出于似乎非常充分的理由，数学家们开始寻求公设
5的推导根据。他
们在寻求这一证明的过程中，可以自由地应用除公设
5以外的任何其他公
设或公理，以及欧几里得从Ⅰ.1到Ⅰ.28的全部命题。无数数学家都曾为
此做出过不懈的努力，但非常遗憾的是，他们几年、几十年，甚至几百年
的努力都失败了。这一证明至今依然是一个难解的谜。
几何学家在这一过程中，只发现了许多在逻辑上等同于平行线公设的
新的命题。为证明公设.. 5，常常需要数学家们去假设一种看来很明显，但
迄今为止尚未得到证明的命题。然而，遗憾的是，为引出这样一个命题，
平行线公设本身又是必不可少的，而问题就在这里。对于逻辑学家来说，
这表明，两者实际都在表达同一个概念，而对公设.. 5的“证明”，如果要
求假设它的逻辑等价命题，自然就什么也没有证明。
新的命题。为证明公设.. 5，常常需要数学家们去假设一种看来很明显，但
迄今为止尚未得到证明的命题。然而，遗憾的是，为引出这样一个命题，
平行线公设本身又是必不可少的，而问题就在这里。对于逻辑学家来说，
这表明，两者实际都在表达同一个概念，而对公设.. 5的“证明”，如果要
求假设它的逻辑等价命题，自然就什么也没有证明。
■普罗克洛斯公理：如果一条直线与两条平行线中的一条相交，也
必定与另一条平行线相交。..
■等距公设：两条平行线之间距离处处相等。..
■普莱费尔公设：经过已知直线外一点，可以作一条，而且只能作一
条与已知直线平行的直线。..
■三角形公设：三角形三个内角和等于两个直角。
尽管文艺复兴时期产生了这四个逻辑等价命题，但却依然未能解决平
行线公设的性质问题。无论谁推导出平行线公设证明，都会在数学史上享
有永久的声望。有时，这一证明似乎已近在咫尺，唾手可得，但世界最优
秀数学家的努力却一次又一次落空。
19世纪初叶，有三个数学家几乎同时爆发灵感，发现了解决这一难题
的真正曙光。第一位数学家就是举世无双的卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855年），有关他的生平，我们将在第十章中介绍。高斯立足对三角形
角度的测量，重新设计了这个问题。为了证明三角形的内角和必定等于.. 180°，他先假设三角形内角和不等于.. 180°。这样，就使他面临两种选择：
三角形内角和或者大于.. 180°，或者小于.. 180°。他进而研究了这两种情
况。
高斯依据直线是无限长的事实（欧几里得也同样含蓄地提出过这样的
假设，对此，没有人提出异议）发现，如果三角形的内角和大于.. 180°会
导致逻辑矛盾。因此，这种情况显然应予排除。如果他能够同样排除另一
种情况，他就可以间接地证明平行线公设的必然性。
高斯首先假设三角形的三个内角和小于.. 180°，然后便开始进行推
理。但推理的结果非常奇怪，似乎有点儿不可理解和违背直觉（一种瞬间
出现的现象）。但是，高斯却怎么也找不到他所寻求的逻辑矛盾。1824年，
他总结这种情况说：
“..一个三角形的内角和不能小于.. 180°..这是..一块暗礁，
所有的船只都会在它面前撞得粉碎。”
随着高斯对这一特殊几何问题越来越深入的探讨，他逐渐相
信这其中不存在逻辑矛盾。相反，他开始感觉到，他所发展的不是一
种不相容的几何学，而是一种选择几何学，用他的话说，是一种“非欧几
里得”几何学。高斯在他.. 1824年的一封私人信件中详细阐述了他的观点：
“三角形三个内角和小于.. 180°的假设导致了一种非常古怪的几何
学，与我们现在的几何学不同，但又完全讲得通，对此，我感到非常满意。”
这是一段激动人心的话。高斯虽然被公认为是当时最优秀的数学家，
但却没有公布他的发现。也许是为声名所累，因为他深信，对他见解的争
议可能会损害他的崇高名望。1829年，高斯在写给他一位知己的信中说，
他没有打算：
他没有打算：
今天的读者可能不明白维奥蒂亚人是何方神圣，对此，我们只需稍加
解释，所谓的“维奥蒂亚人”是指那些缺乏想象力而又不开化的愚钝之人。
显然，高斯忽略了数学界对他新观点的接受能力。
接下来是匈牙利数学家约翰·鲍耶（1802—1860年）。约翰的父亲沃
