6月，其时，约翰·伯努利在莱布尼兹的杂志《教
师学报》上刊登了一个挑战问题。显然，公开挑战的传统是从菲奥尔和塔
尔塔利亚时代开始的。虽然现在的论争是在学术杂志上安静地进行笔战，
但却依然有力量成就或摧毁一个人的声望，正如约翰自己所述：
“..肯定地说，正是摆在我们面前的那些困难同时也是有用的问
题，激发着出类拔萃之辈为丰富人类的知识而奋斗，他们也因此一举成名，
流芳百世。”
约翰提出的挑战很精彩。他设想在地面上不同高度的两个点
A和
B，
并且，不要让其中一个点直接位于另一点的上方。连接这两个点，当然可
以作出无限多的不同曲线，从直线、圆的弧线到无数种其他曲线和波浪线。
现在设想有一个球沿着一条曲线从
A点滚向较低的
B点。当然，球滚完全
程所需要的时间取决于曲线的形状。伯努利向数学界提出的挑战是，找出
一条曲线
AMB，使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短（见图
8.3）。他
称这条曲线为“最速降线”，这个词是从希腊文的“最短”和“时间”两
个词合成而来的。
显然，第一个猜想是连接
A、B两点作直线
AMB。但是，约翰对试图采
用这一过于简单化的方法提出了警告：
“..不要草率地作出判断，虽然直线
AB的确是连接
A、B两点的最
短线路，但它却不是所用时间最短的路线。而曲线
AMB则是几何学家所熟
知的一条曲线。如果在年底之前还没有其他人能够发现这一曲线，我将公
布这条曲线的名称。”
约翰定于
1697年
1月
1日向数学界公布答案。但是，到最后期限截止
时，他只收到了“著名的莱布尼兹”寄来的一份答案，并且，莱布尼兹
“谦恭地请求我延长最后期限到复活节，以便在公布答案时..没有
人会抱怨说给的时间太短了。我不仅同意了他的请求，而且还决定亲自宣
布延长期限，看看有谁能够在这么长时间之后最终解出这道绝妙的难题。”
然后，为确保不会使人误解这道难题，约翰又重复了一遍：
“在连接已知两点的无限多的曲线中..选择一条曲线，如果用一根
细管或细槽代替这条曲线，把一个小球放入细管或细槽中，放手让它滚动，
那么，小球将以最短的时间从一点滚向另一点。”
此时，约翰开始热心鼓吹奖励解出他的最速降线问题的人。不要忘记，
他自己是知道答案的，如此一来，他关于数学荣誉的一段话就不免有自诩
之嫌：
“但愿有人能够迅速摘取桂冠。当然，奖品既非金，也非银，因为这
些东西只能引起卑贱者的兴趣..相反，由于美德本身就是最好的奖励，
而名望又是最强的刺激，所以，我们为高贵的得胜者所颁发的奖励是荣誉、
赞颂和认可..”
在这段话中，似乎约翰认为自己面对他可怜的哥哥雅各布，又一次赢
得了胜利。但是，在他心里还有另外一个目标。约翰写道：
“..很少有人能够解出我们独特的问题，即使那些自称通过特殊方
法..不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几
何学的疆域的人。这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人
将它们发表过了。”
还有谁能怀疑他所说的“定理”就是指的流数法，他所蔑视的目标就
是艾萨克·牛顿呢？牛顿曾宣称早在莱布尼兹
1684年发表微积分论文之前
就已发现了这一理论。无疑，约翰的挑战目标非常明确，他把他的最速降
线问题抄了一份，装进信封，寄往英国。
当然，1697年，牛顿正在忙于造币局的事务，而且，正如他自己所承
认的那样，他的头脑已不似全盛期时那样机敏了。当时，牛顿与他的外甥
女凯瑟琳·康迪特一起住在伦敦。凯瑟琳记述了这样的故事：
“1697年的一天，收到伯努利寄来的问题时，艾萨克·牛顿爵士正在
造币局里忙着改铸新币的工作，直到四点钟才精疲力尽地回到家里，但是，
直到解出这道难题，他才上床休息，这时，正是凌晨四点钟。”
即使是在晚年，并且，是在经过一天紧张的工作而感到精疲力竭的情
况下，艾萨克·牛顿仍然成功地解出了众多欧洲人都未能解出的难题！由
此可见这位英国伟大天才的实力。他清楚感觉到他的名望与荣誉都受到了
挑战；而且，伯努利和莱布尼兹毕竟都还在急切地等待着公布他们自己的
答案。因此，牛顿当仁不让，仅仅用几个小时就解出了这道难题。然而，
牛顿有些被激怒了，据说他曾言道：“在数学问题上，我不喜欢..给外
国人..戏弄。”
此可见这位英国伟大天才的实力。他清楚感觉到他的名望与荣誉都受到了
挑战；而且，伯努利和莱布尼兹毕竟都还在急切地等待着公布他们自己的
答案。因此，牛顿当仁不让，仅仅用几个小时就解出了这道难题。然而，
牛顿有些被激怒了，据说他曾言道：“在数学问题上，我不喜欢..给外
国人..戏弄。”
到复活节时，挑战期限截止。约翰一共收到了五份答案。其中包括他
自己的答案和莱布尼兹的答案。他的哥哥雅各布寄来了第三份答案（这也
许会使约翰感到沮丧），而洛皮塔侯爵则寄来了第四份答案。最后寄来的
答案，信封上盖着英国的邮戳。约翰打开后，发现答案虽然是匿名的，但
却完全正确。他显然遇到了他的对手艾萨克·牛顿。答案虽然没有署名，
