碌，所规定的课程又厚古薄今，他也很难找到任何可以帮助他的人。
然而，在剑桥大学教授中，毕竟有一位教授堪当此任，他就是卢卡斯
讲座数学教授艾萨克·巴罗（1630—1677年）。虽然在现代意义上，巴罗
算不上牛顿的老师，但他无疑曾与这位初露头角的学者有过接触，并曾指
导过牛顿阅读当代主要的数学著作。通过不断的阅读与思考，牛顿在普通
的科学与数学背景下一跃掌握了当代大部分的新发现。牛顿既已进入前
沿，便开始向未开垦的领域进军。
1664年，牛顿荣获三一学院奖学金，为他硕士学位的学习赢得了四年
的经济资助。他有了更多的自由去探索自己感兴趣的问题。这种自由加上
他通过博览群书打下的坚实基础，将解放一个历史上最伟大的天才。从此，
牛顿开始着手解决摆在他面前的问题，其精神之专注，简直令人难以置信。
20世纪剑桥大学著名的经济学家约翰·梅纳德·凯恩斯曾对牛顿的能力做
过如下评价：
“他的非凡天才在于他能够长时间地连续思考一个纯智力问题，直至
解决..任何研究过纯科学或纯哲学问题的人都知道，一个人只可能短时
间地集中思考一个问题，并且，集中全部精力思考，但过不久，注意力就
会逐渐分散和转移，你会发现，你的思想成为一片空白。但我相信，牛顿
能够连续几小时、几天和几星期地集中思考一个问题，直到解开其中的奥
秘为止。”
牛顿对他如何解决难题做了同样的说明，只不过更加简洁，就是“通过持
续不断的思考”。
其后几年，牛顿带着对新发现的极度兴奋，更加勤奋地工作。
人们常常看到他在微弱的烛光下一直工作到深夜。据说，他的猫因
为常常饱餐牛顿碰也没碰一下的饭菜，竟然长得十分肥胖。这位年
轻人认为错过吃饭、耽误睡觉与取得的巨大进展相比，实在是微不
足道的。
这两年，也许是任何思想家，当然是任何一位
23岁的思想家可能有过
的最多产的两年。他的成功，一部分是在剑桥大学，还有一部分是在他的
家乡乌尔索普取得的，因为爆发了可怕的瘟疫，学校被迫关闭。1665年初，
他发现了我们现在所称的“广义二项式定理”，并成为他以后数学著作中
的重要部分。不久后，他提出了“流数法”（即我们今天所称的微分学）。
1666年，他发明了“逆流数法”（即积分学）。在这期间，他还创造性地
提出了他的颜色理论。但据牛顿回忆，他还有更多的发现：
的重要部分。不久后，他提出了“流数法”（即我们今天所称的微分学）。
1666年，他发明了“逆流数法”（即积分学）。在这期间，他还创造性地
提出了他的颜色理论。但据牛顿回忆，他还有更多的发现：
50年后，年迈的牛顿所做的这些回忆准确地阐述了万有引力理论的雏
形，这一理论远胜于牛顿其他任何成就，为他赢得了崇高的科学声望。面
对这些发现，他以一种非常坦率而冷漠的笔触写道：
“所有这些发现都是在
1665—1666这两年瘟疫期间做出的。因为这两
年是我发现力最盛时期，我对数学和哲学的研究比其它任何时期都要多。”
因此，这两年瘟疫期间称为牛顿的“高峰年”，情况确实如此。据说，
他所有的理论都是在这段时间内形成、完善和成熟的。这不免有点儿夸大
其辞，因为在这之后的年月里，牛顿仍在继续推敲和改进这些理论。然而，
牛顿在这短暂的两年里所表现出来的创造力不仅规定和指导了他自己一生
的研究方向，而且在很大程度上规定和指导了科学的未来。
今天，人们很容易忘记牛顿做出这些非凡的发现时只是剑桥大学的一
个无名之辈。R.S.韦斯特福尔也许是我们今天最出色的牛顿传记作家，他
对这一明显的事实做了如下的精彩记载：
“（牛顿的成功）已经显示出一代宗师的风范，足以使欧洲所有的数
学家由衷地羡慕、妒忌和敬畏。但实际上，欧洲只有一位数学家，即艾萨
克·巴罗知道牛顿的存在，据说，1666年，巴罗对牛顿的成就也仅仅略知
一二。但牛顿的不为人知，并不影响这一事实，即这位不足
24岁的青年人，
虽然没有受过正规教育，却已成为欧洲最出色的数学家。真正举足轻重的
人物，也就是牛顿自己，非常清楚自己的地位。他曾研究过诸位大师。他
知道，他们各自都有其局限性。而他自己，却已远远地超过了他们所有人。”
纵观历史，我们已看到，数学的中心不断地从一个地方转移到另一个
地方，从毕达哥拉斯学派所在的克罗托内先后转移到柏拉图的雅典学园、
亚历山大、巴格达，然后又转移到文艺复兴时期卡尔达诺和费拉里所在的
意大利。然而，令人难以相信的是，17世纪
60年代中期，数学中心又转
移到了三一学院一个学生简朴的房间里，而此后，不论牛顿住在哪里，哪
里就是世界的数学中心。
牛顿二项式定理
对于牛顿非凡的发现，我们在此只能略窥一斑。我们首先介绍牛顿的
第一大数学发现——二项式定理。虽然按照欧几里得或阿基米德的概念来
说，这不是一条“定理”，因为牛顿没有提供完整的证明。但是，他的见
识和直觉足以使他发明出这一恰当而准确的公式，并且，我们将看到，他
是如何以一种最奇妙的方式应用这一公式的。
二项式定理论述了(a+b)
n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足
够的毅力，便可以得到如下公式，
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
等等。对于(a+b) 12，人们显然希望不必经由(a+b)十几次自乘的冗长
计算，就能够发现其展开式中.. a 7b5的系数。早在牛顿出生之前很久，人们
便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在.. 13世纪就发
现了二项式的秘密，但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分
析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。但这一伟大发现通
常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到，二项式的系数可以
很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”.. ①的排列中得到：
在这个三角形中,每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此,根
据帕斯卡三角,下一行的数值为..
