226 +1 = 2 64＋1＝18446744073709551617
这个数字是能够被素数
p=274，177除尽的。毫不奇怪，按照欧拉发现的模
式，p具有
128k＋1的形式；即，p=（128×2142）＋1。费马又错了。
接下来的情况更糟糕。1905年，一个非常复杂的论证表明，费马的下
一个数字——227+1=2 128 ＋，也是合数，但是，这一证明未能提供这
1
一巨大数字的具体因数。直到
1971年，人们才发现了这个长达
17位的因
数。
＋，9 1 2221 ＋都是
到1988年时，数学家已知道，228 122＋，..，1
合数。显然，费马关于22n
+1 形式的数字的总括性猜想，可以说，只不
过是以偏盖全面已。尽管他宣称所有这些数字都是素数，但当
n≥5时，
却从来也没有发现过这种形式的素数。实际上，现在许多数学家都在猜测，
除了费马已发现的当
n=1、2、3、4时的四个素数以外，根本就没有这种
形式的素数存在。这样，费马猜想就不仅是错误的，而且是大错特错了。
至此，我们可以就我们对欧拉数论的简要评述作一个总结。如前所述，
本章的这些定理最直接地表明了欧拉在数论领域的巨大影响。诚然，他是
站在天才的前辈、特别是站在费马的肩膀上。但是，欧拉的研究，不可估
量地丰富了这一数学分支，并使他自己跻身于第一流的数论学家之列。
后记
当欧拉逝世的时候，卡尔·弗里德里希·高斯刚刚
6岁。然而，这个
德国男孩超常的智力已经给其长者留下极深的印象。几十年后，他继承欧
拉的衣钵，成为世界上最优秀的数学家。
我们在第三章曾介绍过高斯最初期的成就，他在
1796年发现可以用圆
规和直尺作出正
17边形的图形。这一证明在数学界引起了一场轰动，因为
自古以来，没有任何人想到过有可能作出这一图形。我们还是让年轻的高
斯自己来加以说明：
“每一个略通几何的人都清楚地知道，许多正多边形，即三角形、五
边形、15边形以及它们的
2
n倍的正多边形，都可以用几何方法作出。远在
欧几里得时代，人们就已懂得这一点，并且，从那时起，人们似乎就已相
信，初等几何的范围是不可能扩大的..然而，我认为，除了这些常规多
边形之外，更非凡的是可以同样用几何方法作出的其他一些图形，如正
17
边形。”
高斯虽然当时尚不足
20岁，但在正多边形的几何作图方面，却比欧几里
得、阿基米德、牛顿或其他任何人都看得深远。
然而，高斯所做的，还不仅仅是证明了正
17边形几何作图的可能性，
他还证明了如果 N为形如22n+1 的素数，则正N边形可用几何方法作图。
当然，我们已知道，这种形式的素数正是费马所称的素数。由于某种原因，
这一数论问题与几何作图有着内在的联系。正如数学史上有时出现的那
样，一个数学分支（本例为数论）中的发现和研究会对另一看来无关的分
支（正多边形的几何作图）产生深刻影响。当然，这里的关键是“看来无
关”。但实际上，高斯的研究表明，这两者之间确有着不可否认的关系。
支（正多边形的几何作图）产生深刻影响。当然，这里的关键是“看来无
关”。但实际上，高斯的研究表明，这两者之间确有着不可否认的关系。
他的发现不仅向世界揭示了正17边形几何作图的可能性（因为22
2
＋1 = 17 是素数），而且还证明了正223
+1 = 257 边形，甚至巨大的24
+1=65537边形也可以用几何方法作出！当然，这些作图绝对没有任何实际
意义，但它们的存在再次表明，在我们所熟悉的欧氏几何下面，隐藏着一
