16边形，等等，依次进行，我们就可以得到一个非常近似
于圆形面积的比较简单的多边形。用欧多克索斯的话说，这个多边形从内
部“穷竭”了圆。
实际上，这个过程就是阿基米德确定圆面积的过程，我们将在第四章
看到。阿基米德不仅将这一基本逻辑理论归功于欧多克索斯，而且还认为
他用穷竭法证明了“任何锥体的体积都等于与之同底同高柱体体积的三分
之一”，这决不是一个无足轻重的定理。熟悉高等数学的读者都会承认，
穷竭法是现代“极限”概念的几何先驱，同时也是微积分的中心。欧多克
索斯的贡献意义十分深远，人们一般认为他是仅次于最伟大的数学家阿基
米德本人的古希腊卓越数学家。
公元前四世纪的最后
30年，马其顿国王亚历山大大帝即位，并出发征
服世界。公元前
332年，亚历山大大帝征服埃及，随之在尼罗河口建亚历
山大城。这座城市发展极为迅速，据说在其后
30年间，人口已达
50万。
而更为重要的是，在这座城市中建立了宏大的亚历山大图书馆，这座图书
馆很快便取代了希腊学园，成为世界的学术重镇。亚历山大图书馆藏有
600，000多部纸莎草纸文稿，其藏书之丰超过了当时世界上的任何一个图
书馆。的确，在整个希腊和罗马统治时期，亚历山大城始终是地中海地区
的思想中心，直到公元
641年被阿拉伯人摧毁。
公元前约
300年，在亚历山大城吸引的众多学者中，有一位名叫欧几
里得。他来到亚历山大城，创办了一所数学学校。我们对欧几里得的生平
和他到达非洲海岸前后的情况都知之甚少，但他似乎曾在希腊学园接受过
柏拉图弟子的训导。不管情况是怎样的，欧几里得的影响十分深远，实际
上，所有后来的希腊数学家都或多或少地与亚历山大学校有过某种联系。
欧几里得在数学史上声名显赫，得益于他编纂的《原本》。这部著作
对西方思想有着深远的影响，人们一个世纪又一个世纪地研究、分析和编
辑此书，直至现代。据说在西方文明的全部书籍中，只有《圣经》才能够
与欧几里得的《原本》比美。
得到人们高度评价的《原本》是一部大型汇编书籍，全书分为
13篇，
465个命题，其涉及范围，从平面几何、立体几何到数论，无所不包。今
天，人们一般认为，在所有这些定理中，只有比较少的一部分是欧几里得
本人创立的。尽管如此，但从整个希腊数学体系来看。他毕竟创造了一个
数学宝库，它是如此的成功，如此的受人尊崇，以致于所有前人的类似著
作都相形见绌。欧几里得的著作很快就成为了一种标准。如此一来，如果
一个数学家说到
1．47，就只能意为《原本》第一篇第
47命题，而无须解
释我们所说的是《原本》，犹如人们一提到“I《列王记》7∶23”，就知
道说的是《圣经》一样。
实际上，这种比较是非常恰当的，因为没有一本书能像欧几里得的大
作那样被人看作“数学的圣经”。几百年来，《原本》已出版了
2000多个
版本，这个数字足以使今天数学教科书的编写家羡慕不已。众所周知，即
使在当时，《原本》也获得了巨大的成功。罗马帝国崩溃后，阿拉伯学者
将《原本》带到了巴格达。文艺复兴时期，《原本》再度出现于欧洲，其
影响十分深远。16世纪的意大利著名学者及
100年后年轻的剑桥大学学生
艾萨克·牛顿都曾拜读过这部巨著。下面，让我们从卡尔·桑德堡著的亚
伯拉罕·林肯传中摘录一段，看一看没有受过什么正规教育的年轻律师林
肯是如何磨砺他的推理技能的：
“..购买一部欧几里得的《原本》，这部书已有
2300年的历史..
