这一定义具有双重意思，既要求对应角相等，又要求对应边成比例，
这样才能保证图形相似。用非技术性语言说，就是在我们说这两个图形形
状相同的时候，就已包含了我们所说的这两个条件。总之，这两个条件显
然都是必要的。例如，在图.. 3.5中，长方形与正方形的角都相等，但它们
的边不成比例，所以，形状不相同。另一方面，正方形与菱形的边成同一
比例，即.. 1∶1，但它们的角不相等，所以，形状也完全不同。
有趣的是，如果我们的注意力只局限于三角形的时候，相似性的这两
个条件就突然消失了。欧几里得利用根据第五篇中的欧多克索斯理论，在
命题Ⅵ.4中证明，如果两个三角形的对应角相等，则其对应边必成比例；
反之，他在命题Ⅵ.5中证明，如果两个三角形的对应边成比例，则它们的
对应角也必定相等。总之，对于三边图形来说，整个问题都极大地简化了，
因为两个相似条件中的任何一个条件都保证了另一个条件的成立。因此，
三角形占了欧几里得相似图形的大部分是不足为怪的。
其中一个重要的结果是命题Ⅵ.8。
命题Ⅵ.8一个直角三角形，如果从直角作斜边的垂线，则垂线两边
的三角形分别与整个三角形相似，并互相相似。
证明根据前面第六篇中的命题，事情是很简单的。在图.. 3.6中，△
BAC与△BDA分别含有直角∠BAC与∠BDA，并共同拥有∠1。根据命题.. I.32，
它们的第三个角也相等。因此，根据命题.. VI.4，其边成比例，所以，△BAC
与△BDA相似。同理，三角形.. BAC与.. ADC相似，并由此证明两个小三角形
BDA与.. ADC相似。证讫。
证明根据前面第六篇中的命题，事情是很简单的。在图.. 3.6中，△
BAC与△BDA分别含有直角∠BAC与∠BDA，并共同拥有∠1。根据命题.. I.32，
它们的第三个角也相等。因此，根据命题.. VI.4，其边成比例，所以，△BAC
与△BDA相似。同理，三角形.. BAC与.. ADC相似，并由此证明两个小三角形
BDA与.. ADC相似。证讫。
欧几里得数论
乍看之下，人们可能会以为整数完全无足轻重。毕竟，像1+1=2或2+1=3
这类问题的确不是什么难事，与错综复杂的平面几何相比，更显得平淡无
奇。但是，对数论的任何肤浅认识必定很快被摈弃，因为这一数学领域产
生了许多富于刺激性的难题，向一代又一代的数学家提出了挑战。我们在
欧几里得《原本》的第七至第九篇中发现了对数论最古老的重要阐述。
第七篇首先提出了有关整数性质的.. 22个新定义。例如，欧几里得定义
偶数为可以平均分为两部分的数，奇数则不可平均分为两部分。第七篇中
一个重要的定义是素数定义，即，一个大于.. 1，且只能被.. 1和其自身除尽
的数。例如，2、3、5、7和.. 11都是素数。大于.. 1的非素数叫合数；每一
个合数都有除.. 1和其自身以外的整数因子。排在前面的几个合数有.. 4、6、
8、9、10和.. 12。顺便说一句，数字.. 1，既不是素数，也不是合数。
除此以外，欧几里得还定义完全数为等于其各“部分”（即真因数）
之和的数。所以，数字.. 6是完全数，因为它的真因数是.. 1、2和.. 3（我们排
除.. 6作为其自身因数，因为我们只要求真因数），显然，1+2+3=6。另一
个完全数是.. 28，因为其真因数的和为.. 1+2+4+7+14=28。另一方面，像数字
15就不符合要求，因为其真因数的和为.. 1+3+5=9≠15，因此，数字15显然
是不完全数。完全数问题很久以来就一直对数字学家和其他伪科学家有一
种特别的吸引力，他们没完没了地找寻.. 6和.. 28一类的数字，哗众取宠。幸
好，欧几里得将他对完全数的研究只限于它们的数学性质。
欧几里得在对他的术语定义之后，随即确立了后人所称的“欧几里得
