2
和
s -c =
2
代数运算进一步证明..
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
=[(b+c)+a][(b+c)-a][a-(b-c)][a+(b-c)]
=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]
=a2(b+c)2-(b+c)2(b-c)2-a4+a2(b-c)2
简化为 2a2b2+2a2c2+2b2c2-(a4+b4+c4)。
现在，我们再回到赫伦的公式，就得到三角形的面积为
K =
ss -a)(s -b)(s -c)
(
a + b + c -a + b + ca -b + ca + b -c
= ()( )()()
22 22
22 22 22444
2a b + 2a c + 2b c -(a + b + c)
=
16
另一方面，上述三角形的面积还可以简写成..
K=
21 （底）×（高）=
21
bc
将这两个.. K等式合成一个方程式，并将方程式两边分别平方，得..
22 222222 444
bc 2ab + ac + bc -(a + b + c)
=
4 16
然后，交叉相乘，得到
4b2c2=2a2b2+2a2c2+2b2c2-(a4+b4+c4)
现在，把所有各项都移到方程左边，并合并同类项，得
(b4+2b2c2+c4)-2a2b2-2a2c2+a4=0 或简化为
(b2+c2)2-2a2（b 2+c2）+a 4=0或再简化为
[(b2+c2)-a2]2=0
从这一长串演算中，最后，我们可以得出(b 2+c2)-a2=0，并可以化为
我们所熟悉的形式 a 2=b2+c2。这样，赫伦的公式就为我们提供了另一个毕
达哥拉斯定理的证明。当然，这个证明极其复杂，很像从波士顿绕道斯波
坎到纽约，似乎有点儿不必要。尽管如此，能够从赫伦古怪公式中发现对
毕达哥拉斯定理的证明，虽然是间接的，毕竟值得注意。
欧几里得、阿基米德、厄拉多塞、阿波罗尼奥斯、赫伦以及其他许多
数学家都与亚历山大学派有关，这一古代的科学中心历久不衰。但是，即
使罗马帝国也不是永恒的，亚历山大学派同样如此。
数学家都与亚历山大学派有关，这一古代的科学中心历久不衰。但是，即
使罗马帝国也不是永恒的，亚历山大学派同样如此。
数学活动从此结束了以亚历山大为中心的历史。从公元.. 641年起，在
以后的许多世纪中，阿拉伯数学家充当了古代数学的保护人，而他们本身，
也是数学的创新者。阿拉伯帝国的故事当然应从穆罕默德（公元.. 570—632
年）开始，他最初默默无闻，继而成为世界史中的重要人物。穆罕默德死
于耶路撒冷之后.. 150年，他所创立的宗教已从印度穿过波斯湾和中东，横
跨北非，一直扩展到西班牙南部。随着地理版图的扩大，伊斯兰学者急切
地从他们接触到的许多文明中汲取知识。
这些知识之一是印度的数学，并从中产生了所谓“印度-阿拉伯”数系。
这一数系远比罗马数系更先进，并取代了后者的地位，罗马数字的应用只
在表盘、版权日期和超级橄榄球赛中还保留下来。即使阿拉伯人再没做其
他事情，人们也会永志不忘他们传播这一最有用数系的历史功绩。
当然，他们还有其他许多贡献。早在.. 9世纪初叶，阿拉伯人便开始翻
译希腊名著，并对这些著作做了有益的评注。他们于公元.. 800年翻译了《原
本》，几十年后，又翻译出版了托勒密的名著《天文学大成》。这后一部
著作写于约公元.. 150年，是古代天文学的总汇。它很像欧几里得的《原本》，
也是由.. 13卷组成，包括论述日月蚀、太阳、行星和恒星的篇章，以及我们
在第四章后记中所说到过的“弦值表”。托勒密还详细阐明了他的太阳系
模式，这是一个以地球为中心的模式，这一地心学说，在波兰思想家哥白
尼出现之前的.. 1400年间，一直符合当时的科学与人类自尊的需要。阿拉伯
人高度评价托勒密的著作，称其为“Al magiste”（阿拉伯语，“最伟大”
的意思），因而，我们今天称这部巨著为“大成”（Almagest）。
后来，一位伟大的学者塔比特·伊本·戈拉（826—901年）精译了阿
基米德和阿波罗尼奥斯的著作，提供了非常忠实于原文的《原本》译本。
阿拉伯学术中心位于今天伊拉克的巴格达市，那里建有“智慧宫”，是进
行学术活动的重地，其成员中有许多天文学家、数学家和翻译家。数学界
的中心以前在柏拉图的学园和亚历山大图书馆，现在转移到巴格达，在那
里保持了很长一段时间。
在最重要的阿拉伯数学家中，有一位数学家名叫穆罕默德·伊本·穆
萨，胡瓦里兹米（公元约.. 825年），他借鉴东西方的数学成就——包括印
度数学家婆罗摩笈多和我们所知的古希腊数学家，写出了一篇非常有影响
的论代数和算术的论文。在这篇论文中，胡瓦里兹米不仅阐明了线性方程
（一次方程）的解法，还阐明了曲线方程（二次方程）的解法。对于二次
方程.. ax 2+bx+c=0来说，其解为..
