就的这本书，也许可以持续几千年。”
后记
卡尔达诺－费拉里著作中一个悬而未答的问题是五次方程的代数解。
他们的努力显然表明，五次方程的根数解是可能的，并且，他们对如何开
始解五次方程给了一个明显的提示。即，对于五次方程
ax5＋bx
4＋cx
3＋dx
2＋ex＋f＝0
代入x＝y－
5ba
，即得到缺项五次方程
y5＋my
3＋ny
2＋py＋q＝0
然后，寻找某些辅助变量，使之降为四次方程，而我们已经知道求四次方
程根数解的方法。这一论证之所以特别引人注目，不仅因为它酷似成功地
解三次方程和四次方程的方法，而且还因为，众所周知，任何五次（或任
何奇次）多项式方程都必定至少有一个实数解。这是因为奇次方程的曲线
看起来很像图
6.2中所示五次方程的曲线。也就是说，这些曲线随我们沿
x轴方向移动而不断升高，但当我们向相反方向移动时，则曲线不断下降。
因此，这种函数必定在某些点上为正值，而且，必定在另外一些点上为负
值。所以，利用一种称为介值定理的方法，我们可以说，这条连续曲线一
定会在某一点上与
x轴相交。在上述五次方程曲线图上，c就是这样一点，
因此，x＝c就是方程
x
5－4x
3－x
2＋4x－2＝0的解。同样的道理，任何奇
次多项式方程都（至少）有一个实数解。
然而，虽然介值定理表明了五次方程实数解的存在，但却不能明确地
确定它们的值。因而，费拉里之后的代数学家们所努力寻求的就是这样一
个解五次方程的标准公式。
但是，在这方面的所有努力都失败了。一个世纪过去了，又一个世纪
过去了，仍然没有一个人能够求出五次方程的“根式解”。尽管后来的数
学家们发现，可以将一般五次方程变换成这样一种形式
z5＋pz＝q
如果我们称以前的方程为“缺项方程”的话，则这一个方程就应称作“完
全缺项”方程。甚至就是这样一个高度简化了的五次方程，也同样无人能
够攻克。这即使算不得难堪，至少令人沮丧。
1824年，年青的挪威数学家尼尔斯·阿贝耳（1802—1829年）发现，
不可能用代数方法求出五次或更高次方程的“根式解”，他的发现使数学
界为之震惊。总之，寻找五次方程根式解从一开始就注定了必然失败。我
们可以在
D.E.史密斯的《数学史料集》中找到阿贝耳的证明，这一证明非
常复杂，很难读懂，但它确实是数学史上的一座里程碑。
值得注意的是，阿贝耳的证明是模棱两可的。他并没有说，所有五次
方程都是不可解的，因为我们显然可以解出像
x
5－32＝0这样的方程，其
解无疑是
x＝2。并且，阿贝耳并没有否认我们可以有不同于加、减、乘、
除和开方这些代数方法的方法解出五次方程。的确，一般五次方程能够用
一种称为“椭圆函数”的方法解出，但这种方法比初等代数要复杂得多。
而且，阿贝耳的证明也没有排除我们按照我们（或计算机）所要求的精度
求出五次方程近似解的可能性。
阿贝耳的论文只是证明了不存在一种代数公式，可以只用原五次方程
的系数作为方程解的可靠生成元。同样，解二次方程类似的二次公式和卡
尔达诺解三次方程的公式也都不存在——不可能找到一种普遍有效的方法
来确定五次方程的根式解。
这种情况不由使人联想起化圆为方的问题，在这两个问题上，数学家
都受到了他们所用工具的局限。对于我们在第一章中所讲到过的化圆为方
问题，圆规和直尺显然无力完成这一重任。同样，“根式解”这一限制也
阻碍了数学家寻求五次方程解的努力。我们所熟悉的代数算法没有能力驯
服像五次方程这样的猛兽。
问题，圆规和直尺显然无力完成这一重任。同样，“根式解”这一限制也
阻碍了数学家寻求五次方程解的努力。我们所熟悉的代数算法没有能力驯
服像五次方程这样的猛兽。
因此，实际上，我们绕了一个大圈，又回到了原处。卢卡·帕西奥利
