乘龙凤驾的车西行到昆仑的。屈原描写他的神魂再次西行，“为余驾飞龙兮，
杂瑶象以车“。”麾蛟龙使梁津兮，诏西皇使涉予“。这是说先乘飞龙驾的
车西行，再乘蛟龙渡天津而到达目的地。蛟龙是一种有脚的龙，便于游泳渡
过天津的。洪兴祖《楚辞补注》引郭璞曰：“蛟似蛇，四足，小头，……龙
属也。“子弹库出土的《男子御龙图》，这条龙正昂首向西游泳，这条龙的
腹下确有一脚作游泳形象，同时脚的前面正有一鱼向前游，当即蛟龙无疑。
由此可见《离骚》所描写的正是这样的情态，过去人们对这张画误解，以为
是一条龙舟，其实只是一条蛟龙，这个男子就是乘着这条蛟龙昂首游泳渡过
天津而西行的。《离骚》“麾蛟龙使梁津兮”，五臣注：“麾，招也。”王
逸《注》：“以蛟龙为桥，乘之以渡。”值得注意的是，神话中要到达昆仑
这个神灵之地，前去的通道上有个“天津”阻隔着，并且由西皇这个神主管
着这个天津，因此必须得到西皇的准许，乘着蛟龙才得渡过天津而进入目的
地。这两幅楚帛画和《离骚》所描写神魂西行的情态虽然相同，但帛画是描
写墓主死后灵魂西行，《离骚》则描写屈原学着神仙而神魂西行。
方士食六气的方技
①王孝廉《中国神话世界》第三章《仙乡传说》，作家出版社一九九一年版。
①孙作云《战国时代楚墓出土帛画考》（《开封师范学院学报》一九六○年五月号），萧兵《引魂之舟：战国楚帛画与楚辞神话》（收入马昌仪《中国神话学文论选萃》二二三至二六○页）。
《楚辞。远游》一篇，王逸以为这是屈原因方直而不容于世，“托配仙人，与俱游戏，周历天地”。从其内容看来，疑是屈原后学所作。屈原作《离骚》只是学着神仙而神魂西行，《远游》则进一步讲究方技而变成神仙了。
《远游》以赤松子、王乔等仙人作为榜样，既要像“真人”那样的“登仙”，“化去而不见”，又要修炼“食六气”的方技，“餐六气而饮沆瀣兮，漱正阳而含朝霞；保神明之清澄兮，精气入而秽气除”。这个“食六气”的方技，是方士对“引气”的气功疗法作了进一步的发展，主张按四季变化和每天时光变化，吸食六种不同的“气”而避食其他的“气”，见于王逸《注》所引《陵阳子明经》，据说陵阳子明是楚国陵阳（今安徽青阳东南）的仙人，见于《列仙传》。马王堆汉墓出土帛书《却谷食气》也属于这个性质。“朝霞”
是“日始欲出赤黄气”，是平旦的气，春天所食。“正阳”是“南方日中气”，夏天所食。“沆瀣”是“北方夜半气”，冬天所食。还有“沦阴”是“日没以后赤黄气”，秋天所食。《远游》还说：“壹气孔神兮于中夜存，虚以待之兮无为之先。”方士是很重视于半夜食气的，沆瀣就是夜半之气。
《远游》后段讲到“闻至贵而遂祖兮，忽乎吾将行。仍羽人于丹丘兮，留不死之旧乡”。这是说闻得至贵的讯息，于是急于前往仙乡，所谓“羽人”
就是羽化而登仙的仙人，所谓“不死之乡”，王逸以为“遂居蓬莱、处昆仑也”。《远游》篇接着有和《离骚》相同的叙述：“命天阍其开关兮，排阊阖而望予。召丰隆使先导兮，问太微之所居。集重阳之帝宫兮，造旬始而观清都。”天阍就是帝阍，阊阖是天门，丰隆是雷神，可知太微即是上帝，因为楚国方士把上帝称为太一或太微。
方士祝由的方技
方士在使用百药治疗的同时，还用“祝由”的巫术来治病。《素问。移精变气论》说：“余闻古之治病，惟其移精变气，可祝由而已。”王冰注：“祝说病由，不劳针石。”“祝”当通“咒”，咒诅，就是在神前咒诅致病的鬼怪，使病者“移精变气”，精神状态变移，取得治疗效果。马王堆帛书《五十二病方》就夹杂有这种治病方技。往往使用喷水、吐沫、吐气、呼号、击鼓以驱逐鬼怪，或用椎、杵、斧等工具加以驱逐，或用土块、药物摩擦患处，或用猪、鸡尿及泥土涂抹患处，或用扫帚打扫患处再扔掉，或用“划地”、“禹步”（一种舞步）等巫术来禁避鬼怪，或用桃枝以避邪，同时在神前咒诅或威胁致病的鬼怪，说如不停止作祟，将要加以杀伤，从而使病人精神状态有所变移。
方士炼丹术的起源
《周礼。天官。玉府》讲到“王齐（斋）则共（供）食玉”，郑玄注：“玉是阳精之纯者。”《楚辞。远游》说不死之乡，“吸飞泉之微液兮，怀琬琰之华英，玉色■以脕颜兮，精醇粹而始壮”。这是说吸了飞泉的“微液”，吃进了宝玉的精华，因而颜面美艳如同玉色，精神因而纯粹健壮。《盐铁论。散不足篇》讲到齐燕方士争趋秦都咸阳，“言仙人食金饮珠，然后寿与天地相保”。古神话中昆仑山下有“饮之不死”的丹水（《淮南子。地形篇》），昆仑山之阳峚山有“玉泉”，“是有玉膏，其原沸沸汤汤，黄帝是食是飨”，
