15
.
.÷ + ..
＝1+1+
1+
1+
1+
1+
1+
1+
1+
1+ ..
2345678 9
＝2+ .è
.
21
+
31
+
41..
÷ + .è
.
51
+
61 +
71..
÷ + .è
.
81+
91
+
101 ..
÷
. 111 .
. 111 .
è. .÷
1112 13
＞2+
.
è.
33
.
.÷ +
.
è.
36
.
.÷ +
.
è.
39
.
.÷ +
.
è.
123 .
.÷ +
.
è.
153 .
.÷ + ..
＝2+1+
1
+
1+
1+
1+
1+
1
+
1+
1+ ..
2 34 567 89
＝3+
.è
.
1+
1+
1..
÷ +
.è
.
1+
1+
1..
÷ +
.è
.
1+
1+
1 ..
÷
234 567 8910
. 111 .
+ ++
.÷ + ..
è.
1112 13
等等。门戈利证明的精彩之处就在于它的自我复制性质。他每次将他的初
步定理应用于调和级数，他就再一次遇到调和级数，但这一次则增加了一
个单位。我们来看以上的不等式，我们发现，H大于.. 1，大于.. 2，大于.. 3；
而且，如果我们继续重复这一过程，H大于任何有限量。因此，我们可以
与门戈利一道得出结论，调和级数的和一定是无穷大。证讫。
所以，约翰的伟大定理虽然证明方法有所不同，但奥雷姆和门戈利都
确实先于他发现了调和级数的这一性质。并且，雅各布在《论无穷级数》
一书中载入约翰的证明之后，便直接提出了他自己对调和级数发散性的证
明。他的证明虽然带有兄弟间争强好胜的味道，但确是一个非常精彩的证
明。然而，雅各布的证明似乎过于复杂，不便在本书介绍。
在《论无穷级数》一书中，雅各布在论证了调和级数之后，又进一步
阐述了整数平方的倒数和问题。他发现，..
1+
212 +
312 + ..+
k12 + ..＝1+
14+
19+
161
+ ..
他注意到，1 ＜1 ，1 ＜1 ，1 ＜1 ，一般来说，
4 3961610
k12
＜
k k
1
+ 1
()
2
他由此推理，
1+
1+
1+
1
+ ..+
1+ ..＜1+
1+
1+
1+
1
+ ..
4916 k2 361015
+
2
+ ..＝2.è
.
1+
1+
1+
1+
1+ ....÷
＝21 ＝2
()
( + 1 2 612 20
kk ) 30
我们在这里再次应用了本章开始所介绍的莱布尼兹求和定理。在此，
雅各布表明，上述级数趋向某一小于.. 2的有限数。鉴于明显的原因，这一
证明收敛性的方法现在称为“比较判别法”。雅各布的证明提供了一个实
际应用比较判别法的早期例子。
虽然伯努利兄弟知道这一无穷级数是收敛级数，但他们未能找到其和
的精确数值。雅各布带着几分绝望的恳求宣告了他的失败：“如果有人能
够发现并告知我们迄今为止尚未解出的难题的答案，我们将不胜感谢。”
求级数1+
41+
91+
161
+ ..的值是一个非常难的难题，看来，只能由一
个胜过伯努利兄弟的天才来解出这一级数的和了。
个胜过伯努利兄弟的天才来解出这一级数的和了。
第九章
李昂纳德·欧拉非凡的求和公式
（1734年）
第九章
李昂纳德·欧拉非凡的求和公式
（1734年）
在漫长的数学史中，李昂纳德·欧拉的遗产是无与伦比的。他博大精
深和空前丰富的著述令人叹为观止。欧拉厚厚的
70多卷文选，如此深远地
改变了数学的面貌，足以证明这位谦和的瑞士人的非凡天才。实际上，面
对他数量奇多，质量极高的著述，人们的第一个感觉便是，他的故事似乎
是一部天方夜谭，而不是确凿的史实。
这位伟人于
1707年出生在瑞士的巴塞尔。毫不奇怪，他在年轻时即表
现出超人的天赋。欧拉的父亲是一个加尔文教派的牧师，他设法安排年轻
的李昂纳德师从著名的约翰·伯努利。欧拉后来常常回忆起与他的老师伯
