代了三次方程解，并从而发现了将方程降低“一次”的方法，这样，他就
从生疏的三次方程进入了熟悉的二次方程。这一非常巧妙的方法开辟了解
四次、五次和更高次方程的道路。
例如，卡尔达诺用这种方法解出了他的原型方程
x
3＋6x＝20。按照
卡尔达诺的方法，他首先求出系数三分之一的三次方，即
x (
1 ×6) 3 =8；
3
然后，他求出常数项一半（即
20的一半）的平方，得
100，再加上
8，其
和为
108，求出这个数的平方根。他再用这个平方根加上和减去常数项的
一半，得到10＋108和－10＋108，他最后的解是这两个数立方根的差：
x＝3 10 108 －3-10 +108
当然，我们可以简单地用
m＝6和
n＝20代入有关代数式，就得到
2 3 n m+ ＝108 因而
4 27
x = 3 10 + 108 -3 -10 +108
显然，这是一个“根式解”。令人感到意外的是，正如卡尔达诺所正确指
出的那样，这一貌似复杂的方程式实际上只不过是数字“2”的伪装而已，
用计算器不难验证这一点。人们已经看出，x＝2确是
x
3＋6x＝20的解。
有关解方程的其他问题
我们注意到，在知道了三次方程的一种解法后，就可以据此去发现一
些其他类型的解法。例如，因为
x＝2是上述方程的解，而且，我们知道
x?2是
x
3＋6x
?20的一个因式，经过长除后，就可以得到另一个二次方
的因式。因而，x
3＋6x
?20＝(x－2)(x
2＋2x＋10)。这样，解原三次方程
的问题就变成了解一次方程和二次方程
x—2＝0和
x
2＋2x＋10＝0
这样简单的问题。（因为此二次方程无实数解，所以，原三次方程只有一
个实数解
x＝2。）
对于现代读者来说，《大衍术》接下来的两章似乎是多余的。卡尔达
诺第十二章的标题是“论三次方等于一次方加常数”（即
x
3＝mx＋n），
第十三章的标题是“论三次方加常数等于一次方”（即
x
3＋n＝mx）。今
天，我们认为，这两种形式的三次方程完全可以包括在上述方程式中，因
为我们可以使
m和
n为负数。但是，16世纪的数学家却要求方程的所有系
数都必须是正数。换句话说，他们认为，x
3＋6x＝20与
x
3＋20＝6x不仅形
式不同，而且是本质上完全不同的两种方程。由于卡尔达诺是以三维立方
体的概念来看待三次方程的，所以，在他看来，立方体的边长为负数是没
有意义的，因而，他们对负数项持否定态度就不足为怪了。当然，避免采
用负数项就会使方程的种类增多，按照我们今天的看法，不必要地拉长了
《大衍术》的篇幅。
这样，卡尔达诺能够解三种形式的缺项三次方程中的任何一种。但是，
对于ax
3＋bx
2＋cx＋d＝0这种一般形式的三次方程又当如何呢？卡尔达诺
的伟大发现在于，通过适当的置换，可以将这一方程转换为相关的缺项三
次方程，当然，必须要符合他的公式。在讨论三次方程的这一“缺项”过
程之前，我们不妨浏览一下一种更熟悉的解题方法——即应用于解二次方
程的方法：
我们首先设二次方程的一般形式为
ax2＋bx＋c＝0这里
a≠0
为了使之缺项——即消去一次项，我们引入一个新的变量
y，用
x＝y
2ba
来替换，就得到
x
ay －b
)2 ＋by
b)＋c＝0
(
2a
( －
2a
并由此得出
a（y2 －ba
y＋
4ba22 ）＋by－b2a2
＋c＝0或
ay2 －by＋b2
＋by－b2＋c＝0
42
然后，消去b(a) y项，就得(a) 到缺项二次方程
2222 2
ay2 ＝b －b －c＝2b －b －4ac ＝
b -4ac
2a4a 4a 4a 4a 4a
因此
y2 ＝b24
-
a42ac
y＝
± b22
a
-4ac
最后
b ±
b2 -4ac b -b ±
b2 -4ac
x＝y－＝－＝
2a2a2a 2a
这样就再现了解二次方程公式。
这个例子说明，多项式的降次方法是非常有用的。了解了这种方法以
后，我们再回到卡尔达诺解一般三次方程的问题上来。在这里，关键的替
换量是x＝y－b ，由此得出
3a
ay －b
)3 ＋by －b
)2 ＋－b)+d＝
( (c(y 0
3a 3a3a
展开后，成为
23 23
(ay3 －by2 ＋
3ba
y－
27ba 2 ) ＋(by2 －23ba
y＋
9ba 2 )
cb
+ (cy -) + d =0
3
对这一堆字母，我们需要做的一件重要事情就是(a) 消去
y
2项。这样，新的三
次方程（正如我们所希望的那样，）就没有了二次项。如果我们用
a去除
各项，就得到
y
3＋py＝q这种形式的方程。我们可以用卡尔达诺的公式
求出的值，因而，也就不难确定x＝yb 的值了。
y
3a
为了更清楚地说明这一过程，我们来看三次方程
2x3－30x
2＋162x－350＝0