“玉膏所出，以灌丹水，瑾瑜之玉为良”，“君子服之以御不祥”（《山海经。西次三经》）。穆天子传讲到周穆王到昆仑山的县圃，“天子于是得玉荣”，郭璞注：“玉荣，玉之精华也。《尸子》曰：龙泉有玉英”。最早的药物经典《神农本草经》，是汉代著作，就曾说玉泉“主五藏（脏）百病，柔筋强骨，安魂魄，长肌肉，益气，久服耐寒暑，不饥渴，不老神仙”。这是古老相传的传说。汉代铜镜铭文中常见“上有仙人不知老，渴饮玉泉饥食枣。”这种饮食丹水、玉泉、玉荣、玉膏可以成神仙的传说，就是方士谋求炼制“不死之药”的起源，方士的炼丹术就是由此开始的。《神农本草经》又说丹砂“主身体五藏百病，养精神，安魂魄，益气明目，杀精魅邪恶鬼，久服通神明”，因而列为众药之首。很明显，这是方士的见解。
十六术士依托鬼神的数术
数术的来源和特点
《汉书。艺文志》以为数术来自“明堂、羲和、史卜之职”，著作分为六类，即天文、历谱、五行、蓍龟、杂占、形法。“天文”一类，既包括日、月、五星、二十八宿等星象的分布和运行，属于天文学的范围；又包括云气的观察，带有气象学的性质，更包括“星气之占”，就具有占星术的性质。
“历谱”一类既包括历法的制订和颁布，又包括君王世系和年谱，带有历史记载的性质。“五行”一类既包括阴阳五行学说的发展。又包括四季十二月二十四节气的时令安排，关系人民的生产和生活。“蓍龟”就是指篮占和龟卜，是古代流行的迷信，用以判断行事吉凶的。战国时代除了筮占和龟卜以外，也还有使用“式盘”来占验的。“杂占”一类，包括“占梦”、厌劾妖祥“（驱鬼除邪）、”祝祷祈禳。“形法”一类，包括相地形、相宅墓、相人、相刀剑、相马以及相六畜等。
战国是连年战争的时代，有不少依托鬼神的数术被用于双方战斗之中。
这反映了当时执政者思想落后的一面。
星气之占和望气之术
战国时代各国君主常常以占卜决定发动战争，也常以星象和气象的变化预测胜负。《韩非子。饰邪篇》曾有大段文章，批评这些君主迷信这种“星气之占”是“愚莫大焉”。他列举当时多次战争的结果，指出依靠“龟策鬼神不足举胜”，按据星的“左右背乡（向）不足以专战”。他说：“初时者，魏数年东乡（向）攻尽陶、卫，数年西乡（向）以失其国，此非丰隆、五行、太一、王相、摄提、六神、五括、天河、殷抢、岁星数年在西也，又非无缺、弧逆、刑星、荧惑、奎台数年在东也。”因为当时占星家以为丰隆等星为吉星，天缺等星为凶星，从其所在位置的移动可以据此判断战争的那方面胜负。
马王堆帛书《五星占》和《天文气象占》中，就有不少内容是占用兵的。《五星占》提到太白（金星）最多，其次是荧惑（火星）。因为他们认为金星和火星都是主兵的凶星。当时史官兼掌星气之占，因而常注意彗星出现以及金星、火星逆行，作为“天象灾异”的记录（参见第十一章第二节）。
当时兵家也很重视这种所谓“天象灾异”，而且讲究“望气”之术。《六韬。王翼篇》主张将帅必须有股肱羽翼七十二人，其中“天文三人主司星历，候风气，推时日，考符验，校灾异，知人心去就之机”。《六韬。兵征篇》指出：“凡攻城围邑，城之气色如死灰，城可屠；城之气出而北，城可克；城之气出而西，城必降。城之气出而南，城不可拔；城之气出而东，城不可攻；城之气出而复入，城主逃北；城之气出而覆我军之上，军必病；城之气出高而无所止，用日长久。凡攻城围邑，过旬不雷不雨，必亟去之，城必有大辅。此所以知可攻而攻，不可攻而止。”这是很具体地说明“攻城围邑”
的“望气”之术。马王堆帛书《天文气象杂占》讲到某种云“在师上，归”，某种云“在城上，不拔”，也是相同的“望气”之术。
后期墨家讲究守城的战术的著作中，有《迎敌祠篇》，讲到守城迎战敌