（他）在外出巡回出庭时，把书装在他的旅行袋里。晚上..别人都已入
睡了，他还在借着烛光研读欧几里得。”
人们屡屡提及，林肯阅读莎士比亚和《圣经》，文风受到很大影响。
同样，他的许多政论文也明显地反映出欧几里得命题的逻辑发展。
伯特兰·罗素（1872—1970年）对《原本》情有独钟，他在自传中写
下了这样一段引人注目的回忆：
“11岁时，我开始学习欧几里得的书，并请我的哥哥当老师。这是我
生活中的一件大事，犹如初恋般的迷人。”
我们在本章和下一章讨论《原本》时，应该知道，我们是在沿着一条
其他许多人业已走过的道路前进。只有极少数的一些经典著作，如《伊利
亚特》和《奥德赛》，才有资格共同组成这一文化遗产。我们将要讨论的
命题，阿基米德、西塞罗、牛顿、莱布尼兹、拿破仑和林肯都曾研究过。
侧身于这一长长的学生名单之中，不免令我们有些忐忑不安。
欧几里得天赋超人，与其说他创造了一种新的数学，不如说他把旧数
学变成一种清晰明确、有条不紊、逻辑谨严的新数学。这绝不是无足轻重
的小事。必须认识到，《原本》绝不仅仅只是数学定理及其证明；早至泰
勒斯时代，数学家就已对命题作出过论证，而欧几里得对命题作了辉煌的
公理化演绎，这是一个根本的区别。在《原本》中，他首先给出要素：23
条定义，5条公设和
5个公理。这些都是基础，是欧几里得体系的“已知”。
他可以在任何时候应用这些要素。利用这些要素，他证明了他的第一个命
题。然后，以第一个命题为基础，他可以将他的定义、公设、公理与第一
个命题都融合进对第二个命题的证明。如此循序渐进，直至逐条证明所有
的命题。
因此，欧几里得不仅仅作出了证明，更重要的是，他是在这种公理结
构中作出的证明。这种论证方法的优越性十分明显，其一就是可以避免循
环推理。每一个命题都与前一个命题有着十分清晰而明确的联系，并可直
接导回原来的公理。懂得计算机的人甚至还能够画出一张流程图，准确显
示证明一个特定定理可以应用哪些推导结果。这种证明方法比“投入”法
优越得多，因为使用“投入”法，人们总是不清楚以前的哪些推导结果可
以应用，哪些不可以应用。而且，在推导过程中，还有一个很大的危险，
就是，如果要证明定理.. A，可能需要应用结果.. B，但反过来，如果不应用定
理.. A本身，可能又无法证明结果.. B。这样，就出现了自我相关的“怪圈”，
犹如一条蛇吞吃了自己的尾巴。在数学上，显然徒劳无益。
环推理。每一个命题都与前一个命题有着十分清晰而明确的联系，并可直
接导回原来的公理。懂得计算机的人甚至还能够画出一张流程图，准确显
示证明一个特定定理可以应用哪些推导结果。这种证明方法比“投入”法
优越得多，因为使用“投入”法，人们总是不清楚以前的哪些推导结果可
以应用，哪些不可以应用。而且，在推导过程中，还有一个很大的危险，
就是，如果要证明定理.. A，可能需要应用结果.. B，但反过来，如果不应用定
理.. A本身，可能又无法证明结果.. B。这样，就出现了自我相关的“怪圈”，
犹如一条蛇吞吃了自己的尾巴。在数学上，显然徒劳无益。
因此，《原本》的公理化演绎方法是非常重要的。虽然欧几里得没有
使之尽善尽美，但它的逻辑极为严密，而且，欧几里得成功地将零散的数
学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络，所有这些，都使之
成为其后所有数学著作的范本。时至今日，在神秘的拓扑学、抽象代数或
泛函分析领域，数学家们还是首先提出公理，然后，一步一步地推导，直
至建立他们奇妙的理论。而这正是欧几里得谢世.. 2300年后的再现。
第一篇：序
在本章中，我们只重点讨论《原本》的第一篇；其后几篇，我们将在
第三章讨论。第一篇一开始就提出了一系列互不连贯的平面几何定义。（欧
几里得的全部引文均摘自托马斯·希思编辑的百科全书中“欧几里得《原
本》十三篇”。）其中一些定义如下：..
