又因为上式左端的函数在 左连续，在 右连续，分别取极限即知，当 和 时，
上式也成立。故
例3 设 在 上连续（ ），在 内可导，且 ，
证明 ，其中 在 内。
证明：对 和 在 上应用柯西中值定理得：
存在 ，使 ，即
对 在 上应用拉格朗日中值定理得： 使 ，
故
③证明不等式
例4 证明：若 都是可微函数，且当 时， ，
则当 时，
证明：令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ………………….（1）
又令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ……………….（2）
综合（1）、（2）可得当 时，
④证明函数与其导数之间的关系
例5 若 在 上具有二阶导数，且 ，证明在 内至少存在一点 ，使
证明：由泰劳公式
因为
取 得 ……………….（1）
取 得 ……………….（2）
由（1）—（2）得：
令 { ， }
则 ，即
例6 设函数 在 内可微，且 ，则
证明：由于 ，故任给 ，存在 ，当 时有 。
当 时，由拉格朗日中值定理得：
故 。再取 使 ，则当 时，
+
故
⑤研究函数的性态
例7 证明可导函数在其导函数为正值的区间上为单调增函数
证明：设函数 在区间 上的导数 ， 为 内任意两点，且 ，由 在区间 上可导，由拉格朗日中值定理得：
由 的任意性得出， 在区间 上单调增加。
（3）导数在求函数极限中的应用
罗必达法则是以导数为工具来解决不定式极限的常用方法。应用罗必达法则求函数极限
应注意以下几点：
①应用罗必达法则求函数的极限，一定要注意法则的条件，缺一不可。
②只有 型和 型不定式的极限才能直接应用罗必达法则，罗必达法则可连续使用，但每一步都要检验定理的条件。
③对于 型不定式的极限，要通过适当的变形，转化为 型或 型不定式的极限后才能应用罗必达法则求解。
常见的转化方法有：
对于 型不定式的极限，可化为分式的形式： 或 ，但要注意，究竟选择哪一种，要具体问题具体分析，一般将相对简单的函数拿到分母中去且使分子、分母的函数分别求导后计算简便为原则。如果选择错了，可能越做越繁，甚至求不出极限。
对于 型不定式的极限，若有分母，则用通分的方法，化成 型或 型不定式；若无分母，一般应通过变形或变量代换使其含有分母，再用通分的方法化成 型或 型不定式。
对于 型的不定式的极限，一般应先取对数，化为 型不定式的极限，再用上述方法求解。但要注意，在求得 后，还要求出 的数值。
④罗必达法则是求不定式极限的一种有效的方法，但不是万能的方法。对某些 型或 型不定式的极限，虽然满足条件，但采用罗必达法则求解时不一定能求出极限，这时罗必达法则失效，应考虑采用别的方法来求。
（4）导数在研究函数性态中的应用
① 讨论函数的单调性
② 求函数的极值与最值
③ 讨论函数的凸凹性
④ 求函数的拐点
⑤ 求函数的渐近线
⑥ 描绘函数的图象。
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状态 离线 五、微分的思想
1．微分思想的产生和发展
为求物体运动的速度、变量变化的极值以及曲线的切线等问题，导致了微分思想的产生。
在微分思想的产生和发展过程中，伽利略的运动观点，费尔玛求切线、求极值的方法以及巴罗把“求切线”与“求积”问题作为互逆问题的联系，都为微分思想奠定了基础。
17世纪牛顿明确提出了导数（增量之比的极限），莱布尼兹尝试给出了微分的定义。
18世纪欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等人将微分概念精确化，使得微分的现代形式最终完成。
2．微分思想的解释
在微分学中有两个基本问题：变化率问题和增量问题。我们知道，函数 在点 的导数 表示该函数在点 处的变化率，它是描述函数变化性态的一个局部概念。
有时我们需要计算函数 ，当自变量在 处有一个微小改变量 时，函数改变量 的大小。
往往是 的一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的；并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解 的近似值就可以了。因而计算函数改变量 的近似值就显得特别重要。
人们把解决上述问题的出路放在将 线性化，用 的线性函数来近似代替它，这就是引入微分的基本想法。
具体过程如下：
设函数 ，当自变量 在 处获得一增量 时，函数 也获得相应的增量 。