的悲观看法，虽然因
16世纪的发现而遭人冷淡，但却不幸而言中。一旦我
们越出四次方程的范围，代数便丧失了它的显赫。
第七章
艾萨克·牛顿的明珠
（17世纪
60年代后期）
英雄世纪的数学
如果说.. 16世纪是数学活动迅速发展的时期，17世纪就是震撼人心的
革新和发现时期。17世纪在数学史上称为英雄世纪，因为在这一多产的年
代，有众多的知识巨人往来其间。
17世纪，科学活动的中心从我们前一章所介绍的天才的意大利代数学
家向北转向了法国、德国和英国思想家。当然，造成这种北移的原因是多
方面的，除了人的努力外，还有纯粹的机遇问题。但是，对于这种现象，
某些学者认为，一个重要的原因是欧洲北部学术气氛比较自由，恰与意大
利教会的严厉限制形成了鲜明对照。伽利略的命运就是一个最著名的例
子，一个科学家根据科学研究所得出的结论却被.. 17世纪强有势力的罗马天
主教宗教机构视为不可接受的洪水猛兽。伽利略遭监禁，被迫否认自己的
观点使知识界甚为寒心。整个事件构成了科学史上最不光彩的一页。
虽然北方并非一切都很自由和开放，但宗教改革运动的影响却似乎有
利于消除对科学研究的种种禁锢，从此才有开普勒、笛卡儿和牛顿脱颖而
出。而很有可能，由于教会试图推行僵化的正统观念，意大利才沦为科学
上的二等公民。
在.. 16世纪与.. 17世纪交汇之际，赢得繁荣发展的不仅仅是数学。1607
年，英国殖民詹姆斯敦，同时，欧洲人涌向新大陆。就在英国殖民詹姆斯
敦之前几年，伽利略认真而巧妙地研究了落体运动规律，从而永远改变了
物理学的性质。英国在詹姆斯敦建立殖民统治后两年，同一个伽利略又将
发明不久的“小望远镜”指向天空，开创了现代天文学，同时也开始了他
个人的苦难历程。当然，我们还不应忽略艺术的发展，1605年，塞万提斯
写出了不朽的名著《堂吉诃德》；1601年，英国剧作家威廉·莎士比亚写
出了《哈姆雷特》。
当然，文化的新纪元并不是以整整.. 100年为间隔， 16世纪末叶，数
学革命的最初迹象便已出现。“英雄世纪”需要英雄，下面，我们将简要
介绍其中的一些英雄。
16世纪.. 90年代，法国数学家弗朗索瓦·维埃特出版了他颇有影响的
著作《分析术引论》（通常译作《分析术》）。我们在第四章中曾讲到过
维埃特对π近似值的计算，而他.. 1591年的这部著作则成为他的代表作。
《分
析术引论》对发展符号代数作出了很大贡献，成为高等数学的“奠基之作”。
众所周知，维埃特的代数符号与现代符号相去甚远，对于习惯于现代数学
的读者来说，维埃特的符号似乎显得过于繁冗，而且还附有过多的文字说
明。例如，对于现代方程式.. DR ?DE＝A 2，维埃特则写成..
D in R-D in E aequabitur A quad
尽管如此，但他的确朝着用字母表示方程的方向迈出了重要的一步。后来，
又经过了几十年的改进与发展，代数符号体系终于在新的世纪中改革了数
学的外观与实质。
17世纪初叶，不列颠群岛的两位数学家约翰·纳皮尔（1550—1617
年）与亨利·布里格斯（1561—1631年）共同引入、完善和开发了“对数”，
这是一个具有重大实际意义和理论意义的概念。对数具有简化诸如乘、除
和开方这些繁冗计算的非凡性质，以至此后任何头脑健全的科学家
17世纪初叶，不列颠群岛的两位数学家约翰·纳皮尔（1550—1617
年）与亨利·布里格斯（1561—1631年）共同引入、完善和开发了“对数”，
这是一个具有重大实际意义和理论意义的概念。对数具有简化诸如乘、除
和开方这些繁冗计算的非凡性质，以至此后任何头脑健全的科学家
7 234 65的值时都会想到利用对数。下一个世纪的皮埃尔-西蒙
.