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如，表值.. 56就等于其上左右两个数字.. 21+35之和。
帕斯卡三角与(a+b) 8展开式之间的联系是非常直接的，因为三角形的
最后一行数值为我们提供了必要的系数，即
(a+b)8=a8+8a7b+28a6b2+56a5b3
+70a4b4+56a3b5+28a2b6+8ab7+b8
我们只要将三角形的数值再向下延伸几行，就可以得到(a+b) 12展开式中..
a7b5的系数为.. 792。所以，帕斯卡三角的实用性是非常明显的。
年轻的牛顿经过对二项展开式的研究，发明了一个能够直接导出二项
式系数的公式，而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且，他
对模式的持续性的固有信念使他认为，能够正确推导出诸如(a+b) 2或..
1
(a + b) 3 这类二项式系数的公式，也应该适用于像(a + b) 2或(a + b )-3这种
形式的二项式。
关于分数指数和负数指数问题，在此还需多说一句。我们知道，在初
1
n
等代数中，a = na ，而a -n = 1 。虽然牛顿可能不是认识到这些关系的
n
a
第一人，但他在1 + x和
(1 -
1x )
一类二项式展开式中，确实充分利用了
2
这些关系。
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在.. 1676年写给其同时代伟人戈
特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的（此信经由皇家学会的亨利·奥..
①这个三角形早在我国南宋数学家杨辉
1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，因此，在我国，
我们称它为杨辉三角。——译者注。
尔登伯格转交）。牛顿写道：
m mmm -n
nn
(P + PQ) = P + AQ + BQ
n 2n
m -2n m -3n
+ CQ + DQ + ..
3n 4n
公式中的P+ PQ 是所讨论的二项式；m 是指数，对此，我们将提出二项
n
式的“指数是整数还是（比如说）分数，是正数还是负数”的问题。公式
中的
A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说，牛顿的公式可能显
得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下，就可以解决读者的任何疑问。
我们首先来看，
m
n
A = P
m
n
B = m
AQ = mP Q
nn
. m.. m .
m è. .÷
è. -1.÷ m
m -n (m -nm n
)n
nn
C = BQ = P Q2 = P Q2
n (2n n
2) 2
. m.. m .. m .
-1 -2
D =
m3
-
n2n
CQ =
è.
n .÷
è.
n3×
.÷
2
è.
n .÷
P
mn
Q3 等等
m
n
然后，应用牛顿的公式，并从方程两边分别提取公因数P ，我们得出
mm mm
P n(1 + Q) n = (P + PQ) n = Pn 〔1+ mQ
n
. m.. m .. m.. m .. m .
-1 -1 -2
23
+
è.
n .÷
è.
2n .÷
Q +
è.
n .÷ è.
n3×
.÷
2
è.
n .÷
Q +..〕
m
n
消去P ，得
. m.. m .
m .÷. -1÷
m èn .èn .
n
(1 + Q) = 1 + Q + Q2
n2
. m.. m .. m .
.÷. -1÷. -2÷
èn .èn .èn .3
+ Q + ..
3×2
也许，这种形式看起来就比较熟悉了。
我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如，在展开(1+x)
3时，
我们用替换xQ，用替换m
3 ，于是得到
n
(1＋x)
3
××
3
3×2 2321 3×2××
10 4
= 1+ 3x + x + x + x + ..
2 324××
2
×
3
6263040 5
= 1+ 3x + x + x + x + x + ..
2 6 24 120 = 1+ 3 + 32 + 3
这恰恰就是帕(x) 斯卡(x) 三角(x) 的排列系数；并且，由于我们的原指数是正整数
3，
所以，展开式到第四项结束。
但是，当指数是负数时，又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例
如，展开(1+x)
-3，根据牛顿公式，我们得到
( -3)(-4) 2(-3)(-4)(-5) 3
1 + (-3)x + x + x + ..
26
或简化为
(1+x)-3=1-3x+6x2-10x3+15x4-..
方程右边永远没有终止。应用负指数定义，这一方程就成为
(1 +
1x) 3 = 1 -3x + 6x2 -10x3 + 15x4 -..或其等价方程
1
2 34
23 = 1 -3x + 6x -10x + 15x-..
1+ 3x + 3x + x
牛顿将上式交叉相乘并消去同类项，证实
(1+3x+3x2+x3)(1-3x+6x2-10x3+15x4-..)=1
1
而当牛顿展开像1 -x = (1 -x)2 这种形式的二项式时，问题变得更
加奇特。在这一例子中，Q= -x，mn
=
21 ，于是，我们得到
. 1.. 1.
