4916 25..。虽然他们知道这一级数的和一定小于
2，但他们却不能确定这个和
的精确数值。显然，这一级数的计算不仅难倒了雅各布·伯努利和约翰·伯
努利兄弟俩，而且也难倒了莱布尼兹，更不要说世界上的其他数学家了。
欧拉显然从他的老师约翰那里听说过这道难题。他曾谈到开始研究这
个级数的时候，只是简单地把级数的项越来越多地加起来，希望能够找到
级数的和。他这样一直计算到
20位（在计算机时代之前，这种计算绝非易
事），发现级数的和趋向于数字
1.6449。但遗憾的是，这个数字看起来似
乎很陌生。欧拉没有被吓倒，他继续研究，最后终于发现了解开这个谜的
钥匙。他兴奋地写道，“..完全意想不到，我发现了基于π的..一个
绝妙的公式。”
乎很陌生。欧拉没有被吓倒，他继续研究，最后终于发现了解开这个谜的
钥匙。他兴奋地写道，“..完全意想不到，我发现了基于π的..一个
绝妙的公式。”
我们看到，正弦曲线与.. x轴相交处的点.. x，其函数值等于零，
因而，当.. x=0，±π，±2π，±3π，±4π，等等时，sinx=0。这种
使.. sinx等于零的无穷多的.. x值反映了正弦函数周期性重复变化的特性。
关于正弦的许多知识，我们都可以从初等三角中学到。但是，如果我
们在其中引入微积分的概念，我们就会得出下列公式：..
357 9
xxx x
sinx= x -+-+-..
3!5! 7!9!
同样，我们没有必要细述这一公式的推导过程，但是，凡是学过微积分泰
勒级数展开式的读者都会立刻认出这个公式。这一公式的重要性在于它为
欧拉提供了一种将.. sin x表达为“无限长多项式”的方式。
对.. sinx的级数展开式，我们需要作一点儿说明。第一，分母中使用了
阶乘符号，这种符号在一些数学分支中是很常见的。根据定义，3！表示3×2×1=6；5！=5×4×3×2×1=120，等等。并且，这一sin x表达式还将
永远达不到终点，随着.. x的指数按奇整数序列增大，分母表现为相应的阶
乘，而正负号则一正一负交替出现。这就是我们所说将.. sin x写成一个无
限长多项式的意思。这也是欧拉解开他的难题所需要的线索之一。
另一条线索不是出自三角学或微积分，而是出自单代数。由于正弦函
数的泰勒级数展开式是一个无穷多项式，欧拉即转而研究普通的有限多项
式，并将它推广到无穷多项式。
设.. P(x)为.. n次多项式，其.. n个根为.. x＝a，x=b，x=c，..，及.. x=d；
换言之，P(a)＝P(b)=P(c)=..=P(d)=0。我们再设.. P(0)=1。然后，欧拉
知道可以将.. P（x）分解为如下.. n个一次项乘积的形式：..
. x .. x.. x.. x.
P(x)= 1 -1 -1-..1
è. .÷è. .÷
è. .÷ è. .÷
abc d
不妨考虑一下这一一般公式的合理性。我们可以用直接代入的方法得
到..
P a)＝
è..
1 -
a
.÷
.
è..
1 -
a
.÷.
è..
1 -
a
.÷
. ..
è..
1 -
a
.÷
. = 0
(
a b c d
因为第一个因子恰好是.. 1-1=0。同样，..
. . .b . .b .b . .b
Pb)=1 1 1 ..10
( è. .÷
è. .÷
è. .÷ è. .÷
----=
abc d
这次是因为第二个因子为.. 1-1=0。正如我们所期望的那样，P(x)的方程式
非常清楚地表明，P(a)=P(b)=P(c)=..=P(d)=0。
但是，对.. P(x)还有另外一个条件：我们要求.. P(0)=1。幸好，从这里也
可以得出我们的公式，因为
. 0.. 0.. 0.. 0 .
. 0.. 0.. 0.. 0 .
=
1 -1 -1 -..
1
è. .÷
è. .÷
è. .÷ è. .÷
abc d
= (1) 1) 1) ( ..()
( 1=1
总之，
. x.. x.. x.. x.
P x)=
1 -1 -1 -..
(
1
è. .÷
è. .÷
è. .÷ è. .÷
abc d
具有我们所寻求的性质。
例如，假设.. P(x)是一个三次多项式，在这里，P(2)=P(3)=P(6)=0，并
且，P(0)=1。然后，我们进行因式分解，得到..
