为半径作半圆，如图．15 垂直于
AB，且与半圆相交于
C，并连接
AC与
BC。平分
AC于
D，然后，以
D为圆
心，以
AD为半径作半圆
AEC，这样，就形成了新月形
AECF，如图中阴影部
分所示。
希波克拉底的证明方法既简单又高明。首先，他必须证实所论证的新
月形与图中阴影部分的△AOC面积完全相等。这样，他就可以应用已知的
三角形能表示为等价平方的公理来断定新月形也可用等价平方表示。这一
经典论证的详细过程如下：
定理：新月形
AECF可用等价平方表示。
证明；由于∠ACB内接于半圆，所以，∠ACB是直角。根据“边角边”
全等定理，三角形AOC和BOC全等，因此，AC= BC。然后，我们应用
勾股定理，就得到
(AB)2 =(AC 2 ＋(BC)2 ( 2
) =2 AC)
因为
AB是半圆
ACB的直径，AC是半圆
AEC的直径，所以，我们可以
应用上述第三条原理，即得到
面积（半圆AEC）
= (AC) 2
= (AC)2
= 1
面积（半圆ACB）
(AB) 2 2(AC)2 2
也就是说，半圆
AEC的面积是半圆
ACB面积的一半。
我们现在来看扇形
AFCO（“扇形”是圆的四分之一）。显然，这一扇
形也是半圆
ACB面积的一半，据此，我们可直接得出
面积（半圆
AEC）=面积（扇形
AFCO）
最后，我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分
AFCD，如图
1.16所示，即
面积（半圆
AEC）—面积（AFCD部分）
=面积（扇形
AFCO）—面积（AFCD部分）
我们从图中可以很快看出，剩下的部分就是
面积（新月形
AECF）=面积（△ACO）
我们已知，我们可以作一个正方形，使其面积等于三角形
ACO，因而
也等于新月形
AECF的面积。这就是我们所寻求的化新月形为方的问题。
证讫。
这的确是数学上的一大成就。评注家普罗克洛斯（公元
410—485年）
以他五世纪的眼光，认为希俄斯的希波克拉底“..作出了新月形的等面
积正方形，并在几何学中做出过许多其他发现，是一位作图的天才，如果
曾经有过这种天才的话。”
后记
由于希波克拉底求新月形面积的成功，希腊数学家对求最完美的曲线
图形——圆的面积充满了乐观。古希腊数学家为解决化圆为方问题付出了
大量的时间和精力，一些后世作家认为希波克拉底自己曾尝试解决这一难
题，尽管接二连三的评论、注释把事情弄得扑朔迷离，要确定这点很困难。
五世纪的辛普利西乌斯在其著作中引述了他的前辈——阿弗罗狄西亚的亚
历山大（约公元
210年）的话说，希波克拉底曾声称他能够求出圆的面积。
将这些蛛丝马迹连缀起来，我们推测亚历山大考虑的是这样一种论证：
首先作任意圆，其直径为
AB。以
O为圆心作大圆，使其直径
CD等于
AB的两倍。利用已知方法，在大圆中作内接正六边形，即使六边形的每一
条边都等于半径。也就是
CE=EF=FD=DG=GH= HC=OC
重要的是，我们应注意到，这六条边，每一条边都等于大圆的半径，
也就是说，每一条边都等于
AB。然后，以这六条边为直径，分别作六个
半圆，如图
1.17所示。这样，就形成了六个新月形和一个以
AB为直径的
圆（见图中阴影部分）。
然后，我们想象将右边的图形按两种方式分解：其一，看作是一个正
六边形
CEFDGH加上六个半圆；其二，看作一个大圆加六个新月形。显然，
这两种方式所得出的总面积是相等的，因为都是从同一个图形中分解出来
的。但是，六个半圆可以合成三个整圆，而且，每个圆的直径都等于
AB。
因此
面积（正六边形）+3面积（以
AB为直径的圆）
=面积（大圆）+面积（6个新月形）
由于大圆的直径等于小圆的两倍，因而，大圆的面积必定等于小圆面
积的
2
2=4倍。即
面积（正六边形）+3面积（以
AB为直径的圆）
=4面积（以
AB为直径的圆）+面积（6个新月形）
从等式两边分别减去“3面积（以
AB为直径的圆）”，我们就得到
面积（正六边形）=面积（以
AB为直径的圆）+面积（6个新月形）
或
面积（以
AB为直径的圆）=面积（正六边形）—面积（6个新月形）
