÷
3
= 1 ，.è
.
1..
÷
2 =
.
.
1 .
÷
5
=1 ，等等
4 è
4 . 84 è
4 . 32
所以，我们只要应用（**）方程式中的前
9项级数，就可以计算出阴影部
分（ABD）面积的近似值，得
1111 5
----..
12 160 3584 36864 1441792
429
-= 007677310678
.
163208757248
2.用几何方法求面积（ABD）牛顿接着用纯几何方法验算阴影部
分的面积。他首先求直角三角形△DBC的面积。我们知道，BC的长度为
1 ，而CD是半径，其长度r=
1 。我们可以直接应用勾股定理，得出
42
. 1. 2 . 1. 2
33
BD =
è.
.÷ è.
.÷
-=
=
24
16 4
所以，
面积（DDBC）=
1
（BC ）×（BD ）
=
1
è.
. 1
.÷.
.
. 3
÷
.
=
3
2 24 è 4 . 32
到目前为止，一切顺利。下一步，牛顿要求出楔形或扇形部分
ACD的面积。为此，他再次利用△DBC。由于
BC的长度恰好是斜
边
CD的一半，他认为，这就是我们所熟悉的
30°-60°-90°直角三
角形；特别是，∠BCD是
60°角。
至此，我们再一次为他深邃的见识所折服，因为如果他在
B点以外的
其它地方作垂线，那么，在他最需要的时候，就不会恰好形成
60°角。现
在，已知扇形的角度为
60°，也就是说，等于构成半圆的
180°角的三分
之一，牛顿就可以断定，扇形的面积也等于半圆面积的三分之一。即
面积（扇形）=
1 面积（半圆）
3
1 . 12 . 1 é 1 . 1. 2 ùp
=pr= êp ú=
è. .÷ è.
.÷
32 3 ê 22 ú 24
..
机敏的读者会想起，这一伟大定理是牛顿的π近似值，他们会很着急，
不知道这个常数何时和怎样才能进入他的论证。终于，π在牛顿的推理链
中出现了，现在只剩下最后一两步，就可以巧妙地计算出他的π近似值。
因此，用几何方法求出的阴影部分的面积为
3
面积(ABD) = 面积（扇形）-面积（DDBC）
=
p
24 32
我们将牛顿用流数/二项式定理方法所计算出的同一阴影部分面积的
近似值与上述结果列为方程，就得到
3
≈
p
0 07677310678
.
24 32
解π，就得到π的近似值：
3.
p≈24 0 7677310678 + ÷=.
. .
314159268 ..
è 32 .
牛顿π近似值的惊人之处在于他只用了二项展开式中的前
9项，就使
其π值精确到
7位小数，而且，我们发现，牛顿的π近似值与π的真值相
差不足
0.000000014。牛顿的π近似值比我们在第四章中所讲到过的韦达
或卢道尔夫的惊人的计算又前进了一大步。实际上，应用这一方法，唯一
真正的困难在于精确地计算
3的近似值。但是，我们前面已经讲到，用
牛顿的二项式定理就可以很容易地计算出平方根的值。总之，这一结果清
楚地表明了他的数学新发现在解决这一古老问题时的显著效能和巨大成
功。
牛顿的π近似值直接引自他的《流数法和无穷级数》，这篇论文写于
1671年，但几十年没有发表。这篇论文发展了他几年前撰著的《分析学》
一书中的流数思想。在《流数法和无穷级数》一书中，牛顿利用1 -x二
项展开式中的
20项，计算出
16位小数的π值。一次，在讲到这一π近似
值时，他有几分羞愧地承认，“我真不好意思告诉你我计算到了多少位小
数，因为当时我没有其他事情好做。”
