3! 5! 7!9!
. 11 1 . 2
= 1-+++ ..
x
è. 222 .÷
p 4p 9p
1 é. 111 1 . 2
+ êè. 2 + 2 + 2 + 2 + ..
.÷
2 êp 4p 9p 16p
.
. 111 1 .ù 4
-+++ + ..
x -..
è. 444 4 .÷ ú
p 16p 81p 256p.
现在，欧拉开始同时考虑这一方程两边的
x
4的系数。方程左边的
x
4
11
项的系数为
5！
=
120
。而右边的相应系数就较为复杂，但我们可以用
代数方法进行整理，先提取π的同指数公因数，然后再应用上述伟大定
理。所以，方程右边的
x
4项的系数是
é é
1 . 111 1 .
êè. 2 + 2 + 2 + 2 + ..
.÷
2 êp 4p 9p 16p
o
. 111 1 ..
-4 + 4 + 4 + 4 + ..
ú
è.
p 16p 81p 256p .÷
.
1 é 1 . 11 1 . 2
=ê 4 .1 +++ + ..÷
2 pè4 9 16 .
ê
.
1 . 11 1 .ù
-4 è.
1 +++ + ..
.÷ ú
p 16 81 256 .
é 22 ù
1 .p. . 11 1 .
= 4 ê. ÷-
è.
1 +++ + ..÷ú
2p êè6 .16 81 256 .ú
..
1 1 111
=-4 è..
1 +++ + ..
.÷
.
72 2p 16 81 256
现在，答案就在眼前。欧拉将以上两个
x
4的系数列为等式，并解出所
得方程如下：
111 . 11 1 .
=-4 è.
1 +++ + ..
.÷
120 722p 16 81 256
所以
1 . 11 1 . 11 1
4 è.
1 +++ + ..
.÷
=-=
2p 16 81 256 72 120 180
最后，通过十字相乘，就得出了欧拉的公式：
111 12p4 p4
1 +++ + ..
+ 4 + ..
==
1681256 k 180 90
欧拉发现了一个真正奇特的结果，他将完全四次方的倒数与π的四次
方联系在了一起。然后，他像一个孩子发现了新玩具一样，兴高采烈地应
用他非凡的方法，去求更奇特级数的和，如：
111 1 p6
1 +++ + ..
++ ..
=
64 729 4096 k6 945
他不断对偶次幂级数进行推算，并得出了
1 1 1 1315862 26
1 + ++ ..
+ ..
=p
2626 26
2 3 k 11094481976030578125
最后，甚至连欧拉自己也对此感到厌倦了。无须赘言，历史上没有一
个人曾踏上这一数学之旅。从实践的观点来看，无论事情有多么琐碎，但
它们确实是人类知识的一大进步，是对有关整数乘方倒数与最重要常数π
之间关系的发现，而这些关系，以前人们从未想到过。
至此，人们会立即想到一个问题：整数奇次幂的倒数和又将如何呢？
例如，我们能否计算出无穷级数
111 111
1 ++ 3 ++ ..
= 1 ++ ..
33 ++
2 3 4 82764
对此，甚至欧拉也缄默不语，的确，过去
200年的数学研究对这些奇
次幂级数的认识进展甚少。但是，我们可以很容易地推测，整数奇次幂的
..
.÷
p
p
3
π的形式，但时至今日，仍没有一个人
倒数和一定对应于分数
的
q
q
能够肯定这一推测是否正确。
今天，我们认识到，欧拉关于无穷级数的推理并不十分严格。他相信
有限级数所产生的模式和公式可以自动推广到无穷级数，这与其说是科
学，不如说是一种信念。其后的数学家提供了大量的例证，证明了欧拉的
这种推广是十分愚蠢的。总之，欧拉未能为他的推理提供充分的逻辑依据。
然而，这些批评丝毫无损于他的声望。即使他推论无穷级数的方法还十分
幼稚，但他所有这些奇妙的级数和都已通过了今天高标准的严密逻辑证
明。
这些成就在欧拉的
70余卷著作中只占了几页。下一章，我们将讨论欧
拉在一个完全不同的数学分支——数论领域中的辉煌贡献。
第十章
欧拉对数论的贡献
（1736年）
第十章
欧拉对数论的贡献
（1736年）
我们已经了解了欧拉在计算复杂的无穷级数方面的成就。他的这些研
究属于称作“解析法”的数学分支，他的发现在这一数学分支中显得特别
重要和意义深远。但是，如果不介绍他在数论领域中的贡献，就不免是一
大疏忽。欧拉在数论这一数学分支中也是当行出色的。我们前面曾讲到过
一些有关数论的问题，在第三章，我们介绍了欧几里得关于素数无穷性的
巧妙证明；我们还在第七章里介绍了费马关于数论的卓有见地的评论和猜
想。如前所述，费马没有能够提供证明，而且，从费马到欧拉的
100年间，
数学界在证明费马猜想方面进展甚微。造成这种停滞的原因很多，一方面
是由于
17世纪末对微积分的新发现垄断了数学研究的方向，另一方面是由
于数论对任何实际问题缺乏实用性，还有一部分原因是因为费马的猜想对
于许多数学家来说，难度太大了。
欧拉对数论的兴趣是由克里斯蒂安·哥德巴赫引起的。关于哥德巴赫
猜想，我们在第三章的后记中已作过简要介绍。哥德巴赫被数论问题深深
地吸引住了，但是，他的热情远远超过了他的才能。他与欧拉一直保持着
密切的通信联系，最初，是哥德巴赫告诉欧拉许多有关费马未证明的猜想，
并引起了欧拉的注意。开始，欧拉似乎无意研究这些问题，但是，由于他
自己无止境的好奇心和哥德巴赫的坚持，欧拉终于涉足其间。不久，他就
