述，（至少用现代人的眼光来看），一个很大的缺憾是，由于缺乏简明的
代数符号，他无法用简单的公式来表示体积和表面积，而只能依靠陈述，
例如：
题
13任一正圆柱除上下底面以外的表面积等于一圆的面积，该圆
的半径是圆柱的高与底面直径的比例中项。
乍一看，这一命题似乎非常深奥而陌生。但实际上，我们所感到陌生
的，只是其语言，而不是其内容。由于没有代数，阿基米德只好用这种方
式来表示他所求证的面积（本例为正圆柱体的侧面积）等于一个已知图形
的面积（本例为一个圆）（图.. 4.7）。但是，是一个什么样的圆呢？显然，
阿基米德必须要指定他的等面积圆，这就是命题中所说的以比例中项为半
径的圆。
用现代术语表示，阿基米德的命题就是
侧面积（半径为.. r，高为.. h的圆柱）
=面积（半径为.. x的圆）
这里，h = x 。我们可以很快从中推导出x2 =2rh，这样，我们就得
x 2r
到了著名公式：
侧面积（圆柱）=面积（圆）=πx 2=2πrh
阿基米德通过一系列测探性的命题，接近了他第一个主要目标——球
体的表面积。由于篇幅所限，我们不能详细介绍他对这个问题的推理过程，
但我们承认他推理的巧妙。前面我们已介绍过阿基米德数学的特点，读者
对他再次应用穷竭法就不会感到奇怪了。他利用以前曾证明了其表面积的
圆锥体和圆锥台，从内外双向逼近，“穷竭”了球体。待尘埃落定后，他
已证明下面这一非凡的
命题
33任一球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍。
阿基米德运用他最喜欢的逻辑方法——双重归谬法完成了对这个命题
的证明，即，他先证明球体表面积不可能大于、然后又证明了也不可能小
于其最大圆之面积的四倍。如果我们注意到球体“最大圆”的面积（即通
过球体“赤道”的圆之面积）正等于πr 2，那么，我们就可以把阿基米德
对本命题的陈述（“球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍”）转化成
现代公式
表面积（球体）=4πr 2
这是一个非常复杂的数学命题。阿基米德对其概念的熟练驾驭和他所
表现出的深刻洞察力，似乎成为现代积分学思想的先声。显然这就是阿基
米德被公认为古代最伟大数学家的原因所在。
关于这一命题，还有另外一个事实值得一提，那就是它的奇特性。因
为没有任何直觉能让我们感到球体的表面积恰好等于其最大横截面面积
的.. 4倍。为什么就不能等于.. 4.01倍呢？究竟是什么使这不可思议的数字..
“4”能够保证球体的曲面表面积恰好等于穿过球心的大圆面积的四倍呢？
阿基米德在《论球和圆柱》一书的导言中讲到了球体这一奇异而固有
的特性。导言是写给叫做“多西修斯”的某人，此人可能是亚历山大的一
位数学家，而阿基米德曾将论文寄给他。他写道：“..我想到了某些迄
今为止尚未被证实的定理，我已经作出了这些定理的证明。”其中，他首
先提到“..任一球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍”，然后，他
又继续写道，这一性质
位数学家，而阿基米德曾将论文寄给他。他写道：“..我想到了某些迄
今为止尚未被证实的定理，我已经作出了这些定理的证明。”其中，他首
先提到“..任一球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍”，然后，他
又继续写道，这一性质
这一段话提供了一个有趣的史料，我们得以看到，阿基米德是如何评
价自己的工作及其在数学发展中的地位的。他毫不犹豫地将自己与伟大的
欧多克索斯并列，因为他完全懂得他的发现的非凡性质和分量。但是，他
还特别强调，他没有发明或创造.. S=4πr 2。他只是幸运地发现了球体固有
的性质，这一性质始终存在，只是以前没有被几何学家所发现。阿基米德
认为，数学关系的客观存在与人类能否解释它们无关。他自己只是能够瞥
见这些永恒真理的幸运者。
即使《论球和圆柱》除了前面的定理外，再没有其它内容，它也将永
远是一部数学经典。然而，阿基米德随即将目光转向了球的体积问题。他
再次应用双重归谬法，成功地证明了
命题
34任一球体的体积等于底面积为球体最大圆面积，高为球体半
径的圆锥体体积的四倍。
请注意，阿基米德依然没有将球体体积表述为简单的代数公式，而是
借助了一个更简单的立体（本例为圆锥体）体积（图.. 4.8）。我们只要略
加努力，就可以把他的文字陈述转变为现代等价公式。
设.. r为球体半径。那么，“底面积为球体最大圆面积，高为球体半径
的圆锥体”就等于
体积（圆锥体）
=
1 πr2h =
1 πr 2r=
1 πr3
333
但是，阿基米德的命题34证明，球体的体积等于这种圆锥体体积的四
倍，由此得出著名公式
体积（球体）=4 体积（圆锥体）
=
4 πr3
3
这个公式的优点之一是阐明了π与欧几里得命题Ⅻ.18提出的“体积
常数”m之间的联系。参照我们以上的讨论，我们可以直接得出..
