根据命题I.15，对顶角∠和∠相等；根据作图，EB EF。因此，根
12 ＝
据命题.. I.4（即“边角边”或.. SAS），这两个三角形全等，所以，∠BAE=
∠FCE。∠DCA显然大于∠FCE，因为根据公理5，整体大于部分。因此，外
角∠DCA大于内对角∠BAC。用同样方法也可以证明∠DCA大于∠ABC。证
讫。
外角定理是一个几何不等式。《原本》中随后的几个命题也是如此。
例如，命题.. I．20确定，三角形任何两边之和必大于第三边。但据我们所
知，古希腊伊壁鸠鲁派对这一定理很不以为然，因为他们认为这条定理太
通俗，犹如不证自明的公理，甚至连驴子也会明白。也就是说，如果有一
头驴站在.. A点（图.. 2.7），而它的食物放在.. B点。这头驴肯定本能地懂得，
从.. A直接到.. B，路程比沿两条边走，即从A到.. C，再从C到.. B要短。人们曾
认为，命题I.20确是一条不证自明的真理，因此应属于公设。然而，如果
能够作为一条命题证明这一定理，犹如前文中圆规的例子一样，欧几里得
当然不愿再去假定一条公设，而他对这一定理所做的证明又是非常富有逻
辑性的。
欧几里得接着又提出了几条不等式命题，随后提出了他最后一条全等
定理，即重要的命题.. I．26。在这一命题中，他首先证明了“角边角”或
ASA的全等模式，并以此作为命题.. I．4“边角边”或.. SAS全等定理的推论。
然后，在命题.. I．26的第二部分，欧几里得又提出了第四个，也是最后一
个全等模式，即“角角边”。对此，他证明，如果∠2=∠5，∠3=
ASA的全等模式，并以此作为命题.. I．4“边角边”或.. SAS全等定理的推论。
然后，在命题.. I．26的第二部分，欧几里得又提出了第四个，也是最后一
个全等模式，即“角角边”。对此，他证明，如果∠2=∠5，∠3=
DE 28 所示，则三角形ABC和DEF全等。
6 AB ，如图.
开始，人们会认为这只是“角边角”模式的直接推论而不予考虑。我
们可以很清楚地看到，∠2+∠3=∠5+∠6，据此，我们可以得出
∠1=2个直角-（∠2＋∠3）=2个直角-（∠5＋∠6）=∠4
然后，我们可以再回复到“角边角”（ASA）的全等模式，因为我们可
以把等式中的角放在.. AB与.. DE的任何一端。
这是一个简短的证明；但遗憾的是，这个证明同样不能令人满意。在
这里欧几里得不能引用这一证明，因为他还必须证明一个三角形三个角的
和等于两个直角。的确，如果没有这一关键性的证明，似乎完全不可能证
明“角角边”（AAS）的全等定理。但是，欧几里得却确实证明出了这一定
理，他用反证法作了如下精彩的证明。
命题
I.26（角角边或
AAS）已知两个三角形，如果其中一个三角
形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，一条边，即..相等角中
的一个对边，等于另一个三角形相应的一条边，则其余的边和其余的角也
相等。
. ∠，∠∠，并且，
证明
如图29 ，假设∠2= 5 3= 6 AB＝DE。欧几
里得宣称，边长BC与EF也必定相等。但为证明这一点，他假设其中一条
边比另一条边长；例如，假设BC＞EF。因此，我们就可以作线段BH，使
之等于.. EF。然后，作线段.. AH。
根据假设，已知＝DE 2= ∠；并且，根据作图，BH＝EF，
AB ，∠5
因此，根据“边角边”定理，△ABH与△DEF全等。所以，∠AHB=∠6，因
为它们是两个全等三角形的对应角。
然后，欧几里得将注意力集中于小△AHC，并注意到，其外角AHB和相
对内角∠3都等于∠6，因此，∠AHB与∠3也应该相等。但是，欧几里得
在重要的命题.. I．16中已然证明，外角必定大于内对角。这一矛盾表
明，最初的假设BC≠EF是不正确的。因此，他断定，这两条边实际上
相等，因而，根据“边角边”定理，原三角形.. ABC与 DEF全等。证讫。
我们再来看一看这一巧妙论证的重要意义：这四种全等模式（边角边、
边边边、角边角和角角边）都成立，但无须涉及三角形三个角之和等于两
个直角的问题。
命题.. I.26结束了第一篇的第一部分。回顾这一部分的内容，我们看
到，欧几里得在几何上已很有造诣。即使他还不得不应用他的平行线公设，
但他已经确立了四种全等模式，研究了等腰三角形、对顶角和外角，并进
