N作为
扩大我们数系的基准。对于他来说，N是基数为
à0的原型集合。引入符号
M表示“集合M的基数”，我们看到，
N＝E＝Z＝à0
如果我们接下来讨论有理数集合
Q，情形又会如何呢？如前所述，有
理数是处处稠密的。在这个意义上说，有理数与整数不同，整数是一个紧
跟一个，循规蹈矩地分布在数轴上的，其中的每一个数字都与前一个数字
保持相同的距离。实际上，在任何两个整数之间（比如在
0与
1之间），
都有无限多的有理数。因此，任何人都会猜想，有理数的个数远远超过自
然数。
但是，康托证明，有理数集是可列的；也就是说，Q＝à0。他的证
明方法是在有理数集与自然数集之间构成一一对应的关系。为了弄清他是
怎样构成这种对应关系的，我们把有理数排列成如下形式：
注意第一列中所有数字的分子是
1，第二列所有数字的分子是－1，等
等；而第一行中所有数字的分母为
1，第二行所有数字的分母为
2，依此类
推。总之，任何分数，都能够在这一排列中找到它的固定的归宿。例
133
如，分数
191
就存在于第191行，第265列（包括正数和负数）。当然，
这一排列包含了集合
Q中的所有元素。
现在，我们按照这一排列中箭头所示方向，列出集合
Q的元
素，由此便产生了以下对应关系：
2
2
＝3 ，等等）。于是，按照这一方案，每一个自然数必与一个且仅与一
3
个有理数相对应；更令人吃惊的是，每一个有理数也将被一个且仅被一个
自然数所指定。根据康托的定义，我们可以直接得出结论：有理数与自然
数一样多。
康托
1874年论文中关于连续统不可数性的最初证明
至此，似乎所有的无穷集都是可列的，也就是说，每一个无穷集都能
与正整数构成一一对应的关系。但是，在看到康托
1874年的一篇论文后，
数学界彻底放弃了这个一相情愿的念头。这篇论文有一个平铺直叙的题
目：《论所有代数数集合的性质》。在这篇论文中，康托明确地提出了不
可数无穷集的问题。
仅从文章平凡的标题来看，人们丝毫不会感到这篇论文的革命性。这
恰恰与美术界的根本变革形成了鲜明的对照，美术作品常常明显地表现出
它的革新。1874年，任何人，即便是门外汉，只要在巴黎看到过莫奈的作
品，都会对他“印象派”的绘画方法感到震惊。只需随意看一眼，也会从
莫奈表现光的手法中看出他的作品与其前辈，如德拉克洛瓦或安格尔，有
着明显的区别。显然，莫奈作了某些根本的变革。同是
1874年，乔治·康
托在其划时代的数学论文中，开创了同样不乏革命性的事业。然而，这一
惊人的数学思想恰恰缺乏美术作品那样的直接冲击。
康托发现的不可数集是所有实数的集合。实际上，他
1874年的论文
指出，没有任何实数区间（不论其长度多么小）能够与自然数集构成一一
对应的关系。他最初的证明使他进入了分析的王国，同时，这一证明需要
借助某些相关的比较先进的数学工具。然而，1891年，康托再次回到这个
问题上来，提出了一个非常简单的证明。我们下面将讨论这个证明。
伟大的定理：连续统的不可数性
这里“连续统”一词的意思是指某一实数区间，我们可以用符号（a，
b）来表示（图
11.1），即
（a，b）表示满足于不等式
a＜x＜b的一切实数
x的集合
在以下的证明中，我们将要证明的不可数区间是（0，1），即所谓“单
位区间”。在这一区间的实数都可以写成无穷小数。例如，
13 p
2
＝0.50000000..，
11
＝0.27272727..，和
4＝0.78539816
..出于技术上的原因，我们必须谨慎地避免采用两个不同的小数来表示
同一个数字。例如，0.50000..＝
21 ，还可以写成0.49999999..。
在这种情况下，我们选择以一连串.. 0结尾的小数展开式，而不选择以一连
串.. 9结尾的小数，这样，在(0,1)区间中的任何实数都只有一种小数表示。
在这种情况下，我们选择以一连串.. 0结尾的小数展开式，而不选择以一连
串.. 9结尾的小数，这样，在(0,1)区间中的任何实数都只有一种小数表示。
定理 0与.. 1之间的所有实数不可数。
证明我们首先假定区间(0,1)内的实数能够与自然数一一对应，然
后，从这一假定出发最终推出逻辑矛盾。为了讲清楚康托的论证，我们假
定存在如下的对应关系：
如果这是真正的一一对应关系，那么，右边一列区间(0,1)内的每一个
实数都应该唯一地与左边一列中的一个自然数相对应。康托定义了一个区
间(0,1)内的实数.. b，令.. b＝0.b 1b2b3b4b5..bn..。其中：
选择.. b 1（b的第一位小数）为与.. x 1的第一位小数不同且不等于.. 0或.. 9
的任何数字。
选择.. b 2（b的第二位小数）为与.. x 2的第二位小数不同且不等于.. 0或.. 9
的任何数字。
选择.. b 3（b的第三位小数）为与.. x 3的第三位小数不同且不等于.. 0或.. 9
的任何数字。
一般地，选择.. b n（b的第.. n位小数）为与.. x n的第.. n位小数不同且不等
于.. 0或.. 9的任何数字。
为便于理解这一过程，我们可以参照上述的对应表。x 1的第一位小数
为“3”，因而，我们可以选择.. b 1＝4；x 2的第二位小数是“0”，我们可
以选择.. b 2＝1；x 3的第三位小数是“2”，我们选择.. b 3＝3；x 4的第四位小
数是“8”，所以，我们选择.. b 4＝7；等等，依此类推。所以，我们的数字
b就是
b＝0.b 1b2b3b4b5..＝0.41378..