尽管牛顿感到羞愧，但那些能够细致入微地欣赏数学美的人却会对当
时没有其他紧迫问题占据他那智慧的大脑而感到由衷的高兴，因为当时正
是“..我创造力的全盛时期，而且对数学和哲学的关心超过其他任何时
候。”
后记
这些就是牛顿在
17世纪
60年代中叶瘟疫期间就读于三一学院时所取
得的成果。此后的六十余年，这个英格兰小乡村的不幸孩子逐渐名扬天下。
本章的结尾部分将介绍他不平凡一生中的其他篇章。
1668年，牛顿完成了他硕士学位的学习，并被选为三一学院的研究
员。这就意味着他只要庄严宣誓，并保持独身，就可以无限期地保留他的
学术职位，并得到额外津贴。不仅如此，第二年，艾萨克·巴罗辞去卢卡
斯讲座数学教授的席位，并力荐牛顿接替他担任教授。据说，巴罗去职是
因为他承认牛顿在数学上更胜于他，因而不能心安理得地占据教授一席。
但实际上，巴罗的去职并非出于高尚动机，他在希腊文和神学方面也是一
位出色的学者，当时正在角逐其他领域的更高职位。巴罗辞去卢卡斯讲座
教授职位后，不久就担任了御前牧师。尽管如此，巴罗在牛顿担任教授一
事中，毕竟起了很大作用。巴罗当然有知人之明，因而，他诚心诚意地推
荐牛顿是“..我们学院的一位研究员，..非常年青..但却是一位非
凡的天才和大师。”
牛顿作为卢卡斯讲座的教授，事情并不多。他既不必教学生，也不必
作指导教师，他除了领取丰厚的薪酬，保持道德上的清高之外，主要工作
就是定期做数学演讲。如果有人以为学生一定会蜂拥而至，聆听这位伟人
的讲座，那么，他们就会感到非常吃惊。不要忘记，牛顿在他那非常狭小
的圈子之外尚无名望，而且，当时剑桥大学的学生也不必勤奋向学。一位
同时代人曾对牛顿的卢卡斯讲座作过如下记载：
“..听他讲座的人很少，而且，能够听懂的人就更少，由于缺少听
众，他几乎常常对着墙壁宣讲。”
他还说，牛顿的讲座一般持续半个小时，除非一个听众也没有，而在
这种情况下，他只在那里呆
15分钟。
如果说牛顿口才不佳，那么，他的科学研究成果却非常丰硕。他很少
交朋友，很少与人来往，在三一学院中成了一个离群索居而有几分奇特的
人物。一位多年的同事回忆说，他只看到牛顿笑过一次。他唯一的那次笑
是由他一位熟人引起的。当时，这位熟人正在读一本欧几里得的书，他问
牛顿这部老朽的旧书有什么价值。对此，牛顿不禁放声大笑。
牛顿的侄子汉弗莱·牛顿对他的教授生活做了最形象的描述，他写道：
“他总是把自己关在屋子里研究，很少去拜访别人，也没有人来拜访
他..我从来没见他有过任何消遣或娱乐，不论是骑马出去呼吸新鲜空
气，散步、打保龄球，还是任何其他运动。他认为所有这些活动都是浪费
时间，不如利用这些时间去作学问..他很少到餐厅用饭..如果没人关
照他，他会变得非常邋遢，鞋子拖在脚上，袜子不系袜带，穿着睡袍，而
且，几乎从来也不梳头。”
然而，随着他未发表的论文，如《分析学》和《流数法和无穷级数》
等等的流传，牛顿的名望与日俱增。1671年，他的第一部大作终于公诸于
世，他在伦敦皇家学会的一次会议上展示了他新发明的反射望远镜。这一
完美的光学仪器，是牛顿的光学理论和他实际动手能力相结合的产物。科
学界高度赞扬他的努力，他的反射望远镜依靠底部反射镜而不是依靠顶部
沉重而不稳定的透镜，直至今日，这种望远镜依然是光学天文学的首选仪
器。
在这一成功发明的激励下，牛顿不久向皇家学会递交了一篇论光学的
论文。但是，这一次，他的激进思想受到了某些著名学者，如罗伯特·胡
克的质疑与嘲笑。论争本是学术界一个很普通的现象，但牛顿却深为厌恶。
