100，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000
多项！因此，虽然莱布尼兹的级数预示了一种计算π近似值的新的算术方
法，但它显然没有实用价值。
100，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000
多项！因此，虽然莱布尼兹的级数预示了一种计算π近似值的新的算术方
法，但它显然没有实用价值。
于
1699年发现
了精确到
71位小数的π近似值，而
7年后，梅钦则计算出
100位小数的π
值。并且，他们的方法远比可怜的卢道尔夫用大半生时间才抠出
35位小数
的方法简便得多。显然，级数方法宣告了古典方法的过时。
同时，数学家还试图理解这一特殊常数的其他特点，在这一方面也有了进
展。其中主要是约翰·海因里希·朗伯（1728—1777年）于
1767年证明
π是无理数。我们回想一下，所谓无理数，就是那些不能写成两个整数商
的实数——即，无理数是不能写成分数的数。我们可以很容易地指
出，像
2或
3这些常数都是无理数，但是，直到18世纪，朗伯才证明出
π是无理数。我们只要回想一下有理数的小数展开式不是终止，就是循环，
便能理解朗伯的发现特别重要。例如，有理数1 小数是0.125，而有理数
8
1
7
的小数却是无限的，但至少它是以六位小数循环：
1
= 0.142857142857142857142857..
7
如果π是有理数，那么，它也应该能够表现出这两种形式中的一种—
—或者终止，或者循环，因而，确定其小数展开式的努力，经过一定时间
后，势将最终完成。朗伯证明π是无理数，就决定了其小数计算是无穷无
尽的。
似乎这种无理性还不够糟，1882年，费迪南德·林德曼又证明出π实
际上是超越数，如我们在第一章中所述。对超越数的发现不仅解决了化圆
为方的问题，而且，也说明了π不能形成涉及有理数平方根、立方根等等
的任何一种初等表达式。朗伯和林德曼的研究表明，π不是那种易于进行
数学分析的“佳”数。然而，公元前
225年的阿基米德明白无误地指出π
是所有数中最重要的数之一。
π的历史引入了本世纪一位杰出的数学家斯里尼瓦萨·拉马努扬（1887—1920年）。拉马努扬出生在印度，家境贫寒，未受过任何正规数学教育。
他主要是根据几本教科书自学成才的。拉马努扬对数学的热中，严重影响
了他的其他学业，由于他未能通过其他课程的考试，不得不中止了他的正
规教育。1912年，他在马德拉斯做文书工作，靠
30英镑年薪勉强维持他
夫妻二人的生活。作为失败者，他是很容易被社会所淘汰的。
尽管存在着这种种障碍，但这位孤立的天才却在从事着极富独创力，
极有深度的数学研究。在别人的怂恿下，他把自己的发现
写成了一封长信，分别寄给了英国三个最著名的数学家。其中两人把
信退回了拉马努扬。显然，他们认为有比给一个不知名的印度小职员回信
更紧迫的事情要做。
第三位数学家是剑桥大学的
G.H.哈代，在他于
1913年
1月
16日打开
早晨的邮件时，本来或许也会这样做。拉马努扬用蹩脚英文写的信中有
100
多个奇怪的公式，但没有任何证明，仿佛一个妄想狂随心所欲地在漫游世
界。哈代随手把信丢在一旁。
但是，据说，这些数学公式一整天萦绕在他的脑海中。这些公式，有
许多都是哈代这位世界上最优秀的数学家从来没见过的。逐渐地，他醒悟
了，认识到这些公式“..一定是真实的，因为如果它们不真实，就不会
有人能有这种想象力，发明出它们来。”哈代回到自己的房间，重新审看
早上的信件，他意识到，这是一个大数学天才的杰作。
这样，就开始办理拉马努扬到英国来的手续。对于一个从小受到严格
宗教熏陶的人来说，这是一件很复杂的事情，因为他在旅行、饮食等方面
都有许多限制。但这些困难最后都被克服了，1914年，拉马努扬终于来到
了剑桥大学。
拉马努扬与哈代从此开始了长达五年之久的非凡合作——后者是受过
世界上最好数学教育的温文尔雅的英国人；而前者却是一位“未经雕琢的
天才”，虽具有令人难以置信的能力，但数学知识却有很大局限性。有时，
哈代只好像对待一个普通大学生一样指导这位年轻伙伴。而拉马努扬也常
常提出一些从未见过的数学定理令他惊奇。
在拉马努扬的公式中，有许多都能够迅速而精确地计算出π的近似
值。这些公式，有的编入了
