“科学与人译丛”出版说明
“科学与人译丛”出版说明
“1609年，加利莱奥·伽利略使用一架望远镜观看月亮。这一时刻，
对世界的意义如此重大，以至人们将它与耶稣的诞生相提并论。因为，就
像在伯利恒，自这一时刻，人类生活中的不可能成为可能。”
阿普尔亚德据此将科学划分为伽利略之前的科学，或称“智慧”，以
及从
1609年开始的现代科学。前一科学建立在推理基础上，后一科学建立
在观察与实验基础上。经过如此划分，我们习以为常的科学，竟然只有
400
年的历史。
但人类就在这
400年内经历了飞速发展。
我们有了蒸汽机，有了轮船，有了电话、电报，有了飞机、火箭，有
了电视、电脑、互联网络，我们还有重力场理论、元素周期表、量子力学、
相对论乃至被称为“自然中最基本物体”的超弦。工业革命、农业革命、
信息革命使人类的社会生活发生了前人难以想象的变化。
人类改造了自然，也改造了人类自己。回顾这一切，人类完全有理由
感到自豪。因为，人类就像上帝，也有自己的“创世纪”。人说，要有科
学，就有了科学。科学是好的，它行之有效。
然而，“创世纪”中写道“到第七日，上帝造物的工已经完毕，就在
第七日歇了他一切的工，安息了”。而人类的工却没有完毕，400年后的
今天仍然不能安息。
就像有光必有影，人在发现、发明、创造、拥有上述一切的同时，还
得到了原子弹、氢弹、核泄漏、酸雨、温室效应、臭氧层空洞乃至伴随科
学技术而来的种种风险。
人类曾以为已找到了通往自由王国的必由之路，他将乘着科学的飞
船，摆脱一切束缚，重新确立自己在宇宙中的位置。但在科学爆炸的二十
世纪，人类终于开始反思：
科学行之有效，但它是否就是真理？
为此，我们编辑了这套《科学与人译丛》，陆续分辑推出。其中，有
对信息崇拜的批判，有对生命起源的求索，有对技术所导致风险的分析，
有对世界最新科学动态和研究方向的展望。数学家用对策论证明，完全的
民主实际上并无可能；物理学家提出全新的超弦理论，试图统一描述所有
的力、物质的所有基本粒子和时空，继量子力学和相对论之后，成为“第
三次物理学革命的重要标志”..《译丛》汇集了物理学家、数学家、生
物学家、天文学家、哲学家、人类学家、伦理学家..自本世纪后半期、
尤其是在本世纪末打通自然科学与社会科学之间的隔膜，对科学这一决定
人类命运的工具的深刻思索。通过这套丛书，我们期望读者可以对科学的
现状、科学的未来、科学的正面与负面效应，有一个较为全面的了解，更
好地认识科学、掌握科学、利用科学。
中国对外翻译出版公司
1997年
2月
自序
自序
“有一条小路，穿过田野，通向新南盖特，我经常独自一人到那里去
观看落日，并想到自杀。然而，我终于不曾自杀，因为我想更多地了解数
学。”
诚然，很少有人能够如此虔诚地皈依数学，但是，确有许多人懂得数
学的力量，特别是懂得数学之美。本书谨献给那些愿更深入地探索漫长而
壮丽的数学史的人们。
对于文学、音乐和美术等各种学科，人们一向以考证杰作——“伟大
的小说”、“伟大的交响乐”、“伟大的绘画”，作为最适宜和最有启发
性的研究课题。人们就这些题目著书立说，授课讲学，使我们能够了解这
些学科的某些里程碑和创造这些里程碑的伟人。
本书运用类似的方法来研究数学，而书中大师们创造的不是小说或交
响乐，而是定理。因此，本书不是一本典型的数学教材，没有一步一步地
推导某些数学分支的发展，也没有强调数学在确定行星运行轨道、理解计
算机世界，乃至结算支票等方面的应用。当然，数学在这些应用领域取得
