■对顶角相等。
■三角形的内角和等于两个直角之和。
■等腰三角形的两个底角相等。
■半圆上的圆周角是直角。
虽然我们没有任何有关泰勒斯对上述命题证明的历史记载，但我们可
以推断它们的本来面目，例如上述的最后一个命题。下列证明方法选自欧
几里得的《原本》第三篇第31命题，但它简单明了，完全可以看作是泰勒
斯自己最初的证明。
定理半圆上的圆周角是直角。
证明以.. O为圆心，以.. BC为直径作半圆，选半圆上任意一点.. A作圆
周角.. BAC（图.. 1.4）。我们必须证明∠BAC是直角。连接.. OA，形成△AOB。
由于.. OB和.. OA都是半圆的半径，长度相等，所以△AOB是等腰三角形。因
此，根据泰勒斯先前所证明的定理，∠ABO与∠BAO相等（或用现代术语，
迭合）；我们称这两个角为α。同样，在△AOC中，OA与 OC相等，因此，
∠OAC=∠OCA；我们称这两个角为β。而在大三角形.. BAC中，我们看到，
2个直角=∠ABC+∠ACB+∠BAC
=α+β+（α+β）
=2α+2β=2（α+β）
因此，一个直角=
1 〔个直角〕=
12 + β）〕
= α
+ β
= ∠BAC。
22
2
〔（α
这正是我们要证明的。证讫。①
泰勒斯之后，希腊又一位伟大数学家是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯公元
前约.. 572年出生于萨摩斯，并在爱琴群岛东部生活和工作，甚至，据说，
他还曾师从泰勒斯。但当暴君波利克拉特斯僭取这个地区的政权之后，毕
达哥拉斯逃到了现今意大利南部的希腊城镇克洛托内。他在那里创办了一
个学术团体，今称为毕达哥拉斯兄弟会。毕达哥拉斯哲学认为，“整数”
是宇宙的要素，万物的元质。不论是音乐、天文学，还是哲学，“数”的
中心地位是随处可见的。关于物理可以“数学化”地理解的现代观点在很
大程度上也源自于毕达哥拉斯学派的观点。
在严格意义的数学领域，毕达哥拉斯学派为我们提供了两个伟大发
现。一个当然是无与伦比的毕达哥拉斯定理。像所有远古时代的其他定理
一样，我们没有关于毕达哥拉斯原论证的历史资料，但古人却一致将这一..
①习惯上，在证明完毕后，要写明“证讫”，其原为拉丁文
Quod erat demonstrandum（Q．E．D．），提
醒读者注意，论证完毕，我们可以转向新的方向了。
定理的发现归于毕达哥拉斯的名下。据说，毕达哥拉斯曾向上帝献祭一头
牛，以庆祝他的论证带给各方的喜悦（大概这头牛除外）。
定理的发现归于毕达哥拉斯的名下。据说，毕达哥拉斯曾向上帝献祭一头
牛，以庆祝他的论证带给各方的喜悦（大概这头牛除外）。
两条线段，AB和
CD，如果有一条可均匀分割
AB和
CD的小线段
EF，
我们就说线段
AB和
CD是可公度的。也就是，对于整数
p和
q来说，AB是
由
p段相等于
EF的线段组成；而
CD是由
q段同样的线段组成（见图
1.5）。
因而，AB = p EF( ) = p （我们在这里使用了符号AB，表示线段AB的长度）。
CD qEF() q
由于p 是两个正整数的比，我们说，可公度线段的长度比是“有理”数。
q
凭着直觉，毕达哥拉斯学派认为，任何两个量都是可公度的。给定两
个线段，必有另一条线段
EF，可以均匀地分割这两个线段，即使取非常小
的
EF，也是如此。怀疑
EF的存在，似乎是十分荒谬的。线段的可公度性
对毕达哥拉斯学派至关重要，这不仅因为他们利用这一观点证明相似三角
形，而且还因为这一观点似乎可以支持他们关于整数中心作用的哲学态
度。
但是，据说，毕达哥拉斯的弟子希帕萨斯发现正方形的边长与其对角
线（见图
1.6中的
GH与
GI）却不可公度。因为不论划分多小，都没有一
个
EF量可以均匀地分割正方形的边长和对角线。
这一发现产生了许多深远的结果。显然，这个发现粉碎了毕达哥拉斯
