欧金尼奥·贝尔特拉米证明了非欧几何与欧氏几何一样，在逻辑上是
成立的。从而在这两种几何之间架起了一座桥梁。我们可以设想，比方说，
数学家甲致力于研究欧氏几何，而数学家乙则专攻非欧几何。双方的工作
具有等效的逻辑正确性。然而“实在的世界”却不可能既是欧氏几何的又
是非欧几何的；其中的一位数学家必定要付出终生的努力去探索一种并非
“实在的”体系，那么，他或她是否在虚掷年华呢？
19世纪，数学家越来越感到对这个问题的答案应该是否定的。当然，
物质世界是否如欧几里得所述，这个问题应留待物理学家去探讨。这是一
个经验性问题，是通过实验与严格的观测来确定的，但却与这两种几何体
系的逻辑发展无关。对于一个热中非欧几何优美定理的数学家来说，美就
足够了。无需物理学家去告诉数学家哪一种几何是“实在”的，因为在逻
辑王国里，两者都是正确的。听以，几何学的这一根本问题带有一种解放
的性质，将数学从只依赖于实验室的实验结果中解放出来。在这个意义上，
我们看到，这与当时美术摆脱对现实的依赖的情形十分相似。19世纪初
期，画家的画布还像以往一样，仅仅充当了一扇窗户，人们通过这扇窗户，
可以看到有趣的人和事。当然，画家可以自由设定基调，选择颜色，确定
明暗，强调某一局部而弱化其他部分；但无论如何，画家的作品就像一幅
屏幕，让大家看到瞬间静止的事物。
19世纪后半期，情况发生了明显的变化。在一些美术大师如保罗·塞
尚、保罗·高庚和樊尚·凡高的影响下，美术作品获得了自己的生命。画
家可以视画布为发挥自己绘画技能的二维战场。例如，塞尚认为，可以任
意将静物苹果与梨变形，以增强整体效果。他批评伟大的印象派画家克劳
德·莫奈只有“一只眼睛”，他的意思是说，画家的艺术不仅仅限于记录
眼睛所看到的事物。
意将静物苹果与梨变形，以增强整体效果。他批评伟大的印象派画家克劳
德·莫奈只有“一只眼睛”，他的意思是说，画家的艺术不仅仅限于记录
眼睛所看到的事物。
当然，我们也必须看到，这些发展并非得到了人们的一致认可。20世
纪末，任何一个到美术馆参观的人，随时都能听到种种议论，人们对视觉
艺术的现状，对在大幅画布上毫无意义地胡乱涂抹，对那些自称并不反映
现实的作品（这些作品常常争议很大，而又十分昂贵）颇有微词。艺术家
的赞助人则常常抱怨当代艺术家的解放走得太远了。他们渴望看到他们所
熟悉的肖像画和令人赏心悦目的风景画。
在这一方面，数学与美术也十分相似。在现代数学界中也有一种对当
今数学状况不满的情绪。20世纪的数学家不但偏好非欧几何革命所带来的
思想解放，而且还推动数学越来越远地脱离与实在世界的联系，直到把他
们的逻辑结构变得抽象而神秘，以致使物理学家和工程师都如堕烟海，不
知其所云。在许多人看来，这种趋势已把数学变成了一种毫无意义的符号
游戏。数学史家莫里斯·克兰对这种倾向提出了最畅言无忌的批评，他写
道：
“随着深奥晦涩的原理被系统地阐述，已远离了最初的应用领域，而
专注于抽象的形式。通过引入上百个分支概念，数学雨后春笋般地扩张为
琐细而庞杂的一个个小门类，它们相互之间很少联系，且与最初的应用领
域很少关联。”
克兰认为，数学在其争取独立于物理学的来之不易的自由的过程中，
走得太远了，以致成为枯燥而任意的纯粹形式主义体系。对他的严厉批评，
数学界确应认真考虑。
作为对克兰批评的回答，令人感兴趣的是，数学理论无论有多么抽象，
却常常出人意料地应用于非常确实的实际问题。甚至将数学与实在断然分
开的革命的非欧几何，也可以在现代物理书籍中找到它的足迹，现代相对
论宇宙学就在很大程度上依据非欧几何建立了宇宙的模型。当然，19世纪
的数学家是不可能预见到这种应用的，他们对于非欧几何，只是为了研究
而研究；如今，非欧几何已成为应用数学的一部分，并成为物理学家的必
要工具。数学有时会在最不可思议的地方出现。