个奇怪的、令人意想不到的神密世界。高斯自己对这一发现也颇感自豪，
甚至在他毕生取得非凡的数学成就之后，他还是要求将一个正.. 17边形铭刻
在他的墓碑上。（令人遗憾的是，这点没有做到。）
卡尔·弗里德里希·高斯于1777年出生在德国的不伦瑞克，他很小时
就显示出聪明过人的迹象。三岁时，这个还没有桌子高的小家伙就能够核
算他父亲的帐目，偶尔还能够改正其中的错误。有一个高斯在小学时的脍
炙人口的故事，讲的是，一次，他的一个老师显然是上课太累了，想稍事
休息，就要求全班同学静静地计算前一百个整数的和。这些孩子们无疑得
费一会儿功夫。但是，老师刚刚把题目讲完，卡尔就站起来，把答案放在
了老师的桌上，而这时，其他同学几乎刚刚计算出“ 1＋ 2+ 3+4+ 5= 15”。
面对这一意想不到的情况，大家可以想象老师脸上那种交织着怀疑与沮丧
的表情，但当他瞥了一眼高斯的答案时，却发现答案完全正确。高斯是怎
样计算出来的呢？
首先，这不是魔法，也不是那种能够以闪电般的速度累加一百个数字
的能力。确切地说，是高斯甚至在如此小小年纪就已表现出来的敏锐的洞
察力，这种洞察力贯穿了他的一生。据说，他只是想象他所求的和（我们
用.. S表示）可以同时写成递升次序和递降次序：
S=1＋2＋3＋4＋..+98＋99＋100
S=100＋99+98＋97＋..＋3＋2＋1
高斯没有横向去加这两行数字，而是竖向将各列相加。由于每一列的和都
恰好等于.. 101，这样，他就得到
2S=101＋101+101＋..+101＋101
但是，要有.. 100列相加，因而，2S=100×101=10100，所以，前.. 100个整数
的和等于..
S=1 2＋＋..＋99＋100 =
10100
= 5050
＋3
2
所有这些，在高斯脑子里都是瞬间完成的。显然，他的前途无量。
高斯学业进展神速，受到不伦瑞克公爵的赏识，15岁时，在公爵资助
下，进入卡罗林学院。三年后，他进入了久负盛名的哥廷根大学深造。1796
年，在哥廷根大学，他作出了有关正17边形的非凡发现。显然这是他投身
于数学研究的一个决定性因素；他以前曾想成为一个语言学家，但.. 17边形
的发现使他相信，也许，他天生是个数学家。
1799年，高斯因其对现在称之为代数基本定理的命题作出了第一个合
理而完整的证明，在黑尔姆施泰特大学获得博士学位。仅从名称我们就能
够感觉到这一定理的重要性。这一命题涉及到解多项式方程问题，显然，
这是代数学上的一个基本课题。
虽然早在.. 17世纪就有关于代数基本定理的论述，但真正使其著名的是
法国数学家让·达朗贝尔（1717—1783年），他曾于
1748年试图作出证
明，但失败了。他所论述的定理是：任何实系数多项式都可以分解为实系
数一次因式和二次因式的乘积。例如，因式分解
3x4+5x3+10x2+20x-8=(3x-1)(x＋2)(x
2+4)
即说明了达朗贝尔所论的分解方式。本例中的实系数多项式分解为几个简
单的因式：两个一次因式和一个二次因式。
并且，我们注意到，我们还可以用复数来分解这一二次因式。虽然我
们在讨论三次方程时曾接触过许多复数问题，但实际上，复数是在其后确
立代数基本定理的过程中才日渐突出起来的。我们可以对下列方程进行验
算：如果
a、b、c是实数，并且
a≠0，那么，
2
b -ac .. -b b2
-4ac
ax2 +bx+c= ..
ax -
-b + ÷÷ .. x -÷÷
2 2a
è.è .