人之前，当灵巫祈祷而用牲主祭四方之神以后，就必须由望气者“望气”，并由巫单独将“望气之情”报告太守。据说：“凡望气，有大将气，有小将气，有往气，有来气，有败气，能得明此者，可知成败吉凶。”《墨子。号令篇》又说：“望气者舍必近太守，巫舍必近公社，必敬神之。巫、祝、史与望气者必以善言告民，以请（情）上报守，守独其请（情）而已。巫与望气妄为不善言，惊恐民，断弗赦。”所谓“断弗赦”是说要定罪不赦。据此可知，当时对“望气”非常重视，望气者以及巫、祝、史都必须以“善言”
告民，望气者必须把望气所得实情保密而独自报告太守知道，如果泄密而告诉人民，就要定罪不赦。
听音预测之术
《周礼。春官》载太师之职，“大师，执同律以听军声而诏吉凶。”郑玄《注》引《兵书》曰：“王者行师出军之日，……大师吹律合音，商则战胜，军士强；角则军扰多变，失士心；宫则军和，士卒同心；徵则将急数怒，军士劳；羽则兵弱少威。”《兵书》，据孔颖达《正义》是武王出兵之书，当出于后人所伪托。相传周武王伐纣就曾“吹律听声”。《史记。律书》说：“王者制事立法，物度轨则，壹禀于六律，六律为万事根本焉，其于兵械尤所重，故云望敌知吉凶，闻声效胜负，百王不易之道也。武王伐纣，吹律听声，推孟春以至于季冬，杀气相并而音尚宫。同声相从，物之自然，何足怪哉？”所说“望敌知吉凶”是指“望气”之术，所说“闻声效胜负”是指“听音”之术，可知“听音”是和“望气”相配合的。
《六韬》有《五音篇》专讲这个“听音”预测之术。据说方法是，当天晴夜半时刻，轻骑前往敌军营垒的九百步外，持律管当耳静听，大呼一声惊动敌人，就“有声应管”，可以辨出五音。同时听到鼓声就是“角”，见到火光就是“徵”，闻得金铁矛戟之声就是“商”，听到人呼啸之声就是“羽”，若寂静无声就是“宫”。
式盘（罗盘）的占验
战国时代已使用式盘来占验时日，因而式盘有“天时”之称。《周礼。春官》所载太史之职，“大师，抱天时与大（太）师同车”。郑玄《注》引郑司农曰：“大出师则太史抱式以知天时，处吉凶。”现在考古出土的式盘，年代最早是西汉初年的，一九七七年安徽阜阳双古堆出土，现藏阜阳博物馆，想必战国时代的式盘与之大体相同。这种式盘由上下两盘构成，上盘圆形，象征天，以北斗星居盘中心，四周环列十二月和二十八宿，称为天盘。下盘方形，象征地，由内向外，以天干、地支、二十八宿排列三层，称为地盘。
天盘中心有轴可以扣置地盘中心穿孔而旋转。《汉书。艺文志》五行类，著录有《羡门式》二十卷和《羡门法式》二十卷，都是托名战国著名方士羡门高而讲究式盘的占验的。
龟卜与筮占
龟卜是用烧灼龟甲来看“兆”以断吉凶，筮占是用竹木棍（策）或蓍草
经过摆布而形成“卦”以断吉凶，都是从商代开始的，到战国时代还很流行。
直到战国晚期相互战争，彼此都还要经过占卜。《韩非子。饰邪篇》指出，赵、燕两国相战，都是“凿龟数策，兆曰大吉”，结果赵胜，“非赵龟神而燕龟欺也”；接着赵又北伐燕，“兆曰大吉”，结果秦乘机袭赵取得大胜，“又非秦龟神而赵龟欺也”。
一九八七年湖北荆门县包山楚墓中出土一批占卜竹简，记载墓主临死前三年（公元前三一八至前三一六年）求问病情和祭祷以及禳除的。从竹简内容看来，当时是龟卜和筮占兼用的，而主要用卜。筮占沿用商周以来的“数字卦”，以“一”、“五”、“六”、“七”、“八”、“九”这样六个数字来表示的，所祭祷的神祇，“太”是众神之首，当即“太一”。其次是司命、司过、后土等。也还祭祀祖宗及亲属。表示“禳除”的词是“攻解”、“攻叙（除）”、“攻夺”，“禳除”的对象都是鬼怪和夭死、战死、淹死的冤魂，具有驱邪的巫术性质。
战斗中“避兵”的巫术
一九六○年湖北荆门车桥战国墓出土巴蜀式铜戈，“内”部有“兵辟（避）
太岁“的铭文，”援“部有”大“字形的戎装神像，头戴插有左右双羽的武
冠（即鹖冠），芽甲，腰系带，双耳珥蛇，双手各执一龙，右手所执之龙双
头，跨下又伏一龙，左足踏月，右足踏日。太岁是神名，指值岁的最高天神，
当即方士所推崇的太一。太一为方士所推崇的上帝，统属日、月和北斗。汉
武帝于元鼎四年信从方士，“始郊拜太一，朝（早）朝日，夕夕月”（“朝
日“谓早上朝拜太阳，”夕月“谓晚间朝拜月亮），次年代南越，告祷太一，
以画有太一和日、月、北斗的画幡称为灵旗，由太史举以指向所伐之国。这
和“兵辟太岁戈”上的神像两足踏日月相合。所谓“兵辟”，是说举此可以