尔夫冈曾是高斯的密友，而且，他自己也曾为证明欧几里得的平行线公设
空付出大半生的心血。当时的年代，儿子常常继承父亲的事业，成为牧师、
皮匠或厨师..，而小鲍耶则继承了他父亲推导欧几里得平行线公设的深
奥事业。但沃尔夫冈深知个中的难处，对他的儿子提出了强烈的警告：
“你不能再去论证平行线公设。我深知这条路会带来什么结果。我曾
力图穿越这无尽的黑夜，并因此葬送了我生活的全部光明与欢乐..我恳
求你，不要再去管平行线公设。”
但是，年轻的约翰·鲍耶并未理会父亲的忠告。像高斯一样，约翰也
逐渐认识到了有关三角形内角和的关键性的三分法，并试图排除与平行线
公设不符的所有情况。当然，同高斯一样，他也没有成功。随着鲍耶对这
一问题越来越深入的研究，他同样得出结论，认为欧几里得几何在逻辑上
遇到了强有力的对手，他十分惊讶地就他独待而显然论据确凿的命题写
道，“从空无中，我创造了一个奇怪的新世界。”
约翰·鲍耶不像高斯，他毫不犹豫地公布了自己的发现，他将自己的
论文作为附录载于他父亲
1832年的著作之中。老鲍耶兴高采烈地将自己的
著作给他的朋友高斯寄去一本，但高斯的回信却使鲍耶父子十分意外：
“如果坦言我不敢夸奖（令郎的）大作，你必然会感到吃惊：但是我
别无选择；夸奖令郎就等于夸奖我自己；因为书中全部内容，他的思路，
以及他所推导的结果，都与我自己的发现几乎同出一辙，这些发现在我脑
子里已经存在了
30至
35年之久。”
显然，高斯给他年青的崇拜者泼了一瓢冷水。值得称道的是，高斯非
常谦和地讲到他自己“..非常高兴，恰恰是老友的儿子以这种非凡的方
式超过自己”。但是，约翰得知他最伟大的发现已经躺在高斯的抽屉里几
十年了，这对他的自尊心，当然是一个沉重的打击。
然而，约翰的自尊心还要再经受一次打击，因为人们不久便得知，俄
国数学家尼古拉·罗巴切夫斯基（1793—1856年）不仅与高斯和鲍耶作了
同样的工作，而且，于
1829年就发表了他关于非欧几何的论文——比约翰
早了整整三年。但罗巴切夫斯基的论文是用俄文写的，显然无声无息地传
到了西欧。这种现象在科学界并不奇怪，一个发现有时会有许多人同时独
立作出。沃尔夫冈·鲍耶讲得好：
“..的确，许多事物似乎都自有其时令，会在多处同时显现，犹如
紫罗兰在春季到处开放。”
但是，这些发现还不能算是切中要害，另一位创新家乔治·弗里德里
希·伯恩哈德·黎曼（1826—1866年）对几何直线的无限长度别有一种见
解。正是这种几何直线的无限性才使高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基得以排除
三角形内角和大于
180°的情况。但是，是否确有必要假设这种无限性呢？
欧几里得的公设
2称，有限直线可沿直线无限延长，但这难道不是在说，
人们永远也达不到直线的尽头吗？黎曼完全可以想象，这些直线有几分像
圆，长度是有限的，但却没有“尽头”。他说：
人们永远也达不到直线的尽头吗？黎曼完全可以想象，这些直线有几分像
圆，长度是有限的，但却没有“尽头”。他说：
黎曼根据直线无界但长度有限的假设，重新检讨几何学，则三角形内
角和大于.. 180°时所产生的逻辑矛盾消失了。结果，他发展了另一种非欧
几何，在这种几何中，三角形的内角和大于两个直角。黎曼的几何学虽然
与欧几里得和鲍耶的几何不同，但却显然同样严谨。
今天，我们承认所有这四位数学家为非欧几里得几何的创始人。他们
理应享受先驱者的同等荣耀。但是，他们的发现也没有完全解决平行线公
设的根本问题。因为，虽然他们把几何发展到了新的高度，但是，能够支
持他们的新几何学与欧几里得几何并驾齐驱的，仅仅是一种知其然而不知
所以然的直觉感受，并非白纸黑字的逻辑推理。尽管高斯、鲍耶、罗巴切
夫斯基和黎曼的发现都有很强的说服力，但在将来的某一刻，仍有可能会
出现一位天才数学家，从他们关于三角形内角和小于或大于.. 180°的假设
中找出矛盾。
因而，这个古老故事的最后一章由意大利的欧金尼奥·奥尔特拉米
（1835—1900年）在.. 1868年写完。他清晰地证明了非欧几何与欧几里得
几何同样具有逻辑上的一致性。奥尔特拉米表明，如果说在高斯、鲍耶、