1914年他的一篇重要论文；也有一些则潦草地
涂写在他的私人笔记本里（急切的数学界直到现在才有幸目睹这些文献）。
即使其中最简单的公式也使我们受益匪浅。其实，只要说一句话就够了，
他的见解开通了更有效地计算π近似值的思路。
然而，不幸的是，拉马努扬的事业，开始得如此奇特，结束得又如此
仓促。第一次世界大战期间，拉马努扬在远离家乡的剑桥大学累垮了身体。
有些人认为原因在于疾病，而另一些人认为，原因在于严格的饮食限制造
成了严重的维生素缺乏症。为了恢复健康，他于
1919年返回了印度，然而，
他家乡的温馨却无法阻止他病情的恶化。1920年
4月
26日，拉马努扬与
世长辞了，年仅
32岁。从此，世界失去了一位数学奇才。
现在，让我们来引述英国人威廉·谢克斯（1812—1882年）的惊人计
算，至此，我们的故事迅速进入现代结局。谢克斯于
1873年计算出
707
位小数的π值。他利用梅钦的一系列方法，达到了如此惊人的精确度，成
为此后
74年的标准。但是，1946年，他的同胞
D.F.弗格森却令人吃惊地
发现谢克斯在其非凡计算的第
527位小数之后出现了错误。弗格森善意纠
正了这些错误，并得到了
710位小数的π值。对于那些少有计算兴趣的人
来说，简直难以想象能够对一个带有
707位小数的数字进行验算，而且，
更令人难以置信的是，在验证了
100位、200位，甚至
500位小数都没有
发现错误的时候，竟然还能坚持验算下去！弗格森的惊人毅力终于有了回
报。
1947年初，美国
J.W.伦奇将自己的成就加入到这一历史之中，公布了
808位小数的π值。这似乎是一个辉煌的新胜利——但后来，不屈不挠的
弗格森又开始检验这一数值。并且，他果真发现伦奇计算的第
723位小数
有错误。然后，弗格森与伦奇两人通力合作，终于于一年后公布了精确到
808位小数的π值。
自此，故事进入了第四阶段，也是最后一个阶段。我们已看到，人们
最初是如何“数着指头”估算π值的；后来，阿基米德引入了圆内接和外
切多边形的方法，这种方法一直盛行到微积分的出现，并被无穷级数的算
术技术所取代。最后，1949年，计算机的出现引起了计算方面的根本革命。
同一年，美国陆军的电子数字积分计算机计算出精确到
2037位小数的π
值。应当指出，用现代眼光来看，这台计算机是一部非常原始的机器，密
密麻麻的电线和电子管占满了好几间房屋，其运算速度之慢，简直让人难
以忍耐。但即使是这样一台古怪的老式计算机，也超越了前人的所有计算，
其中一个重大的飞跃是将人类两千两百年计算的π近似值的小数位扩大了
一倍半，而且，即便是
D.F.弗格森也找不出一个错误。随着计算机技术的
发展，π值的小数位数以令人难以置信的速度飞快增加。1959年，计算出
16，000多位小数；1966年，就发展到
25万位小数，而到
80年代末，巨
型电子计算机已将π值的小数位数猛增到
5亿位上下。
然而，我们人类脆弱的自我无须感到大受伤害。虽然计算机的计算速
度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正
确运算。π的故事讲述了人类的胜利，而不是机器的胜利。即使在
20世纪
末叶，我们也绝不能忘记，这一数学历程最初是由最优秀的数学家、叙拉
古城的阿基米德的一篇题为《圆的测定》的短文引发的。
第五章
赫伦的三角形面积公式
（约公元
75年）
阿基米德之后的古典数学
阿基米德在数学景观上投下了长长的影子。其后的古代数学家虽然都
有自己的建树，但却没有一个人能够比得上叙拉古城这位伟大的数学家，
随着希腊文明的衰落和罗马的同时兴起，事情益发明显。阿基米德死于罗
马人之手，预示了以后所发生的事情，这种看法也许有点儿简单化，但并
非没有道理。希腊人专注于自己的理念世界，在罗马强大的军事力量面前，
确实不堪一击，而罗马人则忙于建立政治秩序和征服世界，完全无视希腊
人热中的抽象思维。如同对阿基米德一样，罗马新秩序同样也不能容许希
腊传统的存在。
一些资料也许有助于我们的认识。我们已看到，叙拉古城于公元前
212
年陷落于罗马的马塞卢斯之手。三次残酷的布匿战争最终以公元前
146年
罗马消灭迦太基而告终，罗马人从此确立了对中地中海两岸的控制。同一
年，希腊的最后一座重要城邦科林斯向罗马军投降。一百年后，尤利乌斯·凯