·拉普拉斯评论说，纳皮尔和布里格斯的对数“通过简化计算，使天文学
家的生命延长了一倍”。当然，布里格斯与纳皮尔的合作也是值得称道的，
这与后来某些损害数学发展的激烈争吵与妒忌恰恰形成了鲜明的对照。
随着时代的发展，三位法国数学家引起了人们的注意。第一位是哲学
家兼数学家勒内·笛卡儿（1596—1650年），他 1637年的著作《方法论》
成为哲学史上的一座里程碑。这部关于“一般科学”的论著不但预示而且
促进了成为时代特征的科学大爆炸。《方法论》中的哲学内容引起了人们
的广泛讨论和热烈争辩，而其题为“几何学”的附录部分则最直接地影响
了数学的发展。笛卡儿在此第一次将我们今天所谓的解析几何形诸笔墨。
如同维埃特的代数符号一样，笛卡儿的解析几何与现代解析几何也相去甚
远，但它毕竟宣告了代数与几何的结合，成为其后所有数学著作中不可或
缺的内容。
在《方法论》问世的时候，布莱兹·帕斯卡（1623—1662年）只是一
个.. 14岁的少年，却已出席了法国高级数学家的聚会。他已开始步入其虽然
短暂，但却辉煌的数学生涯。帕斯卡是一个聪慧过人的孩子，是我们有时
在数学史中见到过的那种神童。他在.. 16岁时所撰写的数学论文就给数学巨
匠笛卡儿留下了极深的印象，笛卡儿简直难以相信这篇论文的作者竟是如
此年少的孩子。两年后，帕斯卡发明了第一架计算机，这就是我们现代计
算机的始祖。并且，帕斯卡还对概率论作出了重大贡献，推动了概率论在
一百年前卡尔达诺创立的基础上向前发展。
尽管帕斯卡显然具有数学天才，但他成年后的大部分时间却致力于神
学研究，他的神学著作至今仍然是人们经常研究的课题。帕斯卡常常从他
周围的事物中感觉到种种预兆，他认为在上帝对他的安排中没有包括数
学，于是，他便完全放弃了数学。但是，他在35岁的时候，有一次，因牙
疼难忍，便去思索数学问题以排遣，而疼痛竟然消失了。他觉得这是上天
的启示，随即重操旧业，研究数学。虽然帕斯卡这次对数学的研究还不足
一个星期，但他已发现了旋轮类曲线的基本性质（我们将在下一章讨论旋
轮类曲线的问题）。此后，帕斯卡再次放弃了数学。1662年，年仅.. 39岁
的帕斯卡与世长辞。
在三位法国数学家中，也许最值得注意的要数图卢兹的皮埃尔·德·费
马（1601—1665年），他统领了.. 17世纪中叶的数学发展。费马在数学的
许多领域中都享有盛名，并作出过重大发现。他独立于、甚至早于笛卡尔
创立了自己的解析几何，而且，费马的方法在某些方面比他这位同时代的
名人更“现代化”。当然，笛卡儿是第一位发表解析几何著作的数学家，
并因而获得了崇高的荣誉，但是，费马的工作同样应当受到推崇。并且，
帕斯卡与费马在.. 17世纪.. 50年代的书信往来还奠定了我们前面所讲到过的
概率论的基础。除此以外，费马还在我们今天称之为微分学的发展上作出
过重大贡献。在一些地方，特别是在法国，人们有时认为他是微积分的共
同创立者之一，而大部分数学史家虽然承认费马的巨大成就，但却认为这
种看法未免失之偏颇。
种看法未免失之偏颇。
第
7篇至第
9篇中曾见到过这个论题。有关数论的一部古代名
著是丢番图的《算术》（约公元
250年？）。在文艺复兴时期，这部著作
被重新发现，并翻译成多种文字，证明是一部非常有影响的论文。费马得