了惊人的成就，但并非这些世俗功利促使欧几里得、阿基米德或乔治·康
托为数学殚精竭虑，终生不悔。他们并不认为应借功利目的为自己的工作
辩解，正如莎士比亚不必解释他何以要写十四行诗，而没有写菜谱，或凡
高何以要画油画，而没有画广告画一样。
我将在本书中从数学史的角度来探讨某些最重要的证明和最精巧的逻
辑推理，并重点阐述这些定理为什么意义深远，以及数学家们是如何彻底
地解决了这些紧迫的逻辑问题的。本书的每一章都包含了三个基本组成部
分：
第一部分是历史背景。本书所述及的“伟大定理”跨越了
2300多年的
人类历史。因而本人在论述某一定理之前，将先介绍历史背景，介绍当时
的数学状况乃至整个世界的一般状况。像其他任何事物一样，数学也是在
一定的历史环境中产生的。因此，有必要指明卡尔达诺三次方程的解法出
现在哥白尼日心说公布后两年和英格兰国王亨利八世死前两年，或强调青
年学者艾萨克·牛顿
1661年进入剑桥大学学习时，王政复辟对剑桥大学的
影响。
第二部分是传说性的。数学是有血有肉的实实在在的人的造物，而数
学家的生平则可能反映出灵感、悲剧或怪诞。本书所涉定理体现了许多数
学家的勤奋努力，从交游广阔的李昂纳德·欧拉到生性好斗的约翰·伯努
利和带有最市俗的文艺复兴特征的赫罗拉莫·卡尔达诺，不一而足。了解
这些数学家的不同经历，有助于我们更好地理解他们的工作。
第三部分，也是本书的重点，是在这些“数学精萃”中所表现出的创
造性。不读名著，无从理解；不观名画，无从体味，同样，如果不去认真
地、一步一步地钻研这些证明方法，也不可能真正掌握这些著名的数学定
理。而要理解这些定理，就必须全神贯注。本书各章仅仅意在为理解这些
定理梳理线索。
这些数学里程碑还具有一种永世不灭的恒久性。在其他学科，今天流
行的风尚，往往明天就遭人遗忘。一百多年前，沃尔特·司各脱爵士还是
当时英国文学中最受尊重的作家之一，而今天，人们对他已淡然。20世纪，
超级名星们匆匆来去，转瞬即成历史，而那些旨在改变世界的观念，最终
却常常变成思想垃圾。
当时英国文学中最受尊重的作家之一，而今天，人们对他已淡然。20世纪，
超级名星们匆匆来去，转瞬即成历史，而那些旨在改变世界的观念，最终
却常常变成思想垃圾。
前
300年欧几里得对毕达哥拉斯勾股定理的证
明，并未因时光的流逝而丝毫丧失它的美与活力。相反，古希腊时期的天
文学理论或医术却早已变成陈旧而有点儿可笑的原始科学了。19世纪的数
学家赫尔曼·汉凯尔说得好：
“就大多数学科而言，一代人摧毁的正是另一代人所建造的，而他们
所建立的也必将是另一代人所破坏的。只有数学不同，每一代人都在旧的
结构上加进新的内容。”
在这种意义上，我们探讨伟大数学家历久弥新的成果，就能够从中体
会奥利弗·亥维赛精辟的论说：“逻辑能够很有耐性，因为它是永恒的。”
对体现数学精髓的这些定理的选择，是由许多因素决定的。如前所述，
我主要的考虑是找到具有深刻见解或独创性的论题。当然，这里有一个个
人好恶的问题。我承认，不同的作者可能会选取不同的定理。然而，能够
直接看到数学家通过巧妙的演绎，将看似深奥的问题变得清晰易懂，确实
是一种不同寻常的经历。据说，聪明人可以战胜困难，而天才则可以战胜
不可能。本书将展示许多天才。这里有真正的经典——数学中的《蒙娜·丽
莎》或《哈姆雷特》。
当然，选择这些定理也有其他的考虑。其一，我希望本书能够包容历
史上主要数学家的定理。例如，欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉必不可
