有趣的是，就在牛顿进入剑桥大学
166年后，另一位英国青年在剑桥
大学基督学院开始了他的大学生涯，而且，他的住处离牛顿在三一学院的
旧居仅隔几个街区。年轻的查尔斯·达尔文肯定常常走在许多年前牛顿所
熟知的剑桥大学同一条街道上。像牛顿一样，达尔文也不愿公布他的发现，
但是，1859年，他动笔写出了经典性的《物种起源》，这部巨著对生物学
的影响，一如牛顿的《原理》之于物理学。犹如牛顿创造了物理“自然”
世界一样，达尔文也同样创造了生物“自然”世界，他解释了地球上生命
冲动的似乎无法解释的机制。他们两人的影响都十分深远，远远超出了科
学本身。他们两人的理论都使人类对现实世界的认识产生了一场深刻的革
命。今天，达尔文也同样长眠在威斯敏斯特教堂，与牛顿墓只相距几英尺
——两个科学巨人，两个登峰造极的剑桥大学学生。
艾萨克·牛顿在其晚年，回忆他不平凡的智力探索过程，谦和地承认，
如果他比别人看得更远些，那是因为他站在巨人的肩膀上。这里，他当然
是指维埃特、伽利略、笛卡儿和英雄世纪的其他伟人。现在，他自己的肩
膀也将托起后代学人。在一段常常被人引用的非常著名的话里，牛顿写道：
“我不知道世人怎样看我；可我自己认为，我好像只是一个在海边玩
耍的孩子，不时为拾到更光滑些的石子或更美丽些的贝壳而欢欣，而展现
在我面前的是完全未被探明的真理之海。”
但是，也许我们应当以下面这段墓志铭，祷祝他在威斯敏斯特教堂安
息：
“生民们，曾有如此一位伟人为人类而生，你们应当感到庆幸。”
第八章
伯努利兄弟与调和级数
（1689年）
第八章
伯努利兄弟与调和级数
（1689年）
在剑桥大学孤独的艾萨克·牛顿改变数学面貌的同时，欧洲大陆的其
他数学家们也并非无所用心。17世纪后半叶，在笛卡儿、帕斯卡和费马的
影响下，欧洲的数学蓬勃发展，其中最伟大的数学家就是戈特弗里德·威
廉·莱布尼兹（1646—1716年）。
人们常常称莱布尼兹为全才，他精通多种学科，并在每个学科中都有
所建树。他的父亲是一位伦理学教授。莱布尼兹堪称神童，很小的时候就
可以到他父亲庋藏丰富的书房中去读书。利用这一机会，小莱布尼兹幼年
时便自学了拉丁文和希腊文。他如饥似渴地读书，15岁就进入了莱比锡大
学。他的学业进展神速，不足
20岁时就在阿尔特多夫大学完成了他的博士
论文。
虽然莱布尼兹的学术生涯很有前途，但他却离开了大学，去为美因茨
的选帝侯工作。当时的德国划分为许多小的邦国，选帝侯是这些小邦国中
的当权者。莱布尼兹在工作中审查了一些非常复杂的法律问题，包括神圣
罗马帝国的重大改革。在业余时间里，他设计了一台计算机。这台计算机
的乘法运算是通过快速地重复相加进行的，同样，其除法运算是通过快速
重复相减进行的。虽然莱布尼兹努力宣传其计算机的高效率，但当时的技
术条件限制了这种计算机的推广使用，这使莱布尼兹不免困恼。尽管如此，
他的理论却是可靠的，而最终也是可行的。
1672年，莱布尼兹作为高级外交使节被从德国派往巴黎。法国首都的
文化生活令他深深地陶醉，在他附带出访伦敦和荷兰时，这位年轻的天才