行了各种作图。但是，他并未就此止步，仍在尽力走得更远。《原本》随
即提出了平行线的概念。
第一篇：平行线及有关命题
命题
I.27一条直线与两条直线相交，如果内错角相等，则这两条
直线平行。
证明见图.. 2.10，假设∠1=∠2，欧几里得必须证明直线.. AB与.. CD平
行——即，根据定义.. 23，他必须证明这两条直线不会相交。他采用间接证
法，先假设这两条直线相交，然后找到所涉的矛盾。假设直线.. AB与.. CD延
长后，相交于.. G。那么，图形.. EFG就是一个延伸很长的三角形。但是，△
EFG的外角∠2等于这同一个三角形的内对角∠1。根据命题.. I．16外角定
理，这种情况是不可能的。因此，我们断定，AB与.. CD，不论延长多长，也
不会相交，而这恰恰是欧几里得的平行线定义。证讫。
命题.. I.27打破了有关平行性的坚冰，但是，欧几里得依然避免应用平
行线公设。这一争议很大的公设在欧几里得在命题.. I.29中证明.. I.27的逆
命题时，终于出现了。
命题
I.29一条直线与两条平行线相交，则内错角相等。
证明这次，欧几里得假设AB与.. CD平行（见图.. 2.11），并须证明∠
1=∠2。他再次使用间接法，即，假设∠1≠∠2，然后引出逻辑上的矛盾。
因为，如果这两个角不相等，那么，其中一个角必定大于另一个角，我们
不妨假设∠1＞∠2。根据命题.. I.13
2个直角=∠1＋∠BGH＞∠2+∠BGH
在此，欧几里得终于引用了公设.. 5，这一公设恰恰适合于这种情况。
由于∠2+∠BGH＜2个直角，根据公设.. 5，他可以断定，AB与.. CD必定相交
于右侧，这显然是不可能的，因为已知这条直线是平行的。因此，根据反
证法，欧几里得表明，∠1不能大于∠2；同样，∠2也不能大于∠1。总而
言之，平行线的内错角相等。证讫。
根据这一证明，欧几里得很容易地便推断出同位角也相等，即，在图
2.11中，∠EGB=∠2，因为∠EGB与∠1是对顶角。
在最终引用了平行线公设之后，欧几里得发现，实际上不可能打破以
往的习惯。在第一篇余下的20个命题中，几乎没有一处再直接应用平行线
公设或基于这一公设的命题，唯一的例外是命题.. I.31，在这一命题中，欧
几里得演示了如何通过直线外一点作已知直线的平行线。但是，平行线公
设当然是被嵌入了一个人人都在等待出现的定理之中：
命题
I.32在任何三角形中..三个内角之和..等于两个直角。
证明已知△ABC，如图.. 2.12所示，他根据命题.. I.31，作.. CE平行于
三角形的边.. AB，并延长.. BC到.. D。根据命题.. I.29（平行线公设的推论），
他知道，∠1=∠4，因为它们是两条平行线的内错角；并且，还知道，∠2=
∠5，因为它们是同位角。因此，△ABC三个内角的和就是∠1＋∠2＋∠3=
∠4+∠5＋∠3=2个直角，因为这些角构成了直线.. BCD。这样，这一著名的
定理即证明完毕。证讫。
自此，欧几里得开始将注意力转向更复杂的问题。他接下来的几个命
题提出了有关三角形和平行四边形的面积问题，其中最精彩的是命题
I.41。
命题
I.41如果一个平行四边形与三角形同底，且位于同两条平行
线之间，则这个平行四边形的面积是三角形面积的两倍。
希腊人以此说法表示，如果一个三角形与任意平行四边形同底同高，
则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。由于这种平行四边形的
面积与同底同高的矩形面积是一致的，而矩形的面积是（底）×（高），
我们由此可以看到，在命题.. I.41中包含着一个现代公式，即，面积（三角
希腊人以此说法表示，如果一个三角形与任意平行四边形同底同高，
则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。由于这种平行四边形的
面积与同底同高的矩形面积是一致的，而矩形的面积是（底）×（高），
我们由此可以看到，在命题.. I.41中包含着一个现代公式，即，面积（三角
1bh。
2
但是，欧几里得并未用这种代数语言思维。相反，他想象，△ABC确
与平行四边形.. ABDE具有同一条边，且同位于两条平行线AB与.. DE之间，如
图.. 2.13所示。然后，欧几里得证明，面积（平行四边形.. ABDE）=2面积（△