少。忽略这些数学家，犹如研究美术史而不提伦勃朗或塞尚的作品一样。
其二，为求全面，我兼顾到数学各个分支。本书的命题涉及平面几何、
代数、数论、解析和集合等内容。各种命题，以及它们之间的偶然联系和
相互影响，为本书增添了一些生动的气息。
我还希望能在本书中容纳各种重要的数学定理，而不仅仅是一些小巧
的游戏或机变。实际上，本书的大部分定理或者解决了长期存在的数学问
题，或者为将来提出了意义深远的问题，或者二者兼而有之。每一章的结
尾处有后记，一般记述伟大定理提出的问题及其在数学史上的影响。
这里有一个定理难度的问题。显然，数学有许多伟大的里程碑，其深
度和难度除专家外，其他人都会感到莫测高深。在一本针对一般读者的书
中引入这些命题，是十分愚蠢的。本书所涉定理，仅要求具备高中代数和
几何知识即可。但有两处例外，一是第
9章在讨论欧拉的定理时使用了三
角学的正弦曲线，二是第
7章在讨论牛顿的定理时应用了初等积分；许多
读者已经掌握了这些知识，而对于那些尚未掌握这些知识的读者，本书做
了一些解释，以帮助他们克服阅读中的困难。
应当指出，本书不是一本学术著作。一些重大而微妙的数学或历史问
题当然不可能在这种书中一一述及。但我尽力避免编入一些不正确或历史
上不准确的材料，因为这不是对所有问题的所有方面追根问底的时间和场
合。总之，本书是一本大众读物，不是科学著作或新闻报道。
就此，我必须对论证的确切性说几句。在准备写这本书的时候，我发
现不可避免地要在定理创始人最初使用的符号、术语和逻辑思维与现代读
者对数学资料的理解要求之间作出某些折衷。完全照搬原作会使人感到非
常难于理解；但严重偏离原作又与我的历史目标相冲突。总之，我实际上
尽力保留了定理原作的全部要旨和大量细节。而我所作的某些修改并不严
重，不过就像是用现代乐器演奏莫扎特的乐曲一样。
常难于理解；但严重偏离原作又与我的历史目标相冲突。总之，我实际上
尽力保留了定理原作的全部要旨和大量细节。而我所作的某些修改并不严
重，不过就像是用现代乐器演奏莫扎特的乐曲一样。
威廉·邓纳姆
俄亥俄州，哥伦布
鸣谢
鸣谢
的
1983年夏季津贴和全国人文学科基金会为
1988年题为“历史上的
数学经典定理”夏季研讨会提供的资金。利利捐赠基金有限公司和全国人
文学捐赠基金会的支持，使我得以归纳以往对数学史的散乱兴趣，形成在
汉诺威学院和俄亥俄州立大学教授的课程。
我衷心感谢俄亥俄州立大学，特别是数学系，在我作为客座教员编写
本书时所给予我的热情支持。数学系主任约瑟夫·费拉尔以及琼·莱泽尔
和吉姆·莱泽尔，在我任客座教员的两年期间，给予我可靠的帮助和支持，
对此，我永志不忘。
许多个人也为本书提供了帮助。感谢图书馆管理员鲁思·埃文斯在我
1980年休假年期间为我提供了
1900年以前的数学资料汇编；感谢全国人
文学科基金会的史蒂文·泰格纳和迈克尔·霍尔对本书之前夏季研讨会提
出的良好建议；感谢卡罗尔·邓纳姆的热情和鼓励；感谢俄亥俄州立大学
的艾米·爱德华兹和吉尔·鲍默—皮纳为我介绍麦金托什文字处理系统的
细节；感谢威利公司编辑凯瑟琳·肖沃尔特、劳拉·卢因和史蒂夫·罗斯
对一个初出茅庐的作者的宽容；感谢全国最有权威的发言人之一，鲍灵格
林州立大学的
V．弗雷德里克·里基提出的关于数学也像其他学科一样具
有不容忽视的历史的观点；感谢巴里·A．西普拉和韦斯特蒙特学院的拉塞
尔·豪厄尔对本书手稿所作的非常彻底而有益的审查；感谢汉诺威学院的