□定义1点是没有部分的一种东西。..
□定义2线是没有宽度的长度。..
□定义4直线是其上各点无曲折地排列的线。
欧几里得今天的学生会发现这些定义的措词都是不可接受的，而且，
还多少有点儿古怪。显然，在任何逻辑系统中，并非每个名词都是可以定
义的，因为定义本身又是由其它名词组成的，而那些名词也必须定义。如
果一个数学家试图对每个概念都给出定义，那么，人们一定会批评他在制
造一个庞大的循环论证的怪圈。例如，欧几里得所说的“没有宽度”究竟
是什么意思？而“各点无曲折地排列”的技术性含义又是什么？
从现代观点来看，一个逻辑系统总是始于一些未经定义的词，而以后
所有的定义都与这些词有关。人们肯定会尽力减少这些未定义词的数量，
但这些词的出现却是不可避免的。对于现代几何学家来说，“点”和“直
线”的概念就始终未经定义。像欧几里得所用的陈述，有助于我们在头脑
中形成某些图像，并非完全没有益处；但是，作为准确的逻辑定义来说，
这最初的几个词是不能令人满意的。
所幸他后来的定义却比较成功。其中一些在我们第一篇的讨论中非常
突出，值得予以评述。..
所幸他后来的定义却比较成功。其中一些在我们第一篇的讨论中非常
突出，值得予以评述。..
现代读者可能会对此感到奇怪，欧几里得并没有将直角定义为.. 90°
角；实际上，在《原本》中，也没有任何一个地方讲到“度”是角的测量
单位。在这部书中，唯一有意义的角测量是直角。正如我们所看到的那样，
欧几里得将其定义为一条直线上两个相等的邻角之一。..
□定义15圆是包含在一条线里的平面图形，因此，从圆内某一点
出发连到该线的直线都相等。
显然，圆内的“某一点”是指圆心，而他所说的相等的“直线”则是
半径。
欧几里得在定义.. 19至.. 22中，定义了三角形（由三条直线包含的平面
图形）、四边形（由四条直线包含的平面图形）和一些特定的子类，如等
边三角形（三条边都相等的三角形）和等腰三角形（“只有两条边相等”
的三角形）。他最后的定义是十分重要的：..
□定义23平行直线是两条在同一平面且向两个方向无限延伸的直
线，这两条直线在两个方向上不相交。
请注意，欧几里得避免了用“处处等距”的术语来定义平行线。他的
定义更为简单，而且少有逻辑陷阱：平行线只是在同一平面且不相交的直
线。
基于这些定义，欧几里得提出了五个几何公设。请不要忘记，这些都
是欧几里得体系中的“已知”，是不言自明的真理。他当然对此必须审慎
地选择，以避免重叠或内在的不一致。
公设.. 1 从任一点到任一点〔可〕作一条直线。
公设.. 2有限直线〔可〕沿直线无限延长。
我们即刻可以看出，这前两个公设恰好可以允许我们用无刻度直尺作
图。例如，如果几何学家想用一条直线连接两点（这正是可以用直尺完成
的作图），则公设.. 1为此提供了逻辑依据。
公设.. 3 给定中心和距离（半径），〔可以〕作一个圆。
这样，公设.. 3就为以已知点为圆心，以已知距离为半径，用圆规作圆
提供了相应的逻辑根据。因此，我们可以说，这前三个公设加在一起，就
为欧几里得作图工具的全部用途奠定了理论基础。