罗巴切夫斯基或者黎曼的几何中，可能存有某种逻辑矛盾的话，那么，在
欧几里得几何中也同样存在这种矛盾。既然人人都认为欧几里得几何逻辑
严谨一致，因此可以断言，非欧几里得几何也同样无懈可击。换言之，非
欧几何在逻辑上并不比先者——欧几里得几何低下。
为了理解高斯／鲍耶／罗巴切夫斯基派非欧几何（即三角形内角和小
于.. 180°的那种几何）的某些古怪论点，我们不妨看一看非欧几何对某些
命题的证明。首先，让我们从另一个角度看一看三角形全等问题。当然，
欧几里得的全等定理是在他初次应用公设.. 5之前确立的，并在非欧几何中
依然有效，因为这些全等定理的证明只需应用欧几里得的其他公设和公
理，而无需参考其他任何东西。但在鲍耶几何中，令人感到惊奇的发展是，
还有另外一种表示全等的途径，即“角角角”。
在欧几里得几何中，我们知道，如果两个三角形的三个角分别相等，
则这两个三角形相似。也就是说，它们形状相同，但无须全等。例如，一
个小等边三角形和一个大等边三角形，尽管三个角都完全相等，但却是不
全等图形。然而，我们下面将要讲到的非欧定理却表明，在非欧几何这个
奇怪的世界里，这种情况却是不可能的。如果鲍耶的两个三角形形状相等，
其面积也必定相等！
定理（角角角）如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个
角相等，则这两个三角形全等。
证明如图.. 2.16所示，在三角形.. ABC和.. DEF中，假设∠1=∠4，∠2=
∠5，∠3=∠6。我们断言，边长.. AB与.. DE必定相等。为证明这一点，我们
先假设这两条边长度不等，以造成最后的逻辑矛盾，为了不失却一般
性，我们不妨假设AB＜DE。
作DG＝AB，然后，根据命题Ⅰ.23，作∠DGH＝∠。显然，根据
2
“角边角”定理，△ABC与△DGH全等，因此，∠DGH＝∠2＝∠5，同
理，∠DHG＝∠3＝∠6。
现在，我们来看四边形.. EFHG。由于.. DGE和.. DHF是直线，根据命题Ⅰ.13，
我们得知，∠EGH＝（180°－∠DGH）＝（180°－∠5），∠FHG＝（180°－∠DHG）＝（180°－∠6）。因此，四边形.. EFHG四个角的和等于
（180°－∠5）＋（180°－∠6）＋∠6＋∠5＝360°
现在，我们作四边形.. EFHG的对角线.. GF，将四边形分为两个三角形。
根据非欧几何的基本性质，这两个三角形，每个三角形的内角和都小于.. 180°；因此，两个三角形所有角的和必定小于360°。而这两个三角形所有
角的和恰恰就是四边形.. EFHG四个角的和。我们刚才已推导出，四边形.. EFHG
的四角和等于360°。
这样，就出现了矛盾。这就表明，第一步，即我们假设的
AB≠
DE，是不正确的。总之，这两条边长度相等。然后，我们根据
“角边角”定理，即根据命题Ⅰ.26，可以直接推导出原来的两个三角形
ABC与.. DEF全等——而这正是我们所要证明的定理。证讫。
从这一命题中，可以很容易地得出一个令人吃惊的推论：在非欧几何
中，并非所有三角形的内角和都相等！欧几里得几何中这一最基本的性质
（突出表现在许多几何推理中），在我们步入非欧几何领域时，却必须予
以抛弃。因为假设有两个三角形，如图2.17所示，每个三角形的底角都是
α和β，但是，AB边显然小于.. DE边。因此，我们断言，∠1不能等于∠2。
因为如果它们相等，根据我们刚才证明的“角角角”全等定理，则这
两个三角形全等，但由于
AB ≠DE，因而这显然是不可能的。所以，
我们看，一个三角形的内角和（∠1＋α＋β）不等于另一个三角形的内角
和（∠2＋α+β）。总之，在非欧几何中，已知三角形的两个角，还不足
以确定第三个角。从这一命题和许多其他类似命题中可以看出，为什么鲍
耶说他创造了一个“奇怪的新世界”，以及为什么有那么多人在非欧几何
刚刚露出地平线的时候就认为，非欧几何必然要出现逻辑矛盾。但是，正
如我们刚才所证明的那样，他们全都错了。
那么，这些.. 19世纪的发现者们究竟要将欧几里得置于何地呢？一方
面，欧几里得几何作为对空间的唯一逻辑上一致的描述的地位不复存在。