又有幸结识了一些著名的学者，如胡克、博伊尔、列文虎克和哲学家斯宾
诺莎。莱布尼兹发现自己处于一种活跃的学术环境之中。然而在
1672年，
甚至他也只得承认他的数学教育只限于阅读了一些古典名著。具有强烈好
奇心和很高天资的莱布尼兹感到自己需要一个“速成班”，以把握当代的
数学趋势和方向。
幸运的是，他在巴黎遇上了绝好的机会。有一位荷兰科学家名叫克里
斯蒂安·惠更斯（1629—1695年），他享受太阳王路易十四的津贴，一直
住在巴黎。惠更斯的研究成果给人印象至深。在理论方面，他对数学曲线，
特别是对“旋轮线”作了广泛的研究。所谓旋轮线，就是一个圆沿一定直
线滚动时圆周上的一个定点所产生的轨迹曲线（见图
8.1）。他的发现在
他设计钟摆时起了很大作用，钟摆的工作原理与旋轮曲线密切相关。
这一发明表明，惠更斯不仅仅关注纯数学。实际上，他的声誉或许主
要建立在物理学和天文学方面，他研究了运动定律和离心力，并提出了高
明的光波理论。而且，惠更斯还借助望远镜第一个解释了土星周围古怪的
附属物实际上是光环。
既然在巴黎有这样一位科学家，那么，莱布尼兹向惠更斯请教，以提
高自己的数学水平，就毫不奇怪了。如果说惠更斯是莱布尼兹的老师，也
许有些夸大其词，但他在研究当代数学方面，的确给了这位年轻的外交家
许多指导。当然，在历史上，老师也很少能有像戈特弗里德·威廉·莱布
尼兹这样优秀的学生。
许有些夸大其词，但他在研究当代数学方面，的确给了这位年轻的外交家
许多指导。当然，在历史上，老师也很少能有像戈特弗里德·威廉·莱布
尼兹这样优秀的学生。
图
8.2所示。第一个三角形数
是，第二个是，第三个是。总之，第个三角形数等于36k
kk( + 1) 。在
1
2
保龄球运动中，如果将滚道尽头楔形排列的木柱改为
10个一组，那么，就
构成了标准的“三角形数”。三角形数
惠更斯要求莱布尼兹求出的不是三角形数的和，而是三角形数的倒数和。
总之，他要求他年轻的学生求出
S的值，在这里，
111 1 1
S = 1+ +++ ++ ..
3 6 10 15 21
莱布尼兹想了一会儿，就把方程的所有各项全都除以
2，得
1 11111
S =+++ ++ ..
2 26122030
在这个方程式中，莱布尼兹发现了一个突出的特点，也就是说，他可以
用等价式1 -
1
替换方程右边的第一项
1
，然后依次用
1
-
1
替换
1
，用
1
2 2 2363
-1 替换1 ，等等。这样，就将上述方程变为
4 12
1 . 1.. 11.. 11.. 11.
S =
è.
1 -
.÷
+
è. -
.÷
+
è. -
.÷
+
è. -
.÷
+ ..
2 2233445
然后，莱布尼兹去掉括号，并约消化简，得
1 1111111
S = 1 -+ -+-+ -+ ..
=1
2 2233445
如果说，S的一半等于
1，那么，S本身（即三角形数的倒数和）就显
然等于
2。总之，莱布尼兹非常巧妙地解决了惠更斯的挑战，并发现
111 1 1
1 ++++ ++ ..