避免兵器杀伤，具有巫术性质。马王堆帛书中有一幅带文字题记的图，上层
中间所画太一神像也作“大”字形，跨下也有一黄首青身之龙，左右为雷公、
雨师之像。中层为“禁避百兵”的四个“武弟子”像，下层为黄龙和青龙。
这幅图画与上述戈援的神像相似，同样属于“避兵”的巫术性质。①……
对敌国君主咒诅的巫术
当时宋秦等国流行在天神前咒诅敌国君主的巫术。他们雕刻或铸造敌国君主的人像，写上敌国君主的名字，一面在神前念着咒诅的言词，一面有人射击敌国君主的人像，如同过去彝族流行的风俗，在对敌战斗前，用草人写上敌人名字，一面念咒语，一面射击草人。
据记载，宋王偃曾铸造敌国君主之像，安放在所筑的台上，穿以甲胄，并用大皮囊盛着血挂在像上，于是在天神像前，一面咒诅，一面加以射击，要“弹其鼻”而“射其面”，还要射中盛血的皮囊，使鲜血下流，象征着射死了敌国君主，因而宋王左右观看的人，都欢呼：“王之贤过汤、武矣”，一时室中、堂上、堂下的观众都高呼万岁了，甚至门外庭中也呼应了。这就是咒诅敌国君主的巫术的精彩表演。
①周世荣《马王堆汉墓神祇图帛画》，《考古》一九九○年第十期。
当秦惠文王更元十二年（公元前三一三年）秦楚初次大战前，秦王曾使宗祝在巫咸和大沈厥湫两个神前，举行这样咒诅楚王的祭礼，北宋出土的《诅楚文》石刻，就是当时宗祝奉命所作，把楚王咒诅得如同商纣一样的暴虐残忍，请天神加以惩罚，从而“克剂楚师”。
①
①详见拙作《秦诅楚文所表演的诅的巫术》，《文学遗产》一九九五年第五期。
第十一章战国时代科学和科学思想的发展
一科学技术的发展和科学理论的探讨
原来贵族的文化知识，大多为世袭的各种官职所掌握，他们有保藏的档案和文献，有世代相传的统治经验和知识。所有科学知识如天文、历法、地理、医药等等，常常和巫术迷信相混杂。随着社会生产力的发展，社会经济的发展变革，科学技术也逐渐和巫术迷信分开，有了较大的进步。
科学技术和农业、手工业生产的发展
战国时代科学技术的进步，有力地促进了农业和手工业生产的发展。本
书第二章谈到，由于冶铁鼓风炉的进步，铸铁冶炼技术的发明，铸铁制造工
艺的进步，铸铁柔化技术的发明，渗碳制钢技术的发明，采矿技术的进步，
使得冶铁手工业有了很大发展，铁器的产量和质量不断提高，便利了铁器的
广泛使用，有助于农业和手工业生产的进一步发展。随着修筑堤防技术的进
步，水利工程技术的发展，灌溉方法的进步，牛耕的推广，施肥技术的进步，
谷物一年两熟制的推广，讲究改造土壤和栽培技术的农家之学的兴起，农业
生产有着很大的进步。随着讲究手工业技术和操作规范的著作如《考工记》
之类的出现，手工业生产也有很大的进步。由于农业和手工业生产的发展，
需要科学技术来解决的问题就越来越多，有关科学技术的理论的探讨也就开
展起来。
新器械的创造
春秋战国间，随着生产的发展和物质生活上的需要，由于劳动人民不断的创造，发明了不少新的器械。
这时已经发现磁石，《山海经。北山经》说：灌题之山，“匠韩之水出
焉，而西流注于■泽，其中多磁石“。秦始皇造阿房宫，就”以慈石为门“
（《史记。秦始皇本纪。正义》引《三辅旧事》）。磁石的磁性作用已被发
现，《吕氏春秋。精通篇》就曾说：“慈石召铁，或引之也。”战国末年，
已经利用磁石的指极性，发明了一种正方向、定南北的仪器，叫做“司南”。
据《韩非子》说：这种司南的仪器是由于怕“东西易面而不自知”设置的（《有
度篇》），显然是一种指南的仪器。这种仪器到汉代还称为司南，据说：“司
南之构“投掷在地上，能自动指向南方（《论衡。是应篇》）。这个发明在
世界文化上的贡献是巨大的。
①
①《韩非子。有度篇》说：“夫人臣侵其主也，如地形焉，即渐以往，使人主失端，东西易面而不自知。
