题按其性质或应用分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九类。刘徽进一步挖掘《九章》许多方法的内在联系，又将衰分术、均输术、方程新术等归结到今有术。刘徽正是通过“事类相推”，找出了各种方法的归宿，发现数学知识是“枝条虽分而同本干”，并“发自一端”的一株大树，形成了自己完整的数学理论体系。贾宪总结开方法，创造开方作法本源。杨辉总结出勾股生变十三名图，李冶探讨了各种容圆关系，给出600多条公式，也都是通过归纳、类比做到通类，进而“类以合类”，进行数学的理论概括。
通过“合类”，归纳出抽象的公式之后，将这些公式应用于解某些数学问题，实际上是从一般到特殊的演绎过程，这里要特别谈一下中国古代数学中有没有演绎推理的问题。大家知道，数学知识的获得，要通过类比、归纳、演绎各种推理途径，而证明一个数学命题的正确性，则必须依靠演绎推理。中国古代数学著作正是大量使用演绎推理。以中国古代最为发达的高次方程这一分支为例，刘徽、王孝通都提出了方程的推导过程，金元数学家更创造了设未知数列方程的天元术，李冶将用天元术列方程所需要的定理、公式大都在卷一的“识别杂记”中给出。刘徽、王孝通、秦九韶、李冶、朱世杰等推导高次方程的过程都是依靠演绎推理的，因而是正确的。至于刘徽用极限思想和无穷小分割对圆面积公式的证明，对锥体体积公式的证明；用出入相补原理对解勾股形诸公式的证明，对大量面积、体积公式的证明，对开方术的证明；利用齐同原理对方程术、盈不足术及许多算法的证明，都是演绎推理的典范。只要不带偏见，都会认识到刘徽在拓展数学知识时以归纳、类比为主，而在论证《九章算术》的公式、算法的正确性时，在批驳《九章算术》的某些错误时，则以演绎推理为主，从而把他自己掌握的数学知识建立在可靠的理论基础之上。
说数学研究与思想界结合得不密切，是就整体而言的，并不是说每个数学家都如此，比如刘徽就例外。他深受魏晋辩难之风的影响，他对《九章算术》“析理以辞，解体用图”，“析理”正是辩难之风的要件，刘徽析理的原则、析理的方法都是与当时辩难之风合拍的。当然，即使是刘徽对许多数学概念的探讨还没达到古希腊那么深入的地步。比如，刘徽将无穷小分割引入数学证明是前无古人的贡献，却从未考虑过潜无穷小与实无穷小的区别。不过，这未必是坏事。古希腊数学家无法圆满解决潜无限与实无限的问题，不得不把无穷小概念排除在数学研究之外，因此，他们在证明数学命题时，从未使用过极限思想和无穷小分割。刘徽则不然，他认为圆内接正多边形边数无限增多，最后必定“与圆周合体”，因此可以对与圆周合体的正多边形进行无穷小分割并求其面积之和；他认为对阳马与鳖臑组成的堑堵进行无穷分割，可以达到“微则无形”的地步；刘徽在极限思想的运用上远远超过了古希腊的同类思想，达到了文艺复兴前世界数学界的最高峰。古希腊数学家认为正方形的对角线与其边长没有公度，即【377】与1没有公度，导致数学史上的第一次危机，使古希腊数学转向，把计算排除在数学之外，只注重空间形式的研究，因而在无理数面前束手无策。而刘徽、祖冲之等则不然，他们对“开之不尽”的“不可开”的数，敢于继续开方，“求其微数”，以十进分数无限逼近无理根的近似值。没有陷入哲学的争论，从数学计算的实际出发，使中国数学家能够绕过曾导致希腊数学改变航向或裹足不前的暗礁，在数学理论和实践上达到古希腊数学家所不曾达到的高度。
长于计算，以算法为中心，是中国古代数学的显著特点。古希腊数学只考虑数和形的性质，而不考虑具体数值。比如，他们很早就懂得，任何一个圆的周长与直径之比是个常数，但这个常数的数值，几百年无人问津，直到阿基米德才求出其值的范围。相反，中国古典数学几乎不研究离开数量关系的图形的性质，而通过切实可行的方法把实际问题化为一类数学模型，然后用一套程序化即机械化的算法求解。算经中的“术”全是计算公式与计算程序，或应用这些公式、程序的细草，所有的问题都要算出具体数值作为答案，即使几何问题，也要算出有关因素的长度、面积、体积。这就是几何方法与算法相结合，或几何问题的算法化。