人深刻印象，仍有许多改进的余地。我们后面将介绍经阿基米德改进的这
一命题，也即第四章的伟大定理。
与其相似的是第十二篇的最后一个命题，这一命题通过穷竭法，证明
了“两个球体的体积之比等于其直径的三重比”。用现代术语说，这一有
关球体体积的相对关系可以简单地表示为..
V1 =V2
D13 D23
（注意，所谓“三重比”是古希腊人的说法，我们今天称之为立方。）欧
几里得在这一命题中又提出了另一个重要常数——这一次是球体积与其直
径的立方比，但欧几里得依然未能提出这一常数的数值估计。阿基米德于
公元前.. 225年在其无可争议的杰作《论球体和圆柱体》一书中再次解决了
这一问题，对此，读者或许不应感到惊奇。
最后，我们来讨论第十三篇，也是欧几里得《原本》的最后一篇。他
在这一篇的.. 18个命题中探讨了所谓三维几何的“正立体”及其相互之间绝
妙的联系。一个正立体，其所有构成平面应当都是全等的正多边形。我们
最熟悉的正立体是立方体，即六面立体，其中每一个平面都是一个正四边
形——即正方形。对于古希腊人来说，正立体体现了一种三维的美与对称，
因此，认识正立体显然是他们优先考虑的问题。
在欧几里得时代，有五种正立体已为人们所认识——四面体（四面都
是等边三角形的角锥体）、立方体、八面体（八面都是等边三角形）、十
二面体（十二面都是正五边形）和五种中最复杂的二十面体（由等边三角
形构成的二十面立体）。
在欧几里得时代，有五种正立体已为人们所认识——四面体（四面都
是等边三角形的角锥体）、立方体、八面体（八面都是等边三角形）、十
二面体（十二面都是正五边形）和五种中最复杂的二十面体（由等边三角
形构成的二十面立体）。
柏拉图在他的论证中提出了一个引人发笑的伪数学论断：“..气与
水之比等于水与土之比”。对此，他的最后说明如下：
火是四面体形状，因为火是四大元素中最小、最轻、最活跃和最锐利
的物体，而四面体正适合火的这些特性。柏拉图说，土一定是立方体，因
为立方体是五种立体中最稳定的形体；而水是四大元素中最活动的流体，
其形状，或“种子”，一定是二十面体，因为这种形状最接近于球体，完
全有可能轻松滚动。气在大小、重量和流动性方面都居中，所以，是由八
面体构成的。柏拉图说：“我们必须想象所有这四种物体，每一种单位都
非常小，肉眼看不见，只有大量聚集在一起时，我们才能分辨。”
然而，使柏拉图感到为难的是，这四大元素一一讲完，却还剩下一个
正立体——十二面体没有去处。他强辩说，十二面体是“..上帝用来安
排满天星座的”。换言之，十二面体代表了宇宙的形状。《梯迈乌斯篇》
中的这一理论，即使算不得荒诞，也不免纯属空想，而这些正立体也从此
被称为“柏拉图立体”。想到欧几里得据认为曾在柏拉图的雅典学园中学
习过，就可以推测出这五种正立体对欧几里得有多么大的吸引力，以致要
用它们来结束《原本》。
众所周知，几何学家很久以来即已知晓这五种正立体的存在。在《原
本》的第.. 465个命题和最后一个命题中，欧几里得证明了再没有其他正立
体，几何学限定这些优美的立体形状只有五种，不多也不少。对此的简单
证明乃是依据命题.. XI.21。他只要依据构成任何立体角的平面角之和一定
小于四个直角或（用现代术语）小于.. 360°的限制，来考虑构成正立体平
面的多边形形状就可以了。
假设正立体的每一个平面都是等边三角形，因此，每一个平面角都是
60°。当然，立体角一定是由三个或三个以上的平面相交形成的，因此，
最小的立体角是由三个等边三角形构成立体的每一个顶角时形成的，因为
三个角的和为.. 3×60°=180°。这就是四面体。
我们还可以考虑立体的每一个顶角由四个等边三角形组成，因为四个
角的和是.. 4×60°=240°（八面体）；或者，每一个顶角由五个等边三角