这样，实系数二次多项式
ax
2＋bx＋c就分解为两个有点不太赏心悦目的一
次因式。（反应快的读者会看到，在这一因式分解过程中应用了二次方程
公式。）
当然，我们不能保证这些一次因式都由实数组成，因为如果
b
2-4ac＜
0，我们就进入了虚数王国。例如，在上述例子中，我们可以进一步分解二
次项，以得到完全国式分解：
3x4＋5x
3+10x2+20x－8
= (3x -1)(x＋2)(x -2 -1)(x ＋2
-1)
这样，随着一个四次实系数多项式分解为四个一次因式的乘积，我们当然
会意识到有希望进行任何次多项式的完全因式分解。据此，代数基本定理
称，任何
n次实系数多项式都可以分解为
n个（也许是复数）一次因式的
乘积。
如前所述，达朗贝尔认识到了这一定理的重要性，并曾试图作出证明。
但遗憾的是，他的努力远未成功。尽管他实际上未能证明这一定理，但也
许是为了对他的努力表示敬意，这一定理长期以来一直称为“达朗贝尔定
理”。这很有点儿像用拿破仑的名字命名莫斯科，只是因为拿破仑曾试图
到达莫斯科。
18世纪中叶，对这一定理的研究一直处于停滞不前的状态。关于这一
定理是否正确，数学家们众说纷纭，例如哥德巴赫就曾怀疑其正确性，而
那些相信其正确的数学家们也未能提出证明。也许最接近于作出证明的是
李昂纳德·欧拉
1749年的一篇论文。
欧拉的“证明”显示了他特有的机敏和独创性。他开始时论述得十分
出色，漂亮地证明了实系数四次或实系数五次方程可以分解为实系数的一
次或二次因式的乘积。但是，当他依据这一定理，论证更高次多项式时，
他发现自己陷入了极度复杂的混乱之中。例如，对于他事先引入的一个辅
助变量
u，首先要证明某一特定方程可解。欧拉不无遗憾地写道，“确定
未知的
u值，必须要解一个
12870次方程。”他试图采用间接方法证明这
一点，但他未能使他的评论家们信服。总之，他做出了令人钦佩的努力，
但代数基本定理最终仍击败了他。而欧拉落败可能会给那些缺少数学才能
的人（实际上包括每一个人）带来某些心灵上的安慰。
代数基本定理确立了以复数进行多项式因式分解的原则，但这一定理
一直处于非常不确定的状态。达朗贝尔未能作出证明；欧拉也仅仅证明了
一部分。显然，需要极大的毅力，才能彻底证明其正确与否。
一直处于非常不确定的状态。达朗贝尔未能作出证明；欧拉也仅仅证明了
一部分。显然，需要极大的毅力，才能彻底证明其正确与否。
他
1814、1816和
1848年发表的对这一定理的三个
别证中都成功地作出了对一般情况的证明。
今天，我们比
19世纪初叶时更认识到这一重要定理的普遍性。我们现
在可以在以下意义上将这一定理完全转化为复数问题：我们不再要求所论
多项式必须具有实系数。总之，我们认为
n次多项式既可以有实系数，也
可以有复系数，例如，
z7 +(6
-1)z6(2 +
-1)z2 +19
尽管这种修改使其明显地变得更加复杂，但基本定理保证了即使是这种类
型的多项式也能够分解为
n个一次因式（当然带有复系数）的乘积。
高斯下一步的主要工作是对数论的研究，在这方面，他继承了欧几里
得、费马和欧拉的传统。1801年，他发表了他的数论名作《算术研究》。
顺便说一句，他在这本书的最后广泛讨论了正多边形的作图（出人意料是，
他将这一问题的讨论与复数密切联系起来）及这种作图与数论的关系问
题。高斯一生始终关注这个问题，他曾说过，“数学，科学的皇后；数论，
数学的皇后。”
卡尔·弗里德里希·高斯虽然尚不足
30岁，但他已在几何、代数和数
