了不懈的努力，但一切都无济于事；他的爱子罪名成立，并于
1560年
4
月初被推上断头台。
“家门不幸，以此为甚。”极度悲痛的卡尔达诺写道。他心如死灰，
失去了他的朋友、事业，甚至生活的兴趣。与此同时，他的另一个儿子阿
尔多也成了罪犯，实际上，卡尔达诺“不得不一次又一次地将他送进监狱”。
令人心碎的事情似乎一件接着一件。1562年，他离开米兰这座记载着他的
成功与不幸的城市，接受了博洛尼亚大学的一个医学教职。陪同他一起的
是他的孙子，詹巴蒂斯塔的儿子法齐奥。在他垂暮之年，这位老人与孩子
之间也许发展了一种强烈的友爱关系，使他享受到了他自己的子女未能给
予他的天伦之乐。
但是，年幼的孙子和新城市也未能给他动荡的生活带来宁静。1570
年，卡尔达诺以异端罪被捕入狱。当时，意大利教会对宗教改革运动的异
端采取了强硬态度，卡尔达诺曾为耶稣占星，并写了一本《尼禄颂》，记
述这位可恨的反基督教的罗马皇帝，教会当然大为不快。
但是，年幼的孙子和新城市也未能给他动荡的生活带来宁静。1570
年，卡尔达诺以异端罪被捕入狱。当时，意大利教会对宗教改革运动的异
端采取了强硬态度，卡尔达诺曾为耶稣占星，并写了一本《尼禄颂》，记
述这位可恨的反基督教的罗马皇帝，教会当然大为不快。
于
1576年
9月
20日安祥地死
去，结束了他充实的一生。
对于现代读者来说，卡尔达诺是一个自相矛盾但却依然十分迷人的人
物。他的著述多得令人难以置信，累计达
7000页，广泛涉及从科学到其他
领域的各种主题。但他虽然一只脚站在现代理性世界，另一只脚却站在中
世纪迷信的非理性世界。就在他谢世一百年后，伟大的哲学家兼数学家戈
特弗里德·威廉·莱布尼兹恰当地概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有
许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双。”
我们现在再回到三次方程的问题，卡尔达诺对解三次方程作出了重大
贡献。1535年，布雷西亚的塔尔塔利亚发现了某些类型三次方程的解法，
从而战胜了安东尼奥·菲奥尔。卡尔达诺极感兴趣，他一次又一次地写信
给塔尔塔利亚，请求塔尔塔利亚告诉他三次方程的解法，当然，他一次又
一次地遭到拒绝，因为塔尔塔利亚决心趁势写一部解三次方程的书。卡尔
达诺起初非常生气，但终于好言好语将塔尔塔利亚请到米兰作客。1539年
3月
25日，塔尔塔利亚向卡尔达诺公开了他解缺项三次方程的秘密，但他
是用密码书写的。卡尔达诺为此庄严宣誓：
“谨对着神圣的福音书，以君子的信义向你发誓，如果你把你的发现
告诉我，我不仅绝不发表，而且还以我一个真正基督教徒的忠诚保证并发
誓也用密码记录，这样，在我死后，就没有人能够读懂这些密码。”
现在，这场戏剧中的最后一个人物出现了。这就是年轻的卢多维科·费
拉里（1522—1565年），他敲开卡尔达诺的门，要求找一份工作。那天，
卡尔达诺听到喜鹊不停地叫，知道是个吉兆，便急忙收下这个孩子为仆。
小卢多维科很快显现出是一个绝顶聪慧的神童。他们的关系很快便从主仆
关系发展为师生关系，最后，在费拉里不到
20岁的时候，他们的关系又转
变为伙伴关系。卡尔达诺将塔尔塔利亚的秘密告诉给了他聪明而年青的弟
子，两人共同努力，取得了惊人的进展。
例如，卡尔达诺发现了如何求解一般三次方程
x
3+bx2+cx+d=0
在这里，系数
b、c、d可以是
0，也可以不是
0。但遗憾的是，卡尔达
诺的工作是立足于将一般三次方程化为缺项三次方程，这样就遇到了为塔