形组成，因为五个角的和为 5×60°=300°（二十面体）。但是，如果我
们让每一个项角由六个或六个以上的等边三角形组成，则平面角之和至少
等于 6×60°=360°，而这样就违反了命题.. XI.21的限定。所以，以等边
三角形为平面，不可能构成其他类型的正立体。
那么，正方形平面的正立体又如何呢？当然，正方形的每一个角等于
90°，所以，三个正方形相交组成一个立体角，其平面角之和为.. 3×90°
=270°；这就是立方体。但是，如果由四个或四个以上正方形组成一个立
体角，则平面角的和又至少等于 4×90°=360°，而这又是不可能的。因
此，没有其他正立体能够具有正方形平面。
=270°；这就是立方体。但是，如果由四个或四个以上正方形组成一个立
体角，则平面角的和又至少等于 4×90°=360°，而这又是不可能的。因
此，没有其他正立体能够具有正方形平面。
（3×108°=324°＜360°），但不能更多。这种正立体就是十二面体。
如果我们试图用正六边形、正七边形、正八边形等等正多边形平面组
成正立体，则每一个平面角至少.. 120°，即使由三个角组成一个最小的立
体角，每一个立体角也会等于或大于.. 360°。用欧几里得的话说，“由于
同样不合理，一个立体角不能由其他多边形（超过正五边形的正多边形）
构成。”
总而言之，欧几里得证明，除了这五种正立体外，不可能再有其他正
立体存在——这五种正立体，有三种的平面是等边三角形，一种是正方形，
一种是正五边形。任何努力和机巧都不可能产生此外的任何正立体。
至此，《原本》全部结束。2300年来，《原本》始终是一部卓越的数
学文献。《原本》像所有经典著作一样，即使一读再读，作者的天才依然
令人玩味。时至今日，读者仍能从其精妙的数学推理技巧中获得无穷的乐
趣。我们最好还是引述托马斯·希思爵士的话来说明，他简洁明了地评价
说：《原本》“..现在是，并无疑将永远是一部最伟大的数学教科书。”
后记
本章的伟大定理涉及到数论问题，因此，现在，我们不妨看一看在这
一迷人的数学分支中一些十分重要而又常常引起争议的问题。数论的一个
真正诱惑是它的猜想简单得甚至连小学生都能看懂，然而却使一代又一代
世界一流数学家为它付出了艰苦的努力。这似乎就是这一数学分支看似反
常的特点。
例如，“孪生素数”现象曾引起过数学家们极大的兴趣。所谓孪生素
数，即两个相差 2的相邻素数，如 3和 5，或 11和 13，或 101和.. 103
等。像素数本身一样，随着数值的不断增大，孪生素数也变得越来越稀少，
人们随之必然会提出这样一个问题，“孪生素数的数量是有限的吗？”
这是一个十分简单的问题。并且，它于欧几里得.. 2300年前在命题
IX.2。中解决的问题很相似，似乎并不难回答。但是，直至今天，还没有
一位数学家知道这个孪生素数问题的答案。也许，正如大多数数学家所猜
想的那样，孪生素数的数量是无限的，但是，迄今为止，还没人能够证明
这一点。或者，也许，在某一点之后，我们可以找到最大的一对孪生素数，
但对此，同样没人能够证明。总之，情况之复杂，即使对欧几里得本人来
说，也不过如此。这不免令人沉重而又沮丧。
数论中还有其他一些饶有兴趣，但却未能解决的难题。我们曾介绍过
欧几里得的一个证明：如果括号中的项是素数，那么，任何可以写成..
2n（1+2+4+8+..+2 n）
形式的数字都是完全数。然而，他没有说这是唯一的完全数形式（但也没
有说不是）。因此，许多数学家都曾试图发现不同于欧几里得公式的完全
数。
迄今为止，人们仍然劳而无功。18世纪数学家莱昂哈尔德·欧拉在其
遗作中证明，任何偶完全数都一定适合欧几里得的公式，即，如果
N是一
个偶完全数，那么，就一定存在一个正整数
n，使得
N=2
n（1+2+4+8+..
