的值。
无疑，数学中最重要的收敛级数是几何级数，其形式为..
a+a2+a3+a4+..+ak+..
在此，我们设-1＜a＜1。因此，几何级数就是.. a及其所有高次幂的和。我
们用一个“17世纪式”的论证方法来证明这种级数的收敛性，其证明如下：
设.. S=a+a 2+a3+a4+..为我们所求的和。将方程两边同乘以.. a，得..
aS=a2+a3+a4+a5+..，然后，将这两个方程相减，得
S-aS=（a+a 2+a3+a4+..）
-（a 2+a3+a4+a5+..）=a
除第项外，所有项都消掉了。所以，（1-a ）=a ，因而，S =
(1a-a)
。
1S
由于.. S是原几何级数的和，因此，我们可以认为..
234
a+a +a +a +a 5 ..=
a
1-a
例如，如果a=
1 ，则
3
11
11111 1
++ ++ ..
+ k+ ..
= 3 = 3 =
392781 3 1 22
1
33
就数学的精密性而言，对无穷级数收敛性的这一证明显得十分幼稚，
相比之下，现代数学对这个问题的论证就精妙得多。并且，这个证明还掩
盖了我们最初为什么要设-1＜a＜1的原因，虽然a=2这一几何级数已经表
明了这一假设的必要。在这种情况下，我们直接应用公式，就得到..
234 2
2 + 2 + 2 + 2 + .=
1 -2
也就是说， 2+4+8+16+..=-2。这是一个“双重荒谬”的结果，一方面因
为这个级数显然是发散无穷级数，另一方面还因为人们无法想象一系列正
数相加的结果竟然得出一个负数。因而，几何级数的求和公式要求α必须
位于-1与.. 1之间。（对这一问题的更详尽分析，通常需要应用微积分。）
上述两个无穷级数说明了一般收敛级数的一个重要条件。对于第一个..
α=
1 的几何级数来说，其一系列相加的项（1 ，1 ，1 等）越来越接
3 92781
近于零；因此，后面的各项可以越来越忽略不计。而另一方面，对于α=2
的几何级数来说，我们相加的各项则离零越来越远——4，8，16，等等，
其愈益增大的数值使其和不能等于一个有限数。
的几何级数来说，我们相加的各项则离零越来越远——4，8，16，等等，
其愈益增大的数值使其和不能等于一个有限数。
数
x1+x2+x3+x4+..+xk+..中，如果，并且只有当通项
x
k的值趋向于零时，
其和才能够收敛为有限数。正如结果所示，这个推测有一半是正确的。即，
如果级数收敛于一个有限数，则级数中的通项一定趋向于零。换句话说，
除非通项趋向于零，否则，我们不能将一个无穷级数表示为一个有限数。
然而，遗憾的是，其逆命题却是错误的。也就是说，有的无穷级数，
即使其通项趋向于零，但其和却趋向于无穷。这一事实并不是显而易见的，
但却是我们即将讨论的伟大定理的内容。在调和级数
1+
1+
1+
1
+
1+
2345
..+
1+ ..（即正整数的倒数和）中，约翰·伯努利发现，虽然其
k
通项趋向于零，但它的和却是无穷大。
伯努利发现了当今数学家称之为“病态反例”的现象——即一个似乎
违反直觉的特定例子，其古怪之至，堪称“病态”。这一调和级数非常麻
烦：要使其和不大于
5，就必须将级数的前
83项相加，因为
1+
1
+
1
+
1
+
1
+ ..+
1
= 4.990020 ..＜5.00而
2 345 82
1+
1
+
1
+
1
+
1 +..+
1
= 5.002068 ..＞5.00
2 345 83
请注意一个突出的事实，在这一调和级数中，超过第
83项以后的每一项
1
都小于
83
，因而对其和的增值作用不大。所以，要使和大于，就必须
6
再加
144项。由于其和增值非常缓慢，因此，要使级数和等于
10，就必须
将前
12,367项相加，而要使级数和等于
20，就要加
2.5亿项！人们似乎
根本难以想象调和级数最终可能会超过一百，一千，甚至一万亿。
但事实的确如此！而这正是其之所以被称为病态和伯努利的定理之所
以值得我们注意的原因。
伟大的定理：调和级数的发散性
虽然这个证明是约翰·伯努利作出的，但却刊载在哥哥雅各布
1689
年的《论无穷级数》一书中。出于少见的兄弟情谊，雅各布甚至在书的序
言中承认了弟弟对这一证明方法的优先权。
约翰必须要证明调和级数向无穷发散。他的证明是以莱布尼兹的收敛
1111 1
级数
2+
6+
12
+
20+
30+ ..=1为基础，莱布尼兹的这一级数，我们
在本章前面已经讨论过。此事本身就很奇怪，因为，人们不清楚，这一清
晰易解的收敛级数怎么会成为古怪的调和级数的论证基础呢？无论如何，
约翰·伯努利作了如下推理。
定理调和级数1+ 定理调和级数1+
2
+
13
+ ..+
k1
+ .的和是无穷的。
证明
引入A=
12+
13+
41+
15
+..+
k1
+..，这是一个缺少第一
项的调和级数。将这一级数“..变为分子是
1、2、3、4等等的分数”，
就得到
1234 5
A= ++++ + ..
