-
è. .÷
è. .÷
122 2
1 -x = 1 + (-x) + (-x)
22
. 1.. 1.. 3.
è. .÷ è. .÷
è. ..
222 3
+ (-x) + ..
6
112135 47 5
= 1-
2
-
8x -
16
x -
128
x -
256
x -..（*）
牛顿用等式右边的无穷级数自乘，也就是求这无穷级数的平方，以检验这
一貌似奇特的公式，其结果如下：
. 1 12135 4 .
1 -x -x -x -x -..
è. .÷
2 8 16 128
. 111 5 .
23 4
1 -x -x -x -x -..
è. .÷
2 8 16 128
1 1 1212121 31 31 31 3
= 1-x -x -x + x -x -x + x + x -x -..
228 4 816161616
=1-x+0x2+0x3+0x4+..
=1-x
所以
. 111 5 . . 111 5 .
23 4
1 --x -x -x -..= 1 -x
è. .÷
2 8 16 128
这就证实了..
111 5
23 4
1 -x -x -x -x -.= 1 -x
2 8 16 128
与牛顿原推导结果相同。
牛顿写道：“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如，假设我们
求
7的小数近似值。首先，我们看到，
. 7 .. 2.
7 = 9 = 91
è.
9 .÷ è.
9.÷
2
. 2.
所以
7 =
91 -= 31
è. .÷
9
9
现在，将等式右边的平方根代入前面标有（*）符号的二项展开式中的前.. 6
项，当然，此处要用
92 替换原公式中的，因而，我们得到
x
. 1115 7 .
≈31 -----= 2 64576 ..
7
è. .÷ .
9 162 1458 52488 472392
这一结果与7的真值仅相差0.00001，这当然是非常精确的，因为我们
只取了前.. 6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项，我们就会得到
更加精确的近似值。并且，我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根，
1
等等，因为我们可以应用二项式定理展开31 -x = (1 -x)3 ，然后按照上
述方法继续演算。
在某种意义上说，用个分数的和可以求出67的近似值并没有什么
特别奇怪的。而真正令人吃惊的是，牛顿的二项式定理精确地告诉我们应
该采用哪些分数，而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的，无须任
何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个
前提是牛顿的逆流数，也就是我们今天所说的积分。但是，对逆流数的详
尽说明属于微积分问题，超出了本书的范围。然而，我们可以用牛顿的话
来阐述其重要定理，并举一两个例子来加以说明。
牛顿在.. 1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了
逆流数问题，但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数
问题，他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如，我们知道，艾萨
克·巴罗就曾看到过这部论文，他在.. 1669年.. 7月.. 20日给他一个熟人的信
里写道：“..我的一个朋友..在这些问题上很有天分，他曾带给
我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则
如下。
设任意曲线.. AD的底边为.. AB，其垂直纵边为.. BD，设.. AB=x，
牛顿求曲线下面积法则，摘自《运用无穷多项方程的分析学》1745年
译本
BD=y，并设.. a、b、c等为已知量，m和.. n为整数。则：
m m+n )m m+n )
nn
法则：如果ax ，那么
man
+ n
x ABD
1=y
= 面积
m
n
在图7.1中，牛顿所求的是横轴之上，曲线y = ax 之下，右边到x
(m
+ n )
n
点之内的图形的面积。根据牛顿法则，这一图形的面积为
man
+ nx 。
例如，如果我们取直线y=x （图7.2），则a=m=n=1 ，按照牛顿公
式，面积为
21
x 2 ，对这一结果，可以很容易地用三角形面积公式=
21
（底）×（高）进行检验。同样，在原点与点之间，y = x 2 之下图形
x
2 +13
的面积为
(2x
+ 1)
=
x3
。
牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则
2，“如果
y值是由几项
之和组成的，那么，其面积也同样等于每一项面积之和。”例如，他写道，
3
曲线y=x 2 +x 2 下图形的面积为
1 252
x3 +x
35
那么，牛顿所采用的两个工具就是：二项式定理和求一定曲线下面积
的流数法。他运用这两个工具，可以得心应手地解决许多复杂的数学与物
理问题，而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具，使一个古老的问
题获得了全新的生命：计算π的近似值。我们在第四章的后记中，追溯了
这一著名数字的某些历史，确认了某些学者，如阿基米德、韦达和卢道尔
夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右，这
个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法，对这一古老
问题进行研究，并取得了辉煌的成就。
伟大的定理：牛顿的π近似值
牛顿当然精通解析几何的概念，他用解析几何的方法研究π近似值问
题。他首先作半圆，其圆心位于点(
1 ，0)，其半径r=
1 ，如图
C2
27.3所
示。他知道这个圆的方程是
. x -1. 2
+ (y -0)2 =. 1. 2
或x2 -x + 1 + y2 = 1
è. .÷ è.
.÷
22
44
经化简并求解
y得到上半圆方程为
11
2
y=
x-x=
x1 -x = x 2 (1-x)2
（他为什么选择这样一个半圆也许完全是个谜，但其效用在论证结
束时自会明了。）
1
2
前面带（* ）标记的方程表明，(1 -x) 可以用其二项展开式替换，
因此，半圆的方程可演变为
1 1
y = x -2 1( x 2)
= x
1
2 -1(
1
2
x -x21
8
x-31
16
-
5
128
x4 -
7
256
x5 -..)
= x
1
2 -1
x
3
2 -x
5
21 -1
x
7
2 -5
x
9
2 -7
x
11
2 -..
2 8 16 128 256
1
下面，艾萨克·牛顿的天才就明显地表现出来。他设点于(
4，0)
B ，如
图
7.3所示。并作
BD垂直于半圆的直径
AE。然后，他用两种完全不同的
方法，求阴影部分
ABD的面积：
1.用流数法求面积（ABD）我们已经看到，牛顿知道如何求一条
曲线下起点为O，右端点为x=
1 的图形的面积。根据《分析》一书的法
4
则
1和法则
2，阴影部分的面积为
357 9
21 . 2 . 1 . 2 . 1 . 2 .
222 2
x -. x ÷-. x ÷-. x ÷-..
32 è 5 . 8 è 7 . 16 è 9 .
3579 11
=
2x2 -
1x 2 -
1
x2 -
1
x2 -
5
x2 -..（
**）
3 52872 704
赋值x=
1 。这种方法的天才之处就在于，当我们赋值计算的时候，
4
其方程式就会变得极为简单，因为
35
. 1. 2 .
è.
.÷ =.
1 .