刘徽说：“以法相传，亦犹规矩、度量可得而共”(《九章算术注·序》)，清楚地表达了中国古算形、数结合的特点。《九章算术》的开方术、方程术、盈不足术、衰分术、均输术，刘徽计算圆周率的割圆术、计算弧田面积近似值的方法，贾宪求贾宪三角各廉的增乘方法，贾宪开创而秦九韶使之完备的求高次方程正根的正负开方术，秦九韶的同余式解法，朱世杰的四元术，等等，都有相当复杂的计算程序。数学运算的程序化使复杂的计算问题易于掌握，即使不懂其数学原理，也可掌握其程序，于是产生了程序的辅助用表“立成”。上述这些程序都具有完全确定性、对一整类问题适用性及有效性等现代算法的三个特点。许多程序几乎可以一字不差地搬到现代电子计算机上实现。
先进的记数制度，强烈的位置值制是促成中国算法理论充分发展的重要因素。中国最早发明了十进位置值制记数法，这种记数法十分有利于加减乘除四则运算及分数、小数的表示。加之汉语中数字都是单音节，便于编成口诀，促成筹算乘除捷算法向口诀的转化。而筹算的使用使分离系数表示法成为顺理成章。线性方程组的分离系数表示法、开方式的记法、天元多项式、四元式的记法，实际上也是一种位置值制。未知数的幂次完全由其在表达式中的位置决定，而不必写出未知数本身，如开方式中，自上而下依次是“商”、“实”(常数项)、“方”(一次项)、“一廉”、“二廉”(二、三次项系数)……隅(最高次项系数)。天元式也是如此，只是因为运算中有正幂也有负幂，才需要在常数项旁标一“太”字，或在一次项旁标一“元”字，未知数幂次完全由与“太”或“元”的相对位置决定。这种表示法特别便于开方或加减乘除运算，尤其是用天元的幂次乘(或除)，只要上下移动“太”或“元”字的位置即可。
数学理论密切联系实际，是中国古代数学的又一显著特征。不能把古算经的所有题目都看成日常生产生活的应用题，有些题目只是为了说明算法的例题，《九章算术》和《测圆海镜》中都有此类题目。但是，中国古算确实是以应用为目的的，这是与古希腊数学的显著区别之一。后者公开申明不以实际应用为目的，而是看成纯理念的精神活动，欧几里得几乎抹去了《几何原本》的实际来源的所有蛛丝马迹。而中国数学家却从不讳言研究数学的功利主义目的。自《汉书·律历志》到刘徽、秦九韶，都把数学的作用概括为“通神明”、“类万物”两个方面。这里神明的意义既可作神秘主义来理解，也可以看作说明物质世界的变化性质的范畴，或二者兼而有之。《九章算术》刘徽为其注没有任何神秘主义的成份，对通神明的作用也没作任何阐发，刘徽倒是明确指出了《九章算术》各章在实际生产生活中的应用范围：方田以御田畴界域，粟米以御交质变易，衰分以御贵贱禀税，少广以御积幂方圆，商功以御功程积实，均输以御远近劳费，盈不足以御隐杂互见，方程以御错糅正负，勾股以御高深广远，显然是“类万物”方面。秦九韶把“通神明”看作数学作用之大者，并且其理解是神秘主义与世界变化的性质二者兼而有之的，而把类万物、经世务看成数学作用之小者。尽管他表示要将数学“进之于道”，但他的数学研究实践使他感到对于大者仍“肤末于见”，而注重于小者，认识到“数术之传，以实为体”，因此“设为问答以拟于用”。他的《数书九章》除第一问外，大都是实际生活、生产及各种工程的应用题，反映南宋经济活动之翔实远胜于《九章算术》等著作对当时现实经济活动的反映。总之，中国数学密切联系实际，并在实际应用中得到发展。也许正因为有这个长处，中国数学从《九章算术》到宋元高潮，基本上坚持了唯物主义传统，未受到数字神秘主义的影响。明朝著作有一些神秘主义的东西，具有穿靴戴帽的性质，但仍不能改变以实际应用为目的这一总的特征。