算法”，并据此提出了第七篇的前两个命题。这是一种在两个整数的所有
公约数中发现最大公约数的可靠方法。为简要说明欧几里得算法，让我们
来确定数字.. 1387和.. 3796的最大公约数。
首先，用大数除以小数，并记下余数。本例即
3796=（1387×2）+1022
然后，用第一个余数.. 1022去除第一个因数.. 1387，得
1387=（1022×1）+365
以此类推，这次用第二个余数.. 365除.. 1022：
1022=（365×2）+292 然后
365=（292×1）+73 最后
292=（73×4）
最后，余数等于.. 0。
最后，余数等于.. 0。
显然，欧几里得算法有其具体应用，而且，完全是机械性的。它不需
要特别的知识和灵感，就能够确定两个数的最大公约数；当然，不难编一
套程序，用计算机来进行这一运算。或许不那么明显的是，欧几里得算法
在数论方面有其极大的理论重要性，至今仍被尊为数论的奠基石。
欧几里得对数论的探讨贯穿第七篇始终。在此过程中，他提出了极重
要的命题.. VII.30。这一命题证明，如果一个素数.. p能够整除两整数.. a与.. b
的乘积，则素数.. p至少必能整除两因子之一。例如，素数.. 17可以整除
2720=34×80，显然，17也可以整除第一个因子.. 34。相反，合数12可以整
除.. 48=8×6，但.. 12却不能整除.. 8或.. 6这两个因子中的任何一个。当然，问
题就在于.. 12不是素数。
命题.. VII.31极大影响了后来的伟大定理。欧几里得的证明与现代数论
教科书中的证明完全一致。其证明如下：
命题
VII.31任一合数均能为某一素数量尽（即可被素数所除）。
证明设.. A为合数。根据“合数”的定义，一定有一个小于.. A，且能
整除 A的数字 B，即 1＜B＜A。这里， B可能是素数，也可能不是。如果
B是素数，那么，就正如命题所论断，原数字.. A确实有一个素数因子。另
一方面，如果.. B不是素数，那么，B就一定有一个因子，比如 C，而.. 1＜C＜B。如果 C是素数，那么，按照上述推论，C能够整除.. B，B又能够整除
A，因此，素数C自己也能整除.. A。但是，如果C是合数又会如何呢？那么，
它就一定会有一个真因数.. D，然后，我们继续下去。
在最坏的情况下，我们会得到一系列降值排列的非素数因子：
A＞B＞C＞D＞..＞1
但是，所有这些数字都是正整数。欧几里得正确指出，我们一定会达
到一点，在这一点上，我们所发现的因子是素数，因为“..如果找不到
（一个素数因子），那么，就会有无穷多一系列越来越小的数量尽.. A，这
对于（整）数来说是不可能的。”当然，这种不可能的原因很简单，因为
一条降值排列的正整数数字链中的数字是有限的。因此，我们可以非常肯
定地说，这种推算过程一定会终止，数字链上的最后一个数字一定是一个
素数，同时也是它之前所有数字的因子，特别也是原数字.. A的一个因子。
证讫。
无论是在这个命题中，还是在他的算法中，欧几里得都提出了一个重
要的概念，即对于任意整数.. n来说，一个降值排列且小于.. n的正整数序列
一定是有限的。但是，如果我们把范围扩大到分数，这种概念当然就不正
确了，因为降值排列的正分数序列，即
21 ＞
31 ＞
41 ＞
51 ＞..是无限
的。并且，如果我们允许负整数出现，那么，一个降值排列的数序也是无
限的，即：
32＞22＞12＞2＞-8＞-18＞-28＞..
但是，如果我们将注意力只限于正整数，如同欧几里得那样，那么，这种
降值排列的数序就必定会在有限的步骤之后结束，并且，由此形成了欧氏
数论演绎的许多奥妙。
32＞22＞12＞2＞-8＞-18＞-28＞..