=2
3 6101521
虽然现代数学家对莱布尼兹解无穷级数的方法持有一定的保留意见，
但谁也不能否认他的方法的基本独创性。
这仅仅是莱布尼兹对数学超凡洞察力的开始。不久，他又以其巨大的
才智，研究牛顿在
10年前论述的关于切线与面积的同一问题。1676年，
莱布尼兹离开了巴黎，这时，他已经发现了微积分的基本原理。在巴黎生
活的四年，使他从一个数学上初出茅庐的新手成长为一个数学巨人。
这四年虽然奠定了莱布尼兹永久名望的基础，但同时也奠定了一场持
久争论的基础。我们回想一下，艾萨克·牛顿的流数理论只有几个英国数
学家知道，只有他们几个人见到过牛顿论流数法的手稿。1673年，莱布尼
兹在访问伦敦期间，被接受为英国皇家学会的外籍会员。在此，他见到了
牛顿的一些文献，并留下了很深的印象。后来，莱布尼兹通过皇家学会的
秘书亨利·奥尔登伯格转交给牛顿一封信，他在信中进一步询问了牛顿的
发现。伟大的英国科学家牛顿则以一种含混的方式作了答复。牛顿
1676
年这两封著名的复信，我们今天称之为“前书”和“后书”。莱布尼兹认
真地阅读了这两封信。
年这两封著名的复信，我们今天称之为“前书”和“后书”。莱布尼兹认
真地阅读了这两封信。
在
1684年的学术杂志《博学者学报》上，而
莱布尼兹恰恰是这本杂志的编辑。
因此，世界是通过莱布尼兹，而不是通过牛顿得知微积分的。实际上，
微积分的名称就取自莱布尼兹一篇论文的题目。但是，袒护其同胞的英国
人则转弯抹角地说，莱布尼兹剽窃了牛顿的全部发明。莱布尼兹访问过英
国，他熟知牛顿手稿私下流传的情况，而且，他还与牛顿通过信——所有
这一切都使英国人相信，是恶棍莱布尼兹窃取了牛顿的荣誉。
随后的争执构成了数学史上不光彩的一页。起初，两位主角都企图置
身事外，而让他们的支持者去为自己作战。但是，最后双方都卷了进去，
当然，这种争吵最后总是没有好结果的。莱布尼兹坦率地承认，他通过通
信和阅读牛顿的手稿接触过牛顿的思想，但是这些只给了他某些提示，而
不是明确的方法；这些新的计算方法是莱布尼兹自己发现的。
与此同时，英国人变得越来越愤怒。而且，（从英国人的观点来看）
更糟糕的是，莱布尼兹的微积分很快便被欧洲所接受，并且，他的弟子还
在努力扩大其影响；而孤独的牛顿却仍然拒绝发表任何有关微积分的论
文。我们回想一下，牛顿早在
1666年
10月就写出了他第一篇论流数法的
论文，比莱布尼兹发表的论文早了将近
20年；但是，直到
1704年，牛顿
才在其《光学》的附录中专门论述了他的有关方法。1673年，在莱布尼兹
访问伦敦时，牛顿的一部更详尽论述流数法的著作《分析》还在英国数学
界中非正式流传，直至
1711年才正式付印出版。牛顿为提供一部“供学人
使用的完整提要”，认真撰写了一部专著，全面阐述了其已经成熟的思想，
但这部著作直到
1736年才问世，而这时艾萨克爵士已经逝世整整
9年了！
实际上，牛顿发表他数学论文的速度太慢了，以致莱布尼兹的一些狂热的
支持者可以宣称是牛顿剽窃了莱布尼兹已出版的著作，而不是相反。
显然，情况混乱不堪。鲁珀特·霍尔在其《争斗中的哲学家》一书中
对英吉利海峡两岸纷纷扬扬的指责与反驳作了详尽而生动的描述。今天，
飘荡了近三百年的迷雾终于散去，人们公认，牛顿和莱布尼兹两人实际上
各自独立地发展了同一种思想体系。在科学发展中，两人或几人同时发现
某一重要概念的现象并不罕见，如我们在第二章中曾介绍过的非欧几何的
产生即是如此。自牛顿/莱布尼兹争论
150年后，生物界又出现了英国科学
家艾尔弗雷德·拉塞尔·华莱士与查尔斯·达尔文同时创立自然选择理论
的问题。在这一事例中，达尔文《物种起源》产生了巨大影响，而华莱士
的著作却默默无闻，这可能就是达尔文流芳百世的原因。并且，进化论的
两位发现者都是英国人，因而排除了牛顿/莱布尼兹论争中存在的民族情
绪。
莱布尼兹一旦从有关微积分发明权的争论中脱出身来，便致力于多种