那些建立在所有线段都可公度的假设基础之上的证明。几乎
200年之后，
数学家欧多克索斯才设法在不基于可公度概念的基础上，修补了相似三角
形理论。其次，这一发现还动摇了整数至高无上的地位，因为如果并非一
切量都可公度，那么，整数对于表示所有线段长度的比就显得不充分了。
因此，这一发现在其后的希腊数学中，建立了几何对算术的绝对优势。例
如，如图
1.6所示，正方形的边长和对角线无疑属于几何问题。如果作为
数字问题来计算，则会出现严重的问题。因为，如果我们设上图正方形的
边长为，根据毕达哥拉斯勾股定理，则对角线长度为
1
2；由于边长与对
角线不可公度，因而我们看到，2不能写成p 形式的有理数。就数字而
q
言
2是“无理的”，其算术性质非常神秘。希腊人认为，最好回避完全
的数(,) 字处理，而全神贯注于通过简明的几何体来表达量。这种几何对算术
的优势将支配希腊数学一千年。
无理数的发现所带来的最终结果是，毕达哥拉斯的信徒们对希帕萨斯
引起的所有混乱大为恼怒，据说他们把希帕萨斯带到地中海深处，然后掀
下水中。如果故事属实，则自由思想的危险性，由此可见，即使是在比较
严肃的数学领域，也不例外。
泰勒斯和毕达哥拉斯，虽然在传奇和传统中神乎其神，但他们都是远
古时代模糊而朦胧的人物。我们下面将介绍的希俄斯的希波克拉底（约公
元前
440年）则是一位比较确实的人物。事实上，我们把有据可查的最早
的数学论证归于他的名下。这将是我们所要介绍的第一个伟大定理的主
题。
的数学论证归于他的名下。这将是我们所要介绍的第一个伟大定理的主
题。
前
5世纪生于希俄斯岛。当然，这是产生上述他的杰
出前辈的同一个地方。（顺便提请读者注意，希俄斯岛距科斯岛不远，当
时那里出生了另一位“希波克拉底”；科斯的希波克拉底（不是我们所说
的希波克拉底）乃希腊的医学之父和医生遵循的《希波克拉底誓言》的创
始人。）
关于数学家希波克拉底，我们对他的生平知之甚少。亚里士多德曾写
过，希波克拉底虽然是一位天才的几何学家，但他“..看起来在其他方
面却显得迟钝又缺乏见识”。身为数学家，却难以应付日常生活，他即是
早期的这样一类人。传说，希波克拉底是在被强盗骗去钱财后出名的，显
然，他被人当作了容易受骗的傻瓜。为了挽回损失，他前往雅典，并在那
里教学，他是少数几位为挣钱而开始教学生涯的人之一。
无论如何，我们都不会忘记希波克拉底对几何学作出的两个非凡的贡
献。其一是他编写了第一部《原本》，第一次阐述了从几个已知公理或公
设中精确而有逻辑性地推导出几何定理的过程。至少，人们相信是他写了
这部著作，但遗憾的是，这部书没有能够流传至今。然而，这部书不论多
么有价值，与
100年后欧几里得的煌煌巨作《原本》相比，也不免黯然失
色。欧几里得的《原本》从根本上宣判了希波克拉底著作的过时。即使如
此，我们仍有理由认为，欧几里得借鉴了他前辈的思想，因此希波克拉底
失传的大作无疑使我们受益良多。
然而，令人欣慰的是，希波克拉底的另一个伟大贡献——求新月形面
积——却流传至今，虽然大家公认，其流传是无意的和间接的。我们未能
得到希波克拉底的原作，而只传有欧德摩斯公元前约
335年对希波克拉底
著作的转述；即使就转述而言，事情也不乏含混之处，因为实际上，我们
也没有真正找到欧德摩斯的原著。相反，我们只看到了辛普利西乌斯于公
元
530年写的概要，他在这本书中论述了欧德摩斯的著作，而欧德摩斯则
概括了希波克拉底的著作。实际上，从希波克拉底到辛普利修斯，其间经
历了近一千年之久，差不多等于我们与莱弗·埃里克松之间的时间跨度，
这说明历史学家在考证古代数学时遇到了多么大的困难。尽管如此，我们
没有理由怀疑我们所探讨的著作基本上是可靠的。
有关求面积问题的一些评论
在探讨希波克拉底的新月形面积之前，我们先要介绍一下“求面积”
的概念。显然，古希腊人被几何的对称性，视觉美和微妙的逻辑结构吸引