撒征服了高卢；公元前
30年，在安东尼与克娄巴特拉的统治失败后，埃及
落入屋大维之手。甚至野蛮的不列颠也于公元
30年臣服于罗马。自此，罗
马正式成为帝国，对西方世界行使着史无前例的统治。
随着罗马的征服，他们复杂的工程项目也随之发展起来：桥梁、道路
和沟渠遍布欧洲大陆。然而，曾强烈吸引希波克拉底、欧几里得和阿基米
德的纯粹数学却未能像以前那样兴盛。
但是，依然保持辉煌的是亚历山大图书馆。这座环境优美的图书馆吸
引了地中海地区最优秀的学者，是一个最令人兴奋的地方。阿基米德的一
位同时代人，著名数学家厄拉多塞（公元前约
284—192年）就曾大半生在
这里担任馆长。厄拉多塞身居学术要职，是一位阅读广泛、著作等身的学
者，许多关于纯数学、哲学、地理学，特别是天文学的著作都出自他的手，
这最后一项，不仅包括许多学术论文，而且还包括一部题为《赫耳墨斯》
的长诗，将天文学的基本知识写成了诗歌！像众多的古代著作家一样，厄
拉多塞的著作大部分散失了，我们只能依靠后来注释者的描述来了解他。
但他身为当时的学界名流，似乎是没有疑问的。阿基米德至少有一篇著作
是题献给厄拉多塞的，并视其为一个伟大的天才。
厄拉多塞的一大贡献是他著名的“筛法”，这是一种寻找素数的简便
方法。为了用厄拉多塞筛法选出素数，我们首先写下从
2开始的连续正整
数。请注意，2是第一个素数，然后我们依次划掉后面所有
2的倍数，即
4、
6、8、10等。越过
2，下一个没有划掉的整数是
3，这一定是第二个素数。
我们现在再划掉所有
3的倍数——6
（虽然它已经被划掉了）、9、12、15等。下面我们来看，4已经被划
掉了，于是，下一个素数是
5；我们再划掉表中所有
5的倍数——10、15、
20、25等。如此循序渐进。显然，我们划掉的数字都是较小整数的倍数，
它们都不是素数，因而，都被筛掉了。而另一方面，素数却永远不会被筛
掉，它们将成为我们表中唯一剩下的数字：
掉，它们将成为我们表中唯一剩下的数字：
用厄拉多塞筛法，可以自然而然地产生
100以下的所有素数。但要找出，
比如说，100万亿以下的所有素数，用这种方法显然就非常困难了，但现
代计算机运用这一古老方法，却有极大收获。
厄拉多塞最著名的科学成就也许是他对地球周长的测定。虽然有许多
文字描述了他的这一计算，但由于找不到他的原始论文《论地球的测量》，
我们还不能肯定厄拉多塞究竟用的是什么方法。但是，据说，他运用了一
些地理数据和一个非常简单的几何图形，具体如下：
在埃及亚历山大以南，今天的阿斯旺附近，有一座城市叫赛伊尼。在
夏季第一天的中午，赛伊尼处的太阳直射地面。如果此刻有人往井里看，
就会感到水面反射的太阳非常刺眼，从而证实了太阳的直射。但在同一天
的同一时刻，亚历山大处的竹竿却投下一个短影。厄拉多塞注意到，从竹
1
竿顶端到阴影端点之间形成的夹角恰好等于整个圆周角度的
50（见
a
图
5.1）。假设亚历山大位于赛伊尼的正北（这大体正确），而且，因太
阳距离地球十分遥远，假设阳光射到地球是平行的（又一个合理的假设），
厄拉多塞根据《原本》的命题Ⅰ.29，判定内错角∠AOS等于∠a，而
O则
代表球状地球的球心，如图
5.1所示。最后的已知条件是测得这两座城市
之间的距离为
5000斯达地。因此，我们得到比例
从赛伊尼到亚历山大的距离
=
角a
地球周长全圆角度
5000斯达地1
也就是，
地球周长
=
50
，所以，地球的周长等于
50×5000 = 250 000
,
斯达地。至此，读者肯定会问：“一斯达地是多长？”厄拉多塞所用单位
究竟多长已无从考订，只能冒险地引用估计值，即一斯达地约等于
516.73
英尺。利用这一数字，可以得出厄拉多塞计算的地球周长为
129，182，500
英尺，或约
24，466英里。目前公认的地球周长为
24，860英里，所以，
厄拉多塞的计算结果非常接近此值。实际上，由于这个数字太精确了，以
致一些学者怀疑其真实性，或者至少同意托马斯·希思爵士的观点：厄拉
多塞给了我们“一个令人惊奇的近似值，不论其在多大程度上归因于计算
中的偶然。”
暂且抛开这些怀疑不谈，厄拉多塞的推理方法还是值得我们注意的，
这不仅是因为其巧妙，而且还因为，无论如何，他坚信我们的地球是一个
球体。而
1500年后的欧洲水手却还惧怕从扁平大地的边沿掉下去。我们有