一般是 的一个较复杂的函数，记为 。直接计算 往往很困难，于是希望用 的线性函数 （ 与 无关）来近似代替 ，使对 的计算得以简化。同时，又要使产生的误差与 相比可以忽略不计。即 （*）
（ 是因变量， 是自变量）一般是曲线，而 = 是直线，因此微分的基本思想就是以直代曲。
又由（*）式成立，可得 ，得 ，
故 ，亦即
上式左端函数表示的是曲线 ，右端表示的是曲线 在点 处的切线。因此上面提到的以直代曲就是局部地以曲线的切线来代替该曲线，这就是微分的思想。
我们定义函数 在 点的微分为：
可见，函数 在 点的微分有两个特点：
①它是自变量增量 的线性函数，
②它与函数增量之差： 是比 更高阶的无穷小。
根据上述两个特点，当 时，就可以用微分 来近似表示增量 ，即 ，当 越小，其近似程度就越好。这一近似等式是应用微分思想解决近似计算和误差估计等实际问题的基础。
微分的几何意义：函数 在 点的微分等于曲线 在点 处的切线纵坐标的增量。（如图）
3．导数与微分的联系与区别
导数与微分是微分学中的两个最基本的概念。
它们之间的联系与区别为：
一方面，可导与可微是等价的，若求出了函数在一点的导数，再乘以 即得该点的微分；若求出了函数在一点的微分，再除以 即得该点的导数；因此导数又叫做微商。
另一方面，从她们的来源和结构来看，导数作为有确定结构的差商的极限，比微分的概念更为基础；但又由于一个导数可以表示为两个微分之商，因此在分析运算中，微分表现出更大的灵活性与适应性。
微分是研究函数的一个重要工具，因为研究函数的各种问题都会涉及到函数的增量，而微分是 的线性函数且微分代替增量的误差是一个比 更高阶的无穷小（或者说当 时，微分 与增量 是等价的无穷小）。
4．微分思想的应用
函数 的微分 是计算函数改变量 的数学模型。微分可用于求函数改变量 的近似值。即 。微分也可用于计算函数值的近似值。即 ，就是计算函数 在点 附近点 + 处函数值的近似计算公式。
例 计算 的近似值（用两种解法），并简述作近似计算的原则
解：（法1）
令
则
（法2）
令
则
分析：我们知道 的前5为精确数值为4.6416
由法1，|4.6416-4.7500|=0.1084
由法2，|4.6416-4.6667|=0.0251
由此可知，为微分方法作近似计算的原则是：
① 使 易算，②使 ，且尽可能小。
六、积分的思想
1．积分思想的产生与发展
为了解决求物体运动的路程、变力作功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题，导致了积分的产生。
积分思想源远流长。古希腊德莫克利特的“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”都是积分思想的雏形，并且用这些方法求出了不少几何形体的面积和体积；然而这些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以严密的理论为基础的。
随着数学科学的发展，借助于生产力空前发展的强大推动，出现了开普勒的“同维无穷小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”，到17 世纪终于发生了由量变到质变的飞跃。牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分的内在联系--微积分基本定理，从而产生了威力无比的微积分，使数学从常量数学跨入变量数学，开创了数学发展的新纪元。
2．积分思想的理解
（1）定积分的定义
设 是定义在区间 上的有界函数，用点 将区间 任意分成 个子区间 （ ），这些子区间及其长度均记作 （ ）。在每个子区间 上任取一点 ，作 个乘积 的和式 ，
如果当最大的子区间的长度 时，和式 的极限存在，并且其极限值与 的分法及 的取法无关，则称 在区间 上可积，此极限值称为 在区间 上的定积分，记作 ，即 =
（2）定积分是一种新型的极限
定积分是一种特殊的极限，这种极限不同于数列的极限也不同于函数的极限。它是一种复杂的和式的极限，对于体现自变过程的变量 的每一个值，不仅区间 的分法有无穷多种，而且对于每一个分法，介点 也有无穷多种取法，因而相应的和式 一般有无穷多个值。但它仍然有着与数列极限、函数极限的本质上的相同之处，即当 无限变小时，相应的一切和式 与某一定数 的距离： 能够变得并保持任意的小。
（3）定义中对区间 无限细分的理解
在定积分的定义中，和式 的极限是指在积分区间 无限细分情形下的极限， 是指 （ ）中的最大值趋于0，正是表达了对积分区间 无限细分。当然，当积分区间 无限细分时，小区间的个数 一定无限增加，即 ；但反之，当小区间的个数 无限增加，即 时，并不能保证积分区间 无限细分。