实际上，每个人都会感到非常吃惊的是，非欧几何证明了平行线公设不是
逻辑所训示的。欧几里得假设了这一条公设，但在数学上却没有这种必然
性。存在对立的几何，而且同样正确。
但另一方面，欧几里得的声誉得到了加强，而不是损毁。因为他没有
像许多追随者那样落入陷阱，用其他不证自明的真理去证明平行线公设，
我们现在知道，这种证明是注定要失败的。相反，他把他的假设理所应当
地列为公设。欧几里得当然不可能知道两千年后会发现另一种几何学。但
是，他凭着数学家的直觉，一定知道平行线的这一特性是一种个别的和独
立的概念，它需要自己的公设，不论多么罗嗦和复杂。两千二百年后，数
学家们证明了欧几里得始终是正确的。
第三章
欧几里得与素数的无穷性
（公元前约.. 300年）
第三章
欧几里得与素数的无穷性
（公元前约.. 300年）
《原本》第一篇中的.. 48个命题为欧几里得的数学与组织才能树立了一
座丰碑。作为第一篇，它当然是《原本》中最著名和人们研究最多的部分，
但是，第一篇毕竟还只是《原本》13篇中的一篇。本章将浏览一下这部古
典巨著的其他部分。
《原本》第二篇探讨了我们如今称之为“几何代数学”的问题，即以
几何概念构成的一定关系，今天，我们可以很容易地将这些关系转变为代
数方程式。当然，代数概念对于古希腊人是陌生的，因为代数形成体系是
几百年以后的事。我们不妨引用一条有代表性的命题，以使读者能够对第
二篇有一个大致的了解。这条命题的行文初看起来似乎非常复杂，但仔细
研究以后便会发现，这一命题乃是一个十分简单而熟悉的代数公式。
命题Ⅱ.4 如果把一直线，在任意一点截开，则以整条直线为边长的
正方形面积等于两段上的正方形面积之和加上两个以这两段为边的矩形之
面积。
证明欧几里得首先设线段.. AB，并于任意点.. C截开，如图.. 3.1所示。
如果我们设AC ＝a，BC = b，则按照几何概念，“以整条直线为边长
的正方形”面积（即(a+b) 2）等于两段上的正方形面积之和（即.. a 2＋b 2）
加上两个以这两段为边的矩形之面积（即.. 2ab）。也就是，..
(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+2ab+b2 证讫。
当然，这就是我们初一代数所学的著名恒等式。欧几里得并未将此作
为某种代数式，而是作为一种严格的几何表述，将以AB为边长的正方形分
解为两个小正方形和两个全等矩形。然而，这一几何表述与其代数式显然
是等价的。第二篇中绝大部分内容都是这种性质。第二篇最后以命题Ⅱ.14
结束，这条命题提出了一般多边形的求积问题，其证明已在第一章中介绍
过。
第三篇包括有关圆的.. 37个命题。我们在第一篇的作图中已经涉及到
圆，但尚未集中讨论过。欧几里得在第三篇中证明了有关圆的弦、切线和
角的标准命题。命题Ⅲ.1介绍了如何确定已知圆的圆心。根据定义.. 15，每
个圆当然都有一个圆心，但对于一个画在纸上的圆，却并非一眼就能看出
圆心所在。因此，欧几里得提供了一个非常必要的作图方法。
欧几里得在命题Ⅲ.18中明确地证明了圆的切线与经过切点的半径成
直角。在其后的一个命题中，我们发现了一个重要的定理，“在一个圆中，
同一弓形上的角相等”。如图3.2所示，∠BAD与∠BED相等，因为它们都
是圆.. BAED中同一弓形上所形成的角。用现代术语说，这两个角都截取了同
一条弧，即弧.. BD。
在证明了这一定理之后，欧几里得又开始探讨圆内接四边形的问题，
这种图形常常被人们称为“联圆四边形”。虽然这一定理可能有些专门，
但因其将在第五章的伟大定理中特别涉及，因此，我们将欧几里得对这个
定理的简单证明放在本章介绍。
但因其将在第五章的伟大定理中特别涉及，因此，我们将欧几里得对这个
定理的简单证明放在本章介绍。
证明我们首先作联圆四边形.. ABCD，并作对角线.. AC与.. BD，如图.. 3.3
所示。请注意，∠1＋∠2＋∠DAB＝2个直角，因为它们都是△ABD的内角。
并且，∠1=∠3，因为它们截取同一条弧.. AD；同理，∠2=∠4，因为它们截
取同一条孤.. AB。因此