+2n）
这里，括号中的项必定是（梅森）素数。
欧几里得与欧拉合力，已完全解开了偶完全数的谜。剩下的全部问题
是确定奇完全数的形式。遗憾的是，至今还没有人发现奇完全数。时至今
日，究竟是否存在奇完全数，还是一个难解的谜。当然，这并不等于说，
人们没有去寻找。几百年来艰苦的理论研究，特别是最近，利用高速计算
机进行的理论研究，都未能发现一个既是奇数，又是完全数的整数，但这
当然并不意味着，这种难以想象的奇完全数根本不存在。
数学家进退两难。他们既不能发现奇完全数，又无法证明奇完全数不
存在。然而，这种困境却也产生了一种诱人的可能性。也许，有一天，有
人会证明奇完全数根本不存在，这样，所有完全数就都是偶完全数，犹如
欧几里得所示，因而，所有完全数都适合欧几里得的公式。如果是这种结
果，则伟大的欧几里得在公元前
300年时便已确立了囊括世界全部完全数
的公式。果真如此，那将是一个非常了不起的转折。
本章以所有数论问题中一个最棘手的问题作为结束，即所谓“哥德巴
赫猜想”。这一猜想最初出现于
1742年一个数学迷克里斯蒂安·哥德巴赫
（1690—1764年）的一封信中。哥德巴赫名声大振的主要原因就是他寄给
欧拉的这封信。他在信中猜想，任何大于或等于
4的偶数都可以表示成两
个素数之和。欧拉倾向赞同哥德巴赫的猜想，但却苦于不知如何去证明。
像我们研究其他许多数论难题那样，我们不难用小数字来验证哥德巴
赫的猜想。例如，4=2＋2，28=23＋5，以及
96=89＋7。哥德巴赫猜想特别
引人注目，原因是它只涉及一些极为简单的概念，其仅有的几个技术性术
语只是“偶数”、“素数”和“和”，而这几个术语的意思几分钟之内就
可以给小孩子们讲明白。但是，自从哥德巴赫
250年前寄出这封信以后，
他的猜想却至今未能得到证明。
曾对哥德巴赫猜想作出了特殊贡献的是苏联数学家
L.什尼尔里曼。据
数学史家霍华德·伊夫斯记载，什尼尔里曼于
1931年证明，任何偶数都可
以写成不多于
300，000个素数和的形式。鉴于哥德巴赫猜想要求仅用两
个素数相加即得到任何偶数，什尼尔里曼的证明实际上整整多了
299，998
个素数。
在某种意义上说，什尼尔里曼的
300，000个素数似乎是数学家的败
绩，但同时也表明，虽然历史上曾经有过欧几里得与欧拉，但如今仍然有
大量伟大的定理以其永恒的耐心在等待着证明。
第四章
阿基米德的求圆面积定理
（公元前约
225年）
阿基米德生平
从欧几里得到我们将要介绍的下一位伟大数学家——叙拉古城举世无
双的阿基米德（公元前
287—212年）之间，经历了两三代人之久。阿基米
德在其辉煌的数学生涯中，将数学疆界从欧几里得时代向前推进了一大
步。实际上，此后将近两千年，数学界再没有出现过像阿基米德这样伟大
的数学家。
我们有幸了解一些阿基米德的生平，但因为历经沧桑，其细节的真伪
往往受到怀疑。同时，他的一些数学著作也有幸流传下来，而且有他自己
的注解。所有这些资料，为我们描绘了这位曾经统治古代数学界，受人尊
敬，但又有点儿古怪的数学天才的一生。
阿基米德出生于西西里岛的叙拉古城。据说，他的父亲是一位天文学
家，阿基米德从小就萌发了研究宇宙的兴趣，终生乐此不疲。阿基米德青
年时代也曾到过埃及求学，并在亚历山大图书馆学习。这里曾是欧几里得
治学之处，阿基米德自然也会受到欧几里得的影响，这一点在阿基米德的
数学著作中可以很清楚地看出。
据说，阿基米德在尼罗河谷期间，曾发明了所谓“阿基米德螺旋水车”，
这种装置可以用来把水从低处提到高处。有趣的是，这一发明，直至今日
仍在使用。他的发明证明了阿基米德的双重天才：他既可以脚踏实地地研
究实际问题，又能够在最抽象、最微妙的领域中探索。亚历山大显然适合
发挥他的才干，但阿基米德还是返回了他的故乡叙拉古城，据我们所知，
就在那里度过了他的后半生。叙拉古城虽然十分闭塞，但阿基米德一直保
持着与全希腊，特别是与亚历山大学者们的通信联系。这种书信往来，使
得阿基米德的许多著作得以保存。