（4）决定可积函数积分值的因素
函数 在区间 上的和式 的值，一般依赖于四个因素：函数 、区间 、区间 的分法、 的取法。
但当 在区间 上可积，即 存在时，则不依赖于区间 的分法与 的取法；因此只与函数 和区间 两个因素有关。故在可积的条件下，当我们用定义来求某函数在指定区间 上的定积分时，往往可以取一个特殊的分法（如 等分 ），取 为 内的特殊点（如左或右端点）。
因为定积分 只与函数 和区间 有关，故与积分变量的字母无关，因而 = = 。当 、 为常数时定积分 是一个常数。
（5）定积分可以作为定义函数的一种新的工具
我们知道连续函数 的变上限积分 是 的一个原函数，又知道某些函数的原函数并不是初等函数。如椭圆积分 就不是初等函数，这时我们就把这个积分本身，作为此函数的定义，以此为出发点来研究函数。有时，积分本身是我们熟悉的函数也可以这样做，这既开阔了思路，又增加了函数的一种等价定义，如我们可以把函数 作为对数函数 的定义等。
（6）定积分的存在性
在对积分思想的理解中，还有两个问题值得考虑：可积的函数应当满足什么条件？满足什么条件下的函数一定可积？即什么函数不可积？什么函数可积？
下面几个结论回答了这样的问题：
① 可积函数必有界，有界函数不一定可积，无界函数一定不可积。
② 区间 上的连续函数一定可积
③ 区间 上的有有限个间断点的有界函数一定可积
④ 区间 上的单调函数一定可积
3．积分思想中的辩证法
定积分作为和式的极限，是解决广泛的求总量问题的数学模型。为什么大多数求总量的问题，初等数学无法解决，而定积分能迎刃而解呢？这是因为求定积分的方法是辨证的方法，与“总量”一类问题本身所固有的辨证内容相吻合。恩格斯曾指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外是辩证法在数学方面的运用。而辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。”
（1）初等数学不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的“变与不变”的矛盾。但在局部范围内“变与不变”这种相互矛盾的双方又可以统一，从而可以通过化整为零，在局部范围内用初等数学的方法求出部分量的近似值，再把这 个部分量的近似值用初等数学的方法加起来，便得到总量的近似值，我们必须对总量无限细分（即当 ，同时 ）时，总量的近似值才能转化为总量的精确值。可见求定积分的过程体现了整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的对立统一。
（2）求定积分的过程一般分为四步：第一步，将初等数学不能计算的总量 任意“分割”成 个部分量 ；第二步，在局部范围 上通过“以不变代变”，用初等数学中的乘法求出部分量 的近似值 ；第三步，用初等数学中的有限项加法求和式 ，得到总量 的近似值；第四步，通过“取极限”，将总量的近似值转化为总量的精确值，即
在求定积分的过程中，我们使用了超越初等数学的新运算，对和式 取极限，对和式取极限就是进行无限项相加，这是初等数学所不能胜任的。由于 ，同时 时，一方面，使和式 中的每一个积分元素 转化为总量 的微分 ， 相对于 趋于消失。这是对总量 的否定，这一次否定是在保持函数关系 不变的条件下进行的，否定的结果，得出了 。另一方面通过积分，使有限项相加转化为无限项相加，即求无穷多个微分之和，这又是对微分 的否定，这一次否定是在保持求和 的条件下进行的，否定的结果，得出了总量 ，即定积分 。可见求定积分的过程体现了否定之否定的思想。
由以上分析可以知道，定积分是微分的无限积累，或者说定积分是无限个无穷小量之和。符号 的意思是求和，莱布尼兹将“和”（summa）的头一个字母s拉长，并附之以上、下限 和 ，用于表示对微分 在区间 上的无限累加。
4．不定积分与定积分的比较
从定义的泛指而言，一个定义在 上的函数 的不定积分是其原函数的一般表达式，而 在 上的定积分是Riemann和 的极限。
不定积分与定积分是完全不同的两个概念，函数在所讨论区间上的Riemann和的极限的存在性不取决于该函数的不定积分的存在性，函数在所讨论区间上的不定积分的存在性也不取决于该函数的Riemann和的极限的存在性。
具体讨论如下：
（1）函数可积不一定该函数存在原函数
由微积分基本定理，我们知道，当 在 上可积时，对于任意的 ，函数 必在 上连续。