-b ±
b2 -4ac
x=
2a
但是，胡瓦里兹米完全是用文字，而不是用现今的简明的代数符号来
表达他的公式。然而，即使他没有发明代数符号，但却至少间接赋予了代
数以名称。胡瓦里兹米的主要论文题为“Hisab al-jabrw’almuqabalah”。
400年后，这篇论文被翻译成拉丁文，题目变为“Ludus algebrae etalmucgrabalaeque”，最后，简称为“alge-bra”（代数）。
表达他的公式。然而，即使他没有发明代数符号，但却至少间接赋予了代
数以名称。胡瓦里兹米的主要论文题为“Hisab al-jabrw’almuqabalah”。
400年后，这篇论文被翻译成拉丁文，题目变为“Ludus algebrae etalmucgrabalaeque”，最后，简称为“alge-bra”（代数）。
但另一方面，阿拉伯数学家确曾普及了非常有用的数系，并对解各次
方程问题作出了重大贡献。此外，用霍华德·伊夫斯的话说，他们在欧洲
沉睡的几百年间，充当了“大量世界智力财富的监管人。”如果没有这种
伟大的服务，我们的许多古代文化知识，特别是古代数学知识，就有可能
永远湮没无闻。
终于，阿拉伯人完成了他们作为欧几里得和阿基米德知识监管人的使
命，这些知识又逐渐返回了欧洲。当然，其中一个主要的动力是从11世纪
末到.. 13世纪中叶十字军的一系列远征，在这些远征中，比较落后的西方基
督教徒遭遇了比较先进的东方阿拉伯人。欧洲人虽然没能从穆斯林教徒手
中夺取圣地，但都大开眼界，认识了敌手的高度学养。
也许，更重要的是基督教徒对西班牙摩尔人和对西西里地区的征服。
1085年，西班牙大城市托莱多陷落于基督教徒之手，几年后，西西里也被
欧洲人征服。欧洲人在进入这些被占领的土地后，发现了落败的阿拉伯人
的书籍和文献。欧洲人进入了一个以往难以想象的知识王国，闲暇时钻研
一番，他们不仅领略了伊斯兰敌手的学识，而且也发现了自己祖先的学术
成就。影响是巨大的。
这些经典（柏拉图和亚里士多德，当然还有欧几里得的著作）的巨大
影响始见于意大利的大学。1088年在博洛尼亚开办了第一所大学，随后又
相继在帕多瓦、那不勒斯、米兰和其他地方办起了大学。此后一二百年，
意大利的学术氛围从中世纪的深渊跃升至我们今天所称的文艺复兴的高
点。
正是在.. 16世纪的意大利，随着阿拉伯人对古代文化的传播和意大利学
者的觉醒，产生了我们下一章的伟大定理：米兰的杰罗拉莫·卡尔达诺及
其奇异而令人难以置信的三次方程解。
第六章
卡尔达诺与三次方程解
（1545年）
第六章
卡尔达诺与三次方程解
（1545年）
毫无疑问，15世纪的最后几十年标志着欧洲的文化骚动。西方文明显
然已从中世纪的沉睡中觉醒。1450年，约翰内斯·谷登堡发明了活字印刷
术，从此，书籍大量流通。博洛尼亚、巴黎、牛津和其他地方的大学成为
高等教育和学术活动的中心。在意大利，拉斐尔和米开朗基罗开创了非凡
的艺术事业，而他们的前辈列奥纳多·达·芬奇则成为文艺复兴时期艺术
家的杰出代表。
不仅仅是知识王国的疆域在扩展。1492年，热那亚人克里斯托弗·哥
伦布发现了大西洋彼岸的新世界。像其他事情一样，对美洲大陆的发现证
明了当代文明的认知能力是能够超越辉煌的古代文明的。15世纪结束时，
欧洲无疑正处于出现伟大事变的前夕。
数学也是如此。1494年，意大利数学家卢卡·帕西奥利（约
1445—1509
年）撰写了一部题为《算术大全》的书。在这部著作中，帕西奥利讨论了
当代的标准数学，并重点讨论了一次方程和二次方程的解法。有趣的是，
他在方程中用字母
co代表未知量，无意中创造了原始的符号代数。co是