阿基米德能够在一段时间里非常专注地研究任何问题，更加提高了他
令人敬仰的数学才能。他在进行研究时，常常会忽略日常的生活问题。我
们从普卢塔克的著作中得知，阿基米德
“..忘记了吃饭，甚至忘记了他自己的存在，有时，人们会强制他
洗浴或敷油，他都浑然不知，他会在火烧过的灰烬中，甚至在身上涂的油
膏中寻找几何图形，完全进入了一种忘我的境界，更确切些说，他已如醉
如痴地沉浸在对科学的热爱之中。”
这一段文字描绘了这位数学家心不在焉的形象，对于阿基米德来说，
整洁似乎已与他无关。当然，有关阿基米德“心不在焉”的故事，最著名
的还是关于叙拉古城国王希伦的王冠的故事。国王怀疑金匠用一些合金偷
换了他王冠上的黄金，就请阿基米德来测定王冠的真正含金量。正如故事
所说，阿基米德一直解不开这道难题，有一天（在他少有的一次洗浴时），
他忽然找到了答案。他兴奋得从浴盆里跳出来，跑到叙拉古城的大街上，
边跑边欢呼：“我找到啦！我找到啦！”但遗憾的是，他完全沉浸在他的
新发现之中，竟然忘记了还没穿衣服。很难想象街上的人们看见他一丝不
挂地招摇过市，会说些什么。
挂地招摇过市，会说些什么。
“..如果不花费巨大人力，是无法把这艘大船拖离船坞的，况且，
船上还满载乘客和货物。阿基米德坐得远远的，手里只握住滑轮的一端，
不慌不忙地慢慢拉动绳索，船就平平稳稳地向前滑动，就像在大海里航行
一样。”
不用说，国王对此留下了深刻印象。或许，他从这件事中察觉了这位
天才科学家的某种宝贵才能，遇有危难关头，这样的工程天才可以派上用
场。公元前
212年，罗马人在马塞卢斯率领下，进攻叙拉古城，危难关头
来临。面对罗马的威胁，阿基米德奋起保卫自己的家园，他设计了许多杀
伤力很强的武器。他的这项事业，或许只能称为个体军工企业。
我们继续引用普卢塔克的《马塞卢斯生平》一书，这本书是这位伟大
的罗马传记作家在事件发生后约
300年时写的。普卢塔克虽然是在为马塞
卢斯作传，但他对阿基米德的钦敬心情却显而易见。这些描述使我们看到
了一个非常引人，栩栩如生的阿基米德形象。
“马塞卢斯率领大军向叙拉古城进发，”普卢塔克写道，“并在离城
不远处安营扎寨，又派使者进城劝降。”但叙拉古城人拒绝投降，马塞卢
斯便凭借陆上的兵士和海上
60艘装备精良的战船猛扑叙拉古城。马塞卢斯
“..有备而来，历年征战，声威赫赫”，但事实却证明他敌不过阿基米
德和他凶狠的守城器械。
据普卢塔克记载，罗马军团进逼城垣，自信战无不胜。
“但是，阿基米德开始摆弄他的器械，他对地面部队启动各种弹射武
器，无数大小石块带着惊人的呼啸，猛烈地倾泻下来；乱石之中，无人能
够站立，士兵乱了阵脚，纷纷被击中，成堆倒下。”
而罗马水师的情况也不见佳，
“..从城墙上伸出了长长的杆子，在船上方投下重物，将一些船只
击沉；而其他船只则被一只只铁臂或铁钩钩住船头，提升起来..然后又
船尾朝下，投入海底；同时，另一些船只在其引擎的拖动下，团团乱转，
最后撞碎在城下突起的尖峭岩石上，船上的士兵死伤惨重。”
这种巨大的伤亡，用普卢塔克的话说，是“一件可怕的事情”，人们
不会不同意他的说法。在这种情况下，马塞卢斯认为最好还是先撤退。他
撤回了他的地面和海上部队，重新部署。罗马人经过认真研究，决定进行
夜袭。他们以为，只要在夜幕掩盖下，贴近城墙，阿基米德的武器就没有
用武之地了。然而，罗马人再次遭到了意外的打击。原来，不知疲倦的阿
基米德已经为应付这种偷袭作好了充分的安排。罗马士兵一靠近城防，“石
头就劈头盖脸地砸下来，同时，城内又射出飞箭”。结果，罗马人失魂落
魄，不得不再次撤退，但又受到阿基米德远程武器的攻击，“损兵折将”。
这次，自负的罗马军团“看到无形的武器给他们造成的重大伤亡，开始以
为他们是在与诸神作战。”
为他们是在与诸神作战。”
马塞卢斯想以断粮逼迫叙拉古城人投降，所以，罗马军团开始长期围
困叙拉古城。时间一天天过去，军事态势没有什么变化。后来，在狄安娜
节日期间，叙拉古城居民“完全放松了警惕，他们纵酒狂欢”，松懈下来。
一直在窥测时机的罗马人乘其不备，一举攻破了防守懈怠的一段城防，怀