是否确实如此呢？人们只要回想一下自己的几何作图训练，就会想起
圆规的另一个用途，即用以将平面上某一部分的固定长度转移到另一部
分。具体做法是，已知一条线段，拟在另一处复制其长度。将圆规的尖端
放在线段的一端，并将圆规的铅笔端对准线段的另一端；然后，将圆规固
定，并拿起圆规，放在需要复制线段的位置。这是一种非常简便，又非常
有用的方法。但是，按照欧几里得的规则，这种方法却是不允许的，因为
在他的著作中，没有一个地方提出一种公设，允许用这种方法转移长度。
因此，数学家们常常称欧几里得的圆规是“可折叠的”。就是说，虽然圆
规完全有能力作圆（如公设.. 3所保证的），但只要把圆规从平面拿起，圆
规就闭拢了，无法再打开。
有用的方法。但是，按照欧几里得的规则，这种方法却是不允许的，因为
在他的著作中，没有一个地方提出一种公设，允许用这种方法转移长度。
因此，数学家们常常称欧几里得的圆规是“可折叠的”。就是说，虽然圆
规完全有能力作圆（如公设.. 3所保证的），但只要把圆规从平面拿起，圆
规就闭拢了，无法再打开。
公设.. 4所有直角都相等。
这一公设与作图无关，它提供了一个贯穿于整个欧几里得几何体系的
统一的比较标准。定义.. 10引入了直角概念，而现在，欧几里得则假定任何
两个直角，不论在平面的什么位置，都相等。基于这一公设，欧几里得提
出了一个在希腊数学界引起最大争议的公设：
公设.. 5 如果一条直线与两条直线相交，且如果同侧所交两内角之和
小于两个直角，则这两条直线无限延长后必将相交于该侧的一点。
如图.. 2.1所示，这一公设的意思是说，如果.. a＋β小于两个直角，则
直线.. AB与.. CD相交于右侧。公设.. 5常常被人们称为欧几里得的平行线公设。
这显然有点儿用词不当，因为实际上这一公设规定了使两条直线相交的条
件，因此，根据定义.. 23，更准确的名称应
该叫不平行公设。
显然，这一条公设与其它公设完全不同。它的行文较长，而且需要有
图帮助理解，似乎远不是那种不证自明的真理。这条公设看来过于复杂，
与泛泛而谈的“所有直角都相等”显然不属同一类。实际上，许多数学家
都直觉地感到这第.. 5条公设实际上是一个定理。他们认为，正如欧几里得
不需要假定可用圆规转移长度，他也不需要假定这样一条公设，他完全可
以借助更基本的几何性质证明这一点。有证据表明，欧几里得自己也对这
个问题感到有点儿不安，因为他在第一篇的演绎中一直尽力避免应用这一
平行线公设。也即，在最初的28个命题中，既然他感到完全可以首先和经
常使用其他公设，他就放弃了使用第.. 5条公设。但诚如“后记”中所表明，
怀疑是否需要这一公设是一回事，作出实际证明则是另一回事。
根据这一有争议的公设，欧几里得提出了五个公理，从而完了他的序
篇。这五个公理也都是不证自明的真理，但具有更一般的性质，不仅仅只
对几何学有效。这些公理是..
□公理.. 1与同一个东西相等的东西，彼此也相等。..
□公理.. 2等量加等量，总量仍相等。..
□公理.. 3等量减等量，余量仍相等。..
□公理.. 4彼此重合的东西相等。..