故先王立司南以端朝夕。“王振铎《司南指南针与罗经盘》说：”司南即为一种器物，其在先秦究为何种用途？如韩非记先王用之‘以端朝夕’。《周礼。考工记。匠人》云：“置槷以县，眂以景，为规识日出之景与日入之景，昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕。‘郑玄注云：”槷古文臬，假借字，于所平之地中央，树八尺之臬，以县正之，眂之以其景，将以正四方也。’《周官》匠人营国，职在建筑营造，置槷眂影，以侧日之出影入影，厘正日中之影，以定子午，而正四向。持郑注以释韩非之文，则司南为用，颇与冬官臬表测影以正四方之用相合。其所谓‘以端朝夕’者即‘以正四方’也。……汉之指南和先秦之司南，实为一物，皆为古人用以正方向、定南北之一种仪器。“（《中国考古学报》第三册）《论衡。是应篇》说：”司南之杓，投之于地，其抵指南。“所谓”司南之构“便是一种正方向、定南北的仪器。罗
这时已经发明了计时的仪器。《周礼。夏官》有挈壶氏，是掌管悬壶“以水火守之，以分日夜”的。这种计时仪器就是后世所谓滴漏。用一个盛水的壶倒挂着，使壶中的水通过一个小孔一点点地流到下面的器皿里，人们只要看水满到器皿上所刻的什么度数，就可以知道是什么时刻。
这时己创造能够取火于日的青铜凹面镜。《周礼。秋官》有挈壶氏，掌管“夫燧取明火于日，以鉴诸取明水于月”。《考工记》说：“金锡半，谓之鉴燧之齐。”郑玄注：“鉴燧，取火水于日月之器也。”夫燧也称阳燧，鉴诸也称方诸。《淮南子。天文篇》说：“阳燧见日而然（燃）为火，方诸见月而津为水。”《论衡。率性篇》说：“阳燧取火于天。五月丙午日中之时，消炼五石，铸以为器，磨砺生光，仰以向日，则火来至，此真取火之道也。”阳燧是青铜制的凹面镜，这种凹形的金属反射面，经过“磨砺生光，仰以向日”，就可以取火。这是人类最早利用太阳能的一种方法。
这时科学上的发明，往往被利用到兼井战争中去。利用机械轮轴制作的弩，已成为最有力的进攻手段。而且，弩的构造和性能还在不断地进步。战国末年已经出现了“连弩之车”。这种安置在车上发射的连弩是很大的，铜制的“机郭”重达一石三十钧（即一百五十斤，约合今三十四公斤），钩住弓弦的钩距（即牙）有三寸见方，箭长达十尺（约合今二点三米），用绳子系着箭尾如同“戈射”一样，发射后是用麻鹿（滑车）把它卷收回来的（《墨子。备高临篇》）。当然在这个弩的“机郭”中的机，也是够大的。这就告诉我们这时冶铸手工业的技巧已有了相当的水平。
战国时著名的新器械制造者公输般，除了创造了磨粉的硙以外，还曾替楚国制造攻城用的云梯和舟战用的钩拒。墨家为了加强防御战，也设计了许多守城的器械，著有《备城门》、《备高临》、《备梯》、《备水》、《备突》、《备穴》、《备蛾傅》等篇。在他们制作的防守器械中，广泛利用了简单的机械如滑车、杠杆、斜面之类。还常利用弹力和风力。在地道战中，他们已懂得利用鼓风设备把烟压送到敌方地道中去窒息敌人，同时也已懂得利用大陶罂，罂口蒙上薄皮，放到井中，“使聪耳者伏罂而听之”，以探听敌方挖掘地道之所在（《墨子。备穴篇》）。这是关于振动传播经验的具体运用。
据说公输般用竹木造成了■，飞起来“三日不下”，他“自以为至巧”。
这个说法不免夸张，但要把木■造得能够借助于风力而起飞，必然有一些简单的机械装置，这在当时是要算“至巧”的。墨翟曾为此批评公输般说：这种木■不如他所造的车辖，一会儿雕刻三寸之木而能够“任五十石之重”，“利于人谓之巧”（《墨子。鲁问篇》）。又相传公输般为母亲制作木车马，“机关备具”，由木人驾御，结果“载母其上，一驱不返，遂失其母”（《论衡。儒增篇》）。所说“一驱不返”，不免夸大失实，但这是一种有简单机械装置的木车，当是事实。东汉时著名科学家张衡自称他的机巧有“参（三）
福颐《汉栻盘小考》（《古文字研究》第十一辑）对王氏所作“司南”复原模型提出反对意见，认为用汉代式盘作“司南”的地盘，并无考古的依据；并认为韩非所谓“司南”是北斗星的别名，也可能是式盘的别名。王氏以汉代式盘作地盘，出于推测，罗氏否定“司南”是正方向的仪器而是北斗星，亦属推测。韩非既说“先王立司南以端朝夕”，“司南”当为人工制作，不可能指天上的北斗星。战国末年既然己知磁石的指极性，就方便制作利用磁石的正南北的仪器，由此推定汉代“司南之构”，战国末年已发明，应该是可取的。
轮可使自转，木雕犹能独飞“（《后汉书。张衡传》），该是受了公输般制作的影响。
数学的进步