但函数连续只是可导的必要条件，而非充分条件。因此 未必可导，即 不一定是 的原函数。如 只有一个间断点，所以在任何区间上都可积，然而对于任意的 ， 在 点不可导。因此 在包含原点的任何区间上都没有原函数。
（2）函数有原函数但该函数不一定可积
例如，函数 ，易知 在闭区间 上各点都可导，且 ，即 在闭区间 上有原函数 。但由于 在闭区间 上有无界点 ，故 在 上不可积。
（3）不定积分与定积分可以相互转化
在一定的条件下，不定积分与定积分是有联系并且可以相互转化的。这里所说的条件，就是函数在所讨论的区间上连续。即：函数连续是该函数既有原函数又可积的充分条件
因为，若 在 上连续，则由微积分基本定理知，对于任意的 ， 为 的一个原函数；又由可积函数类知， 在 上是可积的。
（4）函数的连续性不是该函数存在原函数的必要条件
例如，函数 与
当 时有 ，即 在 上是 的原函数。
但由于
因此，当 时， 在 上是 的原函数； 当 时，函数 在 上不连续（ 为间断点），但当 时， 却仍有原函数。
5．定积分的应用
(1) 用微元法来建立所求量的积分表达式
在定积分的应用中，经常采用微元法来建立所求量的积分表达式。
如果某实际问题中的所求量 符合下列条件：① 是一个与变量 的变化区间 有关的量。② 对于区间 具有可加性，即如果把区间 分成许多部分区间，那么 是对应于各部分区间上的那些部分量 的和。③部分量 可以近似地等于 。
一般地，采用微元法写出 的积分表达式的步骤如下：
1）根据实际问题，选取一个变量，例如 ，作为积分变量，并确定它的积分区间
2）把区间 分成许多小区间，在具有代表性的小区间 上，求出相应的部分量 的近似值，如果 可以近似地表示成 的函数 与 的乘积，并且 与 仅相差一个比 高阶的无穷小量，就把 叫做量 的微元，记做 ，即 =
3）以所求量 的微元 作为被积表达式，在区间 上积分得 。这就是所求量 的积分表达式。
例 求由曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转所得旋转体的体积
解：在 的变化范围 内任取相邻两点 和 ，
过这两点作 轴的垂面将旋转体截割出一个厚度为 的薄片，
那么以 为半径的圆作为底面、 作高的薄圆柱的
体积即为旋转体的体积微元 ，即 。
于是旋转体的体积为
（2）定积分的几何应用与物理应用
① 求平面图形的面积，②求已知截面面积的立体的体积，③求旋转体的体积，④求曲
线的弧长，⑤求旋转曲面的面积，⑥求变力所作的功等等。
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状态 离线 七、级数的思想
1．级数理论的意义
级数理论是数学分析的重要组成部分。是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要作用。
我们在建立定积分概念的同时，引入变上限积分定义出了一类新函数，使我们认识到除了初等函数之外的函数类；有了级数理论后，使我们的眼界进一步开阔了，认识到了更广泛的非初等函数类型。
级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数，更重要的是给出了研究这些函数的有效方法，而且即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时会更便于研究它们的性质。
我们知道，泰劳公式是用有限项的多项式近似表示函数，它对于研究函数的局部逼近和整体逼近有着重要意义，在此基础上和一定的条件下，我们可以用无穷多项的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数。利用函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有着非常重要的作用。
当然，能表示成幂级数的函数必须具备任意阶可微的条件，这对于有些性质较差的函数（如分段函数），我们就不能展开成幂级数，此时付立叶级数却能满足这样的函数的展开。
级数理论的基础仍然是极限，级数是一个无限求和的过程，它与有限求和有着根本的不同，即参与了极限运算，把极限及其运算性质移植到级数中去，就形成了级数的一些独特性质。
级数理论的第一个重要概念是收敛性。此外，级数的运算、函数项级数的一致收敛性、一致收敛级数的分析性质、函数的幂级数展开、函数的付立叶级数展开都是级数理论的基本内容。
2．数列与数项级数的关系
数列 逐项累加起来的式子 称为级数。或者说，数列 逐项累加的极限形式称为级数。
若定义级数的前 项部分和为 ，则逐项累加的极限 如果存在，则称级数 收敛，否则称为发散。