尔塔利亚保守秘密的问题。与此同时，费拉里也成功地发现了解四次多项
式方程的方法。这是代数上的一个重大发现，但它也是依据化四次方程为
相关的三次方程的方法，同样也受制于卡尔达诺的誓言而不能发表。他们
两人都作出了当时代数学中最大的发现，但却都陷入了困境。
后来，1543年，卡尔达诺与费拉里一起来到博洛尼亚，他们仔细查看
了希皮奥内·德尔·费罗的论文。对于费罗来说，这一整个故事早在三十
年前就已开始了。他们在论文中看到了费罗亲手写的缺项三次方程的解
法。它对卡尔达诺的含义是十分清楚的：他不必再受限制而不能发表这一
解法了，因为这是费罗，而不是塔尔塔利亚发现的，他当然可以接受费罗
的启示。急切的卡尔达诺才不管费罗与塔尔塔利亚的解法其实完全相同。
了希皮奥内·德尔·费罗的论文。对于费罗来说，这一整个故事早在三十
年前就已开始了。他们在论文中看到了费罗亲手写的缺项三次方程的解
法。它对卡尔达诺的含义是十分清楚的：他不必再受限制而不能发表这一
解法了，因为这是费罗，而不是塔尔塔利亚发现的，他当然可以接受费罗
的启示。急切的卡尔达诺才不管费罗与塔尔塔利亚的解法其实完全相同。
括
40章，开始几章只讨论了一些简单的代数问题，
而在题为“论三次方加一次方等于常数”的第十一章中，最终展现了三次
方程的解式。值得注意的是，卡尔达诺为这关键的一章写了如下的序言：
“博洛尼亚的希皮奥内·费罗在近三十年前便已发现了这一规则，并
将其传给了威尼斯的安东尼奥·马里亚·菲奥尔；而菲奥尔与布雷西亚的
尼科洛·塔尔塔利亚的竞赛使尼科洛有机会发现了这一解法。后来，塔尔
塔利亚应我的恳求，向我公开了他的发现，但保留了对这一解式的证明。
在这一帮助下，我发现了（各种）形式的证明。这是极为艰难的。”
卡尔达诺在此赞誉了许多人，这种赞誉是公正的。除了塔尔塔利亚以
外，人人都感到满意。而塔尔塔利亚则相反，他对卡尔达诺的欺骗和背叛
行为大为恼怒。在塔尔塔利亚看来，卡尔达诺违背了他神圣的誓言，他曾
以一个“真正基督教徒”的忠诚发誓，但他却是一个不折不扣的恶棍。塔
尔塔利亚提笔问罪，但回答他的却不是卡尔达诺（他想凌驾于这场争斗之
上），而是顽强忠诚的费拉里。费拉里以其脾气暴躁著称（他曾在一次恶
性争斗中失去了几个手指），他激烈地驳回了塔尔塔利亚的指责。一时间，
在布雷西亚与米兰之间，火药味十足的信件飞来飞去。例如，在
1547年的
一封信中，费拉里斥责塔尔塔利亚是一个
“..整天忙于..斤斤计较的人。如果要我报答你，我就给你肚里
塞满草根和胡萝卜块，让你一辈子再也咽不下别的东西。”
（最后一句话是双关语，暗指在解三次方程问题中随处可见的数学乘
方根。）
1548年
8月
10日，塔尔塔利亚与费拉里在米兰的一次公开论战使冲
突白热化。塔尔塔利亚后来指责卡尔达诺的缺席，说他“避免在论战中露
面”是一种怯懦的表现。但是，这场论战是在费拉里的家门口进行的，最
后以客座一方的失败而告结束。塔尔塔利亚埋怨观众的喧闹和偏见，而费
拉里则当然把事情的结局归功于他自己的智力。但不管怎么说，塔尔塔利
亚败下阵去，而费拉里则大获全胜。数学史家霍华德·伊夫斯注意到观众
的敌意和费拉里暴躁鲁莽的名声，他说，塔尔塔利亚能够活着逃回去，还
算是他的造化。
这些就是围绕着三次方程解所发生的故事，激烈、复杂，而又不免荒
唐。现在我们所要做的，就是要讨论作为这一奇特故事核心的伟大定理。
伟大的定理：三次方程的解
现代读者在阅读《大衍术》第十一章时，会有两点感到意外。其一是
卡尔达诺并没有给出解一般三次方程的证明，只列举了一种特殊形式的缺
项三次方程，即
xx＋6x＝20
我们在以下的讨论中，将采用更一般的形式..