但是，如果我们将注意力只限于正整数，如同欧几里得那样，那么，这种
降值排列的数序就必定会在有限的步骤之后结束，并且，由此形成了欧氏
数论演绎的许多奥妙。
命题
IX.14如果一个数是能为一些素数量尽的最小的数，那么，除
了原来能量尽它的这些素数以外，不能再为别的素数所量尽。
用现代话说，这条命题的意思就是，一个数只能以唯一的方式分解成
素数的乘积。也就是说，我们只要将一个数分解（“量尽”）为素因子，
那么，再去寻找不同素数组成的因式已毫无意义，因为其它任何素数都不
能量尽原来的数。今天，我们称这一命题为“唯一析因定理”或“算术基
本定理”。这后一个名称表明了它在数论中的中心作用，因为数论有时也
称“高等算术”。
例如，可应用唯一析因定理解决下述小问题。我们首先设数字.. 8，然
后作升冥排列：8 2=64；8 3=512；8 4=4096；8 5=32，786等等。我们将继续
排列，直到找到一个尾数为“0”的数字为止。问题是，需要经过多少步骤
才能得出这一数字，一百步，一千步，还是一百万步？
应用唯一析因定理，我们就会知道，这个问题是完全没有希望的。因
为假设这一过程最后能够得出一个尾数为.. 0的数字.. N。一方面，由于.. N是
从一系列.. 8的连乘中得出的，所以，我们就能够把它分解成一长串.. 2的乘
积，因为8=2×2×2。但是，如果N的尾数是.. 0，它就一定能够被10整除，
因而也一定能够被素数.. 5整除。但这样就出现了矛盾，因为欧几里得在命
题.. IX.14中证明，如果.. N分解为一系列因数.. 2，那么，其它任何素数（也
包括素数.. 5）都不能整除.. N。总之，即使我们连续乘以.. 8，乘上一亿年，也
永远得不出一个尾数为.. 0的数字。
我们从前面的许多命题中可以清楚地看出，素数在数论中起着一种中
心作用。尤其是，因为任何大于.. 1的数，或者本身就是素数，或者可以以
唯一的方式写成素数的乘积，所以，我们可以很恰当地将素数看作建筑整
数大厦的砖石。在这个意义上，数学之素数犹如基础化学之原子，都是同
样值得认真研究的。
在欧几里得之前，曾有许多数学家列出过最初的一些素数，以寻找素
数的分布模式或其它分布线索。为便于参考，前.. 36个最小的素数列举如
下：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，
37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，
79，83，89，97，101，103，107，109，113，
127，131，137，139，149，151
没有什么特定的分布模式，但有一个明显的特点，即除.. 2以外，所有素数
都是奇数（因为所有大于.. 2的偶数都有因子.. 2）。然而，仔细观察一下便
会发现，随着数值的增大，素数之间的“跨度”似乎越来越大，或者说素
数越来越稀少。例如，在.. 2与20之间有8个素数，但在102与120之间却
只有.. 4个素数。注意在113与.. 127之间连续有.. 13个合数，而在100之内却
没有这样大的素数间隔。
只有.. 4个素数。注意在113与.. 127之间连续有.. 13个合数，而在100之内却
没有这样大的素数间隔。
实际上，我们如果一直追踪下去，就会发现在素数之间的巨大间隔。
例如，在从.. 2101到.. 2200这.. 100个数字中，只有.. 10个数是素数，而在从
10，000，001到.. 10，000，100这.. 100个数字中，只有两个数是素数。也
许，古希腊人曾像今天的学生一样，想到过素数最终可能会有尽头。也就
是说，最后，素数会变得如此稀少，以致完全消失不见，而后边的所有数
字都成了合数。
即使在这一方面存在某些迹象，也不足以动摇欧几里得的论断。相反，
他在命题.. IX.20中证明，尽管素数数量越来越稀少，但任何限定的素数集
合都不可能将所有的素数囊括无遗。他的论断常常被称为对“素数无穷性”
的证明，因为他的确证明了全部素数是无限的。如果世界上确实有经典性
的伟大定理的话，那么，欧几里得的论证即是一例。实际上，他的论证常
常被人们作为数学定理的典范，因为这一定理简洁、优美，又极为深刻。
20世纪英国数学家 G.H.哈代（1877—1947年）在其精彩的专著《一个数
学家的自辩》中称欧几里得的证明“..自发现之日至今，永葆其生机与
效力，两千年岁月没有使它产生一丝陈旧感。”
伟大的定理：素数的无穷性
现在，我们已讨论了欧几里得作出他巧妙证明所需要的几乎全部概
念，唯有一点还未讨论。这尚缺的一点是一个非常简单的概念，即如果一