论争还在继续。最后，历史学家可能会看到，今天的数学虽然已远远
地脱离了实在世界的桎梏，但令人难以置信的是，数学总能在其他学科的
研究与发展中承担不可替代的角色。数学的抽象化将永远是
19世纪留给人
类的一笔财富。
除了非欧几何的产生所提出的这些问题以外，另一个主要论争是关于
微积分的逻辑基础。我们可以回想一下，微积分是
17世纪末由牛顿和莱布
尼兹奠定基础，而后在
18世纪由李昂纳德·欧拉进一步完善的。然而，这
些先驱者及其同时代的数学天才，都未能对微积分的基础给予充分注意。
这些数学家如履薄冰，基础上的裂痕随时可能招致灭顶之灾。
长期以来，人们始终感到，微积分有其问题。问题存在于对“无穷大”
和“无穷小”概念的使用上，在牛顿的流数术和莱布尼兹的微积分中，这
是必不可少的。微积分的一个核心思想是“极限”。无论微分，还是积分
（还不要说级数收敛性和函数连续性的问题），都以这种或那种形式依据
于这一概念。“极限”一词很有启发性，并有很强的直感。我们常常说，
“我们的耐性或耐力到了极限”。然而，如果我们要从逻辑上准确地说明
这一概念，就立刻出现了困难。
和“无穷小”概念的使用上，在牛顿的流数术和莱布尼兹的微积分中，这
是必不可少的。微积分的一个核心思想是“极限”。无论微分，还是积分
（还不要说级数收敛性和函数连续性的问题），都以这种或那种形式依据
于这一概念。“极限”一词很有启发性，并有很强的直感。我们常常说，
“我们的耐性或耐力到了极限”。然而，如果我们要从逻辑上准确地说明
这一概念，就立刻出现了困难。
“..应当理解为，既不是在两个量消失之前，也不是在它们消失之
后，而是正当它们消失时的瞬间比。”
当然，作为数学定义，这没有什么意义。我们可能赞同牛顿关于不应
将极限概念基于两个量消失之前的比这一观点，但他所说两个量消失之后
的比又是什么意思呢？牛顿考虑的似乎是当分子和分母刚好同时成为零时
的瞬间比。可是在那一瞬间，分数0 是无意义的。牛顿陷入无法自圆
其说的逻辑困境。
那么，莱布尼兹如何走出这一泥淖呢？他同样需要阐明极限过程中发
生的变化，但他倾向于通过对“无穷小量”的讨论来探索这一问题。莱布
尼兹所谓的无穷小量尽管不是零，但却小于任意有限量。他的无穷小量，
犹如化学中的原子一样，是不可再分的数学单元，是最接近于零的量。但
与此相关的哲学问题显然使莱布尼兹感到困惑，他不得不作出如下晦涩的
说明：
“当我们谈及无穷小量..（即在我们的知识中是最小的），它可以
被看作是..无限小..如果有人想理解这些（无穷小），可以想象它们
是最终的东西..这就足够了..如此假设是充分的..即使认为这样的
东西是不可能的，也完全可以利用它们作为计算的手段，就像代数中用虚
根有极大好处一样。”
在这里，除了莱布尼兹对复数的偏见以外，还可以看到他关于数学的
令人莫名其妙的陈述。显然，概念的含糊不清（特别是构成微积分基础的
概念）使莱布尼兹犹豫不定。
当数学家们正因微积分遗留的逻辑基础问题而深感不安时，又受到来
自上帝的仆人——乔治·贝克莱大主教（1685—1753年）的强有力的攻击。
贝克莱大主教在他刻薄的文章《精神分析学家或神学家致不信教的数学
家》中嘲弄那些批评神学基础是一种虚幻信仰的数学家，攻击他们所信奉
的微积分，其逻辑基础同样十分脆弱。贝克莱采取以子之矛陷子之盾的策
略：
“可以说，所有这些（来自数学的）观点都是那些对宗教过于苛求的
人设想和信奉的，他们自称只相信亲眼所见..那么如果他们能消化二阶
或三阶流数和微分，就不会因为某一神学观点而反胃。”
如果说这些挖苦还不够刻薄的话，贝克莱又发出了更加无情的嘲笑：
“所谓流数是什么？数学家们说，是瞬时增量的速度。那么，这些瞬
时增量又是什么？它们既不是有限量，也不是无穷小量，然而又不是虚无。
我们难道称它们为消失量的幽灵吗..？”
我们难道称它们为消失量的幽灵吗..？”