学科的研究。他在不伦瑞克公爵处谋得一个职位，着手追溯公爵的古老家
世。他成为梵语和中国文化的专家。并且，他还继续进行哲学研究，哲学
一直是他最热衷的学科。莱布尼兹根据“人类思维字母化”的设想，运用
一种谨慎规定的“有理微积分”，寻求发展一种完善的形式逻辑体系。莱
布尼兹希望人类能够应用这一逻辑工具，摆脱充斥日常生活中的不准确和
无理性。当然，这一切只能称为伟大规划，从未能够实现，但他在这一方
面的努力却是朝着我们今日所谓“符号逻辑”的方向迈出的第一步。特别
是，他应用代数公式替代逻辑叙述的方法是从古希腊文字推理的逻辑理论
向前发展了一大步。
一直是他最热衷的学科。莱布尼兹根据“人类思维字母化”的设想，运用
一种谨慎规定的“有理微积分”，寻求发展一种完善的形式逻辑体系。莱
布尼兹希望人类能够应用这一逻辑工具，摆脱充斥日常生活中的不准确和
无理性。当然，这一切只能称为伟大规划，从未能够实现，但他在这一方
面的努力却是朝着我们今日所谓“符号逻辑”的方向迈出的第一步。特别
是，他应用代数公式替代逻辑叙述的方法是从古希腊文字推理的逻辑理论
向前发展了一大步。
1700年，莱布尼兹成为创建柏林科学院的主要推动者。这一学者、作
家和音乐家云集的机构意在为柏林吸引欧洲最伟大的思想家，使柏林跻身
于思想中心之列。莱布尼兹荣幸地担任了科学院的院长，直至逝世。
尽管柏林科学院的工作十分繁忙，但莱布尼兹并未因此而放弃研究。
他继续钻研逻辑和哲学，并同时倡导世界宗教和政治体制的改革，希望能
够因此给人类带来真正的和平与和谐。有趣的是，他最后几年的保护人是
汉诺威的一名贵族，1714年英国女王安妮逝世后，这位贵族竟然一跃成为
英国国王乔治一世。莱布尼兹非常希望能够跟随乔治国王去英国，并担任
宫廷史学家，但乔治从未给他这种机会。如果微积分之战的两位主角——
牛顿和莱布尼兹——同时都住在伦敦，事情一定会很精彩，但遗憾的是，
情况并未如此。
莱布尼兹死于
1716年。当时，他的许多朋友和汉诺威宫廷的同僚都去
了英国；他自己的地位也已衰落；据说，只有一位忠实的仆人参加了这个
伟人的葬礼。这与牛顿在英国的巨大威望形成了鲜明的对照。如我们在前
一章所述，牛顿的崇高名望使他得以安葬在威斯敏斯特教堂。牛顿的崇高
声望无疑是当之无愧的，但莱布尼兹也应享有同样的荣誉。
比较一下这两位微积分的伟大发明者，就可以看到一个突出的事实。
在一定意义上说，牛顿把他的流数法带入了坟墓。孤独、厌世的艾萨克爵
士直到他最后的时日都始终未能有一群聪敏的弟子环伺左右，渴望学习、
完善、并传播他的著作。相形之下，莱布尼兹的幸运之处就在于，他有两
个最热心的弟子，即瑞士的雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟，他们成
为在欧洲传播和推广微积分的主要人物。他们的努力，也许和莱布尼兹自
己的努力一样，令微积分呈现了保留至今的韵味与面貌。
伯努利兄弟
雅各布·伯努利（1654—1705年）在两兄弟中居长，是一位天才的数
学家，他对微积分、无穷级数的求和，也许最重要的，是对概率论的形成
作出了重要的贡献。我们已知道，概率这一数学分支是如何在
16世纪经卡
尔达诺首先提出的，又是如何在
17世纪中叶经费马和帕斯卡的共同努力而
发展的。1713年，雅各布死后出版的巨著《猜度术》为概率论的发展建立
了又一个里程碑。这部巨著不但巩固了前人的发现，而且还把概率论研究
提到了新的高度。这部巨著是雅各布·伯努利的名作。
同时，弟弟约翰（1667—1748年）在数学上也自成一家。约翰·伯努
利以其坦诚的热情，承担起在欧洲传播莱布尼兹微积分的重任。约翰经常
与他的德国老师通信，在与牛顿派英国人的论争中随时准备捍卫莱布尼兹
的名望。我们可以回想一下，19世纪中叶，托马斯·赫胥黎面对宗教界的
攻击，勇敢地保卫了伟大的博物学家达尔文的学说，并由此赢得了“达尔
文的斗牛犬”的称号，我们也可以出于同样的理由称约翰·伯努利为“莱