个整数.. G可以整除.. N和.. M，且.. N＞M，那么，G就一定能够整除这两个数的
差.. N—M。显然，因为.. G能够整除.. N，即.. N=G×A，A为整数；又，G能够整
除.. M，即.. M=G×B，B为整数。所以，N-M=G×A-G×B=G×（A-B）。由于.. AB
为整数，因此，G显然能够整除.. N-M。也就是说，两个5的倍数相减，其
差等于一个.. 5的倍数；两个.. 8的倍数之差等于一个.. 8的倍数；等等。
根据这一明显的原理，我们就可以进而研究欧几里得的经典命题。
命题.. IX.20 素数的数目大于任何指定的素数集合。
欧几里得的特别术语又一次模糊了命题的含义。他所说的是，已知任
何有限的素数集合（即任何“指定的素数集合”），然而，我们总能找到
一个不包括在这一素数集合之中的素数。简言之，任何有限的素数集合都
不可能包括全部素数。
证明欧几里得首先设一有限的素数集合，即.. A、B、C、..，D。他
的目的是要找到一个不同于所有这些素数的素数。为此，第一步，他先设
数字.. N一（A×B×C×..×D）＋1。N大于原素数集合中所有素数的乘积，
显然也大于其中的任何素数。如同任何大于.. 1的数字，N或是素数，或是
显然也大于其中的任何素数。如同任何大于.. 1的数字，N或是素数，或是
情况
1设.. N为素数。
因为.. N大于.. A、B、C、..，D，所以，N是原素数集合中不包
括的新素数，至此，证明完毕。
情况
2如果.. N是合数，情况又会如何呢？
根据命题.. VII.31，N肯定有一个素数因子，我们设其为.. G。然后，欧
几里得即断定（这是他推理的核心），G为原“指定的素数集合”之外的
素数。为便于论证，设.. G=A，那么，G当然能够整除.. A×B×C×..×D的
积，并且，（如我们在情况.. 2中所设，）G同时也能够整除.. N。因此，G肯
定还能整除这些数的差，即应该能整除
N-（A×B×C×..×D）
=（A×B×C×..×D）+1-（A×B×C×..×D）=1
但是，这是不可能的，因为素数.. G最小也必须等于.. 2，而且，根本没
有能够整除.. 1的数字。即使我们假设.. G=B，或.. G=C，等等，结果也都一样。
因此，欧几里得宣称，素数.. G不包括在.. A、B、C、..，D之中。
所以，不论.. N是否是素数，我们都能够找到一个新的素数。因此，任
何有限的素数集合永远会被素数集合之外的又一个素数所补充。证讫。
对欧几里得证明的要点可以用两个具体的数字来说明。例如，假设我
们原来“指定的素数集合”是{2，3，5}。那么，数字N=（2×3×5）+1=31，
N为素数。31显然大于我们开始时所设的三个素数.. 2、3和.. 5，因此，31
是不包括在原素数集合中的新素数。这就是我们上面所证明的第一种情
况。
另一方面，我们还可以设原素数集合为{3，5，7}，因而，N=（3×5×7）+1=106。106显然大于.. 3、5或.. 7，但它不是素数。然而，犹如第二种
情况所证明的那样，106肯定有一个素数因子，在本例中， 106=2×53，
而.. 2和.. 53都是不包括在集合｛ 3， 5， 7 ｝之中的新的素数。所以，即
使.. N是合数，我们也能够证明有限的素数集合之外尚有其它素数存在。
这一证明将永远是数学论证的经典之作。但欧几里得却未能很好地处
理他的数论研究。他证明了几个平淡的命题，如两个奇数之差是偶数等，
然后，便以关于完全数的命题结束了第九篇。其实，他在第七篇的开始就
曾对完全数的概念作出过定义，但后来似乎完全忘记了。终于，在第九篇
的结尾处，完全数又重现了。
命题
IX.36如果从某一单位开始有任意多个数连续成倍比，直到各
数之和成为素数；并用此和乘以最末一个数，则乘积一定是完全数。
我们可以用现代术语更准确地说明欧几里得的意思：如果从.. 1开始，
一些2的几何级数项之和1+2+4+8+..+2 n是素数，则数字 N=2n（1+2+4
+8+..+2 n），即“最末”一个被加数2 n与这些数的和1+2+4+8+..+2
■的乘积，一定是一个完全数。
我们不必看欧几里得对这一命题的证明，只需看一两个具体数例即
可。例如，1+2+4=7是素数，根据欧几里得定理，数字.. N= 4×7= 28是完
全数。当然，我们已经证实了这一点。另一个例子， 1+2+4+8+16=31，是
一个素数，那么，N=16×31=496也应该是完全数。为证明这一点，我们先
列出.. 496的真因数，即.. 1、2、4、8、16、31、62、124和.. 248，它们相加
的和等于.. 496，完全符合定义。
