因此，集合.. B=｛a,b,d,g,..｝。这样构造的.. B是原集合.. A的子集。
所以.. B属于.. A的幂集，因而必然会出现在上述对应关系右边一列的某个位
置。但是，按最初假定的一一对应关系，我们同样断定在左边一列一定有
A的某一元素.. y对应于.. B：
第一种情况假设.. y不是B的元素。
那么根据我们最初对.. B所下的定义，“..原集合.. A中每一个不属于
它所对应的子集的元素的集合”，我们看到，y理所当然是.. B的成员，因
为在这种情况下，y不是它所对应的集合的元素。
换句话说，如果我们首先假定.. y不属于.. B，那么，我们就被迫得出结
论，y应当是.. B的元素。显然这是自相矛盾的，所以我们排除第一种情况，
因为这是不可能的。
第二种情况假设.. y是B的元素。
我们再次求助于.. B的定义。因为第二种情况假定.. y属于.. B，那么，y
应当符合.. B的定义；即.. y不是它所对应的集合的元素。太遗憾了！与.. y对
应的集合恰恰是.. B，因此，y不可能是集合.. B的元素。
这样，由于第二种情况假定.. y属于.. B，我们不得不直接得出结论，y
不是.. B的元素。作为逻辑结构，我们再次走进了死胡同。
一定是什么地方出了毛病。第一种情况与第二种情况是仅有的两种可
能，但这两种可能都导致了逻辑矛盾。我们断定，在论证中的某个地方一
定有一个假设是错误的。当然，问题正是开始时我们所假定的在.. A与.. P[A]
之间存在着一一对应关系。我们的悖论显然摧毁了这一假设：不可能存在
这种对应关系。
最后，综合我们的结论，
A≤P[A]，但A≠P[A]，至此，我们已证明
了康托定理：对于任意集合A，A＜P[A]。证讫。
也许，用一个有限集作为具体例子，我们可以清楚地看到康托的天才。
令.. A=｛a,b,c,d,e｝，并在集合.. A的元素与其幂集的某些成员之间建立对
应关系：
回忆一下.. B的定义，即，集合A中那些不属于它所对应的集合的元素，
我们看到，B=｛c,e｝。
康托注意到问题的关键是，B不可能出现在上述对应关系的右列，
因为逻辑证明，不存在可能与之对应的元素。对于
A与
P[A]之间任何假设
的对应，康托的证明令人击节称赞之处在于他巧妙地描述了
A的幂集不可
能的一个成员（也就是
B）对应于
A的某一元素。这就直接否定了任何一
个集合与其幂集之间存在着一一对应关系的可能。
我们有必要停下来思考一下康托定理更深一层的含义。康托证明，无
论我们最初采用什么样的集合，其幂集严格地说具有更大的基数。用他自
己的话说：
“..可以用另一集合
M置换任何已知集合
L，构造一个新的集合，
使其基数大于
L的基数。”
这样，在寻找基数大于
c的集合这一长期探索过程中，我们没有着眼
于平面中的正方形或三维空间的立方体。而是代之以区间(0,1)内点的所有
子集的集合P[(0,1)]。根据康托定理，c = (0,1)＜P(0,1)，于是我们发现了
更大的超限基数。
现在，我们来回忆一个基本事实，按照幂集的定义，它理所当然地也
是一个集合。因此，我们可以构造
P[(0,1)]的幂集，即构造(0,1)的所有
子集的集合的所有子集的集合。尽管
P[(0,1)]的确是一个非常惊人的集
合，但上述推理表明，P[(0,1)]＜P[P[(0,1)]]。
这个妖怪一旦逃出魔瓶，就再没有什么能够阻止乔治·康托了。因为
我们显然能够无限地重复这个过程，并由此生成一个越来越长的不等式
链：
à0 ＜＜c P[(0,1)]＜P[P[(0,1)]＜P[P[P[(0,1)]]]＜..