意大利语
cosa（意为“事物”）一词的缩写——即求解的事物。虽然
100
多年以后，代数才有了我们今天这样的符号系统，但《算术大全》却朝着
符号代数方向迈出了一步。
然而，帕西奥利对三次方程（即一种形式为
ax
3+bx2+cx+d=0的方程）
的认识却是极其悲观的。他不知道应怎样解一般三次方程，并认为在现时
的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方一样，是根本不可能的。这种观
点，实际上是对意大利数学界的一个挑战，并引出了关于下一个伟大定理
的故事，即
16世纪意大利代数学家和他们求解三次方程的故事。
故事是从博洛尼亚大学的希皮奥内·德尔·费罗（1465—1526年）开
始的。天才的费罗接受了帕西奥利的挑战，他发现了一个解所谓“缺项三
次方程”的公式。所谓缺项三次方程，就是一个没有二次项的三次方程，
其表现形式为
ax
3+cx+d=0。通常，我们习惯于用
a去除方程的各项，并将
常数项移到方程右边，这样，我们就可以将这一缺项三次方程转变为其标
准形式
x3+mx=n
出于明显的理由，文艺复兴时期的意大利人称这一方程为“立方加未
知量等于数字”。虽然费罗只掌握了这种特殊形式的三次方程，但他对代
数的推进却意义深远。人们或许会以为他将广为传播自己的成功，但实际
上，他却完全不动声色。他对三次方程的解法绝对保密！
这种做法在“不发表即发霉”的今天，简直不可思议。为了能够理解
费罗这种奇怪的做法，我们必须考虑到文艺复兴时期大学的特性。那时，
大学里的学术职位没有安全感可言。除了保护人的庇护和政治方面的影响
外，继续任职还取决于能否在任何地点任何时间赢得公开质疑。因而，像
费罗这样的数学家就必须随时准备与人进行学术论争，而当众出丑对于一
个人的事业来说，可能是灾难性的。
费罗这样的数学家就必须随时准备与人进行学术论争，而当众出丑对于一
个人的事业来说，可能是灾难性的。
希皮奥内对他的三次方程解法终生保密，直到弥留之际才将其传给了
他的学生安东尼奥·菲奥尔（约
1506—？）。虽然菲奥尔的才华比不上他
的老师，但他利器在握，不禁心高气傲，于
1535年向布雷西亚的著名学者
尼科洛·丰塔纳（1499—1557年）提出了挑战。
幼年时期一次不幸的灾难伴随了丰塔纳一生。1512年，法国人进攻他
的家乡时，一名士兵，手持利剑，在年幼的尼科洛脸上凶残地砍了一刀。
据传说，这孩子能够活下来，完全是因为一条狗经常舔他脸上可怕的伤口。
虽然狗的唾液挽救了他的性命，但却无法挽救他说话的能力。尼科洛·丰
塔纳面目全非，以致再也不能清晰发言。于是，塔尔塔利亚（意为“结巴”）
便成了他的绰号，而他今日正是以这一残忍的绰号而著称。
我们暂且抛开他的残疾不谈，塔尔塔利亚确是一位天才的数学家。实
际上，他自称能够解出
x
3+mx2=n形式的三次方程（即没有一次项的三次方
程），但菲奥尔怀疑他是否真找到了这种解法。塔尔塔利亚受到菲奥尔挑
战之后，便给菲奥尔寄去
30道涉及各种数学问题的问题。而菲奥尔则回敬
他
30道“缺项三次方程”，使塔尔塔利亚陷于困境。显然，菲奥尔是在孤
注一掷，塔尔塔利亚究竟能得
0分，还是
30分，就取决于他是否发现了解
三次方程的秘密。
毫不奇怪，塔尔塔利亚开始夜以继日地疯狂研究缺项三次方程。日子
一天天过去，他越来越沮丧。眼看最后期限就要到了，终于，1535年
2月
13日夜，塔尔塔利亚发现了三次方程的解法。他的努力终于得到了回报。
他现在可以轻而易举地解出菲奥尔的所有问题，而他的平庸的挑战者则成