ABC）。
间隔几个命题之后，欧几里得在命题.. I.46中演示了如何在已知线段上
作正方形图形。当然，正方形是一种规则四边形，因为它的所有边和所有
角全等。最初，人们可能会以为这一命题只是一个普通的命题，特别是他
们会回忆起第一篇一开始就介绍了等边三角形这种规则三边形的作图。我
们只要看一看他对正方形作图的证明就会明白，正方形作图何以延迟了这
么长时间，因为对正方形作图的论证，很多要根据平行线的性质，而这当
然只能等到关键的命题.. I.29之后。因此，虽然欧几里得在第一篇的一开始
就介绍了规则三角形的作图，但他不得不等到接近第一篇的尾声时才作规
则四边形的图形。
第一篇除了证明这.. 46个命题之外，还有最后两个命题需要证明。看
来，欧几里得是将最好的留在了最后。在作好所有这些准备之后，他开始
冲击毕达哥拉斯定理，这一定理显然是所有数学定理中最重要的定理之
一。
伟大的定理：毕达哥拉斯定理（勾股定理）
众所周知，在欧几里得之前，毕达哥拉斯定理即已闻名遐迩，因此，
欧几里得决不是这一数学里程碑的发现人。然而，我们下面看到的证明为
他赢得了声誉，许多人都相信，这一证明最初是由欧几里得作出的。这个
证明的美妙之处在于其先决条件的精练；毕竟，欧几里得为作出证明，只
能依赖他的公设、公理和最初的.. 46个命题，可谓捉襟见肘。我们不妨考虑
一下他尚未涉及的几何论题：他以前唯一探讨过的四边形是平行四边形；
对于圆，基本上尚未探索；而对于特别重要的相似性，则直到第六篇才开
始阐述。虽然可以确信，如果应用相似三角形，可以对毕达哥拉斯定理作
出非常简短的证明，但是，欧几里得不愿把这一重要命题的证明推迟到第
六篇以后进行。显然，他希望尽可能早地直接涉及毕达哥拉斯定理，因此，
他创立了一个证明，并以此作为《原本》的第.. 47个命题。从这个命题中，
我们可以看到，在此之前的许多命题都指向了伟大的毕达哥拉斯定理，因
此，我们可以说第.. 47命题堪称第一篇的高潮。
在我们详细介绍欧几里得的证明之前，我们不妨先来看一看用欧几里
得语言阐述的这个命题，从中可以窥见其论证方法之巧妙。
命题
I.47在直角三角形中，斜边上的正方形面积等于两个直角边
上的正方形面积之和。
请注意，欧几里得的命题不是关于代数方程式.. a 2=b2＋c 2，而是述及了
一种几何现象，涉及到以直角三角形的三条边为边所作的实在的正方形。
欧几里得必须证明，以.. AB和.. AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边
BC为边的大正方形面积（见图.. 2.14）。为证明这一点，他采用了一个非常
奇妙的方法，从直角顶点开始作线段.. AL，使之与大正方形的边平行，并将
大正方形分割为两个矩形。现在，欧几里得只要证明左边矩形（即以.. B和
L为对角的矩形）的面积等于以.. AB为边的正方形面积；同样，右边矩形的
面积等于以.. AC为边的正方形面积即可。由此可直接导出，两个矩形面积之
和等于大正方形面积，同样也就等于两个小正方形面积之和。
一种几何现象，涉及到以直角三角形的三条边为边所作的实在的正方形。
欧几里得必须证明，以.. AB和.. AC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边
BC为边的大正方形面积（见图.. 2.14）。为证明这一点，他采用了一个非常
奇妙的方法，从直角顶点开始作线段.. AL，使之与大正方形的边平行，并将
大正方形分割为两个矩形。现在，欧几里得只要证明左边矩形（即以.. B和
L为对角的矩形）的面积等于以.. AB为边的正方形面积；同样，右边矩形的
面积等于以.. AC为边的正方形面积即可。由此可直接导出，两个矩形面积之
和等于大正方形面积，同样也就等于两个小正方形面积之和。
证明根据假设，欧几里得已知∠BAC是直角。他应用命题I.46，在
三条边上作正方形，并应用命题.. I.31，过.. A点作.. AL平行于.. BD，然后，连
接.. AD与.. FC。初看起来，这些辅助线似乎显得很神秘，但它们很快就会变
得浅显易懂了。
对于欧几里得来说，关键的问题是要证明.. CA与.. AG在同一条直线上。
欧几里得指明，根据正方形作图，∠GAB为直角，而根据假设，∠BAC也是