4 πr3= 体积（球体）
3(3 3
=mD =m2r )=8mr
3
和一个代数式m=
p
6
。这样，阿基米德前关于圆周长、圆面积和球体积
的谜就都得到了解决。不再需要三个不同的常数来强调这三个不同的问
题；所有这三个常数都建立在π的基础之上。阿基米德已展示了它们之间
惊人的统一。
阿基米德在完成了对命题.. 33与.. 34的证明之后，立即以一种引人注目
的方式重述了这两个命题。他假设一个圆柱体外切一个球体，如图.. 4.9所
示。然后，他宣称，圆柱体的表面积和体积都等于球体的一倍半！在某种
意义上，这是他全部工作的高潮。他用一种简单的方式描述了两个伟大定
理，用相应比较简单的圆柱体的表面积和体积来表示复杂的球体表面积和
体积。本节将以对阿基米德这一惊人判断的证明作为结束。
意义上，这是他全部工作的高潮。他用一种简单的方式描述了两个伟大定
理，用相应比较简单的圆柱体的表面积和体积来表示复杂的球体表面积和
体积。本节将以对阿基米德这一惊人判断的证明作为结束。
为
r的球体，其自身半径也等于
r，
并且，高
h=2r。圆柱体的全部表面积等于侧面积（见命题
13）与顶面积及
底面积之和。因此，
圆柱体全部表面积=2πrh+πr
2+πr2
=2πr(2r)+2πr2=6πr2
32
= (4pr)
2
=
3 （球体表面积）
2
这一公式准确地表达了阿基米德所说圆柱体的表面积等于球体表面积
“一倍半”的意思。
那么，其相应体积如何呢？我们知道，一般圆柱体的体积公式是
V=π
r2h，在本例，则
V=πr
2(2r)=2πr3。因此，
圆柱体体积=2πr
3
34 3
=( pr)
23
=
3 （球体体积）
2
所以，圆柱体的体积等于球体体积的一倍半。
这样，阿基米德以一种简明而非凡的陈述表明了球体与圆柱体之间的
联系。正是这种联系使他将这部论著题为《论球和圆柱》。阿基米德对他
的这一发现深感自豪，这一点可以从普卢塔克所提到的阿基米德的墓志铭
中看出：
“他的发现数量众多，令人钦佩；但据说他在弥留之际，曾请求他的
朋友和亲属在他的墓上置放一个内盛球体的圆柱体，并且要使球体按照二
者之间的比例（即，3∶2）内接于圆柱体。”
有趣的是，西塞罗到叙拉古城时确曾拜谒过阿基米德的墓，并在其《图
斯库卢姆谈话录》一书中作了记载。阿基米德的墓地上长满了“杂乱的荆
棘与灌木”，遮盖了一切。但西塞罗知道他要找的是什么，所以，不难理
解，当他发现“灌木丛中显露出来一个小圆柱顶上安放着内盛球体的圆柱
体”时，心情该有多么激动。西塞罗发现了阿基米德墓地遗址后，曾想按
照原貌尽力修复。如果这个故事真实，那么，西塞罗就发现了这位古希腊
最伟大数学家的最后长眠地。他想修复这一被人忘却了的墓地遗址，不仅
是为了向阿基米德罗表示敬意，也许还为了补赎他的残暴的马祖先的罪
愆。
人们常常听说有人走在时代的前面。这一般是说，一个人超于世上其
他人十年，或者，整整一代。但是，阿基米德对数学的贡献，其辉煌却是
千百年无人能出其右！直到
17世纪发展了微积分，人们对立体体积和表面
积的理解才超出了阿基米德的基本原则。可以肯定地说，无论数学学科将
来会有怎样的荣耀都永远不会再有人先于时代两千年了。
最后，我们不如引用伏尔泰对这位伟大数学家的成就所作的恰如其分
的高度评价：“阿基米德比荷马更富有想象力。”
的高度评价：“阿基米德比荷马更富有想象力。”
阿基米德《圆的测定》一书所留下的遗产之一是求我们称之为π的重
要常数的更精确近似值。这一比率的重要性早在阿基米德之前很久便已为
人所知，虽然阿基米德是科学地研究这一常数的第一人。在阿基米德之前，
人们对π值的估算可以从《圣经》关于圆“海”（即一个盛水的大容器）
的一段有趣的引文中推断出来：“..他又铸一个铜海..径十肘、围三
十肘”（《列王记》，上，7∶23）。
C 30
从这里，我们可以推导出π的近似值，即π=
D=
10=3.00 ，由于
当时尚属远古时代，所以，这一近似值还是非常合理的。（当然，那些认
为《圣经》在一切方面都十分精确的人，会在此吹毛求疵，因为
3.00大大
低估了π值。）
古代对π值的更精确计算是古埃及人作出的。据赖因德古本记载，他
们用(
4) 4 =
256
= 3.1604938 ..作为C与D的比值。这些及其他“前科
3 81
学”近似值代表了对π值估算的第一阶段。如我们所知。阿基米德开创了
第二阶段。他所应用的圆内接或外切正多边形周长的几何方法一直为
17
世纪中叶前的数学家所采用（这是阿基米德走在时代前面的又一个证明）。
约公元
150年，亚历山大著名的天文学家和数学家克劳迪厄斯·托勒