x3＋mx＝n
其二是卡尔达诺的论证是一种纯几何式的，涉及真正的立方体及其体
积。实际上，我们只要想一想当时代数符号的原始状态和文艺复兴时期数
学家对古希腊几何的看重，疑团便会烟消云散。
本书用卡尔达诺自己的语言阐述了《大衍术》第十一章的重要命题，
并附上了他对三次方程的巧妙分析。他用文字叙述的解三次方程的“法则”
初看非常混乱，但如果用一种更常见的代数方法重新演算一遍，就会发现
卡尔达诺的规则是正确无误的。
定理解.. x 3＋mx＝n的法则：
用.. x系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这整个算式
的平方根。复制（重复）这一算式，并在第一个算式中加上方程常数的一
半，从第二个算式中减去同一数的一半..然后，用第一个算式的立方根
减去第二个算式的立方根，其差即为.. x的值。
证明卡尔达诺设想了一个大立方体，其边.. AC的长度，我们用.. t来
表示，如图.. 6.1所示。AC边于.. B点截取线段.. BC，其长度为.. u，则线段.. AB
的长度为.. t—u。这里的t和.. u都是辅助变量，我们必须确定它们的值。如
图所示，大立方体可以分为.. 6部分，各部分的体积我们确定如下：
■前下角小立方体的体积为.. u 3
■后上角较大立方体的体积为(t ?
u)3
■两个垂直板块，一个沿AB向前，另一个沿DE向右，每一个长方体
的边长分别为.. t ?u、u和.. t（大立方体的边长），因而，每一个长
方体的体积分别为.. tu(t ?
u)
■前上角细长的长方体，其体积为.. u 2(t?
u)
■在后下角，即较大立方体的下面，有一个扁平的立方体，其体积为..
u(t?
u)2
显然，大立方体的体积.. t 3等于这.. 6个小立方体的体积之和，即..
t3＝u 3＋(t ?
u)3＋2tu(t－u)＋u 2(t?u)＋u(t ?
u)2
对方程式中的各项做一些整理，即得到
(t－u) 3＋［2tu(t ?u)＋u 2(t?u)＋u(t ?
u)2］＝t 3－u 3
从方括号中提取公因数(t ?u)，得..
(t?
u)3＋(t ?u)［2tu＋u 2＋u(t ?u)］＝t 3－u 3或简化为..
(t?
u)3＋3tu(t ?u)＝t 3－u 3 （*）
（现代读者会注意到，这一方程式可以用简单的代数方法直接推导出
来，而无需借助于神秘的几何立方体和板块。但.. 1545年的数学家们还不可
能采用这种方法。）
（*）方程式很容易使我们联想起最初的三次方程式的形式.. x 3＋mx＝
n。也就是说，如果我们设.. t ?u＝x，则（*）方程就变为.. x 3＋3tux＝t 3u3，
然后，我们再设
3tu＝m和.. t 3－u 3＝n
现在，如果我们能用原三次方程式中的.. m和.. n来确定.. t和.. u的值，那么，x
＝t
?u就能够推导出我们所求证的定理。
但是，《大衍术》没有推导这些量的值。相反，卡尔达诺直接提出了
求解前述“三次方加一次方等于常数”的法则。要明确译解他纯用文字表
达的解题方法绝非易事，这就使人更加赏识现代代数公式这种简明而直接
的解题方法。卡尔达诺在这一段文字中究竟讲的是什么意思呢？
首先，我们来看他对
t和
u所规定的两个条件，即
3tu＝m和
t
3－u
3＝n
m
从第一个等式中，我们可以导出u＝
3t
，将其代入第二个等式，即
得到
3
3
t －m3＝n
27t
将方程两边分别乘以
t
3，经整理后，就得到方程
t6－nt 3－m3
＝0
27
初看似乎并没有什么改进，因为我们把原来
x的三次方程变成了
t的
六次方程。然而，后者却可以看作变量
t
3的二次方程：
3
(t 3)2 －n t ( 3)－m27＝0
而数学家早已掌握二次方程的解法，我们在前一章的后记中也讲到过
这一点。现在，我们可以解出这个二次方程：
2 4m3
n±
n +
3
27
t=
2
23
4m3 n
nm
＝
n ±1 ＝
n2 += ±
+
22
27 2
4 27
然后，只选取正平方根，我们就得到
23
nm
t＝3n +
+
2
4 27
我们还知道
u
3＝t
3－n，据此，我们得出
23
u3＝n ＋
n + m －n 或
2
4 27
23
nm
u＝3 -n +
+
2
4 27
最后，我们就得到了用代数式表达的卡尔达诺解缺项三次方程
x
3＋mx＝n的法则，即
x＝t－u
23
23
n
nm
n
nm
= 3 +
+-3-+
+
2
4 27
2
4 27
这一方程式就叫做缺项三次方程的“根式解”或“代数解”。也就是
说，这一解式只涉及了原方程的系数（即
m和
n），而且，代数运算一般
也只限于加、减、乘、除和开方。再深入一些的研究表明，这一公式与卡
尔达诺用文字阐述的“法则”结果完全相同。
也只限于加、减、乘、除和开方。再深入一些的研究表明，这一公式与卡
尔达诺用文字阐述的“法则”结果完全相同。
t
3的）二次方程解替