现在，我们只需要来看两个十分简单，但却是相互矛盾的事实：
(1)因为.. (1)因为..
(2)b不可能出现在数字.. x 1，x 2，x 3，..x n，..中的任何位置，因
为 b与x 1的第一位小数不同，b≠x 1；b与x 2的第二位小数不同，b≠x 2；
总之，b与.. x n的第.. n位小数不同，b≠x n。
这样，(1)告诉我们.. b一定位于上表的右列，而同时(2)又告诉我们，
b不可能列入上表，因为它已被明确地“设计”为不与.. x 1、x 2..xn等等
数字中的任何一个数字相同。这一逻辑矛盾说明，我们最初的假定，即单
位区间内的所有实数与自然数之间存在一一对应的关系是不正确的。可以
断定，这种对应关系是根本不可能的，所以，0与.. 1之间的所有实数是不
可列的。证讫。
我们在选择.. b的数值时之所以避免采用“9”，还有一个原因。我们再
来看看上述对应表，但这一次我们选用.. 9作为.. b n的数值（当然，按规定，
它们必须与.. x n的第.. n位小数不同）。那么，我们可以选择.. b 1＝4，b 2＝9，..
b3＝9，b 4＝9，等等。因而，我们最后选定的数字是.. b＝0.49999..。
但是，这个数字恰恰等于1 ，是在表的右列中已经存在的一个数字x2。
2
这样，我们所寻求的矛盾（确定一个不能列入表右列的实数.. b）就消失了。
但是，如果我们在选定.. b值时避免采用“9”，我们就可以消除因无尽小数
的这一双重表示所造成的技术陷阱，从而使证明有效。
康托自己显然对这个证明感到非常满意，他称这一证明“..很不寻
常..因为证明方法非常简单”。证明中他把焦点集中在右边一列小数的
某些位置特殊的数字上，这些数字恰好连成一条下降的对角线——第一个
实数的第一位小数，第二个实数的第二位小数，等等。这一方法因此被称
为康托的“对角线法”。
应特别注意的是，在证明中，我们并没有依赖上述假定的对应关系中
的具体数字去说明问题。仅仅通过抽象的讨论就证明了这种一一对应的关
系是不可能存在的。
持怀疑态度的人常常一方面承认康托找出的数字.. b不能出现在原始对
应表中，一方面又提出以下补救方法：为什么不将.. b与自然数.. 1对应，并
将表中右边的每一个数字都下移一个位置呢？这样，2将与.. x 1对应，3与..