布尼兹的斗牛犬”。像赫胥黎一样，约翰有时也以一种近于惊人的执着支
持莱布尼兹；同样，他与赫胥黎一样，最终也完成了他的这一使命。
与他的德国老师通信，在与牛顿派英国人的论争中随时准备捍卫莱布尼兹
的名望。我们可以回想一下，19世纪中叶，托马斯·赫胥黎面对宗教界的
攻击，勇敢地保卫了伟大的博物学家达尔文的学说，并由此赢得了“达尔
文的斗牛犬”的称号，我们也可以出于同样的理由称约翰·伯努利为“莱
布尼兹的斗牛犬”。像赫胥黎一样，约翰有时也以一种近于惊人的执着支
持莱布尼兹；同样，他与赫胥黎一样，最终也完成了他的这一使命。
纵观历史，可以看到许多杰出的兄弟组合。从特洛伊战争中的阿伽门
农和墨涅拉俄斯到航空先驱威尔伯·莱特和奥维尔·莱特兄弟，历史上有
许多兄弟为实现崇高目标而并肩努力。雅各布与约翰写出了数学史中最重
要的兄弟成功的故事，但我们也必须看到，他们两人的关系并不和谐。恰
恰相反，在数学中，他们两人中每一个人都是另一个人的强劲竞争对手，
两人为了胜出对方一筹而斗力，甚至到了可笑的地步。
例如，有关悬链曲线的问题。所谓悬链曲线，就是一根链条，两端固
定，依其本身重量下垂的曲线。1690年，久负盛名的哥哥雅各布在一篇论
文中提出了确定悬链曲线性质（即方程式）的问题。实际上，这一问题已
存在多年，伽利略就曾推测过悬链曲线是一条抛物线，但问题依然悬而未
决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一难题。
但遗憾的是，他的努力没有取得结果。一年后，雅各布恼恨地看到他
的弟弟约翰发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却很难算是
一个谦和的胜利者，他后来回忆说：
“我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了解开这道
难题的全部方法（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）..为
研究这道题，我整整一晚没有休息..第二天早晨，我兴冲冲地去见哥哥，
他还在苦思这道难题，但一无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链曲线
是一条抛物线。行了！行了！我对他说，不要再折磨自己，去证明悬链曲
线是抛物线了，因为这是完全错误的。”
有趣的是，约翰成功地解出这道难题所需要的时间：“整整一晚”，
而雅各布却花费了整整一年的时间，这实在算得上是一种“奇耻大辱”。
我们将在本章讨论一个由伯努利兄弟两人共同创立的伟大定理（也许
是在少有的休战期间创立的）。这个定理所涉及的是关于调和级数的性质
问题，所谓“调和级数”，是一种具有特殊性质的无穷级数。虽然我们已
见到过莱布尼兹所研究的一种特殊级数，但我们还是应首先对无穷级数问
题作一番概述。
17世纪时，无穷级数仅仅被看作是无穷项的和。当然，不能保证这种
级数一定会有一个有限和；例如，像
1+2+3+4+5+..这样的级数，如果我
们继续进行下去，其和显然会不断增大，并超过任何有限量。我们说，这
种级数为“发散无穷级数”。
另一方面，也存在一种无穷多项的级数，其和为有限数。这种现象，
初步看来，似乎自相矛盾，但仔细想一想，就会发现非常合理。例如，在
另一方面，也存在一种无穷多项的级数，其和为有限数。这种现象，
初步看来，似乎自相矛盾，但仔细想一想，就会发现非常合理。例如，在
13
= 0.3333333..时，我们准确的意
思是..
1333 3
=+++ + ..
3 10 100 1000 10000
我们前面所介绍的莱布尼兹级数就显示了同样的性质，级数的无穷多项的
和等于一个（有限的）数.. 2。我们说，这种级数为“收敛级数”，也就是
说，不太正规地讲，当我们增加更多的项时，它的和越来越接近某一特定