数学界逐渐认识到，他们必须正视这一令人头痛的问题。纵观
18世
纪，数学家们对微积分在实际应用上的巨大成功过于乐观，以致阻碍了对
其基础理论的研究。但是数学界内部日益增多的关注及外界贝克莱的傲慢
无礼，已使他们别无选择。这个问题已经迫在眉睫，不能不解决了。
这样，我们看到一个又一个才华横溢的数学家开始探讨这一基础理
论。建立严格的“极限”理论是一个困难的漫长的过程，因为这一概念的
内涵非常深奥，需要精确的推理和对实数系性质的深刻理解，这绝非易事。
但数学家们对这个问题的研究已逐渐有所突破。1821年，法国数学家奥古
斯坦-路易·柯西（1789—1857年）提出了如下定义：
当一个变量逐次取的值无限趋近一个定值时，如果最终使变量的值与
该定值的差要多小就有多小，那么，这一定值就称为所有其他值的极限。
我们看到，柯西的定义避免了使用像“无穷小”样含糊不清的词，他
没有将自己束缚于确定变量达到极限时的瞬间会如何如何。因而，这里也
就不会出现消失量的幽灵。相反，他只是说，如果我们能够使变量的值与
某一定值的差要多小就有多小，那么，这一定值就是该变量的极限。这就
是所谓“极限回避”，柯西的定义绕开了关于达到极限的瞬间会发生什么
这一哲学上的障碍。在柯西看来，最后瞬间的结局是完全不相干的，重要
的是我们已经尽可能地澄清了极限这一概念，这才是我们所需要的。
柯西的定义产生了深远的影响，以这一定义为基石，他继续阐明了微
积分的许多重要概念。数学家们经过漫长的道路，进一步完善了基于这一
极限定义的微积分，有力地反击了贝克莱大主教的“关心”。然而，柯西
的陈述尚有一些不足之处。首先，他讲到，一个变量“趋近”某一极限，
仅凭幻想就提出了一个关于运动的不明确的概念；如果我们必须依靠直觉
来阐述关于点的移动和相互接近的概念，那么，我们仅仅依赖直觉提出“极
限”概念难道就会更好些吗？其次，柯西使用的“无限”这一措词看起来
也有点儿不确定；其意义需要进一步明确。最后，柯西的定义完全是文字
叙述，有必要代之以简洁、明确、清晰的数学符号。
于是，便出现了德国数学家卡尔·维尔斯特拉斯（1815—1897年）及
其追随者。他们使用一种读来有些拗口的方法，即“微积分的算术化”，
支撑起微积分的基础。维尔斯特拉斯学派的语言是“当
x趋近于
a时，函
数
f(x)以
L为极限”，可以严格地表述为：
对于任意给定的ε＞0，总存在着一个δ＞0，所以，如果
0＜｜x—a｜
＜δ，那么，｜f(x)－L｜＜ε能够成立。
不必全面理解这一定义，我们就可以清楚地看出，这个定义与柯西的
定义明显不同。维尔斯特拉斯的定义几乎全部使用了数学符号，而且无一
处暗示某一量向其他一些量的移动。总之，这是一个极限的静态定义。另
外，维尔斯特拉斯的定义与前面所引牛顿和莱布尼兹的含糊不清、几乎引
人发笑的陈述相比，大相径庭。维尔斯特拉斯逻辑严谨的定义虽然缺乏其
前辈的某些趣味和魅力，但在数学上却是无懈可击的。在此基础上建立起
的微积分大厦一直矗立至今。
康托与无穷的挑战
康托与无穷的挑战
例如，考虑有理数与无理数两者之间的区别。有理数全都可以写成分
数的形式，可以表示为整数的比。如果把有理数化为小数，则很容易确定：
它们或为有限小数（如，3 ＝0.375），或为无限循环小数（如，3 ＝
8 11
0.27272727..）。与之相反，无理数则是不能写成分数形式的实数。
大家非常熟悉的
2和π就是无理数。无理数既不是有限小数，也不是
循环小数，而是无限不循环小数。
我们可以说，不论有理数，还是无理数，在实数轴上是处处稠密的，
即：在任意两个有理数之间，分布着无穷多个无理数；反之亦然，在任何
两个无理数之间也分布着无穷多个有理数。自然而然，我们会放心地推断，
实数轴上一定均匀地分布着两个基本相等的巨大的有理数族与无理数族。