着一腔怨毒涌入叙拉古城。据说，马塞卢斯环视着这座美丽的城市，为他
的士兵不可避免地要对叙拉古城泄怒施暴雨落下了眼泪。的确，据历史记
载，罗马人对叙拉古城人的做法完全不亚于他们在
66年后对迦太基人的暴
行。
但是，阿基米德的死使马塞卢斯极为悲伤，因为他对这位天才的对手
至为尊敬。据普卢塔克记载：
“..也许是命该如此，（阿基米德）正在专心研究几何图形，他全
神贯注地思考，完全没有注意到罗马人的入侵，也没有注意到城市的陷落。
正在他聚精会神地研究和思考的时候，没想到一个士兵前来，命令他立刻
去见马塞卢斯；但阿基米德在没有解出他的几何证明题之前，拒绝跟他走。
士兵大怒，拔出佩剑，一剑刺死了阿基米德。”
就这样，阿基米德走完了他的一生，他死了，像他活着时一样，执着
于他所喜爱的数学。我们可以认为他是一位科学研究的殉难者，也可以认
为他是自己无暇它顾的牺牲者。总之，古往今来，数学家不知有多少，但
像阿基米德这样结局者，却是绝无仅有的。
阿基米德尽管发明了许多利器和工具，但他真正喜爱的还是纯数学。
与他发现的美妙定理相比，他的杠杆、滑轮和石弩都不过是雕虫小技。我
们还是引用普卢塔克的话来说明：
“阿基米德具有高尚的情操，深刻的灵魂和丰富的科学知识，虽然这
些发明使他赢得了超乎常人的名望，但他并未屈尊留下任何有关这些发明
的著述；相反，他却鄙薄工程学这一行当，以及任何仅仅出于实用和赢利
目的的技艺，他将他的全部情感与理想寄托于与尘世无涉的思索之中。”
数学是阿基米德的最大遗产。在这一领域，阿基米德无可争议地被公
认为古代最伟大的数学家。他的那些幸存下来的十几部著作及一些零散的
文稿是最高质量的。其逻辑上的严谨与复杂，令后人惊叹不已。毫不奇怪，
他一定非常精通欧几里得的理论并不愧为欧多克索斯穷竭法的大师；借用
牛顿的名言，阿基米德一定是站在巨人的肩上。但是，过去的影响虽然很
大，却不能充分解释阿基米德带给数学学科的巨大发展。
伟大的定理：求圆面积
公元前约
225年，阿基米德发表了一篇题为《圆的测定》的论文，这
篇论文中的第一个命题对圆面积作了十分透彻的分析。但是，在我们讲述
这一不朽之作之前，我们有必要先介绍一下在阿基米德探讨这一问题时，
有关圆面积问题的发展状况。
有关圆面积问题的发展状况。
C1 C2
=
D1 D2
如图.. 4.1所示，公式中的.. C代表周长，D代表直径。
换句话说，圆的周长与直径之比是一个常数，现代数学家定义这一比
率为π。（注意：古希腊人在这里不使用符号。）因此，公式..
C= π或其等价式C= πD
D
正是表明了常数π的定义，即两个长度（圆的周长与直径）的比。
那么，圆的面积又如何呢？我们已经知道，《原本》的命题Ⅻ.2证明
了两个圆的面积之比等于两圆直径的平方比，因此，圆面积与其直径的平
方比是一个常数。用现代术语说，欧几里得证明了常数.. k的存在，因而..
A2=k 或等价式A = kD 2D
至此，一切顺利。但是，这两个常数之间相互有什么关系呢？也就是说，
人们是否能够发现在这“一维”常数π（表示圆周长与直径的关系）与“二
维”常数k（表示面积与直径的关系）之间存在着一种简单的联系？显然，
欧几里得没有发现这种联系。
然而，阿基米德在其短小精炼的论文《圆的测定》中证明了有关结果，
而这相当于现代涉及π的求圆面积公式。在证明中，他在圆周长（及因此
产生的π）与圆面积之间建立了重要联系。他的证明需要两个非常直接的
初步定理和一种非常复杂的逻辑方法，称为双重归谬法（反证法）。
我们先来看这两个初步定理。一个是关于正多边形面积的定理，正多
边形的中心为.. O，周长为Q，边心距为.. h。这里，边心距是指从多边形的中
心引向任何一条边的垂线长度。
定理
正多边形的面积等于
21
hQ。
证明设正多边形（图.. 4.2）有.. n条边，每条边长.. b。作从.. O到每个
顶点的连线，将多边形划分为.. n个全等三角形，每个三角形的高为.. h（边
心距），底为。因此，每个三角形的面积为1