全数。当然，我们已经证实了这一点。另一个例子， 1+2+4+8+16=31，是
一个素数，那么，N=16×31=496也应该是完全数。为证明这一点，我们先
列出.. 496的真因数，即.. 1、2、4、8、16、31、62、124和.. 248，它们相加
的和等于.. 496，完全符合定义。
n式中的数字不一定都是素数。例如，
1+2+4+8=15或.. 1+2+4+8+16+32=63就都是合数。欧几里得的完全数定理只
能应用于那些其和恰好是素数的特殊情况。这样的素数，如.. 7和.. 31，我们
今天称之为“梅森素数”，以纪念法国教士马兰·梅森（1588—1648年），
他曾在.. 1644年的一篇论文中讨论过这一题目。梅森素数因其与完全数的关
联，时至今日，仍对数论学家有着特别的吸引力。
总之，欧几里得以其对命题.. IX.36的证明，为我们提供了一个构造完
全数的绝好方法。我们将在后记中回到这一问题上来，并讨论其发展现状。
《原本》的最后几篇
从第七篇至第九篇，欧几里得共证明了.. 102个有关整数的命题。然后，
他在第十篇中突然改变方向，使第十篇成为《原本》十三篇中篇幅最长，
并且，许多人认为，在数学上也是最复杂的一篇。欧几里得在第十篇的115
个命题中，彻底阐述了不可通约量的问题，这个问题，我们今天可以用实
数的平方根来表示。这些十分微妙的问题，有许多在技术上都是非常复杂
的，涉及到许多需要慎重定义和验证的概念。试举一例：
命题.. X.96如果一个面是由一个有理线段和一个第.. 6余线构成的，
那么，与此面相等的正方形的边是一个两中项面差的边。
显然，弄清欧几里得诸如“余线”和“中项”这些术语的含义，进而
理解他的这一命题，已经需要花费一些功夫，更不要说去弄清其后的证明
了。对于现代读者来说，他的许多命题都已过时，因为这些问题现在用有
理数与无理数系统就都可以很容易地解决。
《原本》的第十一至第十三篇探讨了关于立体几何或三维几何
的基本原理。例如，第十一篇有.. 39个命题研究了有关相交平面与
相交平面角一类的立体几何问题。其中一个重要的命题是命题
XI.21，在这一命题中，欧几里得提出了“立体角”（即三维角）的概念，
例如，棱锥的顶角就是由三个或三个以上平面角会聚于一点形成的。欧几
里得证明，会聚于棱锥顶点的所有平面角的和小于四个直角。虽然我们不
必验证欧几里得巧妙的证明，但我们可以完全相信其命题，因为我们知道，
一个由四个直角（用现代术语说，即.. 360°）组成的立体角，其平面角可
以“压扁”成一个平面，因而也就完全没有角了。命题.. XI.21将在《原本》
最后一篇的最后一个命题中起到重要作用。
如果说第十一篇只涉及立体几何的基本命题，则第十二篇就进行了更
深入的探讨。在第十二篇中，欧几里得应用了欧多克索斯的穷竭法来阐述
锥体体积等问题。
命题.. XII.10 任何圆锥体的体积都等于与其同底等高柱体体积的三
分之一（图.. 3.7）。
今天，我们可以用公式来表示这一命题。我们知道，一个半径为.. r，
高为.. h的圆柱体，其体积等于πr
今天，我们可以用公式来表示这一命题。我们知道，一个半径为.. r，
高为.. h的圆柱体，其体积等于πr h，因此，欧几里得所说的圆锥体的体
积就是
31 πr 2h。他的精彩论证不仅证实了欧几里得的论证技巧，而
且，也证实了最初发现者欧多克索斯的正确。许多年以后，阿基米德将这
一命题归于欧多克索斯的名下，并评述说：
“..虽然这些性质始终是这些图形自然固有的，但在欧多克索斯之
前，众多有才华的几何学家实际上并不知晓，而且也没有任何人去注意这
些性质。”
在第十二篇中，还有另外两个非常重要的定理值得一提。其一是命题
XII.2，令人惊奇的是，这是一个关于平面图形圆的定理。
命题
XII.2圆与圆的面积之比等于其直径平方之比。
我们在前面讨论希波克拉底求新月形面积时曾见过这个命题。如前所
述，这一命题提供了一个比较两个圆面积的方法，而不是已知直径或半径
求一个圆的面积。
现在，我们从略为不同的另一角度来看命题.. XII.2。设两个圆，一个
圆的面积为.. A 1，直径为.. D 1；另一个圆的面积是.. A 2，直径是.. D 2，我们得出..
A1 =
D122 或等价式
A12 =
A22
AD DD
22 12
这一等式告诉我们，无论多大的圆，圆的面积与其直径的平方比总是
一定的，数学家称这一比例为“常数”。这是一个非常重要的性质。但欧
几里得未能对这一常数做出数值估计，也未能确立这一常数与我们在研究
圆的过程中所遇到的其他重要常数之间的关系。总之，命题.. XII.2尽管给