简直没有喘息的时间。乔治·康托不仅打开魔瓶放出了第一个超限基
数（
à0），进而又发现了甚至更加漫无边际的无穷基数(c)，而且，通过
反复应用康托定理，还给出了一个生成更大超限基数的永无尽头的不等式
链。这是一个没有结尾的故事。
毫不夸张地讲，这个定理，以及康托所有关于无穷的深奥理论，都引
起了反对派不绝于耳的喧嚣。的确，他推动数学进入一片未被开垦的处女
地，在那里，数学开始并入哲学和形而上学的王国。值得注意的是，乔治·康
托的数学中的形而上学含义并非对他无关紧要。据现代康托的权威传记作
家约瑟夫·多邦记载，康托在他的超限理论中发现了一种宗教意义，并认
为自己“不仅是上帝的信使，准确地记录、转述和传送新发现的超限数理
论，而且，也是上帝的使节”。康托自己写道：
“我毫不怀疑超限数的正确性，因为我得到了上帝的帮助，而且，我
曾用了二十多年的时间研究各种超限数；每一年，甚至每一天我在这一学
科中都有新的发现。”
这一段文字表明，宗教在很大程度上已成为康托思想的中心。我们只
要回想一下他父母的混合宗教背景，就可以想象出康托家庭中必定不乏各
种各样的神学讨论。也许，这更增强了他对神学的兴趣。无论如何，不论
是在数学，还是在其他领域，他的思想时时显示出宗教色彩。
这种态度使这位神秘的怪人不能见容于他的批评者。康托声称他的数
学乃是上帝的信息，无怪那些反对者可以随意攻击他的激进的无穷论。康
托不仅迷恋神学，而且热中于证明莎士比亚的剧作乃是由弗朗西斯·培根
捉刀，不免更加损害了他的形象。也许，对这一切，他的同事只感到有点
儿古怪，而当他声称发现了有关第一位不列颠国王的资料，并且，“只要
这些资料一公布，必然会使英国政府感到恐惧”时，许多人就惊得目瞪口
呆了。这让人很难不把乔治·康托看作某种狂人。
儿古怪，而当他声称发现了有关第一位不列颠国王的资料，并且，“只要
这些资料一公布，必然会使英国政府感到恐惧”时，许多人就惊得目瞪口
呆了。这让人很难不把乔治·康托看作某种狂人。
在批评康托的人中，有一位名叫列奥波德·克罗内克（1823—1891
年），他是德国数学界很有影响的人物，并固定在颇具声望的柏林大学执
教。这所大学曾培养出著名的维尔斯特拉斯和他的出色的学生（包括康托
自己在内）。康托在哈雷大学执教，但哈雷大学的声望较之柏林大学，则
大为逊色。因此，康托渴望能在柏林大学任职。他对于被“放逐”到二流
大学，总有一种强烈的怀才不遇感，并常常把造成这种情况的原因归结为
克罗内克的迫害。康托在与其对手间的相互攻忤中，明显地表现出一种妄
想狂的倾向。在此过程中，康托既攻击了敌手，也得罪了朋友，也就更难
有机会在柏林大学谋职。
毫不奇怪，乔治·康托由于生活的失意和对最神秘的无穷概念的拼命
钻研，多次受到精神病的折磨。他第一次发病是在.. 1884年，当时他正在狂
热地研究一个称为“连续统假设”的猜想，力求对之作出简短的证明。一
种流行的看法认为，除了克罗内克及其他人的迫害以外，数学的压力也是
造成他精神崩溃的原因。现代对康托医学资料的分析认为这种看法夸大其
词，因为有迹象表明，康托表现出一种双相（即狂郁性）精神病的症状，
在任何情况下都有可能使他精神崩溃。也就是说，他在受到人身攻击或遇
到数学困难时，都有可能发病，但他的疾病似乎还有更为深刻的原因。
不管怎样，他的病不断发作，而且，变得日益频繁。1884年，康托经
过一段时间的住院治疗之后，虽然情况好转，但仍有复发的可能。他除了
在数学与职业方面颇感失意以外，1899年，他的爱子鲁道夫的意外死亡又
使他受到了一个沉重的打击。1902年，康托再次住进了哈雷的神经病医
院，后来，1904年、1907年和 1911年，又多次住院治疗。然而，他出院
后，又周期性地出现抑郁症状，他常常一动不动，静静地坐在家中。
康托的一生无疑是困苦的一生。1918年.. 1月.. 6日，他在因精神病发作
再次住院期间，不幸逝世。对于一位伟大数学家来说，这真是一个令人悲
痛的结局。
回顾乔治·康托的生活和工作，人们不禁将他与其同时代的美术大师
樊尚·凡高相比。二人颇有一些相似之处。康托的父亲笃信宗教，而凡高
的父亲则是一位荷兰牧师。他们两人都深爱艺术，热中文学，并喜欢写诗。
我们回想一下，凡高像康托一样，也有一种古怪而反复无常的个性，最后，
他甚至疏远了像保罗·高庚这样的朋友。他们对自己的工作都有一种极强
烈的献身精神。当然，他们两人也都患有精神疾病，因此住院治疗，而且
给他们造成了沉重的思想负担，因为他们时时担心疾病的再次发作。
最重要的是，凡高和康托两人都是革命者。凡高在短暂而辉煌的生涯