直角。由于这两个角的和等于两个直角，命题.. I.14保证了.. GAC是一条直线。
有趣的是，在这一显然只涉及到很少的技术性问题的证明中，欧几里得唯
一一次应用了∠BAC是直角这一事实。
现在，欧几里得开始将目光转向两个细长的三角形.. ABD和.. FBC。这两
个三角形的短边（分别为.. AB和.. FB）相等，因为它们是一个正方形的两条
边；同理，两个三角形的长边（BD和.. BC）也相等。那么，它们的对应夹角
是否相等呢？由于∠ABD是∠ABC与正方形直角∠CBD之和，而∠FBC是∠
ABC与正方形直角∠FBA之和。公设4规定，所有直角都相等。公理2则保
证了等量之和相等。因此，∠ABD=∠FBC。根据“边角边”定理（即命题
I.4），欧几里得证明狭长三角形ABD与.. FBC全等；因此，这两个三角形的
面积相等。
到目前为止，一切顺利。接着，欧几里得指明，△ABD与矩形.. BDLM具
有同一条边.. BD，并且，位于同两条平行线（BD与.. AL）之间。因此，根据
命题.. I.41，BDLM的面积等于△ABD面积的.. 2倍。同样，△FBC与正方形.. ABFG
也具有同一条边.. BF。并且，欧几里得已证明GAC是一条直线，因此，△FBC
与正方形.. ABFG也同位于平行线.. BF与.. GC之间；根据命题.. I.41，正方形.. ABFG
的面积也等于△FBC面积的.. 2倍。
欧几里得综合这些结果和先前证明的三角形全等，得出：
面积（矩形.. BDLM）=2面积（△ABD）
=2面积（△FBC）
=面积（正方形.. ABFG）
至此，欧几里得完成了一半使命。下一步，他需证明矩形CELM的面积
等于正方形.. ACKH的面积。对此，他可以用同样的方法证明。首先，连接
AE与.. BK，然后，证明BAH是一条直线，并根据“边角边”定理，证明△ACE
与△BCK全等。最后，引用命题
I.41，欧几里得推论：
面积（矩形.. CELM）=2面积（△ACE）
=2面积（△BCK）
=2面积（△BCK）
至此，毕达哥拉斯定理呼之欲出，因为：
面积（正方形.. BCED）
=面积（矩形.. BDLM）+面积（矩形.. CELM）
=面积（正方形.. ABFG）+面积（正方形.. ACKH）。证讫。
至此，欧几里得完成了数学中最重要的证明之一，而他所应用的图形
（图.. 2.14）也因此成为了非常著名的图形。人们常常称欧几里得的图形为
“风车”，因为它的外形看起来很像风车。从附图中我们可以看到.. 1566
年版《原本》所刊载的“风车”图形，图中的文字为拉丁文。显然，400
多年前的学生便已开始研究这一图形，犹如我们刚才所做的那样。
当然，欧几里得的证明并不是证明毕达哥拉斯定理的唯一方法。实际
上，证明方法有数百种之多，有的非常巧妙，有的极其平庸。（其中包括
俄亥俄州众议员詹姆斯·加菲尔德的证明，他后来成为美国总统。）读者
如果对其他证明方法感兴趣，可以参考.. E.S.卢米斯所著《毕达哥拉斯命
题》一书，其中收录了对这一著名定理的千百种证明方法，令人眼花缭乱。
虽然命题.. I.47标志了第一篇的高潮，但欧几里得还有最后一个命题要
证明，这就是毕达哥拉斯定理的逆定理。欧几里得对这一逆定理的证明，
其巧妙和精练，依然是显而易见的。但遗憾的是，这一证明本该同样著名，
却始终湮没不彰。实际上，大多数学生在其一生中，总会在某一时刻见到
过对毕达哥拉斯定理的证明，但是见过对其逆定理证明的人就少得多，即
使见到，也不敢肯定其正确性。
欧几里得对这一逆定理的证明有两个特点值得我们特别注意。其一是
它非常短，将其与我们刚看到的论证相比，则尤其如此。其二是欧几里得
在证明这一逆定理时，应用了毕达哥拉斯定理。这种逻辑方法虽然并非没
有前例，但至少值得注意。让我们回想一下，欧几里得在证明有关平行线
的两个重要命题（命题Ⅰ.27及其逆命题Ⅰ.29）时，并没有用其中一个命
题去证明另一个命题。但是，他对毕达哥拉斯逆定理的证明，却将命题Ⅰ.48
牢固地建立在命题Ⅰ.47的基础之上，使这两个命题成为一个明确的序列
单位。
命题Ⅰ.48在一个三角形中，如果一边上的正方形面积等于其他两
边上的正方形面积之和，则这两边的夹角是直角。
证明
欧几里得首先作△ABC，并假设BC
2 ＝AB2 ＋AC
2，如图
.