努利在一起的这段时光。小欧拉经过一星期的学习准备，然后在每个星期
六下午的指定时间里，去向伯努利请教一些数学问题。伯努利并非总是仁
慈和蔼，最初常常为了学生的不足而发火；而欧拉则更加勤奋，尽可能不
以琐事去烦扰老师。
不论约翰·伯努利的脾气是否很坏，他很快就发现了他学生的非凡天
才。不久，欧拉就开始发表高质量的数学论文。19岁时，欧拉以其对船上
安装桅杆的最佳位置的精彩分析而荣获了法国科学院颁发的奖金。（值得
注意的是，那时，欧拉还从未见过海船！）
1727年，欧拉成为俄国圣彼得堡科学院的成员。当时，俄国建立科学
院，是为了与巴黎和柏林的科学院相匹敌，以实现彼得大帝的梦想。在移
居俄国的学者中，有一位是约翰的儿子丹尼尔·伯努利。通过丹尼尔的影
响，欧拉谋得了职位。但奇怪的是，由于自然科学方面没有空缺，欧拉只
能就任医学和生理学方面的职位。然而，职位毕竟是职位，欧拉欣然领受。
开始的路程十分艰难，他甚至在俄国海军当了一段医官。终于，1733年，
数学教授丹尼尔·伯努利辞职返回瑞士，欧拉接替了丹尼尔的职位。
当时，欧拉已显示出后来成为他整个数学生涯鲜明特征的过人精力和
巨大创造力。虽然在
18世纪
30年代中期，欧拉的右眼开始失明，而且，
不久就完全失明，但是，伤残并没有影响他的科学研究。他不屈不挠，解
决了各个数学领域（如几何学、数论和组合）及应用领域（如机械学、流
体动力学和光学）中的种种疑难问题。只要想象一下一个人在失明后还要
向世界揭示光学的奥秘，我们就会受到强烈的感染和激励。
1741年，欧拉离开了圣彼得堡科学院，并应腓特烈大帝的邀请，成为
柏林科学院院士。在一定程度上，他离开俄国是因为他不喜欢沙皇制度的
压抑。但遗憾的是，柏林的情况也并不理想。腓特烈嫌他太单纯、太文静、
太谦和。这位德国国王在一次提到欧拉的视力问题时，竟称欧拉为“数学
独眼龙。”由于腓特烈的这种态度，以及科学院内部的一些明争暗斗，欧
拉于俄国叶卡捷琳娜二世在位期间应邀返回了圣彼得堡。他后来一直住在
俄国，直到
17年后逝世。
欧拉的同时代人称他是一个善良和宽宏大量的人，他喜欢自己种菜和
给他
13个孩子讲故事。在这一方面，欧拉是一个受人欢迎的人物，恰与孤
僻、缄默的艾萨克·牛顿形成鲜明对照，而牛顿确是少有的一位可与他比
肩而立的数学大师。我们从中欣慰地看到，这一等天才并非个个都是神经
质。甚至在
1771年，欧拉的另一只眼睛也失明后，他仍然保持着这种温良
的性格。尽管欧拉双目全盲，而且经常疼痛，但他依然坚持向他的助手口
授他奇妙的方程和公式，在助手的帮助下，继续从事数学著述。正如失聪
没有阻碍下一代的路德维希·冯·贝多芬的音乐创作一样，失明也同样没
有阻碍李昂纳德·欧拉的数学探索。
欧拉的整个数学生涯，始终得益于他惊人的记忆力，对此，我们只能
称他为超人。他在进行数论研究时，不但能够记住前
100个素数，而且还
能记住所有这些素数的平方、立方，甚至四次方、五次方和六次方。欧拉
可以很轻松地背诵出诸如
241
4或
337
6的数值，而其他人却要忙着查表或笔
算。但这还只是他显示非凡记忆力的一些小把戏。他能够进行复杂的心算，
其中有些运算要求他必须要记住
50位小数！法国物理学家弗朗索瓦·阿拉
戈说，欧拉计算时似乎毫不费力，“就像人在呼吸，或鹰在翱翔一样轻松。”
除此以外，欧拉还能够记住大量的论据、引语和诗歌，包括维吉尔的《埃
涅阿斯纪》全篇，这部史诗是欧拉幼年时诵读的，时隔
50年后，他依然能
够一字不差地背出全文。任何一位小说作家都不敢编造出一个具有如此惊
人记忆力的人物。
欧拉无与伦比的名望是与他的数学论著密不可分的。他的笔下，既有
一些高难度的数学著作，也有一些初级数学书，而且，他并不认为如此就
降低了身份。也许，他最著名的著作是他
1748年发表的《无穷小分析引
论》。这部不朽的数学论著可以与欧几里得的《原本》相比美。欧拉在这