然而，19世纪，随着时间的推移，越来越多的数学发现表明，与上述
认识相反，这两个数族并不相等。这些发现一般需要非常高深的技巧和精
妙的推理。例如，要证明函数在每一个无理点连续（直觉上不间断），并
在每一个有理点不连续（间断），就必须证明在每一个有理点不存在连续
的函数，而在每一个无理点不存在不连续的函数。这里有一个明显的指标，
即在有理数族与无理数族之间不存在对称或平衡。这就表明，从某种根本
意义上说，有理数与无理数是不可交换的数族，但当时的数学家对这两个
数族的根本性质，尚不十分明了。
因而，对实数系性质的深刻理解就促成了我们本章将要讨论的定理的
产生。虽然柯西、维尔斯特拉斯及其同事们成功地用“极限”概念建立了
微积分大厦，但数学家们越来越清楚地认识到，最重要、最基本的问题是
将微积分最终置于集合的严格基础之上。探索这个问题，并单枪匹马地创
立了奇妙的集合论的是一位时而被人恶意中伤，又曾一度精神崩溃的天
才，他的名字叫乔治·费迪南德·路德维希·菲利普·康托。
康托
1845年出生于俄国，但他
12岁的时候，随家移居到德国。宗教
是康托家庭的重要组成部分。康托的父亲原是犹太教徒，后来皈依了新教，
而他的母亲则生来就是罗马天主教徒。由于家庭中这种混合的宗教信仰，
所以，毫不奇怪，小乔治对神学产生了一种终生的兴趣，特别是那些与无
穷性质有关的神学问题对成年康托的数学产生了很大的影响。
并且，康托的家庭还显示了明显的艺术素质。在康托家庭中，音乐受
到特别的尊崇。康托有几个亲戚在大交响乐团演奏。乔治本人是一个很不
错的素描画家，他留给后人一些很能表现他天才的铅笔画。总之，我们可
以说康托具备了“艺术家”的天性。
这位敏感的年轻人特别擅长数学，1867年，他在柏林大学获得博士学
位。在此，他从师于维尔斯特拉斯，并完全掌握了前面所介绍的有关微积
分的严谨的推理方法。康托对数学分析的深入研究使他越来越多地考虑各
种数集之间的本质区别。特别是，他开始认识到，创立一种比较数集大小
的方法是十分重要的。
分的严谨的推理方法。康托对数学分析的深入研究使他越来越多地考虑各
种数集之间的本质区别。特别是，他开始认识到，创立一种比较数集大小
的方法是十分重要的。
有
5个手指，然后，就可以作出肯定的回答。看
来，原始的“数数”方法似乎对于确定更复杂的“同样大小”或“相同基
数”概念也是必要的。然而，乔治·康托以一种貌似天真的方法，颠倒了
前人传统的观念。
我们来看一看他是如何论证的。首先假设我们生活在一种数学知识非
常有限的文化中，人们最多只能数到“3”。这样，我们就无法用数数的
方法来比较左手与右手的手指数目，因为我们的数系不能使我们数到“5”。
在超出我们计数能力的情况下，是否就无法确定“相同基数”了呢？完全
不是。实际上，我们不必去数手指，而只需将两手合拢，使左手拇指与右
手拇指，左手食指与右手食指..一一对齐，就能够回答这个问题了。这
种方法展示了一种纯粹的一一对应关系，然后，我们可以回答，“是的，
我们左手与右手的手指一样多”。
我们再来看另一个例子。假设许多观众涌入一个大礼堂。那么，观众
与座椅是否一样多呢？要回答这个问题，我们可以分别数一数观众与座
椅，然后将两个数字加以比较，但这种方法过于繁琐。我们其实只需要求
礼堂中的所有观众坐下。如果每个人都有座位，或者，每个座位都有人，
那么答案就是肯定的，因为坐下这个过程已显示了一种完全的一一对应关
系。
这些例子阐明了一个关键的论据，我们无须去数集合中元素的个数，
以确定这些集合是否具有同样数值。相反，根据一一对应关系来确定同等
数量的概念已成为一种更原始和更基本的概念；相形之下，数数的方法却
成了更复杂和更高级的方法。
乔治·康托对这一概念作出了如下定义：
如果能够根据某一法则，使集合
M与集合
N中的元素建立一一对应的
关系..那么，集合