261220 30
约翰将这一级数作为后面的参考。
然后，他设定前述莱布尼兹的级数为，并从这一级数中连续减去
C
111 1
2
，6
，12
，20
，等等，由此构成一系列相关级数：
C＝
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ..＝1
2 61220 30
1111 1 11
D＝
6
+
12
+
20
+
30
+ ..＝C -
2
= 1-
2
＝
2
E＝1 + 1 + 1+ ..＝D -1 ＝1 -1 ＝1
122030 6 26 3
11 1111
F＝
20
+
30
+ ..＝E -
12
=
3
-
12
=
4
1 1111
G＝
30
+ ..＝F-
20
=
4
-
20
=
5
··
····
··
····
··
····
约翰接着将这一方程阵列的最左边两列相加，得到
C+D+E+F+..
1 . 11.. 111 .
=++ ++
è. .÷
+
è. .÷
2 66 121212
. 111 1 .
= +++ ..
è. .÷+
202020 20
= 1 + 2 + 3 + 4 + ..= A根据前面设定
2 612 20
另一方面，如果将这一方程阵列的最左边和最右边的两列相加，他发
现，
11 11
C+D+E+F+G+ ..
= 1+ ++++ ..
23 45
=1+A
由于
C+D+E+F+G+..既等于
A，又等于
1＋A，因而，约翰只能得出结
论：1+A=A。正如他所说的那样，“整体等于部分”。但是，显然没有一个
有限数会等于大于自己的数。约翰·伯努利认为，这只能说明一个问题：
即
1+A是无穷大。而
1+A则是调和级数的和，所以，他的证明完毕。
今天的数学家可以对这一证明提出一些公正的批评意见。伯努利是以
一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他将其作为一个独立个体而随
意处置。我们现在懂得，在处理这些数学问题时，必须特别慎重。并且，
他证明调和级数发散性的方法与现代方法形成了鲜明的对照。今天的数学
家采用下述方法证明：首先确定正整数
N（不论其数值多大），并证明该
级数必定大于
N；那么，既然该级数大于任意正整数
N，则这个级数一定趋
向无穷。但是，约翰没有这样证明。相反，他用更加简明的
A=1+A来证明
级数的发散性，对于现代读者来说，这是证明量的无穷性的一个最独特的
方法。
我们必须承认，伯努利作出这一论证之后
150年，才有真正精确的级
数理论出现，考虑到这点，或许可以不致过分挑剔。并且，尽管有种种异
议，但谁也无法否认约翰论证方法的巧妙。约翰的证明恰似数学王冠上的
一颗明珠。
雅各布在其《论无穷级数》一书中就他弟弟的证明强调了一个非直观
的重要推断，他写道：“一个最后一项为零的无穷级数之和也许是有限的，
也许是无穷的。”现代数学家称赞他提出了无穷级数的“最后一项”问题，
因为这些无穷级数的性质的确排除了任何最后项；然而，他的意思非常明
确。他所强调的是，在无穷级数中，即使其中的某些项接近于零，其和仍
然可能是无穷的。调和级数就是这种现象的首要例子，已如约翰所证明。
也许是因为这一结果太出乎意料了，雅各布情不自禁，挥笔写下了一
首数学短诗：
有限环绕无穷级数朝夕相伴，
在无限的王国中也存在着有限；
至大寓于细微之所，
而最狭小的有限中却见到无限。
在无限中认识细微是多么快乐，
巨大存在于细小之中，啊，神秘的上天！
最速降线的挑战
伯努利兄弟在他们时代的数学中留下了深刻的印记，其中包括调和级
数和许多其他贡献。但是，关于这对相互竞争，难以相处的兄弟，还必须
要告诉读者另一个故事，它肯定是在整个数学史中最引人入胜的一则故
事。
故事开始于
1696年