密在其《天文学大成》这部巨著中提出了π值的一个近似值。这部巨著集
天文学信息之大全，从太阳、月球及行星的运动，到恒星的性质，无所不
包。显然，对天体的精确观测需要复杂的数学基础，为此，早在《天文学
大成》中，托勒密就作出了弦值表。
他首先作一个圆，将其直径分为
120等份。如果每一等份的长度为
p，
则我们可以确定其直径为
120p，如图
4.10所示。对于任何圆心角
a来说，
托勒密希望能发现与这一角所对的弦
AB的长度。例如，一个
6O°角所对
的弦恰好等于半径的长度，即
60p。
这是一个很简单的例子，但是，要发现42
1 °角所对弦的长度却远非易
2
事。然而，托勒密运用巧妙的推理和阿基米德的一个计算技巧，精确地计
算出了范围从1 °到180°，以半度递增的所有角度的弦值表。
2
但是，与我们的讨论有关的问题是，他发现了
1°弦的值（用现代十
进制记数法）为
1.0472p。因此，内接于这个圆的正
360边形的周长就等
于
1°弦长的
360倍，即
376.992p。虽然利用正多边形的思想显然是阿基
米德的思想，但托勒密的
360边形却比其前辈的
96边形推算出的π近似值
精确得多。即，
π
= ≈
360边形的周长
=
376 992 p
= 3.1416
C.
D 圆的直径
120p
几百年后，π值计算的发展集中于非西方文化的中国和印度，在这两
个国家的文化中，都有其自己光辉的数学史。中国的科学家祖冲之（430
—
—
501年）于公元约480年计算出π的近似值
113= 3.14159292..，而印度
数学家婆什迦罗第二（1114—约
1185年）则于约公元
1150年计算出
3927
= 3.1416。
1250
当欧洲人终于从中古时代的数学停滞中再度崛起的时候，发现精确π
值的速度大大加快了。16世纪末，随着西蒙·斯蒂文（1548—1620年）等
数学家的艰苦探索，现代十进制问世了，人们可以更方便、更准确地计算
平方根。因而，当法国天才数学家弗朗索瓦·韦达（1540—1603年）试图
利用阿基米德的方法计算π近似值时，他可以用正
393，216边形推算出精
确到
9位小数的π值。他先按照阿基米德的方法作出正
96边形，然后将正
多边形的边数翻倍十几次，得到正
393，216边形。即使阿基米德，在韦达
的数系面前，也会惊讶，而十进制记数法则为韦达提供了用武之地。他所
采用的基本方法仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进
的工具。
17世纪初叶，一位德国数学家超越了所有前人，发现了精确到
35位
小数的π值。他的名字叫卢道尔夫·冯瑟伦，他用了几年时间钻研这个问
题。像韦达一样，卢道尔夫也将新的十进制与旧的阿基米德方法结合起来，
但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，卢道尔夫是从正方形开始
的。到他完成的时候，他已推导出了有
2
62条边的正多边形——或约
4，610，000，000，000，000，000边形！不用说，这个多边形的周长与其外
接圆的周长相差无几。
计算π近似值的古典方法已引导数学家们走得很远。然而，17世纪末
叶发生了一次计算这一不寻常比值的数学大爆炸，其中一个进步就是最终
取代了阿基米德的方法，并将对π值的探索推向了第三阶段。17世纪
60
年代末，年轻的艾萨克·牛顿应用其广义二项式定理和新发明的流数法（即
微积分），比较轻松地计算出了非常精确的π近似值；这就是我们将在第
七章中介绍的伟大定理。1674年，牛顿的对手戈特弗里德·威廉·莱布尼
兹发现级数
11111 1 1
1 -+-+-+ -+ ..
35 7 9111315
随着我们计算的项数不断增加，接近于数字π/4。至少从理论上说，
我们可以无限扩展这一级数的项，以得到更加精确的π/4，并且由此得到
π本身的近似值。重要的问题是，我们必须求和的这个级数，按其方式，
是完全可以预知的；也就是说，无论我们将这一级数扩展多长，都不难确
定下一项。这样，求π近似值的问题就从以阿基米德正多边形为代表的几
何问题突然变成了加减数字的简单算术问题。这是一个视角的重大的变
化。
实际上，在这一点上，情节渐趋复杂，因为莱布尼兹的级数虽然确能
接近π/4，但计算起来也实在太慢了。例如，即使我们用这一级数的前
150
项计算，我们所得到的π近似值也仅为
3.1349..，想到工作量之大，则
这一计算的准确性实在令人失望。据估计，如果我们要利用这一级数得到
精确到
100位小数的π近似值，我们就需要计算