住了。尤其令人感兴趣的是以简单和初步的东西作为复杂和纷繁问题基础
的方式。这一点在下章我们探讨欧几里得定理时，就会显得十分明了。欧
几里得从一些基本的公理和公设开始，一步步地推导出一些非常复杂的几
何命题。
这种以简单构筑复杂的魅力还表现在希腊人的几何作图上。他们作图
的规则是，所有作图都只能使用圆规和（没有刻度的）直尺。几何学家利
用这两种非常简单的工具，便能够作出完美、一致的一维图形（直线）和
完美、一致的二维图形（圆）——这必定出自于希腊人对秩序、简明性和
美的感受。并且，这种作图方法也是当时的技术水平所力所能及的，例如，
当时还不可能画出抛物线。也许，准确地说，是直线和圆的审美魅力加强
了直尺和圆规作为几何作图工具的中心地位，同时，直尺和圆规的物质可
用性又转过来增进了直线和圆在希腊几何中的作用。
美的感受。并且，这种作图方法也是当时的技术水平所力所能及的，例如，
当时还不可能画出抛物线。也许，准确地说，是直线和圆的审美魅力加强
了直尺和圆规作为几何作图工具的中心地位，同时，直尺和圆规的物质可
用性又转过来增进了直线和圆在希腊几何中的作用。
□
一个平面图形的求面积（或化其为方）就是只用圆规和直尺作出
面积等于原平面图形的正方形。如果一个平面图形的求面积能够
实现，我们就说这个图形是可用等价平方表示的（或可为平方
的）。
求面积问题能够引起希腊人的兴趣并不奇怪。从纯粹实践的观点看，
确定一个不规则图形的面积当然不是一件易事。但如果这个不规则图形能
够用一个等面积的正方形替换，那么，确定原不规则图形面积的问题就变
成了确定正方形面积的简单问题。
毫无疑问，希腊人对求面积问题的强烈爱好已超出了实践范围。因为
如果求方能够实现，就用规则的对称性正方形替换了不规则不对称的平面
图形。对于那些寻求以理性和秩序支配自然世界的人来说，这在很大程度
上是一个由不对称到对称，变缺陷为完美，以有理性取代无理性的过程。
在这种意义上，求面积问题就不仅是人类理性的象征，而且也是宇宙本身
所固有的和谐和美的象征。
对于希腊数学家来说，探讨求面积问题是一个特别具有吸引力的课
题，为此，他们作出了许多巧妙的几何图形。解数学问题，答案常常是一
步一步推导出来的，求面积也是如此。第一步先要求出一个大体“规则”
的图形的面积，然后再以此为基础，继续推导出更不规则，更稀奇古怪图
形的面积。在这一过程中，关键性的第一步是要求出长方形面积。长方形
面积的解法在欧几里得《原本》第二篇的命题.. 14中就有所阐述，但我们确
信，在欧几里得之前，人们便已熟知这种解法。下面，我们先从长方形面
积的解法讲起。
第.. 1步求长方形面积（图.. 1.7）
作任意长方形.. BCDE。必须只用圆规和直尺作出与.. BCDE面积相等的正
方形。用直尺将线段.. BE向右延长，再用圆规在延长线上截取长度等于.. ED
的线段EF——即，EF = ED。然后，等分BF于G（用圆规和直尺的一种简
单作图），再如图所示，以为圆心，以BG 为半径作半圆。最后，
G
= FG
过.. E点作线段.. EH垂直于.. BF，这里，H是垂线与半圆的交点，据此，作出正
方形.. EKLH。
据此可以说，我们刚刚作出的图形——边长为
EH的正方形（图中阴
影部分）与原长方形.. BCDE面积相等。
但要证明这一结论，还需要花点儿力气。为计算方便，我们设.. a、b、
c分别等于线段.. HG、EG和.. EH。由于所作△GEH是直角三角形，根据勾股
定理，a2 =b 2+c 2 ，或等价移项，a2-b2 =c 2 。显然，FG = BG= HG=a ，
因为所有这些线段都是半圆的半径。因此，EF= FG-EG = a -b ，而BE =
BG +GE = a + b 。所以
面积（长方形BCDE）= （底）×（高）
= (BE)×(ED)
= (BE×EF)，因我们作图EF = ED
=(a+b)(a-b)，据以上推理..