中，使美术超越了印象主义的范畴；同样，康托也推动数学沿着意义深远
的新方向发展。无论人们对这位伟大而不幸的数学家如何评说，我们都不
禁对他勇敢地以一种崭新的方式探索无穷的性质肃然起敬。
禁对他勇敢地以一种崭新的方式探索无穷的性质肃然起敬。
“我认为是唯一正确的这种观点，只有极少数人赞同。虽然我可能是
历史上明确持有这种观点的第一人，但就其全部逻辑结果而言，我确信我
将不是最后一人！”
的确，他不是最后一人。虽然多少代的数学家都曾探索过古老的几何、
代数和数论的问题，但乔治·康托却开创了全新的境界。由于他既提出、
又回答了前人不曾想到的问题，所以，将他的理论称之为自古希腊以来第
一部真正具有独创性的数学，也许是最恰当不过的了。
后记
我们曾提到过集合论的某些问题，对于这些问题，即使像康托这样的
伟大天才，也未能解决。其中最令人困惑的问题来自康托的发现中一些费
解的矛盾——逻辑学家称之为“悖论”。也许，其中最简单者即来自康托
的定理。
如果我们构造一个一切集合的集合，并称之为
U（即“泛集”）。这
是一个令人难以置信的巨大集合。它包含一切概念集、全部数集、所有数
集的子集的集合，等等。在集合
U中，我们可以找到每一个存在的集合。
在这个意义上说，U不可能再扩大；因为它已经包含了全部可能存在的集
合。
但是，现在我们把康托定理应用于U。康托已经证明，U＜P[U]，这
显然表明
P[U]远远大于
U本身。这样，在康托集合论的核心出现了灾难性
的矛盾。
1895年，康托发现了这一悖论；其后几十年间，数学界一直在寻求一
种方法，以弥补这一悖论所造成的逻辑缺陷。问题的最终解决看来需要建
立集合论的形式公理系统（正如欧几里得建立了几何学的公理系统），通
过精心地选择公理，合法地将上述悖论排除在外。从逻辑上说，这并非易
事。但是，最后终于将集合论“公理化”，这一新体系谨慎地明确规定了
什么是和什么不是“集合”。在这一体系中，“泛集”在任何意义上不再
是集合；一切集合的集合就被从集合论公理所规定的集合中予以排除。于
是，悖论也就魔术般地消失了。
这一解决方法显然是削足适履，即用一个公理，像外科手术一样，精
确地切除集合论中使人困惑的部分，而保留康托理论中所有完美的部分。
康托的集合论，现在被称为“朴素集合论”，以区别于公理化的集合论。
后者尽管非常艰深，并需要专门的知识，但如今已成为集合论的坚实基础。
它标志着数学家大卫·希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他曾大声疾呼：
“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。”
但是，还有另外一个问题，康托也未能完美地解决，这一问题至少像
悖论的出现那样使他忧心忡忡。实际上，一些人认为，康托对这个问题年
复一年地刻苦钻研，也是造成他精神崩溃的重要因素。这个问题现在称为
康托的“连续统假设”。
这个问题讲起来非常简单。连续统假设断定，在
à0与
c之间不存在别
的超限基数。在这一意义上，基数à的超限基数。在这一意义上，基数à与
c的性质很像整数
0与
1。0与
1
是前两个有限整数，在它们两者之间不可能插入任何其他整数。康托猜测，
à0与
c这两个超限基数也有相似的性质。
从另一个角度讲，连续统假设表明，实数的任何无穷子集或者可数（在
这种情况下，它有基数à0），或者能够与(0,1)构成一一对应的关系（在
这种情况下，它有基数
c）。没有中间的可能性。
康托在他的数学生涯中，用了很多时间来钻研这个问题。1884年，即
他的精神病第一次发作的那一年，他作出了一次重大努力。是年
8月，康
托认为他的努力已获成功，便写信给他的同事古斯塔夫·米塔格-列夫勒，
宣称他对这个问题已作出了证明。但是，三个月以后，他在随后的信中不
仅收回了他
8月份的证明，而且还声称他现在已证明出连续统假设是错误
的。这种观点的根本改变仅仅持续了短短的一天，之后，他又再次写信给
米塔格-列夫勒，承认他的两个证明都有错误。康托不是一次，而是两次承
认他所犯的数学错误，却仍然搞不清他的连续统假设究意是否正确。
我们在前一章的后记中曾讲过，如果康托对他的猜测作出了证明，那
么，他就能够，比如，很容易地确定超越数的基数。如本章所述，超越数
构成了实数的不可数子集，因此，它一定具有基数
c只要康托能够证明他
的连续统假设，一切都会变得如此简单。
然而，他却始终没有成功。尽管他几十年来付出了艰辛的努力，但是，
直到逝世，也未能取得任何进展。这也许是他一生中无法摆脱的最大困扰
和遭受到的最大挫折。
实际上，并非只有乔治·康托一人在探索这个问题的答案。1900年，
