+
+
+
p
=
最后，应用十字相乘法，即得到了令人震惊的结果：
2
完全肯定地说，
6
的数值就等于1.6449..，这一近似值恰好就是欧
p
+
p
2111 ..证讫。1+ +=
49166
拉最初所推算的数值。我们还注意到，这一无穷和也恰如雅各布·伯努利
于1689年所正确推断的那样，的确小于2。
2然而，在欧拉之前，人们对于这一级数的和恰好等于π的六分之一，
完全一无所知。这是一个多么古怪的答案。由于数学本身的种种神秘原因，
这一级数的和竟然产生了一个关于π的公式。因为π当然是与圆密切相关
的，而1、4、9、16这些数字则与正方形密不可分，所以，很难想象这二
者会联系在一起。甚至欧拉自己也对他的答案感到吃惊。他的公式过去是，
至今依然是所有数学问题中最独特和最令人吃惊的公式之一。这一以极巧
妙的方法推导出来的公式，其意外性使欧拉的证明成为第一流的经典定
这一定理帮助奠定了李昂纳德·欧拉在整个数学界的崇高声望。这是
一个无可争议的成功，许多稍许平庸一些的人肯定会因这些巨大成就而心
满意足，不求进取，但欧拉却不然。欧拉数学的特点就是努力探索一切值
得探索的问题。至于欧拉这一绝妙的求和公式，不过只是牛刀小试而已。
欧拉注意到，他在核心方程中所计算出的无穷乘积在x≠0的情况下，
sinx p等于。我们从图的正弦函数图形中可以看到，当时，9.1sin xx=
这样，李昂纳德·欧拉就发现了其他数学家几十年未能发现的答案。
p
理。
后记
x2
得到最大值。如果我们将x= 代入无穷乘积，我们发现，
1
2
p 2.
.÷
ù
ú
ú
ú
ú
p
2 ..
2
.
pp 2 2.
.÷
.
è.
.
.÷
.
è.
16
-
é
1
ê
ê
ê
ê.
ù
ú
ú
ú
ú
p
2
9
-
é
1
ê
ê
ê
ê.
ù
ú
ú
ú
ú
2p
2
2
.
.÷ ..
.
1
64
.
.÷
.
è.
-
.
1
1
36
.
.÷
.
è.
-1
1
6
.
è.
4
-
p 2.
è.
.
.÷
é
1
ê
ê
ê
ê.
ù
ú
ú
ú
ú
p
2 -
é
1
ê
ê
ê
ê.
=
p
2
p
2
sin2
.
.÷
.
è.
-
.
-.
è.
=
p 1
整理后，得
1 1
4
1
2
或简化为
2 . 3.. 15.. 35.. 63.
2 . 3.. 15.. 35.. 63.
è. .÷
è. .÷
è. .÷
è. .÷ ..
p 4 16 36 64
通过取倒数并将方程右边因式分解，欧拉偶然发现了以下公式：
2×2××
4 688
p 46
×
×
××
..
=
35 9
21××××××
3 577×
..
这一方程式使p 等于一个很大的商，其分子是偶数的乘积，而分母
2
则是奇数的乘积。实际上，这一方程式早已为英国数学家约翰·沃利斯（1616—1703年）所知，他早在
1650年就已用完全不同的方法推导出了这一公
式。所以，欧拉并非发现了一个新公式，他只是在对无穷和与无穷乘积的
新奇而相当有力的使用过程中再次发现了它。
但是，欧拉心中还有更多的打算。他认为，他所发现的计算级数1+
11 1
4+
9
+
16
+..的方法是打开计算“病态”更明显的级数之谜的钥匙。
例如,假设我们要求偶数平方的倒数和：
11111 1
++++ + ..
++ ..
4 16 36 64 100 (2k)2
欧拉首先提取公因数
1
，然后，应用“伟大定理”，得出
4
1111 1
++++ + ..
4 16 36 64 100
1 . 111 1 . 1 .p 2 .p2
= 1++++ + ..
=. ÷=
è. .÷
4 491625 4 è6 .24
于是，欧拉也可以毫不费力地计算出所有奇数平方的倒数和，因为
11 1 . 111 1 .
1 +++ + ..
= 1 +++ + + ..
è. .÷
9 2549 4 91625
22 2
. 1111 1 .pp p
-++++ + ..
=-=
è. .÷
4163664100 6 24 8
欧拉显然对他的发现感到振奋，他再接再厉，提出了求整数四次方的
倒数和问题：
11111 1
1 +++++ + ..
4 + ..
16 81 256 625 1296 k
他能解出这道题吗？
欧拉感到他应该回到核心方程上来，但这一次是要确定方程两边
x
4项
的系数。但是，怎样才能从核心方程右边的无穷乘积中找到
x
4项呢？这并
非一个平凡的小问题。在求解这一问题的过程中，欧拉再次得益于他对模
式认辨敏锐的感觉和他关于任何有限乘积都可以推广到无限乘积的信念。
为了理解欧拉的推理过程，我们先举两个十分简单但却富有启发性的
例子，说明他推导
x
4项系数的方法。第一个例子是
(1-ax2)(1-bx2)=1-(a＋b)x
2＋abx
4
2 2224
= 1-(a ＋b)x +
21[(a＋b) -(a ＋b )x
]
第二个例子是
(1-ax2)(1-bx2)(1-cx2)
=1-(a＋b＋c)x
2＋(ab+ac＋bc)x
4-(abc)x6
=1 -(a + b ＋c)x2 +
1[(a＋＋
c)2 -(a 2 +b 2 +c 2)]x4 -(abc)x 6
b
2
这些方程可以简单地通过乘出右边方括号中的各项来直接验算。
请注意，模式已经出现——即，将(1-ax
2)、(1-bx
2)、(1-cx
2)等一系
列因式相乘后，x
4的系数就等于(a+b＋c＋..)之和的平方与平方和(a
2
＋b
2＋c
2＋..)二者的差的一半。如果这一模式对于两个或三个这种因式
的乘积是正确的话，那么，为什么不能推广到四个、五个，甚至无穷多个
因式的乘积呢？欧拉回到核心方程，热心地推导出：
2468
xxxx
1 -+-+-..
3! 5! 7!9!
222 2
é x ùé x ùé x ùé x ù
= 1 -1 -1 -1 -..
ê 2 úê 2 úê 2 úê 2 ú
p 4p 9p 16p
........
我们看到，在这里，
p
12 相当于，a4p
12 相当于b，
9p
12 相当于，等
c
等。因而，应用我们对
x
4系数的这一认识，就得到：
2 468
xxxx
1 -+-+-..