一旦面对批评，他就会退回到他个人的小世界中，拒绝发表或与人交流他
的思想，以免再次与那些不开化的同事发生冲突。他的这一决定意味着有
许多辉煌的科学论文将几十年地躺在他的抽屉里，不为世人所知。我们在
下一章将看到，他的这种做法造成了灾难性的后果，几年后，他的发现，
特别是微积分，被别人首先发表，他不得不要求优先权。
在这一成功发明的激励下，牛顿不久向皇家学会递交了一篇论光学的
论文。但是，这一次，他的激进思想受到了某些著名学者，如罗伯特·胡
克的质疑与嘲笑。论争本是学术界一个很普通的现象，但牛顿却深为厌恶。
一旦面对批评，他就会退回到他个人的小世界中，拒绝发表或与人交流他
的思想，以免再次与那些不开化的同事发生冲突。他的这一决定意味着有
许多辉煌的科学论文将几十年地躺在他的抽屉里，不为世人所知。我们在
下一章将看到，他的这种做法造成了灾难性的后果，几年后，他的发现，
特别是微积分，被别人首先发表，他不得不要求优先权。
着
17世纪
70年代的发展，牛顿的兴趣从数学与物理学转移到了其
他方面。他将大量时间用于炼金术的研究，但我们从中可以看到一个现代
化学家的头脑。然而，也有些事情未免迂腐，例如他在研究《圣经》时着
眼于计算各位先知的年代与时期，计算约柜的尺寸大小，等等。他用了大
量时间，如此这般地对《圣经》作了慎密的分析，其结果是他拒绝接受三
位一体之中圣子耶稣的概念。想一想聘用他的三一学院这个名字，事情真
有些古怪。艾萨克的观点过于激进，他不得不保持沉默，至少在他任卢卡
斯讲座教授期间是如此。
这样到了
1684年。后来以其名字命名彗星的著名天文学家埃德蒙·哈
雷拜访了牛顿，并力劝牛顿公布他的惊人发现。犹如往常一样，牛顿仍不
情愿，但哈雷的劝说（更不必说哈雷答应负担出版费用）使牛顿相信该是
发表他的著作的时候了。牛顿狂热起来，开始勤奋地工作，整理他的论文。
这部著作日后成为他的科学代表作，其中阐述了他对运动定律和万有引力
原理的研究。1687年，这部著作终于问世了，题为《自然哲学的数学原理》。
展现在我们面前的，是一个宇宙体系，是对月球和行星运动的精确的数学
推导，它使天地万物的严整性得到了解释，并与牛顿奇妙的方程正相吻合。
自《原理》发表后，科学的面貌为之一变。
《原理》获得了巨大的成功。虽然很少有人能够洞晓书中全部奥妙，
但人们普遍认为牛顿近乎超人。许多年以后，法国数学家皮埃尔—西蒙·拉
普拉斯记载了他对牛顿科学发现的尊崇、敬畏和羡慕之情：
“牛顿是迄今为止最伟大的天才，也是最幸运的人，因为只有一个世
界体系可供我们发现。”
《原理》发表后的第二年是英国历史上重要的一年。1688年底，斯图
亚特王朝的最后一位国王詹姆斯二世被赶下王位，逃往法国，威廉三世和
玛丽二世即位。在随后称为“光荣革命”的政治改革中，国会的影响越来
越大，而君主的权势则日趋衰落。有趣的是，1689年，从剑桥派往威斯敏
斯特的国会议员不是别人，正是卢卡斯讲座教授艾萨克·牛顿。
作为新君王的支持者，牛顿显然未能以其国会议员的身份给英国政府
留下什么印象。尽管如此，他的生活却的确因此而发生了新的转机。如今，
他不再是一个落落寡合，离群索居的学者，却以一种几年前甚至不可想象
的方式登上了社会舞台。伴随《原理》一书的巨大成功，这位剑桥大学的
教授成为伦敦的官员。他似乎很喜欢这种变化，并与许多知名人士交上朋
友，如约翰·洛克和塞缪尔·佩皮斯。但是，1693年，牛顿生了一场大病，
几乎精神崩溃，他生病的原因在一定程度上是因为他在做炼金术实验时常