2 15
所示。他必须证明∠BAC是直角。
为此，欧几里得首先根据命题Ⅰ.11，作.. AE垂直于.. AC，并交.. AC于.. A。
然后，作AD＝AB，并连接CD。现在，欧几里得求证的中心问题是要证
明三角形.. BAC与.. DAC全等。
显然，这两个三角形有一条共同边AC，并且，根据作图，AD＝AB。
虽然我们显然不能断言∠BAC是直角（实际上，这正是该定理所要
确定的），但根据垂线作图，我们知道∠DAC是直角。因此，欧几里得完
全有理由应用毕达哥拉斯定理于直角三角形.. DAC，并根据假设，推导出..
2 22222
CD ＝AD ＋AC ＝AB ＋AC ＝BC
在此，在此，2 与BC
2 相等也意味CD
2 与BC
2相等，因此，根据“边
边边”定理，△DAC与△BAC全等。因而，∠BAC与∠DAC也必然全等。而
根据作图，后者为直角，所以，∠BAC也是直角。证讫。
命题Ⅰ.47和Ⅰ.48相得益彰，揭示了直角三角形的全部特征。欧几里
得表明，一个三角形，如果，也只有当其斜边的平方等于两条侧边的平方
和时，这个三角形才是直角三角形。这些证明过去是，现在依然是最佳几
何例证。
这两个毕达哥拉斯命题在另一种意义上也是卓越非凡的。欧几里得以
一种巧妙的方式证明这两个命题是一回事，而这两个命题是正确的则是另
一回事。对于直角三角形与平方和的密切关系，没有直觉的推论。例如，
它不像命题Ⅰ.20那样，是一种甚至连驴子都能懂得的不证自明的真理。
相反，毕达哥拉斯定理证明了一个非常奇特的事实，其奇特性之所以不被
认识，仅仅是因为其结果太著名了。理查德·特鲁多在他的《非欧几里得
革命》一书中精彩地描述了毕达哥拉斯定理这种固有的奇特。特鲁多注意
到，直角是一种人人都熟悉的日常存在，它不仅存在于人为世界，而且也
存在于自然界本身。还有什么能比直角更“普通”或更“自然”的呢？但
特鲁多又说：
“毕达哥拉斯定理使我感到非常惊奇..‘a
2=b2＋c
2’..无论如何
引不起我本能的记忆..因为这个方程抽象，精确，异乎寻常。我想象不
出这样一种东西与日常生活中所见的直角有什么关系。因此，当偶然揭开
‘熟悉’的帘幕，重新审视毕达哥拉斯定理，我不禁感到目瞪口呆。”
后记
纵观历史，《原本》第一篇基础中最令人困惑的是引起争议的平行线
公设。困惑的产生并非因为有人怀疑平行线公设的真理性，相反，人们普
遍认为这个公设是逻辑的必然。几何毕竟是一种抽象描述世界的方式，是
一种“物理的抽象”，而物理现实又确实决定了平行线公设的真理性。
因此，受到质疑的不是欧几里得的陈述，而是他将其列为公设。古代
作家普罗克洛斯一言以蔽之，“它（公设
5）完全应从公设中剔除，因为
它是一条定理..”
对平行线公设的这种认识并不奇怪。首先，可能确实使古代几何学家
感到迷惑的是，这一公设看起来的确十分像一条命题，因为它的陈述性语
句就占了大半段。加之，欧几里得似乎不仅尽可能避免应用这一条公设，
而且在证明一些相当深奥微妙的结论时，也尽可能设法绕过它。“如果说
他的其他公设和公理的内容都非常丰富，足以产生诸如命题Ⅰ.16或Ⅰ.27
这样的定理或四种全等格式的话，那么，它们当然也应该同样包容平行线
公设的含义。”