但却明显地出于一位绝顶天才之手。
据说（或许不尽可靠，但却非常有趣），约翰半是羞恼，半是敬畏地
放下这份匿名答案，会意地说：“我从他的利爪认出了这头狮子。”
后记
在讲到约翰对调和级数发散性的证明时，雅各布曾说过，“是我弟弟
首先发现的”。如果雅各布认为是约翰第一个掌握了调和级数的奇特性质，
他就完全错了，因为至少有两个前辈数学家曾证明过调和级数的发散性。
这两个数学家的证明各不相同，而且，也不同于上述约翰的证明，但每个
人的证明都显示了自己独特的智慧。
最早对调和级数发散性作出证明的是
14世纪的法国学者尼科尔·奥雷
姆（约
1323—1382年）。约
1350年，奥雷姆写出了一部非凡的著作，题
为《欧几里得几何问题》。当然，这是一部非常古老的文献，比卡尔达诺
的《大衍术》还早了整整
200年。尽管这部著作产生于我们也许可以称之
为欧洲数学的“石器时代”，但奥雷姆的著作中的确含有一些非常精彩的
论题。
特别是，他论述了调和级数的性质。实际上，他的全部论证如下：
“..将英尺与
21
、
13 41
英尺等相加，其和无穷。实际上，可以
1 、
构成一个其和大于1 的多项无穷数。因此：1+
1 大于1 ；1+
1+
1+
1
2 34 2 5678
111 11
大于
2
；
9
+
10
+ ..+
16
大于
2，等等。”
读者感到有点儿迷惑是可以理解的。这个论证毕竟完全是用文字阐述
的，是在符号代数出现之前几百年写出的。然而，只要经过一点儿“净化”
处理，这段文字就变成了一个非常简单而巧妙的发散性证明了。实际上，
奥雷姆的意思是用其和等于奥雷姆的意思是用其和等于的较小分数替换调和级数中的一组分数。
2
即，他说：..
1+
12
＞12
+
12
＝1
1+
12
+
.
è.
13
+
14
.
.÷ ＞＋1
.
è.
14
+
14
.
.÷ = 23
1 11 . 1111.
1+ + + + .+ + +÷
2 34 è5678.
＞3+
.è
.
1+
1+
1+
1..
÷ ＝
4
2 8888 2
11 . 11 1 .
1+ + ..
++ + + ..+
è. .÷
2 8 910 16
＞
4+ è.
. 1+ ..+
1
.÷
. ＝
5
216 162
这一方程可以扩展为适用于任何整数.. k的一般公式：..
1 +
21 + 13
+ ..+
21k ＞
k2
+ 1
例如，如果.. k=9，我们看到，..
l＋1 ＋1 ＋..＋1 ＝1＋1 ＋1 ＋..＋1 ＞9 +1 ＝5
23 512 23 292
如果.. k=99，则..
1+
1+
1+ ..+
199 ＞100 ＝50
23 22
如果.. k=9999，我们得到..
1＋1 ＋1 ＋..＋1 ＞9999 +1 ＝5000
2 3 29999 2
这样，只要取调和级数中足够多的项，我们就能够保证其和大于.. 5、
50或.. 5000，或一般地说，大于任何有限量。这种方法保证了所有调和级数
都大于任何有限量，并因而趋向无穷。奥雷姆的证明巧妙、简洁和易记，
已写入了现代大部分数学教科书中。但是，伯努利兄弟似乎不知道有这样
一个证明存在。
先于约翰·伯努利作出证明的还有另外一位数学家——意大利数学家
彼得罗·门戈利（1625—1686年）。门戈利的论证作于.. 1647年，因而比
伯努利的证明早.. 40年。门戈利的证明非常简单，他首先提出了一个初步命
题。
定理如果＞，那么，l
1+
1+
1 ＞3 。
a
a -1aa+1 a
证明首先提出一个明显的论据，即.. 2a 3＞2a 3-2a=2a(a2-1)，将这个
不等式的两边分别除以.. a 2(a2-1)，得
2a2a2a a 2 -1) 2a2
a2(a 2 -1)
＞
a 2(
(
a2 -1)
或简化为
a2 -1
＞
a
因此
1111 . 11 .
++=+ +
è. .÷
a -1a a + 1a a -1a + 1
=
1a
+
a 22a
-1
根据代数运算
＞1 + 2 根据上述不等式
aa
3
=
a
证讫。
这一命题保证了在三个连续整数的倒数相加时，其和一定大于中间数
字的倒数的三倍。我们可以用数字来检验，例如，..
1 + 1 + 1 ＞3 = 1 或1 + 1 + 1 ＞3 =1
8910 9 3 323334 3311
这就是门戈利在他.. 1647年对调和级数的简短证明中所需要的初步命
题。
定理调和级数趋向无穷。
证明设.. H为调和级数的和。通过对级数各项归组和反复应用上述不
等式，我们发现：..
H＝1＋
è.
. 1+
1+
1
.÷
. +
è.
. 1+
1+
1
.÷
. +
è.
. 1+
1+
1
.÷
.
234 567 8910
. 111 .
+++ + ..
è. .÷
1112 13
3333 3
＞1+
.
è.
3
.
.÷ +
.
è.
6
.
.÷ +
.
è.
9
.
.÷ +
.
è.
12
.
.÷ +
.
è.