据亚历山大所说，希波克拉底作了如下推论：正六边形作为多边形，
可以用等价平方表示；根据前边论证，每一个新月形也同样可以用等价平
方表示。利用加法，我们可以作出一个面积等于六个新月形面积之和的正
方形。因此，以
AB为直径的圆的面积可以按照我们前面所列等式，用简单
的减法即可得到。
但是，正如亚历山大随即指出的那样，这一论证有一个明显的缺点：
希波克拉底在这一定理中求其面积的新月形不是沿着内接正六边形的边
长作的，而是沿着内接正方形的边长作的。也就是说，希波克拉底从来没
有提出过求本例这种新月形面积的方法。
大多数现代学者都怀疑像希波克拉底这样水平的数学家会犯这种错
误。相反，很可能是亚历山大，或辛普利西乌斯，或任何其他转述者在介
绍希波克拉底最初的论证时，在某种意义上曲解了他的原意。我们也许永
远不会知道全部真相。然而，这种推理方法似乎也支持了一种看法，即化
圆为方应该是可能的。如果说上述论证没有完成此事，那么，只要再付出
一点儿努力，再多一点儿洞察力，也许就可以成功了。
圆为方应该是可能的。如果说上述论证没有完成此事，那么，只要再付出
一点儿努力，再多一点儿洞察力，也许就可以成功了。
应当指出一点，没有人会怀疑，已知一个圆，必然存在着一个与之面
积相等的正方形。例如，已知一个固定的圆和圆旁一个正方形投影小光点，
并且，正方形投影的面积大大小于圆的面积。如果我们连续移动投影仪，
使之距离投影屏面越来越远，并以此逐渐扩大正方形投影的面积，这样，
我们最终会得到一个面积超过圆面积的正方形。根据“逐渐扩大”的直观
概念，我们可以得出正确结论，在过程中的某一瞬间，正方形面积恰好等
于圆形面积。
但是，这毕竟有点儿离题。不要忘记，关键的问题不是是否存在这样
一个正方形，而是是否可以用圆规和直尺作出这个正方形。这就出现了困
难，因为几何学家只限于使用这两种特定工具；而移动投影光点显然违反
这一规则。
从希波克拉底时代直到一百多年前，化圆为方问题始终未能解决。终
于，1882年，德国数学家费迪南德·林德曼（1852—1939年）成功而明确
地证明了化圆为方是根本不可能的。其证明的技术性细节非常高深，远远
超出了本书的范围。但是，从下面的概要中，我们仍然可以看到林德曼是
如何解答这一古老问题的。
林德曼解决这一难题的方法是将问题从几何王国转向数字王国。只要
我们想象所有实数的集合（如图.. 1．18中大长方形所包括的范围），我们
就能够将它们再划分为两个穷举且相互排斥的类型——代数数和超越数。
根据定义，如果一个实数满足下述代数方程..
an xn + an-1 xn-1+..+ a2x2 + a1x + a0=0
那么，这个实数是代数数。方程中所有系数，a n，a n-1，..，a 2，..
a1 和a0都是整数。因此，有理数23
是代数数，因为它是多项式方程3x -2=0
的解；无理数
2也是代数数，因为它可以满足方程x2 -2=0 ；甚至31 + 5
也是代数数，因为它可以满足方程x6 -2x3 -4=0 。注意，在这几个例子
中，每一个多项式的系数都是整数。
用不太正规的话说，我们可以认为，代数数是我们在算术和初等代数
中遇到的“容易”或“熟悉”的量。例如，所有整数都是代数数，所有分
数，及其平方根、立方根等，也都是代数数。
相反，如果一个数不是代数数，那么，就必然是超越数——也就是说，
这个数不是任何带有整数系数的代数方程的解。超越数与其比较简单的代
数数亲族相比，要复杂得多。根据定义，显然，任何实数不是代数数，就
是超越数，但不可能两者兼之。这就是严格的二分法，犹如一个人不是男
的，就是女的，决没有中性可言。
数数亲族相比，要复杂得多。根据定义，显然，任何实数不是代数数，就
是超越数，但不可能两者兼之。这就是严格的二分法，犹如一个人不是男
的，就是女的，决没有中性可言。
12 13
长度，如
2
、
5
、
711
，甚至还能作出无理长度，且不只限于平方根，
如2或5。而且，如果我们能够作出两个长度，我们就能够作出这两个
长度的和、差、积和商。把所有这些作图集合在一起，我们可以看到，更
加复杂的表达式，如..