x2对应，等等。因而，康托所推出的矛盾似乎也就消失了，因为.. b出现在
表中右边一列的最上端。
然而，对于这些怀疑论者，遗憾的是，康托可以悠闲地坐等他们将最
初的对应表调整完毕，然后再次应用对角线法找出一个新表中没有的实数
b＇。如果我们多疑的朋友又将.. b＇插入了表的最上端，那么，我们可以如
法炮制，得出一个表中不存在的.. b＂。总而言之，在.. N与（0，1）之间是
不可能存在一一对应关系的。至此，我们神经过敏的朋友心中的疑团一定
会烟消云散了。
这样，康托证明了许多无穷集合（特别是有理数集合）都具有基数.. à0。
然而，尽管同是无穷，0与.. 1之间的实数似乎是“更高一级的”无穷。这
一区间内的点如此之多，其数量绝对超过了正整数。
然而，尽管同是无穷，0与.. 1之间的实数似乎是“更高一级的”无穷。这
一区间内的点如此之多，其数量绝对超过了正整数。
11.2所示。这种一一对应的关系保证了区间(0,1)与(a,b)具有相同的（不
可数）基数。也许会令人感到吃惊的是，区间的基数与其长度无关；0与.. 1
之间的所有实数并不比.. 2与.. 1000之间的所有实数少（在这种情况下，函数
y＝998x＋2提供了必要的一一对应关系）。初一看，这似乎是违反直觉的，
但当人们熟悉了无穷集合的性质，便不再相信幼稚的直觉。
在此基础上，再向前迈一小步，我们便可以证明，所有实数的集合同
样具有与区间(0,1)相同的基数。这一次，确定一一对应关系的函数是..
2x -1
y = 2
x -x
如图.. 11.3所示，区间(0,1)内的每一个点.. x都有唯一的一个实数.. y与它相
伴，反之，每一个实数.. y，也都有一个且仅有一个区间(0,1)内的点.. x与之
相对应。总之，这就是必要的一一对应关系。
现在，我们可以跟随康托，再向前迈出勇敢的一步。正像我们曾把.. N
作为基本集合而引入了第一个超限基数à0一样，区间(0,1)也将作为定义
一个新的、更大的超限基数的标准。也就是说，我们可以规定这一单位区
间的基数为.. c（英文“连续统”一词的第一个字母）。我们前面的讨论表
明，不仅区间(0,1)有基数.. c，而且，任何有限长的区间，以及所有实数集
合本身，都具有这一相同的基数。另外区间(0,1)的不可数性说明，c是一
个与à0不同的基数。这样，康托就用他的方法建立了超限数的序列。
所有这些讨论在认识有理数集与无理数集的内在区别方面开始显示出
它的重要意义。有理数集与无理数集的区别绝不仅仅是前者可以写成有限
小数或无限循环小数而后者则不能的问题。为了更清楚地说明这一点，康
托只需要再增加一个结果：
定理
U如果集合.. B与.. C是可数的，而集合.. A的所有元素属于.. B或者
属于.. C（或者属于两者），那么，集合.. A是可数的。（在这种情况下，我
们说.. A是.. B与.. C的并集，记作.. A＝B∪C。）
证明所设的.. B与.. C的可数性保证了它们各自与自然数的一一对应关
系：
在集.. T合.. B的元素中均匀地插入集合.. C的元素，我们可以在.. N与.. A＝B∪C
之间建立起一一对应的关系：
所以，集合
A也是可数的。这一定理说明，两个可数集的并集也是可数的。
证讫。
现在我们可以证明有理数集与无理数集的一个较重要的区别：我们已
证明前者是可数的，对于后者，我们将断定它不可数。因为，假设无理数
集是可数集。那么，根据定理
U，所有有理数（我们已证明其可数性）与
所有无理数（我们假设其可数）的并集也应该同样是可数集。但是，这个
并集恰恰是全部实数的集合，是一个不可数集。用反证法，我们可以断定，
无理数过于丰富，以致无法与集合
N构成一一对应关系。
不太正规地说，这意味着无理数在数量上大大超过有理数。实数远比
有理数多的原因恐怕只能解释为实数轴几乎被漫无边际的无理数所淹没。
数学家有时说“大部分”实数，常常是对无理数而言；至于有理数集，公
认是一个非常重要的无穷集，尽管有理数在数轴上处处稠密，然而与无理
数相比不过是沧海一粟。数不胜数的有理数当初是如此丰富，现在在实数
集中却突然变得似乎无足轻重了。其实，有理数果真那样多吗？并非如此，
对于康托来说，从基数的意义上讲，有理数的确非常稀少，而无理数则占
据着统治地位。
为深入探索微积分的奥秘，康托证明了一些奇特的定理。他的研究对
于认识实数集之间的内在区别当然有着重要意义，并有助于解释某些迄今
为止尚不能解释的现象。如果说康托开始研究的还只是微积分的算术化问
题的话，那么，他由此创立的集合论则呈现出极大的活力，对此，我们将