□公理.. 5整体大于部分。
在这五个公理中，只有第.. 4个公理有点儿让人费解。显然，欧几里得
的意思是，如果一个图形能够严格不变地从纸上某一位置拿起，放到第二
个图形上，两个图形完全重合，则两个图形在各个方面都相等——即它们
有相等的角，相等的边，等等。长期以来，人们认为，公理.. 4具有某种几
何特征，应该归入公设的范围。
在这五个公理中，只有第.. 4个公理有点儿让人费解。显然，欧几里得
的意思是，如果一个图形能够严格不变地从纸上某一位置拿起，放到第二
个图形上，两个图形完全重合，则两个图形在各个方面都相等——即它们
有相等的角，相等的边，等等。长期以来，人们认为，公理.. 4具有某种几
何特征，应该归入公设的范围。
“我听说欧几里得证明了一些定理，但看到他从公理入手，感到非常
失望。起初，我拒绝接受这些，除非哥哥讲明这样做的道理，但他说，‘如
果你不接受它们，我们就无法继续。’我为了能继续学习，勉强接受了它
们。”
第一篇：早期命题
在《序》的基础上，欧几里得开始证明他第一篇中的前.. 48个命题。我
们在此只讨论那些特别有趣或特别重要的命题，目标是要到达命题.. I．47
和.. I．48，因为这两个命题是第一篇的逻辑顶峰。
如果一个人想从一些特定公理开始演绎几何，那么，他的第一个命题
应该是什么呢？对于欧几里得来说，这第一个命题就是
命题
I.1在已知有限直线上作等边三角形。
证明欧几里得开始先作已知线段.. AB，如图2．2所示。然后，他以A
为圆心，以.. AB为半径，作圆；再以B为圆心，以.. AB为半径，作第二个圆。
当然，这两个圆都应用了公设.. 3，而且，在从纸上拿起圆规时，不要求圆
规保持打开状态。设.. C为两圆交点。欧几里得根据公设.. 1作直线.. CA和.. CB，
然后，宣布△ABC是等边三角形。因为根据定义.. 15，由于.. AC和..
BC都是它们各自圆的半径，所以，＝，＝AB 1
AC AB BC 。由于公理称，
与同一个东西相等的东西彼此也相等，所以，我们说，AC＝AB＝BC，
因此，根据定义，△ABC是等边三角形。
这是一个非常简单的证明，只应用了两个公设，一个公理和两个定义，
乍一看，似乎很完美。但遗憾的是，这个证明是有缺点的。即使古希腊人，
不论他们对《原本》评价多高，也都看出了欧几里得最初论证的逻辑缺陷。
问题出在.. C点上。欧几里得如何证明两个圆实际上一定会相交呢？他
怎么知道这两个圆不会以某种方法相互通过而不相交呢？显然，由于这是
他的第一个命题，他以前并没有证明过这两个圆必然相交。而且，在他的
公设或公理中，也都没有提到这个问题。对.. C点存在的唯一证明就是图中
的明确表示。
但问题就在这里。因为如果说欧几里得想从他的几何中排除什么，那
就是代替了证明的对图的依据，根据他自己的基本规则，证明必须建立在
逻辑基础上，必须建立在依据公设和公理所做的谨慎的推理基础上，一切
结论最终都必须来源于此。欧几里得“让图说话”，就违背了他给自己制
定的规则。并且，如果我们想从图中得出结论，我们完全可以根据观察来
判明命题.. 1.1，即所作三角形看起来是等边三角形。如果我们求助于这种
视觉判断，那么，一切都不再成立。
视觉判断，那么，一切都不再成立。
“他的定义并非总是确定的，他的公理也不是都无法证明，他的论证
需要许多公理，而他自己却没有意识到。严谨的证明应在没有图形辅助时
依然保持其论证的力量，但欧几里得的许多早期证明却不能如此..他的
著作作为逻辑名作的价值在很大程度上被夸大了。”
大家公认，欧几里得在以图像、而不是以逻辑为先导时，他不过是没
做应该做的事。而在他全部.. 465个命题中，并没有一处做了不该做的事。
他的.. 465个定理，没有一个是虚假的。只要对他的证明作一些小小的改动，
并增加一些遗漏的公设，他的全部命题就能够经受住时间的考验。那些赞