论领域作出了划时代的发现，并被任命为哥廷根天文台台长。他后来一直
担任这一职务，直至逝世。这一工作要求他必须努力将数学应用于现实世
界，这些问题与他所热爱的算术有天渊之别，然而他依然干得十分出色。
在确定谷神星的运行轨道中，高斯起了很大作用；他还细心地描绘了地球
磁场图，高斯与威廉·韦伯一起，是最早的磁学家。高斯还与韦伯合作，
发明了电磁电报，几年后，美国科学家塞缪尔·F.B.莫尔斯在此基础上，
发明了更大规模的电报通讯，并因此声誉雀起。高斯在数学应用方面的成
就堪与他在纯数学领域的贡献相匹敌。像牛顿一样，他在这两个领域都获
得了辉煌的成就。高斯与艾萨克爵士不仅在数学方面，而且在心理上，也
有许多相似之处。他们两人都以冷淡、孤僻的个性及甘愿孤立从事研究而
著称。他们都不大喜欢教学，但高斯却曾指导过
19世纪一些最优秀的数学
家进行博士研究。
并且，他们两人都尽力避免学术论争。我们回想一下，牛顿年青时似
乎宁肯下油锅，也不愿将他的研究成果交给社会评判。高斯同样对与流行
的科学观点相左而感到不安，最明显的是他在发现非欧几何时所表现的那
样。我们在第二章的后记中曾提到，他担心自己如果在这个问题上提出命
性见解，会遭到“蠢人的讥笑”。19世纪初叶，高斯已成为世界最优秀的
数学家。对此，他似乎特别意识到他的思想的影响及其必将受到的严格评
判。对代数基本定理作出绝妙的证明是一回事，但要告诉世界三角形内角
和可能会小于
180°则又是另一回事。高斯断然拒绝采取这种立场。他也
像牛顿那样，把自己奇妙的发现收藏起来，锁进了抽屉深处。
然而，不应忽略，高斯这位刻板而内向的数学家还有其另外一面，令
人意想不到。事情涉及他对法国女数学家索菲·格尔曼（1776—1831年）
的鼓励。索菲·格尔曼克服了重重障碍，终于成为
19世纪初的杰出数学家。
她的故事明确地揭示了一种社会态度，即认为数学学科不适于妇女。
格尔曼幼年时在他父亲的书房里发现了一些数学书，这些书深深地迷
住了她，尤其是普卢塔克关于阿基米德之死的描述，对于阿基米德来说，
数学甚至比生命更重要。但是，当她表示有志学习数学时，却遭到了她父
母的反对。他们禁止她读数学书，索菲·格尔曼就只好把书偷偷拿进自己
的房间，在微弱的烛光下苦读。后来，家里人发现了她的这些秘密，就拿
走了她的蜡烛，并且，还拿走了她的衣服，让她无法在阴冷的屋子里读书。
但是，这些极端的措施都没有能够使她屈服，这足以证明了格尔曼对数学
的热爱，也许还证明了她身体的耐力。
当格尔曼掌握了更多的数学知识后，她就准备向更高级的程度进军。
但是，她想进入学院或大学学习的想法在当时看来似乎十分荒谬，于是，
她就只好在教室门外偷听，尽可能地记住老师讲课的内容，然后向富有同
情心的男学生借来课堂笔记。很少有人是经过这样一条崎岖小路才进入高
等数学殿堂的。
然而，索菲·格尔曼获得了成功。1816年，她的工作已经给人以深刻
印象，她对弹性片振动性质的透彻分析，为她赢取了法兰西研究院奖金。
在这期间，她用假名安托万·勒布朗隐瞒了自己的身份，以免暴露身为女
人这一不可宽恕的罪过。并且，她还以这一笔名与世界最优秀的数学家保
持通信联系。
高斯从一开始时就对他的法国笔友印象极佳。勒布朗显然曾认真读过
《算术研究》，并就书中定理有所概括和发展。1807年，卡尔·弗里德里
希·高斯终于知道了索菲·格尔曼的真实身份。格尔曼显然对这一消息所
产生的影响甚为担忧，她写给高斯的信简直就像是一封忏悔书：
“..我以前曾用勒布朗的名字与您通信，这些信件无疑不值得您答