绩平平。塔尔塔利亚光荣地战胜了对手。作为酬报，倒霉的菲奥尔应以丰
盛的酒宴款待塔尔塔利亚
30次；但塔尔塔利亚却以一种宽宏的姿态，免却
了这一约定。与受到的羞辱相比，省下的钱财对于菲奥尔来说实在微不足
道；于是，菲奥尔从此销声匿迹。
接着出现的也许是整个数学史中最奇特的人物——米兰的杰罗拉
莫·卡尔达诺（1501—1576年）。卡尔达诺听说了有关这一挑战的故事后，
就想更多地知晓塔尔塔利亚这位三次方程大师奇妙的技巧。卡尔达诺大胆
地要求塔尔塔利亚这位布雷西亚学者公开他的秘密，从此，故事发生了意
想不到的重大转折。
在继续叙述之前，我们先来看一看杰罗拉莫·卡尔达诺不平凡的一生。
我们有幸在他写于
1575年的自传《我的一生》中读到他第一人称的叙述。
这本书充满了卡尔达诺的回忆、怨恨和迷信，还有大量奇闻轶事。虽然在
几乎全部自传中，这一本自传是最不可信的，但我们从中却可以窥见他动
荡不安的一生。
卡尔达诺首先追述了他的先祖。在他的家谱中可能包括教皇切莱斯廷
四世，还有他的一个远亲安焦洛。安焦洛在
80岁高龄时
“才得儿子——孩子像他们父亲一样衰弱..他的长子活了
70岁，我
听说他的子女中有些成了伟人。”
听说他的子女中有些成了伟人。”
由于先天不足，卡尔达诺终生经受疾病的折磨就不足为怪了。在他的
自传中，他坦率描述了这些痛苦，常常刻划入微，甚至到了令人厌恶的地
步。他告诉我们，他患有严重的心率过速，胸腹部流出液体，还患有脱肛
和痔疮，以及一种“排尿过多”的疾病，每天排尿多达
100盎斯（约一加
仑）。他惧怕登高和前往“据说疯狗出没过的地方”。他多年患有阳萎，
直到临近结婚时才痊愈（无疑正是时候）。卡尔达诺常常连续八个夜晚失
眠，这种时候，他只能“起床下地，绕着床转圈，一遍又一遍地数数，数
到一千。”
偶尔不受这些疾病折磨时，卡尔达诺就自己折磨自己。他这样做是因
为“我觉得快乐存在于强烈痛苦之后的放松”，而且，当身体上不受痛苦
的时候，“精神上的痛苦就必然会来压迫我，没有什么能比这种痛苦更强
烈的了”，所以，
“我想出了一个办法，用力咬我的嘴唇，拧我的手指，掐我左臂的肌
肉，直到疼得流出眼泪为止。”卡尔达诺说，这种自我折磨还算值得，因
为一旦停止下来，就会感到非常惬意。
然而，身体（和精神）上的疾患还不是他唯一的问题。卡尔达诺在帕
多瓦大学以优异成绩完成他医学学业之后，却不能获准在他的家乡米兰行
医。究其原因，可能是因为他是人人皆知的私生子，也可能是因为他那讨
厌而古怪的个性，但不论什么原因，这在他一生的沉浮中标志着一个低潮。
在米兰遭到拒绝，卡尔达诺就转移到帕多瓦附近的一个小镇萨科，在
乡间行医，那里不乏田园风光，但多少有些闭塞。在萨科的一天夜里，他
梦见了一个身穿白衣的漂亮女人。他很信梦，因此，当有一天，他遇到了
一个与他梦中所见完全一样的女人，不免受到极大震动。起初，贫困的卡
尔达诺因为不能向她求爱而深感绝望：
“如果我，一个穷人，娶一个女人，没有嫁妆，只有一大群弟
妹需要供养，那我就完蛋了！我甚至连自己也养活不起！如果我试
图诱拐她，或勾引她，周围又会有多少双眼睛在监视我！”
但终于，他的爱赢得了婚姻。1531年，他娶了梦中的女人卢西亚·班
达里妮为妻。
这段小插曲表明了梦、先兆和预兆在卡尔达诺的一生中所起的突出作
用。他是一位热心的占星术士，一位护身符佩戴者，一位从雷雨中预卜未
来的预言家。并且，他还常常感到守护神的存在，他在自传中写道：
“据说守护神..常常对某些人特别垂青——苏格拉底、柏罗丁、辛
纳修斯、戴奥、弗莱维厄斯·约瑟夫斯，我觉得自己也包括在内。所有这
些人，除了苏格拉底和我之外，都生活得非常幸福..”