到了一本丢番图的著作，并深深地沉溺于其中，不久便在有关整数性质方
面作出了他自己的惊人发现。
费马常常提出一些诱人的命题，有时又宣称已得出了确凿的证明，但
又很少将这些证明写下来。因此，后代数学家（时常是欧拉）就不得不去
补上这些欠缺的证明。结果，数学史学家在确定荣誉究竟应该归于谁时，
常常感到左右为难——归于费马，是他第一个阐述了这些命题，而且也可
能作出过证明；或者，应归于欧拉，因为事实上毕竟是他写下了这些论证。
显然，费马的大部分“定理”（我们颇费踌躇地使用“定理”一词，
因为他的许多命题都过分自信，但缺少证明）都是受到丢番图著作的启发
而提出的。费马在丢番图那本《算术》中命题Ⅱ.8的书页边上写下了一条
批语。命题Ⅱ.8提出，一个整数平方可分解为另外两个整数平方之和，例
如，■52＝32＋42或
252＝72＋242。在丢番图这一定理旁边，费马写下了
他著名的批语：
“但是，不可能将一个三次方数分解为两个三次方数之和，或将一个
四次方数分解为两个四次方数之和。总之，高于二次方的任何次乘幂都不
可能分解为两个同样次幂之和；对此，我已发现了极巧妙的证明，但页边
空白太小，写不下了。”
用现代话说，他的批语表明，我们不能找到整数
a、b、c和指数
n≥3，
并使
a
n＋b
n＝c
n。如果他的论点是正确的话，那么，一个整数平方分解为
两个整数平方之和就完全是一种侥幸；费马说，除了平方以外，任何次幂
的整数都不能写成两个较小整数的同次幂之和。
像往常一样，费马没有留下证明。他把其证明缺漏的原因仅仅归结于
丢番图书页空白的狭小。费马似乎在说，只要有一张白纸，他会很高兴为
他的发现作出精彩的证明。而实际上，就像他的大部分命题一样，他把寻
求证明的重任留给了后人。
对于费马的这一论断，后人依然在寻求证明，因为他的论断至今依然
未能解决。甚至连曾解开过许多费马“定理”之谜的欧拉，对他这一论断
也只证明出
n＝3和
n＝4。也就是说，欧拉证明，一个三次方数的确不能
写成两个三次方数之和，或者，一个四次方数也同样不能分解为两个四次
方数之和。但是，就人们普遍称之为“费马大定理”的一般情况而言，问
题仍然悬而未决。如同费马没有给出证明的其他许多命题一样，他的这一
命题很可能也是正确的。尽管如此，迄今尚无一位数论学家证明这个命题；
同样，也没有任何人提出反例，否定这个命题。所以，在这个意义上说，
称其为费马的大“定理”，确实有些草率。即使在
20世纪末叶，人们对这
个问题的兴趣越来越高，如果能有人攻克这道难题，他肯定会在今后的数
学史上留下光辉的一页。
现在，倘若我们能够回到
1661年夏季，检点
17世纪的数学遗产，我
们将会注意到许多重要事情。代数符号、对数、解析几何、概率和数论—
—所有这些都已初具规模，而维埃特、纳皮尔、笛卡儿、帕斯卡和费马这
些名字将受到应有的尊崇。他们的确是英雄。当然，在
1661年夏天，丝毫
没有人注意到一个正在悄悄开始的数学旅程，这一旅程很快将使所有这些
伟人黯然失色。这一数学旅程开始于美丽的剑桥大学三一学院。1661年
夏，来自学院附近乌尔索普的一位少年开始了他的大学生涯。他已经显露
出他的才华，而与他一起进入三一学院读书的十几位同学，虽然同样无声
无臭，却也同样才华横溢。然而，这位年青人日后将成为英雄世纪的最伟