战国时由于测量土地、计算租税和买卖上的需要，特别是由于制造器械的需要，数学也有了发展。除了一般的加、减、乘、除的计算以外，已能进一步作分数的计算，也能对面积和体积作精密的计算。我们举秦国卫鞅所监制的标准量器，即商鞅方升为例。根据它的铭文，这个升的容积是十六又五分之一立方寸，和新嘉量（即刘歆铜斛）升的铭文所说“积万六千二百分”，是相同的。说明当时已经运用了“以度审容”的科学方法，反映了我国古代数学计算和器械制造方面的高度成就。
这时比例的运算已很成熟。例如《墨子。杂守篇》说：“斗食（每日食一斗的），终岁三十六石；参食（每日食三分之二斗的），终岁二十四石；四食（每日食四分之二斗的），终岁十八石；五食（每日食五分之二斗的），终岁十四石四斗；六食（每日食六分之二斗的），终岁十二石。斗食，食五升；参食，食参升小半；四食，食二升半；五食，食二升；六食，食一升大半。日再食。”“日再食”，是说原来一天吃的粮食用作两天吃，因在围城之中民食不足而减半供应。这说明了比例运算：
11 2
36：24：18：14.4：12＝5：3 ：2 ：：2 1 32 3
手工业工人在各种器物的制造中，需要对各种角度进行测算。《考工记》对各种角度都有特定的名称：
“矩”是90°
“宣”是12×90°…… ＝45°……
“■”是45°＋12×45°＝6712°
“柯”是（45°＋21×45°）＋……
21（45°＋……
21×45°）＝10114°
“磬折”指大于“矩”或“柯”一半的135°或15178°
《考工记》中，凡是等于直角的称“倨中矩”，大于直角的称“倨句外博”，凡直角向内延小于直角时称“句于矩”，凡直角向外伸大子直角时称“倨于矩”。
《考工记》还具体应用了勾股弦定理。例如说：
冶氏为杀矢，……戈广二寸，内倍之，胡三之，援四之，……是故倨句外博，重三锊。乾广寸有半寸，内三之，胡四之，援五之，倨旬中矩，与刺重三锊。
如果三角形的三边的比例是2：3：4，那末4的对角大于90°，故称“倨句外博”。如果三边的比例是3：4：5，那末5的对角等于90°，故称“倨句中矩”。
手工业工人在制造器物中还需要对各种弧度进行测算。《考工记》中还有割圆和弧度的应用。例如说：
筑氏为削，长尺博寸，合六而成规。
弓人……为天子之弓，合九而成规；为诸侯之弓，合七而成规；大夫之
弓，合五而成规；士之弓，合三而成规。
这是把圆形作九分、七分、五分、三分的不同分割，使构成不同的弧度。
这些都是从手工业制造中发展了数学。
墨家重视手工业生产，重视新器械的创造。当时手工业工人用“矩”（有
直角的曲尺）制作方形，用“规”（圆规）制作圆形，用“绳”（拉直的墨线）制作直线，用“悬”（悬挂的线）制作垂直线，用“水”（水平仪）制作水平线（《墨子。法仪篇》）。后期墨家所著作的《墨经》，就在这个手工业制造应用测算技术的基础上，对“平”、“同长”、“中”（中心点）、“厚”（体积）、“直”（直线）、“圜”（圆形）、“方”（方形）、“倍”
（倍数）下了定义。这就是我国最早的几何学定义。例如说：
平，同高也。（《经上篇》）这是说，凡是同样高度的叫“平”。又如说：同长，以正相尽也。（《经上篇》）这是说，以二条直线相比，彼此长
短完全相同的，才叫做“同长”。又如说：中，同长也。（《经上篇》）
心中，自是往，相若也。（《经说上篇》）这是说，一个有规则的面积
或体积的中心点，必须是到相对两边的终点是“同长”的。也就是说，从一个中心点，到相对两边的终点，都该是长度相等的。又如说：厚，有所大也。（《经上篇》）这是说，有了有厚度的体积，才能有物体的大小。如果只有线或平面，就不能构成大小的体积。又如说：直，参也。（《经上篇》）这是说，中正不曲的叫直线。“参”是中正
不曲的意思。又如说：圜，一中同长也。（《经上篇》）
圜，规写交也。（《经说下篇》）这是说，每个圆形只有一个中心点，
从圆心到周围作直线（半径），都该是长度相等的。还认为，用圆规画成圆周，必须从一个起点画起。旋转一周，使起点和终点密合相交，才成正圆。
又如说：
方，柱隅四讙也。（《经上篇》）
方，矩见交也。（《经说上篇》）这是说，每个方形必须是四根垂直边线（柱）和四个直角（隅）相交接合（四隅）而成。用曲尺画方形，必须画成四个直角相互交合。又如说：