统治者对数学的态度造成了中国与希腊数学不同的发展特点。古希腊统治者非常重视数学，造成希腊数学有很强的连续性、继承性。而中国古代的统治者，除个别者外，大都不重视数学。秦始皇统一中国，较为重视数学的墨家遭到镇压，汉朝以后独尊儒术，儒法合流，读经学礼，崇尚文史，成为一种社会风气。由于数学对国计民生的重大作用，统治阶级又不得不承认“算术亦六艺要事”(《颜氏家训·杂艺》)，但却主张“可以兼明，不可以专业”(同上)。数学一直被视为“九九贱技”。刘徽哀叹“当今好之者寡”，(《九章算术注·序》)秦九韶说“后世学者鄙之不讲”，(《数书九章序》)李冶以大儒研究数学，自谓“其悯我者当百数，其笑我者当千数”。(《测圆海镜序》)刘徽所处之魏晋，秦、李所处之宋元，都是中国数学兴盛时期，尚且如此，何论其他！二十四史，林林总总，列入无数帝王将相，以及文学家、思想家，甚至烈女节妇，却没有为一个数学家立传，祖冲之、李冶有传，却是以文学家、名臣的身份入传的。社会的需要，以及世代数学家不计悯笑，刻苦钻研，自汉迄元，使中国数学登上了世界数坛的一个又一个高峰，然而中国数学的发展常常大起大落，艰难地前进。更使人觉得奇怪的是，高潮往往出现在战乱时期，如战国时期《九章算术》主要成就的奠基，魏晋南北朝数学理论的建立，宋辽金元筹算数学的高潮；相反，低谷往往出现在大一统的太平盛世，如唐、明两代，不仅数学建树甚少，甚至到了大数学家看不懂前代成果的可笑地步！这当然丝毫不意味着战乱、分裂比安定、统一更有利于数学的发展，而是因为战乱时期，儒家思想的统治地位往往受到冲击，社会思潮较为活跃，思想比较解放。同时由于战乱，读经入仕的道路被堵，知识分子稍稍能按自己的兴趣和社会的需求发挥自己的才智，所蕴藏的数学才能也得到较充分展示，致使处于夹缝中的数学研究状况反而比大一统的太平盛世更好一些罢了。
第二节 中国古算的地位和意义
中国古代数学成就辉煌，这已日益得到国人和世界学术界有识之士的承认。我们反对随意拔高古人，制造世界第一的沙文主义作法，同样，我们也反对不顾事实，以希腊数学为唯一模式，贬低中国数学的错误态度，更反对对中国古代数学一无所知，就妄称中国在数学史上交了白卷的民族虚无主义。我们认为，古希腊人对数学确实作出过光辉的贡献，对世界数学思想产生过巨大的影响。但是，同样无可否认的事实是，在公元前2世纪前后，希腊数学衰微的时候，中国数学(以及后来发展起来的印度数学、阿拉伯数学)占据了世界数学舞台的重心。从公元前一、二世纪《九章算术》成书到14世纪初，中国数学的许多领域长期在世界上领先，且整体水平也居于世界前列。这不仅是世界数学研究重心在地域上的大转移，而且也是数学研究方向的大转折。从此，以算法研究为主取代了以几何研究为主的状况。中国的算法成就通过各种途径传入西方，对欧洲文艺复兴时期数学的发展起到了不可估量的影响。正是中国算法与古希腊几何学相结合，导致了解析几何学的产生，为常量数学转变为变量数学作出了贡献。
中国古代数学成就不仅是进行爱国主义教育的优秀教材，而且许多成就本身对当前的数学教学仍具有现实意义。事实上，中国古代解决某些问题的方法比现行数学教科书中的方法要优越得多。更为重要的是，中国古代数学的思想和方法对当前的数学研究仍有启迪作用。有的数学大师“把构造性与机械化的数学看作是可以直接施用于现代计算机的数学”，而中国数学就是这样一种数学。吴文俊先生汲取中国古代数学的思想和方法，在几何定理的机器证明的研究上取得了举世瞩目的成就。他预言：“继续发扬中国古代传统数学的机械化特色对数学各个不同领域探索实现机械化的途径，建立机械化的数学，则是本世纪以至可能绵亘整个21世纪才能大体趋于完善的事”。(《现代数学新进展序》)“《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆成定局。”(《汇校九章算术序》)
辅文图片
甲骨文数字
西安出土西汉金属算筹
刘徽割圆术原文(宋刻《九章算术》)
郭书春汇校《九章算术》
古代之立体模型 左牟合方盖
古代之立体模型 下左鳖臑 下中阳马 下右暂堵
祖冲之开立圆术立体之分解
周公作九章之法以教天下图(明刻黄龙吟《算法指南》)
南宋秦九韶《数书九章》书影 (清宜稼堂本)
南宋杨辉《详解九章算法》 (清宜稼堂本)
明《永乐大典》载贾宪三角图
千阳出土西汉骨算筹
明代象牙算盘
算盘
宋刻算经
宋刻《九章算术》卷一
明程大位像(康熙刻本《算法统宗》)
清李善兰像(《格致汇编》)
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