复..我希望今天向您吐露的真情不会剥夺您曾经给予我的荣幸，并恳请
您抽出几分钟时间向我介绍一些您自己的情况。”
也许出于格尔曼意外的是，高斯的回信充满了慈爱与理解。他承认，
他在看到勒布朗“变成”索菲·格尔曼的时侯，确实感到“吃惊”，并且，
他对数学界中的不公正表示了自己深刻的见解：
“人们很少对一般抽象科学，尤其是对数的奥秘发生兴趣。我们不会
对此感到惊讶。这门卓越的科学，只向那些有勇气深入探索的人，展现它
迷人的魅力。由于我们的习惯和偏见，女性要熟悉这些棘手的研究，必定
会遇到比男性多得多的困难。但是当一个女性成功地越过了这些障碍，深
入到其中最难解的部分时，那就毫无疑问，她必定具有最崇高的勇气，非
凡的才能和超人一等的天才。”
高斯以同样的热情赞扬了格尔曼的数学著作，称其“给了我无比的快
乐”。然后，他又继续写道，“如果我冒味对你的上封信作一点儿评论，
请你把这看作是我对你关心的证明”，并进而指出了她推理中的错误。虽
然索菲·格尔曼的数学能够给高斯以无穷的快乐，但这封信清楚表明了，
在高斯心目中，究竟谁是大师。
应当指出，即使在她的身份暴露后，格尔曼的数学生涯依然很有成果。
1831年，经高斯的大力推荐，哥廷根大学准备授予她名誉博士学位。这在
19世纪初叶的德国，对一个女人来说，是极大的荣耀。但非常遗憾，未及
授予，格尔曼已逝世。
1831年，经高斯的大力推荐，哥廷根大学准备授予她名誉博士学位。这在
19世纪初叶的德国，对一个女人来说，是极大的荣耀。但非常遗憾，未及
授予，格尔曼已逝世。
到
78岁高龄，
最后死于他任台长近
50年的哥廷根天文台。到他逝世的时侯，他的声望已
达到近乎神话的程度，人们只要一提到数学家之王，就知道是指高斯，而
非其他人。
然而，高斯自己却遵循着一句不同的格言：“少些，但要成熟”，这
句格言贴切地反映了他的生活和工作。高斯在有生之年发表的著作比较
少。但他大量未发表的著作却足以使众多数学家成名。他特别注意他的著
作可能产生的影响，并尽可能达到尽善尽美的程度才予以发表。高斯的著
作虽然不如欧拉数量多，但一旦下笔，就会引起数学界的注意。他身后留
下的成果（从正
17边形的作图，到《算术研究》和辉煌的代数基本定理），
具备了任何数学著作所应具备的成熟。
第十一章
连续统的不可数性
（1874年）
第十一章
连续统的不可数性
（1874年）
每一个世纪都以一种奇特的方式，显示不同的数学重点和数学思维方
向。18世纪显然是“欧拉世纪”，因为他在学术领域没有任何对手，始终
居于统治地位，并为后代留下了珍贵的数学遗产。相比之下，19世纪虽然
没有一位特别出类拔萃的数学家，但却有幸拥有许多优秀数学家，他们将
数学疆界推向新的令人意想不到的方向。
如果说.. 19世纪不属于某一位数学家，那么，它确实呈现出几个重要的
主旋律。19世纪是抽象与广义化的世纪，是对数学的逻辑基础进行深入分
析的世纪，这种逻辑基础曾构成牛顿、莱布尼兹和欧拉的理论基础。数学
不再受“物理实在性”的局限而变得越来越独立，而在此之前，这种“物
理实在性”始终明显地将数学束缚于自然科学。
这种脱离实在世界的倾向可以说是以 19世纪前 30年出现的非欧
几何作为其独立宣言的。我们在第二章的后记中曾说过，当欧几里得的平
行线公设被舍弃而代之以另一命题的时候，出现了一个“奇怪的新世界”。
突然间，通过直线外一点，至少可以画两条直线与之平行；相似三角形变
成了全等；而三角形的内角和也不再等于.. 180°。然而，对于非欧几何中
所有这些似乎矛盾的性质，没有一个人能够从中找出逻辑矛盾。