6 -2
2
1 + 4 +
23
7
就是实际的可构造长度。
这些大量的可构造数就构成了代数数的子集，就像所有秃头男人的集
合构成了所有男人的子集一样。如图.. 1．18所示，这些可构造数严格隶属
于代数数。重要的问题是，没有一个超越数能够用圆规和直尺作出。（如
果把我们的比喻再扩大一步，那么，这后一句话的意思就是，没有一个女
人会隶属于秃头男人之列。）
在林德曼开始着手研究化圆为方的问题时，所有这些知识都已为人所
知。在其前辈、特别是在法国卓越数学家夏尔·埃尔米特（1822—1901年）
努力的基础上，林德曼攻克了著名的数字π。（在初等几何中，我们见到
的π是作为圆的周长与直径的比；我们在第四章中将详尽论述这一重要的
常数。）林德曼的成就是证明了π是超越数。也就是说，π不是代数
数，因此，不可构造。同时，也告诉我们，
p也不可构造，因为如果我们
能够构造
p，那么，只要我们再努一把力，也就能够用圆规和直尺作出π
的图形。
乍看之下，这一数字上的发现对于化圆为方的几何问题似乎没有多大
关系，但是，我们将看到，这一发现为这一古老难题补上了缺失的一环。
定理化圆为方是不可能的
证明为了形成最后的予盾，让我们先假设圆能够化为方。我们可以
很容易地用圆规作一个圆，使半径.. r=1。因此，这个圆的面积就是πr 2=π。
如果按照我们的假设，圆能够化为方，于是，我们便非常兴奋地用圆规和
直尺猛砍圆弧，并画上直线。我们只需经过这样有限的几次，最后就终于
得到了一个面积也是π的正方形，如图.. 1.19所示。在这一过程中，我们构
造了正方形，当然也就构造了它的四条边。我们设正方形的边长为.. x。于
是，我们看到
π=圆面积=正方形面积=x 2
因此，长度x=
因此，长度x=
p就应该能够用圆规和直尺构造。但是，如前所
述，
p是无法构成的。
究竟错在哪里了呢？我们再回头看一看整个论证过程，以找出产生这
一矛盾的原因。我们发现，问题只能出在最初的假设上，也就是圆能够化
为方的假设，结果，我们必须否定这个假设，并据此得出结论，化圆为方
在逻辑上是根本不可能的！证讫。
林德曼的发现表明，从希波克拉底时代直到现代数学家对化圆为方这
一难题的刻意探索，实际上是徒劳的。从化新月形为方开始，所有有启发
性的证明，所有有希望的线索，到头来都成了虚幻镜影。只使用圆规和直
尺是不足以化圆为方的。
那么，历史对新月形求方又作如何评价呢？上述伟大定理表明，希波
克拉底成功地作出了一种特定新月形的等面积正方形，并努力探求另外两
种新月形的求方。因而，到公元前
440年时，三种类型的新月形化方，已
为众人所知。但从此便停滞在这一水平，两千多年没有进展。直到
1771
年，伟大的数学家莱昂哈德·欧拉（1707—1783年）（我们将在第九章和
第十章中详细介绍）才发现了另外两种可以用等价平方表示的新月形。此
后，直到
20世纪，N．G．切巴托鲁和
A．W．多罗德诺才证明出这五种新
月形是唯一可用等价平方表示的新月形！所有其它类型的新月形，包括我
们前面讲到的曾引起亚历山大尖锐批评的那种新月形，都像圆形一样，不
可能化为等价正方形。
因此，希波克拉底及其新月形的故事便就此划上了句号，而且，这是
一个相当曲折反复的故事。起初，直觉认为，不可能用圆规和直尺作出曲
线图形的等价正方形。但是，希波克拉底通过新月形求方将直觉颠倒过来，
并继续寻求更多可用等价平方表示的曲线图形。然而，最后，林德曼、切