倍，为二也。（《经上篇》）这是说，某数用二来乘，就可以得到倍数。
这些都是根据手工业工人的测算方法作了理论的概括。
声学知识的产生和应用
当时手工业工人从制造乐器的生产实践中得到了声学知识，用来指导乐
器的制造。
《考工记》的《凫氏》说：薄厚之所震动，清浊之所由出，侈弇之所由兴，有说。钟已厚则石，已
薄则播，侈则柞（咋），弇则郁，长甬则震。
这是说：钟的厚薄，关系到声音的振动，这是钟声清浊的由来；这也和
钟口的宽狭有关。钟太厚则声音发不出（石），钟太薄则声音扩散（播），钟口宽则声音大而向外（咋），钟口狭则声音不舒扬（郁），柄（甬）太长则振动太大（震）。这里清楚地说明了钟体厚薄、钟口宽狭和音调的清浊、高低的关系。《凫氏》还说：
钟大而短，则其声疾而短闻；钟小而长，则其声舒而远闻。这是进一步说明板振动的振幅和声音响度的关系。钟大而短，振幅小，声音就急而小，不能远闻；反之，钟小而长，振幅大，声音就宽而大，能够远闻。这是我国有关板振动声学规律的最早论述。《考工记。■人》所讲鼓的制造，也有相同的论述。
《考工记。磬氏》谈到校正石磬发声的办法是：
已上则摩其旁，已下则摩其耑（端）。因为石磬如果短而厚，发声就清，音调就高；如果广而薄，发音就浊，音调就低。因此检验磬的发声时，如果音调太高（“已上”），校正办法是磨它的两旁，使它薄一些；如果太低（“已下”），校正办法是磨它的两端，使它短而厚些。这种校正办法就是依据实践中得到的声学知识来制定的。
随着声学知识的进步，十二音律的制作也有了细密的办法。十二律中“黄钟”是标准音，《吕氏春秋。适音篇》说：“黄钟之宫，音之本也，清浊之衷也。衷也者，适也。”这时已把十二律和十二月相配合，并且明确了十二律之间相生的关系。《吕氏春秋。音律篇》说：
黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。同时还指明这种相生关系，有“上生”和“下生”之别：
黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。
为便于说明起见，列为一表如下：
律名黄钟林钟太簇南吕姑洗应钟月属仲冬季夏孟春仲秋季春孟冬上生或下生起律下上下上下律名蕤宾大吕夷则夹钟无射仲吕月属仲夏季冬孟秋仲春季秋孟夏上生或下生上上下上下上
关于“上生”和“下生”的计算方法不同。《吕氏春秋。音律篇》说：
三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。这是说，以上一律之值再加以上一律的三分之一，就是“上生”；把上一律之值减去三分之一，就是“下生”。如果以α表示上一律之值，X表示“上生”之值，y表示“下生”之值，则得：
上生： x＝a＋a 3＝43 a
下生： y＝a－a 3＝23 a
这就是《汉书。律历志》所说的“参（三）分益一”和“参（三）分损
一“。也就是《淮南子。天文篇》所说：”上生者四，以三除之；下生者倍，以三除之。“根据黄钟以当时尺度九寸为标准，按”上生“和”下生“的计算方法推算，十二律管的长度应是：
律名黄钟林钟太簇南吕姑洗应钟管长（寸） 9 6 8 5 1 3 7 1 9 4 20 27律名蕤宾大吕夷则夹钟无射钟吕管长（寸） 6 26 81 8 104 243 5 451 729 7 1075 2187 4 6524 6561 6 12974 19683
当时十二律的制作有这样细密的计算办法，这是和当时声学知识的进步分不开的。
力学知识的产生和应用
这时车辆的制造已很进步，已有运用杠杆的天平来称重量，也有运用杠杆的桔槔来汲水灌田，又有运用滑车来起重的。随着农业、手工业和城市建筑业的发展，力学也就发展起来了。
当时手工业工人在车轮的制造中已注意到滚动摩擦问题。《考工记。轮人》很细致地谈到制造车轮的要求，认为观察车辆必须先从“载于地”的“轮”
开始，轮的制造“欲其朴属而微至”。所谓“朴属”就是牢固，所谓“微至”
是说轮子和地面的接触面微小。所以要求“微至”，是为了求其滚动快速。