=a2-b2
=c2=面积（正方形 EKLH）
这样，我们就证明了原长方形面积等于我们用圆规和直尺所作正方形
（图中阴影部分）的面积，并以此完成了长方形的求方。
求出长方形面积后，我们很快便可进入下一步，求更加不规则图形的
面积。
第.. 2步求三角形面积（图.. 1.8）
已知△BCD，经D 的垂线，与E DE为三
点作BC BC相交于。当然，我们称
角形的“顶垂线”或“高”。已知三角形面积等于
21
（底）×（高）
=
21
(BC)
×(DE) 。如果我们平分DEF GH = BC HJ = 。我们知道，
于，并作长方形，使, EF
长方形的面积等于(HJ)×(GH) = (EF)×(BC) = 1 =(DE)×(BC) = 面积（△B
2
CD）。然后，我们按照第一步的步骤，作正方形，并使之面积等于该长方形
的面积，因而，该正方形的面积也等于△BCD的面积。至此，三角形的求
方完成。
下面，我们将讨论一个非常一般的图形。
第.. 3步求多边形面积（图.. 1.9）
我们首先讨论一个非常一般的多边形，如图所示。我们通过作对角线，
将这个多边形划分为三个三角形，即.. B、C和.. D。因此，整个多边形的面积
就等于.. B+C+D。
在第.. 2步中，我们已知道三角形是可用等价平方表示的，因此，我们
可以分别以边长.. b、c和.. d作正方形，并得到面积.. B、C和.. D（图 1．10）。
然后，以 b和.. c为直角边，作直角三角形，其斜边长为.. x，即.. x 2=b2+c2。
我们再以.. x和.. d为直角边，作直角三角形，其斜边为.. y，因而，y 2=x2+d2。
最后，我们便可以以.. y为边长作正方形（见图.. 1.11阴影部分）。
最后，我们便可以以.. y为边长作正方形（见图.. 1.11阴影部分）。
2=x2+d2=（b 2+c2）+d 2=B+C+D
因此，原多边形的面积就等于以.. y为边长的正方形的面积。
显然，这一推导过程适用于任何可作对角线将其划分为四个、五个或
任何数量三角形的多边形。不论什么样的多边形（见图.. 1．12），我们都
可以将其划分为若干三角形，并依照第.. 2步的方法，作每个三角形的等面
积正方形，然后，根据勾股定理，利用每一个正方形，作出大正方形，其
面积即等于原多边形的面积。总而言之，多边形是可用等价平方表示的。
利用类似方法，如果一个图形的面积为两个可用等价平方表示的面积
之差（而不是其和），我们可将其化为正方形。假设已知面积.. E等于面积
F与.. G之差，并且，我们已作出边长为.. f和.. g的正方形，如图1．13所示。
然后，我们可作直角三角形，使其斜边等于.. f，直角边等于.. g和.. e。最后，
以边长.. e作正方形。即
面积（正方形）=e 2=f2=g2=F-G=E
因此，面积.. E也同样可用等价平方表示。
希波克拉底时代的希腊人利用上述方法可以将杂乱无章的不规则多边
形变为等面积正方形。但是，这一成就却因一个明显的事实而减色不少，
即这些图形都是直线图形——它们的边虽然数量众多，并构成各种奇形怪
状的角度，但都只是直线。而更严重的挑战是，曲边图形（即所谓曲线图
形）是否也可以用等价平方表示。起初，人们认为，这似乎是根本不可能
的，因为显然没有办法用圆规和直尺将曲线拉直。因此，当希俄斯的希波
克拉底于公元前.. 5世纪成功地将一种称为“新月形”的曲线图形化为正方
形时，世人惊得目瞪口呆。
伟大的定理：求新月形面积
新月形是一种边缘为两个圆弧的平面图形——即月牙形。希波克拉底
并没有作出所有新月形的等面积正方形，而只求出了一种他所精心构造的
特定新月形的面积。（犹如“后记”中所述，这种区别似乎造成了后人对
希腊几何的误解。）希波克拉底的论证是建立在三个初步公理之上的：
■勾股定理
■半圆上的圆周角是直角
■两个圆形或半圆形面积之比等于其直径的平方比。
面积（半圆）
= d2
1
面积（半圆）
D2
2
前两个公理在希波克拉底之前很久便已为人所知。而最后一个命题却
十分复杂。两个圆形或半圆形面积之比是基于以其直径为边长所作的两个
正方形面积之比的（见图.. 1.14）。例如，如果一个半圆的直径是另一个半
圆的.. 5倍，则第一个半圆的面积是第二个半圆面积的.. 25倍。然而，这一命
题却给数学史家提出了一个问题，因为人们普遍怀疑希波克拉底是否确曾
对此作出过正确的证明。他尽可认为他能够证明这一命题，但现代学者普
遍认为，这一定理（后来被列入欧几里得《原本》第七篇的第二命题）所
提出的逻辑难题远不是希波克拉底所能够解决的。（这一定理的求导过程
见第四章。）
提出的逻辑难题远不是希波克拉底所能够解决的。（这一定理的求导过程
见第四章。）
以O为圆心，以AO = OB1 所示。作OC