代入 x＝y－b ＝y－(－30
)＝y＋，得
5
3a 6
2(y＋5)
3－30(y＋5)
2＋162(y＋5)－350＝0
整理后，成为
2y3＋12y－40＝0或简化为
y
3＋6y＝20
显然，这就是我们前面所解过的缺项三次方程，因而我们知道
y＝2。所以，
x＝y＋5＝7，并可以此验证原方程。
但是，《大衍术》在论证解一般三次方程问题时，却远非我们这样简
洁。由于卡尔达诺要求所有系数都只能是正数，他就必须跨越一连串艰难
的障碍，诸如，“三次方加二次方加一次方等于常数”、“三次方等于二
次方加一次方加常数”、“三次方加常数等于二次方加一次方”，等等。
终于，他在解出缺项三次方程后，又用了
13章的篇幅才完成了这一论证，
从而解决了解三次方程的问题。
但果真解决了吗？虽然卡尔达诺的公式似乎是一个惊人的成就，但它
却带来了一个重大的谜。例如，我们来看缺项三次方程
x
3－15x＝4。
用
m＝－15和
n＝4代入上述公式，我们就得到
x＝3 2+
-121－3-2 +
-121
如果说
16世纪的数学家对负数持怀疑态度，则负数的平方根显然就是
绝对荒谬的，当然可以将其作为不可解的三次方程而予以排除。然而，对
于上述三次方程来说，却可以很容易验证出它有三个不同的和完美的实数
解：x＝4和x＝
-2 ±
3。究竟是什么原因使得卡尔达诺产生了这种情况
——所谓“三次方的不可约情形”呢？他也曾对我们今天称之为“虚数”
或“复数”的情况进行过几次不太认真的研究，但最终还是全部放弃，因
为它们“既捉摸不透，又没有用处”。
大约又经过了一代人的时间，拉斐罗·邦贝利（约
1526－1573年）出
现了，他在
1572年的论文《代数》中迈出了勇敢的一步，他将虚数看作是
运载数学家从实数三次方程到达其实数解的必要工具；也就是说，我们从
熟悉的实数领域出发并最终回到实数，但中途却不得不进入一个我们所不
熟悉的虚数世界以完成我们的旅程。对于当时的数学家来说，这似乎是不
可思议的。
现在，我们来简要讨论一下邦贝利的论述。我们暂且忽略对
-1的
任何潜在的偏见，求出＋
2
-1的三次方，得到
(2＋
-1)3＝8＋12
-1－6-
1
＝2＋11 -1＝2＋
-121
但是，如果(2＋
-1) 3 ＝2＋
-121，我们当然就可以说
3
2 +
-121＝2＋
-1
同样，我们还可以看到同样，我们还可以看到-2 +
-121＝－2＋
-1。那么，我们再来
看三次方程x3 －15x＝4，邦贝利求出其解
x＝32 +
-121 -3 -2 +
-121
＝(2＋
-1)－(－2＋
-1)＝4
答案正确！
大家公认，邦贝利方法所提出的问题远远超出了他所解的问题。例如，
怎样才能预先知道＋
2
-1就是2＋
-121的立方根呢？直到18世纪中叶
，莱昂哈尔德·欧拉才找到了一个发现复数根的可靠方法。此外，究竟什
么是虚数，虚数的性质是否与实数相同呢？
诚然，复数的重要性直到
200多年以后的欧拉、高斯和柯西时代才充
分地显现出来，我们将在第十章的后记中详细介绍这个问题。尽管如此，
邦贝利承认了复数在代数中的作用，应当得到赞誉，他因此成为
16世纪最
后一位伟大的意大利代数学家。
这里应强调一点。与人们普遍认为的相反，虚数不是作为解二次方程
工具，而是作为解三次方程的工具进入数学王国的。当然，在
-121作
为x2＋121＝0（这一方程显然没有实数解）的解时，数学家可以轻易地
将其排除。但是，在解上述三次方程时，对于
-121在导出x＝4时所起
的关键作用，就不能如此漠然置之了。因此，是三次方程，而不是二次方
程，给了复数以原动力和它们今天无可争辩的合法地位。
我们还应对《大衍术》作最后一点评论。在其第三十九章中，卡尔达
诺用文字说明了解四次方程的方法：
“还有另外一个法则，并且，比前一个法则更为壮观。这就是卢多维
科·费拉里提出的法则，他应我的要求，将其发现交给了我。根据费拉里
法则，我们可以求出所有四次方程的解。”
这是一个非常复杂的程序，其中两个关键性的步骤很值得一提：
1.设一般四次方程
ax4＋bx
3＋cx
2＋dx＋e＝0，代入
x＝y4ba，
使之缺项，并用去除方程各项，就得到一个的缺项四次方程：
ay
y4＋my
2＋ny＝p
2.通过巧妙地引入辅助变量，就可以用相关的三次方程替代原四次方
程，然后，可以用上述方法解出这个三次方程。在这里，费拉里再次采用
了经验的做法，即用降幂的方法解出一定次数的方程。
那些有能力阅读这一定理及《大衍术》中所有其他发现的读者，掩卷
之后势必感慨万端。解方程的艺术达到了新的高度，而卢卡·帕西奥利当
初认为代数不能解三次方程（更不要说四次方程了）的观点已被彻底粉碎。
无怪乎卡尔达诺在《大衍术》结尾时热烈而动情地写道：“用五年时间写