时忘记了古希腊人已完全意识到地球的球体形状，如果后来的水手还睁大
双眼，搜寻地平线的边缘，这与其说是学问太少，不如说是记性不佳。
双眼，搜寻地平线的边缘，这与其说是学问太少，不如说是记性不佳。
约
262—190年），他也是阿基米德同时代人，也曾到过亚
历山大，在那充满学术气氛的环境里学习、工作。他在那里完成了他的代
表作《圆锥曲线》，这是一部广泛讨论所谓圆锥曲线的巨著，涉及椭圆、
抛物线和双曲线（图
5.2）。虽然古希腊数学家曾深入研究过这些曲线，
但阿波罗尼奥斯重新整理了前人的工作，使之系统化、条理化。这种情形，
很像欧几里得编著《原本》的情况。《圆锥曲线》共有八篇，前四篇系统
叙述了圆锥曲线的基本原理，后三篇讨论了更专业化的问题，第八篇现已
失传。
即使在古代，阿波罗尼奥斯的著作也被公认为是圆锥曲线问题的权威
论述，而且，在文艺复兴期间被重新发现后，亦得到了很高的评价。当约
翰·开普勒（1571—1630年）提出他关于行星以椭圆形轨道围绕太阳运动
的独创性理论时，圆锥曲线的重要性得到了证实。椭圆绝不仅是古希腊数
学家手中把玩的珍品，它已成为地球，乃至地球上我们全体人类运行的轨
道。大约一百年后，因发现彗星而声名大噪的英国科学家埃德蒙·哈雷用
了几年时间来编定《圆锥曲线》的最后定本，并对这一古典数学著作推崇
备至。今天，这部巨著与欧几里得的《原本》和阿基米德的著作并列，成
为古希腊数学的里程碑。
最后一位古代数学家与本章的伟大定理有关，他就是亚历山大（还能
是哪里呢？）的赫伦。一些现代书把他的名字写成“希罗”（Hero，即英
雄之意——译注），这主要是因翻译造成的，而不是他自命不凡。遗憾的
是，我们对他的生平知之甚少，甚至对他的生卒年月也颇多争议。不过可
以肯定地说，赫伦是在阿波罗尼奥斯之后，但更确切的日期就有待于一位
天才像侦探小说里经常描写的那样去推断了。我们采用了霍华德·伊夫斯
的观点，确定赫伦的活动时期为公元
75年前后。
尽管我们对赫伦的生平知之甚少，甚至不知是否相差了
150年，但学
者们却拥有大量关于赫伦数学的资料。赫伦的兴趣主要是在实践方面，而
不是理论，他的许多著作都涉及了非常有用的实用科学，如机械学、工程
学和测量学。他的这种侧重反映了希腊人与罗马人兴趣的截然不同。例如，
赫伦在其《经纬仪》一书中介绍了挖掘穿山隧道及计算泉水流量的方法。
在另一部著作中，他回答了一些日常生活问题，例如“为什么用膝盖在一
根木棍的中间用力顶，木棍会折断？”或者“为什么人们用钳子而不用手
拔牙？”
然而，有趣的是他关于三角形面积的命题。这一命题像赫伦的其他许
多课题一样，明显地带有实用性，但他对这一命题的证明却是一篇出色的
几何抽象推理。这条命题是赫伦《量度》一书中的命题Ⅰ.8，这一重要著
作的发现还有一段有趣的历史。数学家们早就知道有这样一篇论文存在，
因为评注家欧托休斯早在公元
6世纪时就曾提到过这部著作，但人们却找
不到它的下落。它就像恐龙一般神秘地消失了。1894年，数学史家保罗·坦
纳利在一个
13世纪巴黎人的手稿中偶然发现了这篇论文的片段。更幸运的
是，两年后，R.舍内在君士坦丁堡发现了这部著作的全部手稿。这样，现
代人才有幸目睹《量度》一书的全貌。
伟大的定理：赫伦的三角形面积公式
伟大的定理：赫伦的三角形面积公式
因为众所周知，三角形面积的标准公式十分简单——面积=
1 （底）×
2（高），而且已得到了广泛的应用。但是，如果用这个公式去求图.. 5.3中
三角形的面积就没有什么意义了，因为我们还不知三角形的高。
首先，应当指出，已知一个三角形的三条边，则其面积一定是确定的。
这可以直接从“边边边”全等定理（欧几里得，命题.. 1.8）中推导出来，
因为我们知道，任何边长等于（比如）17、25和.. 26的其他三角形，一定
与图.. 5.3中的三角形全等，因此，其面积也完全相等。所以，如果我们知
道三角形的三条边，我们也就知道一定有一个，并且只有一个面积值。
但是，如何确定这一面积值呢？今天仍像两千年前一样，最简便的方
法是应用赫伦的公式，其公式用现代符号表示，就是：
如果.. K是边长等于.. a、b、c的三角形的面积，那么，..
K=
ss -a)(s -b)(s -c)
(
这里s=
1(a+b+c)是三角形的所谓“半周长”。
2