乔纳森·史密斯在出版前的最后阶段提出的编辑意见。
我应特别感谢彭尼·邓纳姆，她为本书绘制了插图，并就书的内容提
出了许多宝贵建议。彭尼是一位非凡的数学教师，是我们共同主办全国人
文学科基金会研讨会的不可替代的同仁，是支持者、顾问、夫人和可以想
象到的最好朋友。
最后，我要特别感谢布伦丹和香农两位大师。
第一章
希波克拉底的求新月形面积定理
（公元前约
440年）
论证数学的诞生
我们对人类远古时代数学发展的认识，在很大程度上依靠推测，是根
据零星的考古资料、建筑遗迹和学者的猜测拼凑而成的。显然，随着公元
前.. 15000至.. 10000年间农业的发明，人类不得不应付两个最基本的数学概
念（至少是以初步形式）：量和空间。量的概念，或“数”的概念是在人
们数羊或分配粮食时产生的，经过历代学者几百年的推敲和发展，量的概
念逐渐形成了算术，后来又发展成代数。同样，最初的农夫也需要认识空
间关系，特别是就田地和牧场的面积而言，随着历史的发展，这种对空间
的认识就逐渐形成了几何学。自从人类文明之初，数学的两大分支——算
术和几何，就以一种原始的形式共存。
然而，这种共存并非永远和谐。数学史上一个持续的特征就是在算术
与几何之间始终存在着紧张关系。有时，一方超过了另一方，有时，另一
方又比这一方在逻辑上更占优势。而一个新发现，一种新观点，都可能会
扭转局面。也许，有人会感到奇怪，数学竟然像美术、音乐或文学一样，
在其漫长而辉煌的历史进程中，同样存在着激烈的竞争。
我们在古埃及文明中，发现了数学发展的明显迹象。古埃及人研究的
重点是数学的应用方面，以数学作为工具，促进贸易、农业和日益复杂的
日常生活其他方面的发展。根据考古记载，在公元前.. 2000年以前，埃及人
已建立了原始数系，并具备了某些有关三角形和棱锥体等的几何概念。例
如，据传说，古埃及建筑师用一种非常巧妙的方法确定直角。他们把.. 12
段同样长的绳子相互连成环状（如图.. 1．1所示），把从B到.. C之间的五段
绳子拉成直线，然后在.. A点将绳子拉紧，于是就形成了直角.. BAC。他们将
这种构形放在地上，让工人们按照这个构形在金字塔、庙宇或其他建筑的
拐角处建成标准的直角。
这种构图表明，古埃及人已对直角三角形的毕达哥拉斯勾股弦关系有
所认识。他们似乎懂得，边长为3、4和.. 5的三角形肯定会含有直角。当然，..
32+42=9+16=25=52，我们从中可以看到在所有数学关系中最重要的关系之
一——勾股关系的早期曙光（见图.. 1.2）。
从技术角度说，古埃及人的这种认识还不是勾股定理本身。勾股定理
申明，“如果△BAC是直角三角形，则.. a 2=b2+c2”。而古埃及人的认识则
是勾股定理的逆定理，“如果.. a 2=b2+c2，则△BAC是直角三角形”。也就
是说，关于命题“如果.. P，则.. Q”，对其相关命题“如果.. Q，则.. P”，我们
称之为逆命题。我们将会看到，一个完全正确的命题，其逆命题可能是错
误的，但著名的勾股定理则不然，不论正命题，还是逆命题，都是正确的。
实际上，这些就是我们将在下一章讨论的“伟大定理”。
虽然古埃及人对.. 3-4-5直角三角形的几何性质有所认识，但他们是否
具有更广义的理解，例如，对于同样含有直角的5-12-13三角形或65-72-97
三角形（因为在这两个三角形中，都是 a 2=b2+c2），则还是个疑问。更重
要的是，没有迹象表明，古埃及人是如何证明这些关系的。也许，他们掌