. x.. x.. x. 1121 3
P(x)= 1 -1 -1 -= 1 -x + x = x
è. .÷
è. .÷
è. .÷
2 3 6 3636
我们可以很容易地验证这一三次方程符合我们所要求的条件。
欧拉仔细研究了这一方程后认为，同样的法则肯定也适用于“无穷多
项式”。他像牛顿一样，也特别相信模式的推广，既然这一模式对有限多
项式是正确的，为什么就不能适用于无穷多项式呢？现代数学家都知道，
这种做法是十分危险的，而且，将适用于有限多项式的公式推广为适用于
无穷多项式的公式，肯定会遇到巨大的困难。这种推广当然要比欧拉想象
得更微妙，也需要更多的谨慎。也许是因为欧拉走运；也许是因为他那强
有力的数学直觉。无论如何，他的努力没有落空。
11
1 1
这些初步结果似乎离我们最初求1+
4
+
9
+
16
+
25
+..之和的问题太
远。但欧拉用他超凡的洞察力作为纽带将全部零散的部件组合在一起。
定理
1＋
1+
1 + 1 + 1 + ..
+
1+ ..
p2
49
1625 k26
证明
欧拉首先引入函数..
2 468
xx xx
f(x) = 1 -+-+-..
3! 5!7!9!
欧拉认为他有充分理由把.. f(x)看成是无穷多项式，并且f(0)=1（从直
觉上说，这是显而易见的）。因此，可以利用上述方法，对这一函数方程
作因式分解，以确定方程.. f(x)=0的根。为此，规定.. x≠0，并得出..
2 468
é x xx x ù
1 -+ _ +-..
OE
ú
3! 5!7! 9!
f x)=x (
êú
ê x ú
êú
o
.
357 9
xxx x
x -+-+-..
3! 5! 7!9!
=
x
= sin x
sinx根据的泰勒展开式
x
sinx
因此，只要不等于，解0 f x)=0 ( 就等于解
x
=0 ，而后者又可以（通
x
过简单的十字相乘方法）简化为解.. sin x=0。我们在前面已看到，当正弦
函数等于.. 0时，x=0，x=±π，x=±2π，等等。当然，我们必须从.. f（x）
=0的解中排除.. x=0，因为我们已规定.. f（0）=1。也就是说，f（x）=0的解
只是.. x=±π，x=±2π，x=±3π，..
过简单的十字相乘方法）简化为解.. sin x=0。我们在前面已看到，当正弦
函数等于.. 0时，x=0，x=±π，x=±2π，等等。当然，我们必须从.. f（x）
=0的解中排除.. x=0，因为我们已规定.. f（0）=1。也就是说，f（x）=0的解
只是.. x=±π，x=±2π，x=±3π，..
. x .. x .. x .. x .
fx 1 -1 -1
() = 1
è. .÷
è. .÷
è. .÷
è. .÷
p -p 2p-2p
. x .. x .
1 -1 -..
è. .÷
è. .÷
3p 3p
é. x .. x . ùé. x .. x . ùé. x .. x .ù
= êè.
1 -
.÷ è.1 +
.÷
úêè.
1 -
.÷ è.
1 +
.÷ úêè.
1 -
.÷ è.1 +
.÷
ú..
.p p..2p 2p ..3p 3p.
也就是
24 68
xx x x
1 -+-+-..
3!5! 7! 9!
222 2
é x ùé x ùé x ùé x ù
= 1 -1 -1 -1 -..
ê 2 úê 2 úê 2 úê 2 ú
p 4p 9p 16p
........
我们称这一方程为核心方程。这是一个最非凡的方程，因为它使一个
无穷和等于一个无穷乘积。也就是，最初确定f(x)的无穷级数等于方程右
边的无穷乘积。对于欧拉一类数学家来说，这是非常有启发性的。实际上，
他现在即将完成他的证明，但许多读者也许还完全茫然不解。
欧拉所做的是设想“乘出”上述方程右边的无穷乘积，然后合并.. x的
同类项。这样，第一项就将是所有.. 1的乘积，当然，等于1。为得到x 2项，
我们就必须依次用剩余因子中的.. x 2项去乘所有的.. 1，而不是与其它因子相
乘。这样，欧拉的“无穷乘法”问题就得到了下列方程：..
24 68
xx x x
1 -+-+-..
3!5! 7! 9!
222 2
é x ùé x ùé x ùé x ù
= 1 -1 -1 -1 -..
ê 2 úê 2 úê 2 úê 2 ú
.p..4p ..9p ..16p.
. 111 1 . 24
= 1 -
è. 2 + 2 -2 + 2 + ..
.÷ x + (..)x -..
p 4p 9p 16p
终于，迷雾开始散去。欧拉只要计算出无穷乘积，并得出两个相等的
无穷和，那么，同指数的.. x项也就当然相等。请注意，两个级数的第一项
都是.. 1。因而，两个级数中的.. x 2项，其系数也一定相等。即，..
1 . 111 1 . -
3！
= -
è.
p2 +
4p2 +
9p 2 +
16p2+ ..
.÷
然后，在方程两边同乘以-1，左边即得到.. 3！=6，而右边则提取公因
数数2 ，于是，欧拉得出
p
1 1 111
2 è.1 ..
.÷
6 4916
+