2个直角=（∠1+∠2）+∠DAB
=（∠3+∠4）+∠DAB=∠DCB＋∠DAB
换言之，联圆四边形的对角和等于两个直角，证讫。
在其后的命题Ⅲ.31中，欧几里得确定了半圆上的圆周角是直角，其
证明已在第一章中介绍。在这一方面，我们注意到，欧几里得在其关于圆
的篇章中没有一处讲到半月形的问题，《原本》第三篇也没有讲到我们所
熟悉的圆的周长（C=πD）或面积（A=πr 2）定理。对这些问题的全面探讨，
只能等待阿基米德的出现，如第四章所述。
欧几里得的第四篇探讨了某些内接和外切几何图形的问题。像《原本》
一书的所有作图一样，他在第四篇的作图中也只限于使用圆规和无刻度直
尺。尽管存在着这种限制，但他的确推导出了一些非常复杂的结果。
例如，命题Ⅳ.4介绍了如何作已知三角形的内切圆，其关键是将三角
形角平分线的交点作为内切圆的圆心。在后面的命题中，他又介绍了如何
作已知三角形的外接圆；这一次，他将圆心的位置确定在三角形边的垂直
平分线的交点上。
由此，欧几里得着手考虑正多边形的作图，此正多边形的所有边长相
等，而且，所有角也都相等。这些图形是“完美的”多边形，其对称美无
疑吸引了古希腊人的想象力。
让我们回忆一下，欧几里得在《原本》的一开篇便提出了正三角形，
或“等边”三角形的作图，在命题Ⅰ.46中，他在已知线段上作正方形。
在命题Ⅳ.11中，欧几里得扩大了他的作图范围，作了一个圆内接正五边
形，而在命题Ⅳ.15中，他又作了一个圆内接正六边形。本篇的最后一个
作图是正十五边形，其推理过程很值得读者一阅。
在一个已知圆中，欧几里得以.. AC为边长作内接等边三角形，并以.. AB
为边，作内接正五边形，其顶点均位于.. A（图.. 3.4）。欧几里得注意到，弧
AC等于圆周长的三分之一，而弧.. AB则等于圆周长的五分之一。因此，
115 3 2
这两条弧的差就等于圆周长的
3
－
5
＝
15
－
15
＝
15
。如果我们平分弦
BC，并从BC弦的中点作垂线，交圆于E，这样，我们就平分了弧BC。因此，
弦.. BE等于圆周长的十五分之一，弦.. BE就是正十五边形的边长。沿着圆周
复制.. 15条.. BE弦，我们就完成了正十五边形的作图。
欧几里得在《原本》中没有再讲正多边形的作图问题，但他显然知道，
如果一个人作出这样一个多边形，利用上述平分方法，就一定能够作出边
多一倍的正多边形。例如，作出一个等边三角形后，古希腊几何学家就能
够据此作出正.. 6、12、24、48..边多边形；据正方形，他们就能够作出
正.. 8、16、32、64..边形；据正五边形，可以作出正.. 10、20、40..边
形；据欧几里得的最后一个作图（即正十五边形），可以产生正.. 30、60、
120..边形。
正.. 8、16、32、64..边形；据正五边形，可以作出正.. 10、20、40..边
形；据欧几里得的最后一个作图（即正十五边形），可以产生正.. 30、60、
120..边形。
所以，当十几岁的卡尔·弗里德里希·高斯于1796年发现了正十七边
形的作图方法时，无疑引起了巨大震憾。这一发现标志着年轻的高斯不愧
为第一流的数学天才。前一章曾介绍过高斯在非欧几何方面的工作，我们
还将在第十章详细介绍这位天才的数学家。
总而言之，《原本》第一至四篇讲述了有关三角形、多边形、圆及正
多边形的基本定理。截止到目前，欧几里得不曾借助非常有用的相似性概
念，尽其可能探讨了几何领域。我们在第一章曾讲过，由于毕达哥拉斯派
发现了不可通约量，使对相似性的论证及其所产生的比例问题受到了致命
的打击，最后，是欧多克索斯以其完美的比例理论堵塞了这一逻辑漏洞。
欧几里得的《原本》第五篇则致力于发展欧多克索斯的思想，其意义非常
深远，甚至影响到19世纪对无理数的思考。但是，第五篇中的许多定理现
在都归入了实数系统，这一系统，不管怎样，我们都认为是天经地义的。
这样，我们再去讨论第五篇中艰涩的论证，就显得有点儿多余，因而，我
们转向第六篇。
欧几里得在第六篇中研究了平面几何的相似形问题。他的相似形定义
是非常重要的。..
■定义.. Ⅵ.1相似直线图形的对应角相等且对应边成比例。