显然，他很乐意与他的守护神热烈交谈。卡尔达诺
20世纪的传记作家
奥伊斯坦·奥尔说：“由于这类故事，无怪他的一些同时代人认为他精神
不正常。”
他的另一个终生爱好是赌博。卡尔达诺经常沉湎于赌博，他常常能赢
许多钱，贴补收入。他在自传中以忏悔的心情承认：
他的另一个终生爱好是赌博。卡尔达诺经常沉湎于赌博，他常常能赢
许多钱，贴补收入。他在自传中以忏悔的心情承认：
于
1663年出版，这是第一部论及数学概率的重要论文。
这样，杰罗拉莫·卡尔达诺从
1526年至
1532年，在萨科生活了许多
年，他在那里算命、赌博，并成了家。但是，不论是他的收入，还是他的
自尊，都使他不能长期忍受小镇的环境。1532年，卡尔达诺携其妻子卢西
亚与儿子詹巴蒂斯塔一道返回米兰，但他仍然被禁止行医，最后不得不依
靠贫民院的救济过活。
终于，好运降到了他的头上。卡尔达诺开始讲授大众科学，这种讲演
特别受到有教养的人和贵族的欢迎。他撰写了许多有趣的论文，论题从医
学、宗教到数学，内容极为广泛。特别是
1536年，他发表了一篇论文，攻
击意大利医生中的腐败和不称职现象。这篇文章无疑得罪了医学界，但却
受到公众的欢迎，医学界再不能将卡尔达诺拒之门外。1539年，米兰医师
协会勉强接收他为会员，不久，他就赢得了行业的最高声誉。到
16世纪中
叶，卡尔达诺已成为也许是欧洲最著名和最受欢迎的医生。他曾为教皇治
过病，也曾越洋去苏格兰（这在当时是一个漫长而艰难的旅程）为圣安德
鲁的大主教治病。
但是，好景不长，不久就接连发生了悲剧。1546年，他的妻子去世了，
年方
31岁，留给卡尔达诺两个儿子、一个女儿。在这些子女中，长子詹巴
蒂斯塔是卡尔达诺的希望与欢乐。这个孩子非常聪明，他在帕维亚大学获
得了医学学位，子承父业，前途不可限量。但是，灾难像“疯女人”（卡
尔达诺语）一般袭来。他写道，1557年
12月
20日晚，“..我正当睡意
朦胧之际，床突然抖动起来，继而整个卧室都在震动。”第二天早上，卡
尔达诺从询问中得知，全城没有任何其他人感觉到了夜里的震动。卡尔达
诺认为这是一个凶兆。他刚一得出这个结论，仆人就带来一个意想不到的
消息：詹巴蒂斯塔娶了一个“平庸或没有任何可取之处”的女人为妻。
后来证明这果然是一桩不幸的婚姻。詹巴蒂斯塔的妻子生了三个孩
子，她自称，没有一个是詹巴蒂斯塔的。她的不贞，乃至不知羞耻，令詹
巴蒂斯塔失去了理智。为了报复，他在给妻子的糕点里下了砒霜。砒霜果
然有效，而詹巴蒂斯塔自己也以谋杀罪被捕。卡尔达诺凭借他的声望，作