握某些逻辑论证，以支持他们对.. 3-4-5三角形的观察；也许，他们仅仅是
靠反复试验。但无论如何，在埃及的文字记载中都没有发现通过严密的逻
辑推理，证明一般数学规律的迹象。
要的是，没有迹象表明，古埃及人是如何证明这些关系的。也许，他们掌
握某些逻辑论证，以支持他们对.. 3-4-5三角形的观察；也许，他们仅仅是
靠反复试验。但无论如何，在埃及的文字记载中都没有发现通过严密的逻
辑推理，证明一般数学规律的迹象。
1．3）。这种几何体如今叫做正四棱台。发现这种棱台体积的方法在公元
前.. 1850年的所谓“莫斯科纸莎草书”中有所记载：
“如果你被告知：一个截棱棱锥体，垂直高为.. 6，下底边长为4，上底
边长为.. 2。则你取.. 4的平方，得结果为.. 16。你将.. 4加倍，得结果 8。你取
2的平方，得结果.. 4。你将.. 16、8和.. 4相加，得.. 28。你取.. 6的三分之一，
得结果.. 2。你取.. 28的.. 2倍得.. 56。看，是.. 56。你会发现答案是正确的。”
这段描述十分精彩，确实得出了棱台体积的正确答案。但是，请注意，
它的计算方法却不是普遍适用的。这种方法没有导出一个一般公式，以适
用于其他尺寸的棱台。古埃及人为计算不同尺寸棱台的体积，或许不得不
比照这个例子重新演算一番，而这个计算过程又让人感到有点儿混乱不
清。我们现代的计算公式就简单明了得多：..
V =
13h（a2 +ab+b 2）
公式中，a为正方形下底边长，b为正方形上底边长，h是棱台的高。
更令人遗憾的是，没有任何资料证明古埃及人的方法为什么会得出正确的
答案，他们仅仅留下了简单的一句话“你会发现答案是正确的”。
从一个特殊例子引出包罗万象的结论，很可能是危险的，而历史学家
注意到，在法老统治下的埃及这种独裁社会，必然会产生这种武断的数学
方法。在古埃及社会，民众无条件地服从他们的君主。由此推断，当时，
如果提出一种官方的数学方法，并断言“你会发现答案是正确的”，则埃
及臣民是不会要求对这种方法为什么正确作出更详尽的解释的。在法老统
治的土地上，民众只能惟命是听，让你怎么做就怎么做，不论是建筑巨大
的庙宇，还是解答数学题，一概如此。那些敢于怀疑现体制者必然不得善
终。
另一处伟大的古代文明（或者更准确地说，另几处文明）在美索不达
米亚蓬勃发展，并产生了比古埃及先进得多的数学。例如，巴比伦人已能
解出带有明显代数特征的复杂数学题。现存称为“普林顿”的楔形文字泥
版书.. 322部（写作年代大约在公元前.. 1900至.. 1600年之间）表明，巴比伦
人已明确理解了毕达哥拉斯勾股定理，其理解深度远远超过了古埃及人。
他们懂得.. 5-12-13三角形或.. 65-72-97三角形（或更多）都是直角三角形。
除此以外，他们还为他们的数系创造了一种复杂的进位系统。当然，我们
都习惯于十进位数系。显然，十进位制是从人类有十个手指引申出来的。
所以，似乎有点儿奇怪的是，巴比伦人选择了.. 60进位制。当然，没有人会
认为这些古巴比伦人长有.. 60个手指，但他们选定的.. 60进位制却仍然用于
我们今天的时间（一分钟.. 60秒）和角度测量（在一个圆中，6×60°=360°）。
然而，美索不达米亚人的所有成就也同样只是“知其然”，而回避了
更为重要的“其所以然”的问题。看来，论证数学（一种重点放在证明判
定关系上的理论演绎体系）的出现还在别一时间和别一地点。
定关系上的理论演绎体系）的出现还在别一时间和别一地点。