M与集合
N等价。
如果集合
M与集合
N符合上述康托的等价定义，那么，按现代数学家
的语言，集合
M与集合
N“等势”或具有“相同基数”。然而，我们暂且
抛开这些术语不谈。这一定义之所以重要，就在于它并未限定集合
M与集
合
N必须包含有限个元素；因此它同样适用于那些包含无限多个元素的集
合。
据此，康托进入了一片未开垦的处女地。在数学发展的历程中，人们
始终以一种怀疑的眼光（即使不是敌对的眼光）看待无穷，并尽可能回避
这一概念。从古希腊时期直到康托时代，哲学家和数学家们都只承认“潜
无穷”的存在。也就是说，他们能够在如下意义上同意整数集是无穷的：
对于整数集中的任何一个数我们都能找到下一个比它更大的整数，但我们
决不可能穷举所有整数。例如，可以想象把每一个整数都写在一张纸条上，
然后把这些纸条放进一个（非常大的）袋子里，那么，即使地老天荒我们
的工作也永远不会终止。
但是，康托的前辈们反对“实无穷”的概念——即，他们反对认为这
一过程能够结束或袋子能够装满的观点。用卡尔·弗里德里希·高斯的话
说：
一过程能够结束或袋子能够装满的观点。用卡尔·弗里德里希·高斯的话
说：
康托不同意高斯的观点。与其他无穷集相比，他极愿意将这个装有所
有整数的袋子看作一个自足的和完整的实体。与高斯不同，他不是将“无
穷”仅仅看作一种说话的方式而不予考虑。对于康托来说，“无穷”是一
个应予以高度重视的确实的数学概念，值得我们对其进行严格的理性论
证。
这样，乔治·康托仅仅依据这两个基本前提（即可以通过一一对应的
方法来确定相同基数和实无穷是一个确实的概念），就创立了最令人兴奋
和意义十分深远的理论。这一理论使我们进入了一个难以捉摸的奇特世
界，虽然一些数学权威时时嘲笑他的努力，但康托没有因此而气馁。终于，
凭着天才和勇气，康托以完全前所未有的方式，正面探讨无穷。
我们首先设自然数集
N＝｛1，2，3，..｝，并设偶数集
E＝｛2，4，6，..｝。注意到这两个数集都是完全集，而不必顾忌他们的无穷性质。
根据康托的定义，我们可以很容易看出集合
N与集合
E具有“相同基数”，
因为我们可以列出这两个数集之间单纯的一一对应关系：
这种对应关系明确地显示出，N集中的每一个元素都被一个、并且只
被一个偶数（即其
2倍）所指定；反之，每一个偶数也都被一个、并且只
被一个自然数（即其一半）指定。康托认为，这两个无穷数集显然是等价
的。当然，乍一看，似乎很矛盾，这里人们本来会以为，偶数的个数应该
是整数个数的一半。那么，我们依据什么才能够非难康托的演绎推理呢？
我们或者抛弃实无穷的概念，甚至否认自然数集是一个自足的实体；或者
拒绝承认简明的相同基数定义，而把它看作是荒谬的。但只要我们承认这
两个前提，那么，就不可避免地会得出结论：偶数的个数绝不少于自然数。
同样，如果设
Z＝｛..－3，－2，－1，0，1，2，3，..｝，即所
有整数（正数、负数和零）的集合，那么，我们会看到，N与
Z也有相同
的基数，因为它们可以构成如下一一对应关系：
对于这一对应关系，我们可以进行检验，集合
N中的每一个自然数
n都与
集合
Z中的
n
1＋(－1) (2n －1)
4
相对应。
据此，康托迈出了勇敢的一步。他说，任何能够与集合
N构成一一对
应关系的集合都是可列或可数无穷集。特别是，他引进了“超限”基数的
新概念，用以表示可数集中元素的个数。他选用希伯来文的第一个字母à0
（读作“阿列夫零”）来表示超限基数。
（读作“阿列夫零”）来表示超限基数。
这样一个定义是非常有效的，它提供了一个明确的方法，以确定一个
集合在什么情况下具有五个元素（只要手指不受损伤）。在这个意义上，
她的手指就成为确定集合是否具有五个元素的标准参考点。这一切看起来
是非常合理的。
而这恰恰是康托的证明方法，所不同的只是他采用自然数集合