部著作中评述了前辈数学家的发现，组织并清理了他们的论证，其论著之
精妙，使得绝大部分前人著作都显得陈腐。除《引论》一书外，1755年，
欧拉出版了一卷本的《微分学原理》，1768—1774年，又相继出版了三卷
本的《积分学原理》，从此确定了数学分析的方向，并一直延续至今。
欧拉所有著作的论述都非常清楚易懂，并且，他所选用的数学符号，
都是为了将他的意思表达得更加清晰明了，而不是含混不清。对于今天的
读者来说，欧拉的数学著述堪称是最早一些具有现代数学意味的著述；这
当然不仅是因为他使用了现代数学符号，而且，还因为他的影响十分深远，
所有后来的数学家都采用了他的文体、符号和公式。并且，欧拉在写作时，
想到了并非所有读者都能像他那样，具有惊人的学习数学的能力。欧拉不
是以往那类数学家，他们虽然对问题有深邃的见解，但却无法把自己的意
思传达给旁人。相反，他深深地喜爱教学。法国数学家孔多塞在谈到欧拉
时有一句精辟的话：“他喜欢教诲他的学生，而不是从炫耀中求取满足。”
这正是对一个人的高度赞美，因为欧拉如果喜欢炫耀，他的数学才干确实
足以令任何人吃惊。
任何人在谈到欧拉的数学时，都会提到他的《全集》，这是一部
73
卷的文集。这部文集汇编了他一生分别用拉丁文、法文和德文撰著的
886
卷书和文章。他的著作数量极多，产出速度极快，甚至在他完全失明后也
是如此，据说，他的著作直到他谢世后
47年才出版完毕。
如前所述，欧拉并未将他的工作局限于纯数学领域。相反，他广泛涉
猎声学、工程学、机械学、天文学等许多领域，甚至还写有三卷著作，专
门论述光学仪器，如望远镜和显微镜。虽然听来令人难以相信，但据估计，
如果有人清点
18世纪后
70几年中的所有数学著作，那么，其中大约有三
分之一出自李昂纳德·欧拉之手！
如果你在图书馆里，站在收藏欧拉著作的书架前，一个书架一个书架
地看去，其著述洋洋大观，令人惊叹。这成千上万页文字，涉及从变分法、
图论，到复变函数和微分方程等数学的所有分支，它们指引了数学各个领
域的新方向。实际上，数学的每个分支都有欧拉创立的重要定理。因此，
我们可以在几何学中找到欧拉三角，在拓扑学中找到欧拉示性函数，在图
论中找到欧拉圆，还不要说使人目不暇接的欧拉常数、欧拉多项式、欧拉
积分等等名目了。即使这些还只是故事的一半，因为人们一向记于他人名
下的许多数学定理，实际上却是欧拉发现的，并深藏于他卷轶浩繁的著述
中。有一则似假还真的趣话说道：
“..法则和定理的命名，常有喧宾夺主的事情，否则，有半数应署
上欧拉的名字。”
1783年
9月
7日，李昂纳德·欧拉溘然长逝。尽管他已双目失明，但
直至他逝世前，他一直在进行数学研究。据说，在他生命的最后一天，他
还在与他的孙子们一起游戏并讨论有关天王星的最新理论。对于欧拉来
说，死神来得非常突然，用孔多塞的话说，“他终止了计算和生命”。欧
拉被埋葬在他曾居住过的圣彼得堡，他曾断断续续地在那里度过了许多美
好的时光。
111
1
伟大的定理：计算1
+
4
+
9
+
16
+
25
+..
+
12
+..的值
k
要从欧拉庞大的数学体系中找出一两个有代表性的定理是很困难的。
我们之所以选定这一定理，是出于以下几个原因。第一，从历史上看，这
一定理提出了一个十分重要且引起争论的命题。第二，这个定理是欧拉的
早期成就之一，是他于
1734年到圣彼得堡的第一年宣布的，这一定理在很
大程度上巩固了他数学天才的名望。最后，这一定理不仅证明了欧拉解决
前人的难题的才干，而且还证明他有能力将一个个别解法转变为一连串同
样深刻和出人意料的解法。没有一个定理能够包容李昂纳德·欧拉的全部
天才，但我们即将讨论的这一定理却清楚显示了他的数学才华。
这个问题就是我们在第八章结束时所提到的问题。回想一下，伯努利
兄弟刚刚攻克了调和级数问题时，曾经探讨了级数
1+
1+
1+
1
+
1
+