前
1000年，诞生地点是小亚细亚半岛的爱
琴海岸和希腊。那里出现了最伟大的历史文明，其非凡的成就对西方文化
进程产生了永久性的影响。随着希腊国内和跨越地中海贸易的勃兴，希腊
人逐渐成为一个流徙不定，热中冒险的民族，他们比较精明和富裕，在思
想和行动上都比以往看到的西方世界更具独立性。这些充满好奇心，且思
想自由的商人对权威是不会言听计从的。实际上，随着希腊民主的发展，
公民自己就已成为权威（但必须强调指出，公民的定义在古希腊是非常狭
隘的）。在这些人看来，对任何问题都可以自由争论，都应该加以分析，
对任何观点都不能被动地、无条件地服从和接受。
到公元前
400年时，这一卓越文明已经能以其丰富的（或许可以说是
无与伦比的）智力遗产而自豪。史诗诗人荷马，历史学家希罗多德和修昔
底德，剧作家埃斯库罗斯、索福克勒斯和欧里庇得斯，政治家伯里克利和
哲学家索克拉蒂斯——所有这些人都在公元前四世纪初叶留下了自己的足
迹。在现代社会，名望会很快衰落。因而，现代人可能惊讶，这些古希腊
人的名声何以在经历了
2000多年之后依然保持其辉煌。直至今日，我们仍
然钦佩他们以深邃的理性烛照自然与人类状况的勇气。其理性虽然不乏迷
信与无知，但古希腊思想家确实取得了极大的成功。即使他们的结论并非
永远正确，但这些希腊人仍旧感到，他们的道路将引导自身从野蛮的过去
走向梦想不到的未来。人们在描述这一特别的历史阶段时，常常使用“觉
醒”一词，这是十分贴切的。人类的确已从千百万年的沉睡中醒来，以大
自然最强大的武器——人类思维，勇敢地面对着这一陌生而神秘的世界。
数学当然也是如此。公元前约
600年，在小亚细亚西海岸的小镇米利
都，生活着一位伟人，即古代“七贤”之一——泰勒斯（公元前约
640—
546年）。米利都的泰勒斯是第一个在“知其然”的同时提出“其所以然”
的学者，并被公认为论证数学之父。因此，泰勒斯是最早的著名数学家。
关于他的生平，我们掌握的确切资料很少。他实际上是作为一个半神
话式人物从历史的薄雾中显现的，归于他名下的那些发现是否属实，人们
仅仅是猜测而已。传记作家普卢塔克（公元
46-120年）回顾了
700年前的
史迹，他写道：“..当时，泰勒斯独自将纯粹基于实践的哲学上升到理
性的高度。”泰勒斯作为著名的数学家和天文学家，以某种方式预言了公
元前
585年发生的日蚀，他像所有古板的科学家一样，常常心不在焉或长
时间的出神——据传说，有一次，他一边散步，一边仰望星空，竟然掉进
了一口深井中。
泰勒斯虽然被公认为论证数学之“父”，但实际上，他却从未结过婚。
当同代人梭伦向他追问原因时，他竟开了一个刻薄的玩笑。泰勒斯让人带
给梭伦一个消息说你的儿子死了。据普卢塔克记载，梭伦当时：
“..捶胸顿足，痛不欲生，像人们遭遇不幸时惯常所做的那样。但
泰勒斯拉着他的手，笑了笑说：‘梭伦，就是这些事情让我不想结婚，也
不想生儿育女，这实在太难了；不过，你不必太过伤心，因为这都是假的。’”
显然，泰勒斯不是那种心地善良之辈。从农夫的故事中，我们也可以
得到同样的印象。一个农夫常常要将沉重的盐袋驮在驴背上，赶着驴去集
市卖盐。聪明的驴子很快就学会了在涉过一条小河时打滚，把许多盐溶化
在水里，大大减轻盐袋的重量。农夫非常生气，就去请教泰勒斯。泰勒斯
建议农夫在下次赶集时，给驴驮一袋海绵。
建议农夫在下次赶集时，给驴驮一袋海绵。
确切地说，泰勒斯的定理究竟是什么呢？传统上认为，泰勒斯第一个
证明了下列几何性质：