被数论，特别是被费马一系列未证明的猜想深深地迷住了。正如现代作家
兼数学家安德烈·韦尔所述，“..在欧拉（有关数论）的著作中，有相
当一部分旨在证明费马的猜想。”在此之前，欧拉的数论著作在他的《全
集》中已占了整整四大卷。人们认为，在他的科学生涯中，即使没有其他
成就，这四卷著作也足以使他跻身于历史上最伟大的数学家之列。
例如，费马曾推测，某些素数可以写成两个完全平方数之和，欧拉对
此作出了证明。显然，除
2以外，其它所有素数都是奇数。当然，如果我
们用
4去除一个大于
4的奇数，我们一定会得到余数
1或
3（因为
4的倍
数或
4的倍数加
2是偶数）。我们可以更简明地说，如果
p＞2是素数，那
么，或则
p=4k＋1，或则
p=4k＋3（k是整数）。1640年，费马曾猜想，第
一种形式的素数（即
4的倍数加
1）可以并且只能以一种方式写成两个完
全平方数之和的形式，而形如
4k＋3的素数则无论以什么方式都不能写成
两个完全平方数之和。
这是一个独特的定理。例如，素数
193=（4×48）＋1可以以一种唯一
方式写成两个平方数之和。对本例，我们可以很容易地证明，
193=144+49=122＋7
2，而其他任何形式的平方和都不能等于
193。另一方
面，素数
199=（4×49）+3绝对无法写成两个平方数之和的形式，这同样
可以通过列出所有可能的形式来证明其不可能性。因此，我们在这两种形
式的（奇）素数之间，就其表达为两个平方之和而言，发现了根本的差别。
这是一个无法预料或凭直觉预测的性质。但欧拉在
1747年对此作出了证
明。
明。
古希腊人已知道数字.. 220和.. 284是亲和数。即，220的所有因数是.. 1、
2、4、5、10、11、20、22、44、55和.. 110，这些因数加起来恰好等于.. 284；
同样，284的所有因数是.. 1、2、4、71和.. 142，它们加起来等于.. 220。但遗
憾的是，当时的数字学家们还不知道有其他的亲和数，直至.. 1636年，费马
才证明出.. 17，296和.. 18，416构成了第二对亲和数。（实际上，这对亲和
数早已为阿拉伯数学家班纳（1256—1321年）所发现，比费马早300多年，
但是，在费马时代，西方人还不知道这一对亲和数的存在。） 1638年，
笛卡儿或许是为了与费马争胜，骄傲地宣布他发现了第三对亲和数：9，363，584和.. 9，437，056。
在欧拉开始研究这个问题之前的一百年间，亲和数的研究一直停滞不
前。1747年至.. 1750年期间，欧拉发现了.. 122，265和.. 139，815以及其他
57对亲和数，这样，他独自一人就使世界已知亲和数增加了近.. 20倍！欧
拉之所以能够取得这样的成果，是因为他找到了生成亲和数的方法，并用
这种方法生成了亲和数。
费马最重要的猜想之一见于他.. 1640年的另一封信中。他在信中说，如
果.. a是任意整数，p是与.. a互质的素数，那么，p就一定是数字a p-1 - 1
的因数。费马按照他令人厌烦的习惯，宣称他已经发现了这一奇特现象的
证明，但却没有写在信中。并且，他告诉他的收信人，“如果不是怕这个
证明太长的话，我就写给你了。”
此后，这一性质便以“费马小定理”而知名。例如，素数.. p=5和数字
α=8，定理宣称，5可以整除.. 8 4-1=4096-1=4095；显然，这是正确的。同
样，如果素数p=7，数字α=17，根据费马定理，7能够整除.. 17 6-1=24，137，569-1=24，137，568；这个数字虽然很不明显，但却同样是正确的。
费马是如何作出证明的，我们只能去猜想了。直到.. 1736年，才有欧拉
提供了一个完整的证明。我们后面将要讨论欧拉的证明，但在此之前，我
们应先介绍一下欧拉作出证明所需要的数论依据：..
(A) 如果素数.. p能够整除.. a×b×c×..×d的乘积，那么，p就一
定能够整除.. a，b，c，..，d这些因数中的（至少）一个因数。用通俗的
话讲，就是，如果一个素数能够整除一个乘积，那么，它就一定能够整除
其中的一个因数。正如我们在第三章中所述，欧几里得早在欧拉之前二千
年就已在其《原本》的命题Ⅶ.30中对此作出了证明。
(B)如果.. p是素数，a是任意整数，则下式..
p -1p -1p-2 (p -1)(p -2)p-3
a + a + a + ..
+ a
2×1 32
××
1
也表示一个整数。
我们将不去证明这个论断，但要通过一两个例子来验证其正确。例如，
如果.. a=13，p=7，那么，我们发现，..
如果.. a=13，p=7，那么，我们发现，..
×
4
5
654 3
13 + 13 + 13 + 13
2×1 321 4×××
21
××
3
6543 26××××
5432
×××
+ 13 + 13 = 4826809
5×4××
2×
6××
4××
2
31 53 ×1
+ 1113879 + 142805 + 10985 + 507 + 13 = 6094998
的确是一个整数，因为在原算式中所有貌似分数都约掉了，我们只剩下求
整数的和。当然，这种约消不一定必然存在。实际上，如果我们在.. p的位
置采用一个非素数，我们就会遇到麻烦。例如，如果.. a=13，p=4，我们得
到..
33 23×2
13+ 13 + 13 = 2197 + 253.5 +13 = 2463.5