在下章进行讨论。
后记
所有这一切已足以震古烁今，但康托
1874年的论文中还包含着一个更
加令人震惊的结果。康托不但证明了实数的不可数性，而且还把这一性质
应用于一个长期困扰数学家的难题——超越数的存在。
我们已经注意到，所有实数的集合可以再细分为相对稀有的有理数集
和比较丰富的无理数集。然而，让我们回忆一下，在第一章的后记中曾提
到，实数还可以详尽无遗地分为两个相互排斥的数系——代数数和超越
数。
代数数看来可以构成一个庞大的集合。所有有理数都是代数数，因为
它们都是多项式方程的根，大量无理数（诸如
2或35）也属于这一集
合。相比之下，超越数就极难得到。虽然欧拉最早猜测超越数的存在（即，
并非所有实数都是比较驯顺的代数数簇），但第一个具有某种形式的超越
数实例却是由法国数学家约瑟夫·刘维尔于
1844年给出的。1874年，当
康托开始研究这个问题的时候，林德曼关于π是超越数的证明还没有出
台。直到将近
10年以后，这个证明才问世。也就是说，在康托发展他的无
穷论时，人们还只发现了非常少的超越数。也许，这些超越数只是实数中
的一种例外，而不是一种常规。
然而，乔治·康托已习惯于将例外转变为常规，在超越数问题上，他
又一次成功地实现了这种转变。他首先证明了全部代数数的集合是可数
的。基于这一事实，康托开始探索看似稀有的超越数问题。
首先设任意区间(a,b)。他已证明在这一区间中的代数数构成了一个可
数集；如果超越数也同样可数，那么，根据定理
U，(a,b)本身也应该可数。
但是，他已经证明，区间是不可数的。这就表明，
无论在任何区间，超越数在数量上都一定大大超过代数数！
从另一个角度说，康托认识到，在
(a,b)区间实数远远多于代数数，这
也许就是代数数相对比较少的原因。然而，所有这些实数是从哪里来的呢？
它们必定是极大量存在的超越数。
这是一个真正引起争论的定理，因为人们毕竟只知道极少数几个非代
数数的存在。而康托却十分自信地说，绝大多数实数是超越数，但他在作
出这种推断的时候却没有展示出任何一个具体的超越数实例！相反，他
只是“数”区间中的点，并由此认为，区间中的代数数只占很小一部分。
这种证明超越数存在的间接方法真是令人吃惊。一位受人欢迎的数学史作
家埃里克·坦普尔·贝尔以充满诗意的语言概述了这种情况：
“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越
数构成。”
这就是康托
1874年划时代的杰出论文所留下的宝贵遗产。许多数学家
看到康托的结论，都惊异地摇头或干脆表示怀疑。在保守的数学家看来，
比较无穷的大小简直就像是这位有点儿神秘兮兮的年青学者搞的一场浪漫
而荒唐的恶作剧；断言有大量的超越数存在，却又举不出一个实例，真是
十足的愚蠢。
乔治·康托听到了这些批评。但是，他坚信他的事业是正确的，他所
做的还仅仅是开始。他后来的研究与他目前的这些发现相比，确实更见其
辉煌。
第十二章
康托与超限王国
（1891年）
第十二章
康托与超限王国
（1891年）
乔治·康托究竟要去向何方呢？在他
1874年的论文发表之后，康托对
无穷点集的性质进行了更加深入的研究。他的研究向许多方向发展，并出
人意料地打开了许多新的大门。但是，他在对有关无穷这一无人回答（准
确地说，是无人提出）的问题的探索，却再清楚不过地表现出他那特有的
勇敢和想象力。
康托一旦意识到他能够成功地定义许多超限基数，就立即感到需要使
这种新基数的“小于”概念形式化。为此，他必然要再次依靠一一对应关
系，但是，这一次，显然必须特别谨慎。我们在抽象地讨论这个问题之前，
应再次提醒读者注意，在我们生活的原始社会里，人们只能数到
3。我们
再回想一下，在这个原始社会里，有一位天才引入了
5，这是一个新的基
数，是任何能够与她右手的手指构成一一对应关系的集合所具有的基数。
那么，她怎样才能证明
3小于
5呢？（对于我们来说，这完全不费吹灰之
力，因为我们惯于计算大于
3的数。）我们假设她经过认真思考和艰苦寻
觅之后，发现了一个右手只有三个手指的人，比如说，只有拇指、食指和
无名指。这样，她就可以使那人右手的全部手指与她右手的部分手指构成
一一对应的关系——即，使其拇指、食指和无名指一一相对。结果，她的
右手还剩下两个手指无法求得对应，这多出来的两个手指就证明了
5大于
3。
人们尝试将这一定义扩展到一般集合。如果集合
A的全部元素能够与
集合
B的部分元素构成一一对应的关系，我们就说，集合
A的基数小于集
合的基数，写作＜BAB的子集
BA 。也就是说，如果能够与构成一一对