大的英雄，并同时永远改变了人类观察世界的方法。他的名字当然就是艾
萨克·牛顿。
解放了的头脑
1642年的圣诞节，一个早产儿危险地降生了，这就是牛顿，他瘦小得
简直可以放进“一夸脱容量的杯子”中。而更为不幸的是，他的父亲已于
10月初故去，只撇下母亲一人独自抚养这羸弱的婴儿。但是，他却终于绝
处逢生，并顺利地度过了林肯郡严寒的冬天，最后，艾萨克竟活到了
84
岁高龄。
身体得到复原，苦难却仍未结束。牛顿三岁的时候，他的母亲汉纳·艾
斯库·牛顿嫁给了邻村一个
63岁的教长巴纳巴斯·史密斯。史密斯虽然急
切地希望娶一个年青的妻子，但却不愿接受一个三岁的孩子。所以，牛顿
的母亲再婚之后，小艾萨克就被留下来与他的祖母一起生活。骨肉分离使
小牛顿感到万分痛苦。母亲就住在附近，这对他无疑是一种残酷的折磨，
因为他只要爬到树上，就可以眺望田野对面村庄中教堂的尖顶，他的母亲
和继父就住在那座教堂里。艾萨克从来没见过父亲，现在又失去了母亲，
他的痛苦不是由于疾病，而是由于亲情的冷漠。我们将看到，牛顿成人后
变得有些神经过敏和愤世嫉俗，因为他很少感受到人类友情的温暖。完全
可以认为，他的这种性格是因为遭受亲人遗弃而造成的。
艾萨克长大后，进入了一所当时很不错的中学读书，也就是说，它主
要是教授拉丁语和希腊语。课下，牛顿很少与人来往，他大部分课余时间
都用来读书和制做各种精巧的小器械。传说他曾做过一个由小老鼠在踏车
上驱动的小风车；还做过日晷，并将它们放在住处周围的各个主要方位上；
他也曾将一个点燃的灯笼系在风筝上，高高放入春天的夜空中，想必曾使
平静的英国村民们感到大为恐惧。这些活动显示了一个异常灵巧的年青人
的智慧，他可不想只顾埋头于拉丁语复杂的动词变位中。这些活动还预示
了一位天才实验物理学家的出现，他的实验小发明对他后来理论的发展具
有无可估量的意义。
1661年夏，艾萨克·牛顿离开家乡，去剑桥大学三一学院求学。当时，
卡姆河畔这座平静的小镇作为高等教育中心已有
400年的历史，是一个声
誉卓著的古老学府，牛顿在这里有了用武之地。17世纪初叶，随着英格兰
清教主义和宗教改革运动的兴起，剑桥大学得到了蓬勃的发展。剑桥大学
有许多值得骄傲的事情，从詹姆士王钦定本英文《圣经》、国王学院小教
堂的建筑杰作，到清教革命的领袖奥利弗·克伦威尔，他出生于附近的亨
廷顿，1617年前就读于西德尼·萨赛克斯学院。
但当牛顿进入剑桥大学时，剑桥大学已失去了往昔的荣耀。其原因与
英国历史的兴衰变迁密切相关。1642年，也就是牛顿出生的那一年，在克
伦威尔领导下的清教徒胜利结束了他们与君主制的长期斗争。克伦威尔亲
自主政，1649年，国王查理一世在伦敦白厅被处死后，克伦威尔政府成为
不容置疑的权威。其时，清教的剑桥大学正处于鼎盛之际，而保皇党的大
本营牛津大学则相形见绌。
伦威尔领导下的清教徒胜利结束了他们与君主制的长期斗争。克伦威尔亲
自主政，1649年，国王查理一世在伦敦白厅被处死后，克伦威尔政府成为
不容置疑的权威。其时，清教的剑桥大学正处于鼎盛之际，而保皇党的大
本营牛津大学则相形见绌。
我们今天尊崇剑桥大学为少数几个真正的教育中心之一，但我们很难
想象
17世纪
60年代剑桥大学衰败的情形。那时，学校任命教授，完全是