巴托鲁和多罗德诺的否定结论表明，直觉并非一无是处。曲线图形的求方
远非规范，而必定永远只是例外。
第二章
欧几里得对毕达哥拉斯定理
（勾股定理）的证明
（公元前约
300年）
欧几里得的《原本》
从希波克拉底到欧几里得，其间经历了
150年。在这
150年间，希腊
文明发展并臻于成熟，因柏拉图、亚里士多德、阿里斯托芬和修昔底德的
著作而光大。甚至在伯罗奔尼撒战争的动乱中和在亚历山大大帝统治的希
腊帝国全盛时期，希腊文明都在发展。到公元前
300年时，希腊文化的发
展已跨越地中海，并扩展到更遥远的世界。在西方，希腊统治至高无上。
在从公元前
440年到公元前
300年期间，许多伟人都曾为数学的发展
作出过不朽的贡献，其中有柏拉图（公元前
427—347年）和欧多克索斯（公
元前约
408—355年），虽然只有后者才是真正的数学家。
柏拉图，雅典的伟大哲学家。我们之所以提到他，主要不是因为他对
数学的创造，而是因为他对数学的热情和高度评价。柏拉图年轻时在雅典
师从苏格拉底，我们对他那位值得尊敬的老师的了解，主要也由此而来。
柏拉图曾漫游世界多年，认识了许多伟大的思想家，并形成了他自己的哲
学思想体系。公元前
387年，他返回他的出生地雅典，并在那里建立起学
园。学园聚集了不少饱学之士来此献身于学习和研究。在柏拉图的引导下，
希腊学园成为那个时代一流的思想中心。
在学园众多的学科中，没有一个学科能比数学更受重视。数学的美感
和条理与秩序吸引了柏拉图，代表了他心目中未受单调日常生存需求污染
的理想的抽象世界。柏拉图认为，数学是锻炼思维的最佳途径，其严密的
逻辑推理要求人们极度专注、机敏和谨慎。据说，穿过拱形门楼，进入这
一久负盛名的学园，首先映入眼帘的是一行大字：“不懂几何的男子请勿
入内”。尽管这一警句带有明显的性别歧视，但却反映了一种观点，即只
有那些首先证明自己在数学上成熟的人才有能力面对学园的智力挑战。可
以说，柏拉图把几何学看作理想的入学要求，看作一种当时那个时代的学
术能力测验。
虽然现在人们很少把当初的数学发现归于柏拉图的名下，但希腊学园
的确培养了许多颇有才华的数学家，其中一个无可争辩的伟大数学家就是
尼多斯的欧多克索斯。欧多克索斯在学园创建初期就来到雅典，并直接聆
听过柏拉图的演讲。欧多克索斯的贫困迫使他不得不居住在雅典的郊区比
雷埃夫斯，每日往返于学园和比雷埃夫斯之间，成为最早的通勤者（虽然
我们不能确切知道，他是否需要支付远郊车费）。在他后来的生涯中，他
曾到过埃及，后来又返回他的出生地尼多斯。在这期间，他注意吸收新的
科学发现，并不断扩充科学的疆界。欧多克索斯对天文学尤其感兴趣，他
对月球和行星的运动做出了深入的解释，在
16世纪哥白尼革命之前，其学
说颇有影响。他从不接受对自然现象的天命的或神秘的解释，相反，他主
张对自然现象进行观察，并作出理性的分析。因此，托马斯·希思爵士曾
称道说：“如果当时有科学家的话，他称得起是其中一个。”
称道说：“如果当时有科学家的话，他称得起是其中一个。”
欧多克索斯的另一个伟大贡献，即穷竭法，可以直接应用于确定更加
复杂几何图形的面积和体积。他所采用的一般方法是，用一系列已知的基
本图形不断逼近不规则图形，而每一次逼近，都比前一次更加近似于原图
形。例如，我们可以认为，圆形是包含在一曲线里的图形，因而也是一种
非常难于解出的平面图形。但是，如果我们在圆内作一个内接正方形，然
后再把正方形的每条边一分为二，使之成为八边形，再把八边形的每条边
平分，使之成为