同罗素观点的人不妨首先将欧几里得的著作与希腊天文学家、化学家或物
理学家的著作作一番比较。用现代标准来看，那些古希腊科学家真正是处
于原始状态，今天，没有一个人会依据这些古代科学家的著作来解释月球
的运动或肝脏的功能。但与此相反，我们经常可以请教欧几里得。他的著
作是一项永恒的成就。它无须依赖收集数据或创造更精密的仪器。一切只
需敏锐的理性，而欧几里得恰恰高于理性。
命题.. I.2和.. I.3巧妙解决了前面提到的在没有移动圆规的明确公设情
况下转移长度的问题；而命题.. I.4则是欧几里得的第一个全等命题。用现
代话说，这一命题就是“边角边”或“SAS”三角形全等模式，对此，读者
应回想起中学几何课上学过的知识。命题.. I.4设定，如果有两个三角形，
其中一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角
相等，则这两个三角形全等（图.. 2.3）。
欧几里得在证明中，首先假设AB＝DE，AC＝DF，∠BAC = ∠EDF。然
后，他拿起△DEF，放到△ABC上，并证明，两个三角形完全重合。这种用
叠加方式证明的方法早已不受欢迎。并且，谁能说当图形在纸上移动的时
候，它们不会变形或扭曲呢？希尔伯特认识到了这种危险，他实质上已将
SAS作为他的公理Ⅳ.6。
命题.. I.5确定等腰三角形的两个底角相等。这一定理以“笨人不过桥”
著称。之所以有此说法，一则是因为欧几里得的图形有点儿像一座桥；再
则是因为，许多差些的学生都难于理解这一定理的逻辑，因此，也就无法
跨过这座桥，进入《原本》的其它部分。
接下来的命题，即命题.. I．6，是命题.. I．5的逆命题。该命题确定，
如果一个三角形的两个底角相等，则这个三角形是等腰三角形。显然，逻
辑学家对定理及其逆定理极感兴趣，所以，欧几里得在证明一个命题后，
常常会插入逆命题证明，即使省略或延迟这一证明都不致损害他著作的逻
辑。
欧几里得的第二个三角形全等模式——“边边边”或“SSS”，写入了
命题.. I.8。这一命题确定，如果有两个三角形，其中一个三角形的三条边
分别与另一个三角形的三条边相等，则这三条边所对应的两个三角形全
等。
等。
欧几里得下面的两个定理是关于邻角∠ABC和∠ABD的，如图.. 2.4所
示。他在命题I.13中证明，如果CBD是一条直线，那么，上述两个角之和
等于两个直角；在命题.. I.14中，他证明了这一定理的逆定理，即，如果∠
ABC与∠ABD之和等于两个直角，则.. CBD是直线。接着，他应用这一角与直
线的性质，证明了更为重要的命题.. I.15。
命题.. I.15 如果两条直线相交，则所形成的对顶角相等（图.. 2．5）。
证明因为.. AEB是一条直线，所以，命题.. I．13保证了∠AEC
与∠CEB之和等于两个直角。同样，我们可以说，∠CEB与∠BED
之和也等于两个直角。公设.. 4称，所有直角都相等，并根据公理.. 1
和.. 2，得出∠AEC＋∠CEB＝∠CEB＋∠BED。然后，根据公理.. 3，
从等式两边各减去∠CEB，欧几里得即得出结论，对顶角∠AEC
和∠BED相等，与命题一致。证讫。
这一定理又为我们引出了命题.. I.16，即所谓外角定理，这是《第一篇》
中最重要的定理之一。
命题.. I.16在任何三角形中，一角的外角大于其他两角中的任何一
角。
证明已知△ABC，延长BC到.. D，如图2．6所示，我们必须证明∠DCA
大于∠CBA或∠CAB。欧几里得先根据命题.. I．10，平分AC于.. E，然后，根
据公设.. 1，作线段.. BE。公设.. 2使他可以延长.. BE，并根据命题.. I．3，
作EF＝EB。最后，连接FC。
我们来看三角形AEB和CEF，欧几里得指明，根据平分作图，AE＝CE；