出于政治或教会的原因，其中有许多教授，完全与学术无关。据记载，甚
至有人
50年中竟然没有教过一个学生，没有写过一本书，或没有讲过一次
课！实际上，有些教师根本不住在剑桥一带，他们只是偶尔来此一游。
教授对学术尚且如此冷漠，学生自然也就不求进取。表面上，剑桥大
学维持了学术生活的虚假繁荣，为好学的青年人开设了大量人文科课程。
但实际上，剑桥大学的学生更多地热中于到遍布校园的小酒店里开怀畅饮
一类事情。学生乃至教授当然可以毫不费力地在剑桥大学中混日子。
起初，艾萨克·牛顿慕名而来，对学校寄予了很高的期望。他开始学
习规定的拉丁文学和亚里士多德哲学课程，但他逐渐放弃了这类学业，或
者是因为他感到老师无能，或者是因为他意识到这些课程的迂腐和无用，
也或者只是因为显然没有任何人真正关心他的学习情况。
他在三一学院的同学们可能也有同感，他们晚上纷纷跑到小酒店去纵
酒狂欢，而牛顿却与众不同。他贪婪地博览群书。人们常常看到他一边散
步，一边沉思。当牛顿的注意力被一个想法所吸引时，他能以异于常人的
专心，废寝忘食地进行研究，尤其是对一个特别有趣的难题。牛顿初到剑
桥大学的时候，还表现出一种老式的负罪感，他有一个笔记本，里面记录
了他的各式各样的罪孽，从他不经常祈祷，在教堂做礼拜时漫不经心，到
他“不洁的思想、语言、行为和梦境”。诚然，清教主义的思想对他影响
很大，但是，人们也会想到，生活的孤独也必定会在很大程度上对一个性
格内向的青年人产生深刻的影响。
如果一时没有罪孽可以记录，这一永远好奇的学生便忙着对光、颜色
和视觉的性质做各种实验。例如，他曾长时间地凝视太阳，然后，详细地
记录他视觉中所出现的斑点和闪光，这个实验影响他的视力长达几天之
久；实际上，他不得不将自己关在暗室中，让眼中的影象慢慢消退。又有
一次，他对眼球的形状如何扭曲和改变形象感到好奇，便以自己为对象设
计了一个十分可怕的实验。据牛顿记载，他用一根小棍，或“粗针”，
“在我的眼睛与眼骨之间扎，并尽可能地扎到眼球的后部，然后用粗
针的顶端压迫眼球..于是便出现了许多白的、黑的和彩色的光环，当我
用粗针头继续在眼睛上摩擦的时候，这些光环便显得分外清晰..”
牛顿亲手画了一张图来说明这个可怕的实验，他画出了用小棍在他扭曲了
的眼球下部和后部摩擦的情形，并用从
a到
g的字母一一标明。显然，这
可不是一位普通的大学生。
王政复辟时期的剑桥大学，虽然有种种弊端，但它拥有一个很大的图
书馆，对于这个充满好奇心的一流学生来说，这确是一个非常必要的知识
宝库。说到书，这里还有一段故事。1663年，牛顿在斯特布里奇集市上碰
到一本关于占星术的书。为了弄懂书中的几何图，他决定阅读欧几里得的
《原本》。有趣的是，他初次阅读，就发现这本古代教科书中充满了无关
紧要和不证自明的定理（顺便说一句，成年后的牛顿抛弃了这种观点）。
牛顿读书，有一个特点就是他不满足于只读希腊的经典著作。他还花
费了很大气力，阅读笛儿尔的几何学。他后来回忆说，在他开始阅读这部
著作的时候，刚刚读过几页，就被完全难住了。然后，他再翻回第
1页，
重新读一遍，这一次会有所进展，但继续下去又会感到难以理解，这样，
他就再翻回来重读。如此循环往复。他就这样，一点儿一点儿地独自啃完
了这部《几何学》，没有任何导师或教授帮助。当然，考虑到教师庸庸碌