因为“不微至，无以为戚速也”。“戚速”就是“快速”的意思。这里提出了滚动物体（轮子）的滚动速度和滚动物体接触面积的多寡关系，认为接触面微小则滚动快速。怎样能达到“微至”呢？《考工记》说：“欲其微至也，无所取之，取诸圜也。”就是说没有别的办法，只有做得正圆才能使得接触面微小。这是有关滚动摩擦理论的萌芽。
当时手工业工人已懂得利用水的浮力来检查木材的质量是否均匀。《考工记。轮人》说：“揉辐必齐，平沈必均。”这是说三十条车辐制成后，必须放在水中测量它们的浮沉程度是否一致，浮沉程度务求一致，各条车辐的质量才算均匀。等到车轮全部制成后，还必须把整个轮子放到水中测量，再一次检查轮子各部分的质量是否均匀，“水之以眂其平沈之均也”。这是利用水的浮力来检验木材质量是否均匀。
这种检验办法，不但应用于造轮子，也还应用于造箭干。《考工记。矢人》说：
参（三）分其长，而杀其一；五分其长，而羽其一。以其笴厚，为之羽深。水之以
辨其阴阳，夹其阴阳以设其比，夹其比以设其羽。参（三）分其羽，以设其刃，则虽有疾
风，亦弗之能惮矣。
这段话叙述了箭干制作的全部工艺过程。“笴”是箭干，“比”是箭干末端扣住弓弦的义形的“栝”，“刃”是有锋刃的箭头。这是说：
先要把箭干前部三分之一削好准备装箭头，再把后部五分之一做好准备装配羽毛，要根据箭干的厚薄，来决定装配羽毛的深浅，而关键在于用水来测量。要把按比例制作好的箭于投入一定装置的水中，测定它的沉和浮的部分（辨其阴阳），根据测定的情况来装置箭干末端的“比”，按照“比”的
装置情况在周围装配羽毛，根据装配羽毛部分长度的三分之一来装配有锋刃的箭头。这样根据箭干在水中沉浮的程度来观测其各部分的比重，再具体地装置“比”和“羽”，这在当时是一种科学的办法。这样发射时即使遇到大风，仍然能使箭的运动保持稳定性。这里表明当时手工业工人已经认识到在空气中运动的物体，要使它运动保持稳定，这个物体的各部分的制作必须依照一定的轻重比例。《考工记。矢人》又说：
前弱则俛，后弱则翔，中弱则纤，中强则扬，羽丰则迟，羽杀则■。
这是说：箭干前轻（“弱”）或后轻会影响箭飞行的高（“翔”）低（“俛”），中部轻或重会影响箭飞行的稳定性，使得飞行曲折（“迂”）或高飞（“扬”），羽毛装配的多少也影响飞行速度和稳定性，羽毛太多则飞行速度缓慢，羽毛太少则飞行不准而斜向旁边（“■”）。从此可见，当时劳动人民从箭在空中的飞行情况中，摸索到空气中飞行物体的各部比重和物体运动以及空气中阻力的关系。这是有关空气力学的萌芽。
《考工记。辀人》还讲到：“马力既竭，辀犹能一取焉。”这是说，马已经用尽力气，不再对车施加拉力而停止前进，但车还能向前跑一段路。这是惯性现象的较早记载。
力学和光学的理论的探讨
值得注意的是，后期墨家在手工业工人从生产实践中取得力学和光学知识的基础上，对力学和光学进行了理论上的探讨。他们的探讨，见于《墨子。经下篇》和《经说下篇》。这两篇著作，过去很少有人研究，再加上文字简略，比较难懂。近年来有不少自然科学工作者对此加以解释，还没有得到一致的结论。
①
后期墨家解释了桔槔利用杠杆来起重的机械作用，也解释了斜面上物体所以能滑动的原因，还论述了力的平衡问题以及如何调节杠杆平衡的原理。
后期墨家对平面镜、凹面镜、凸面镜的成像和针孔成像进行了分析，已经认识到光的直线进行，影的成因，针孔里面屏上的像的成因，平面镜和球面镜成像的原因等等。
①参见钱临照《论墨经中关于形学、力学和光学的知识》（《物理通报》第一卷第三期），洪震寰《墨经力学综述》（《科学史集刊》第七期），洪震寰《墨经光学八条厘说》（《科学史集刊》第四期），钱宝琮《墨经力学今释》（《科学史集刊》第八期）等。
二天文学和地理学的发展
历法的进步
因为天文历法和农业生产有密切关系，在我国，天文学很早就发达起来。
中国的历法向来是阴阳合历，并不是纯阴历。古代的天文历法家主要的工作
在于调和阴阳，在阴历年里适当地插入闰月，调节太阳节气，使四季的循环
能够合适。战国时代著作的《尧典》曾说：“期三百有六旬有六日，以闰月

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