常品尝化学药品。1695年，牛顿身体康复，第二年，他辞去了卢卡斯讲座
教授的职务，并离开了三一学院。自从牛顿作为一名普通的大学生从乌尔
索普进入了三一学院以来，已经度过了
35个春秋。35年的时光已将这个
年青人变成了任何人都未曾预想到的伟人。
那么，这位前教授后来又做了些什么呢？由于社会公职给牛顿留下了
良好的印象，也许还由于他越来越认识到自己科学发明的顶峰时期已经过
去，牛顿准备尝试一条完全不同的道路。因而，1696年，他接受了造币局
局长的职位。当时，英国的货币是在伦敦塔上铸造的，而那里也是造币局
局长生活和工作的地方。据说，牛顿在造币局干得很不错，他监管了英国
币制的全面改革，并且与伦敦市的金融家和银行家们相处得十分融洽。
牛顿任造币局局长的这些年，还有机会从事科学撰著。1704年，他出
版了《光学》，在这部巨著中，牛顿奠定了他的光学理论，就像《原理》
阐明了他的万有引力定律一样。有趣的是，牛顿是在《光学》的附录中，
第一次发表了他的流数法理论，这篇论文题为《曲线求积术》。虽然牛顿
早在
40年前就已提出了这些思想，但是，直到
1704年，他的这些理论才
公诸于世。遗憾的是，他发表得太晚了。几年前，欧洲大陆的数学家已经
发表了他们自己对微积分研究的论文。牛顿宣称他现在发表的这些理论其
实已经诞生
40年之久，对此，欧洲大陆的一些数学家即使没有公开表示怀
疑，至少反应十分冷漠。
就在《光学》发表前不久，牛顿当选为皇家学会主席。他在这一职位
上同样显示出非凡的管理才能，他的这些才能在他任职造币局局长期间便
已有目共睹。牛顿担任皇家学会主席一职直到逝世。
1705年，卓异的科学家、杰出的数学家、公务员和皇家学会主席艾萨
克·牛顿被安妮女王封为爵士，倍极恩宠。授爵仪式恰当地选在剑桥大学
三一学院举行。牛顿以“艾萨克爵士”的头衔又生活了
22年。
在这最后
22年里，牛顿一直生活在伦敦，他将时间分别用于造币局和
皇家学会的公务、科学撰著和参加首都一些有影响的活动。这些年肯定是
艾萨克爵士春风得意的时期，他的权势和名望（更不要说他的个人财产）
与日俱增。
牛顿一直活到
84岁高龄，于
1727年逝世。其时，艾萨克·牛顿已被
国人视为国宝，他也的确不愧这一崇高的赞誉。牛顿显然是欧洲最优秀的
科学家，他的影响不亚于一次革命。他死后安葬在威斯敏斯特教堂，享受
到与国王和英雄同等的殊荣。今天，牛顿的塑像醒目地矗立在威斯敏斯特
教堂唱诗班大屏饰左面入口处，所有进入这一圣地的人都会一眼看到。
全世界有许多赞颂牛顿的诗篇。例如，英国大诗人亚历山大·蒲柏曾
写道：
宇宙与自然的规律藏匿在夜空，
上帝说“要有牛顿”，于是一切都变得光明。
另一位著名诗人威廉·华兹华斯，性格有些压抑，他描写了诗人在三一学
院度过的一夜：
遥借星月之光，
伏枕远望，
教堂前矗立着牛顿雕像，
看那默然无语，
却棱角分明的脸庞。
这大理石幻化的一代英才，
永远在神秘的思想大海中，
永远在神秘的思想大海中，
对这位孤独的远航家的影响，怎么估计也不过分。我们只需回忆一下
100年前卡尔达诺的世界观，就足以理解牛顿影响的深远意义——卡尔达
诺的世界观是一种将科学与最古怪的迷信混合在一起的大杂烩。那时，世
界在很大程度上被看作一个无理性的地方，一种超自然的力量渗透在世间
一切事物之中，从彗星的形状到日常生活中的灾难，无所不包。而牛顿却
以其极有规律的世界，从自然界排除了超自然的力量。他的理论阐述了一
个理性的世界，一个有其基本法则（这在牛顿的遗产中占有很大比重），
凡人能够解释的世界。