希耳伯特审视了大量未解决的数学问题，并从中选出
23个问题作为对
20
世纪数学家的重大挑战。在这
23个问题中，第一个就是康托的连续统假
设，希耳伯特称之为一个“..似乎非常有理的猜想，然而，尽管人们竭
尽全力，却没人能够作出证明。”
在对集合论这一貌似简单的猜想作出某些突破之前，数学家们还需要
殚精竭虑，努力一番。进入
1940年，一个重大的突破在
20世纪最非凡的
数学家库特·哥德尔（1906—1978年）的笔下产生。哥德尔证明连续统假
设在逻辑上与集合论公理系统彼此相容。也就是说，不可能用集合论公理
系统证明连续统假设不成立。如果康托还活着的话，他一定会对这一发现
感到无比的振奋，因为这似乎证明了他的猜想是正确的。
果真如此吗？哥德尔的结果无疑并没有证明这一假设。这个问题依然
悬而未决。1963年，美国斯坦福大学的数学家保罗·科恩（1934—）证明，
我们同样不能用集合论公理系统证明连续统假设成立。综合哥德尔和科恩
的工作，连续统假设以一种最奇特的方式得到了解决：这一假设不能用集
合论公理系统判定其真伪。
这似乎再现了数学史上我们熟悉的一幕。两千多年前，欧几里得引入
了平行线公设，随后数代人绞尽脑汁，试图从其他几何公设中推出这一公
设。后来我们认识到，这是根本不可能的，因为平行线公设完全独立于其
他几何原理；我们不能证明它是对的，也无法证明它是错的。它就像一个
离开海岸的孤岛，形单影只地自成体系。
康托的连续统假设在集合论领域中处于类似的地位。是否采用连续统
假设完全取决于数学家的口味，这一假设变成了一种选用的理论，而不是
假设完全取决于数学家的口味，这一假设变成了一种选用的理论，而不是
在
à0与
c之间不存在其他超限基数的集
合论，我们毫无疑问会非常愿意接受连续统假设作为公设，从而满足我们
的需要。相反，如果我们更喜欢另一种不同的集合论，我们同样可以按我
们的需要抵制连续统假设。连续统假设这一性质与欧氏几何和非欧几何十
分相似。这种异曲同工的结局把当代一个最著名的疑难问题与古希腊的一
个经典难题出人意料地联系了起来。它表明，即使在数学中，事物越变化，
越具有相同性。
那么，康托连续统假设的证明这一悬而未决的问题究竟如何呢？根据
20世纪哥德尔和科恩的研究结果，我们看到，康托所面对的不是一项困难
的工作，而是一项完全没有希望的工作。这一事实就像是对这位忧虑的数
学家一生的一段辛辣写照。
然而，乔治·康托的失败丝毫无损于他数学遗产的光辉。1888年，他
对自己大胆闯入超限王国作出了评价，我们不妨摘录于此：
“我的理论坚如磐石；射向它的每一枝箭都会迅速反弹。我何以得知
呢？因为我用了许多年时间，研究了它的各个方面；我还研究了针对无穷
数的所有反对意见；最重要的是，因为我曾穷究它的根源，可以说，我探
索了一切造物的第一推动力。”
结束语
结束语
到
20世纪。我希望这一旅程能够以其强大的阵容和辉煌的表演给人留
下深刻的印象。这是一段值得口口相传的故事。
我们在第四章讨论拉玛努扬时曾提到过
G.H.哈代，他对数学证明中的
美学有一种强烈的感受。哈代认为，真正的伟大定理应该具有三个特点，
即，精练、必然和意外。我认为，这些性质极恰当地概括了我们所讨论的
定理的特征。欧几里得对素数无穷性的证明堪称简明、优雅和“精简”。
约翰·伯努利的一系列无穷级数必然导致调和级数的发散性，犹如人们在
讲到阿基米德数学时那样，“只要看上一眼，就立刻相信，本来你也能够
发现它。”我们讨论的许多命题，从新月形的化方求积，到三次方程的可
解，以及乔治·康托所发现的一切，都是令人感到非常意外的。总之，我
希望哈代会认可我所选择的这些“伟大定理”。
最后，我将以两段引文结束本书。这两段引文虽然相距
1500年，但却
传达了几乎完全同一的思想。第一段引文出自
5世纪希腊评注家普罗克洛
斯之笔：
“所以，这就是数学：她赋予自己的发现以生命；她令思维活跃，精
神升华；她烛照我们的内心，消除了我们与生俱有的蒙昧与无知。”
我们在本书的序言部分曾引述过
20世纪伯特兰·罗素的一段话，最
后，我再引述他的另一段话。罗素认识到数学中的美，他也像其他任何人
一样，尽力描绘这种美。我最后引述他的一段评论，并希望它能够代表读
者对本书中这些数学杰作的感受：
“正确地说，数学不仅拥有真理，而且，还拥有极度的美——一种冷
静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，
没有绘画或音乐那样华丽的外衣，但是，却显示了极端的纯粹和只有在最
伟大的艺术中才能表现出来的严格的完美。”