数项级数的敛散性是用部分和数列 的敛散性来定义的。所以数列极限的理论移植过来，就可以建立数项级数的一般理论。
由于级数是在有限项相加的基础上施行的极限运算，从而确切地定义了无限项相加，形成了这种特殊的形式，所以它有着比数列极限更独特的性质和意义。
下面我们讨论数列与数项级数的关系：
（1）数列 收敛，级数 不一定收敛；反之，级数 发散，数列 不一定发散。
如，数列 收敛，但级数 发散。又如，级数 发散，但数列 收敛。
（2）若级数 收敛，则数列 也收敛，且
例1 证明
证明：考虑级数 ，由正项级数敛散性的达朗贝尔判别法可判断出，该级数收敛。故由级数收敛的必要条件知：
（3）数列 收敛与级数 具有相同的敛散性
例2 证明数列 收敛
证明：我们只需证明级数 = 收敛即可。
由 知，该级数为正项级数。又由 ，
故由比较判别法知此级数收敛，从而数列 收敛
3．函数项级数一致收敛的作用
如果我们把有限个函数相加称为有限和，那么函数项级数就可称为无限和，在有限和的情形下，连续函数的和函数仍然连续，但在无限和的情形下，连续函数的和函数却不一定连续。
如函数项级数 ，它的每一项在 上都连续，但其和函数 在 上却不连续。
类似的，在有限和的情形下，逐项积分与逐项微分是成立的，但在无限和的情形下，却不一定成立。
为保证以上运算，在无限和的情形下成立，仅有收敛是不够的，因此引进了函数项级数的一致收敛性的理论。函数项级数在一致收敛的条件下，可实现函数项级数和函数的连续、逐项积分与逐项微分。
4．付立叶级数研究的基本问题
我们知道，在所有的周期运动中，以 为周期的正弦函数 描述的简谐振动最简单，这里的 表示时间， 表示在时刻 动点的位置， 角频率， 为初相。
对于一般的周期运动，如果能够把它分解成有限个或无限个不同频率的简谐振动的迭加，那么就可以通过简单的简谐振动来研究复杂的周期运动了。这就是说，我们要讨论周期函数 能否表示成如下形式：
……………………………………..（*）
如果令 ，则 。
故（*）式右边的级数可改写为 ………..（**）
这种形式的函数项级数就称为三角级数。
如何作出形如（**）的三角级数？在什么样的条件下，所作出的三角级数收敛且收敛于函数 ？这就是付立叶级数研究的基本问题。
在上述研究的基础上，进一步研究：以 为周期的函数在什么条件下能够作出付立叶级数？付立叶级数的收敛性如何？非周期函数能否展成付立叶级数以及如何展开？展开的付立叶级数的收敛性又如何？等等问题。
5．级数理论的应用
（1）证明数列的极限等于0
例1 证明 ，
证明：考虑数项级数 ，由于 ，故由达朗贝尔判别法知：级数 收敛。故
（2）表示函数及讨论函数的性质
例2 讨论函数 的定义域，连续性，并计算
解：由于 ，
由达朗贝尔判别法知：当 时 ，级数收敛；当 时 ，级数发散；当 时级数为 发散。因此函数 的定义域为
对任意的 ，总存在 ，使 ，有
而级数 收敛，由 判别法知，级数 在 上一致收敛，又 在 上连续，故由函数项级数和函数的连续性定理知： 在 上连续，从而在 点连续。
由 的任意性，故 在 上连续。
应用函数项级数和函数的逐项积分定理得： = =
= =
（3）求近似值
例3 求定积分 的近似值，使误差不超过
解：因为 ，
对这个幂级数在 上逐项积分，得： = ，
上式右端是一个交错级数，它的第八项 。
所以，如果保留前7项，其误差不超过 。通过对前7项的计算得： 0.7468
（4）求不定式的极限
例4 求极限
解：因为 =
即
所以 = = 。
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状态 离线 说两发散级数之间不可逐项相加是非常无知的
说两发散级数之间不可逐项相加是非常无知的
张宗达主编《工科数学分析(第3版)(下册)》165页:两发散级数逐项相加(减)的级数不一定发散,例如-1+1-1+1-...与1-1+1-1+...都发散,但两者逐项相加得∑（-1+1）=∑0却是收敛的.(高等教育出版社，2008年。)
可见说两发散级数之间不可逐项相加(减)是非常无知的.
可见任何发散级数∑an的各项an都+(-an)就得∑(an-an)=0。
应试教育和"尽信书"会使人丧失正常的思维能力。例如小学生都知道各项都是a的P=a+a+a+...的各项都-a就得p-p=0啊！然而有不少人却不是以活生生的事实为准而是以死的书本为准而否认此事实。"顶峰"论与“科学终结”论扼杀科学的飞跃发展。李佰民译《托马斯大学微积分》456页：∑an=1+1+1+...和∑bn=-1-1-1- ...同时发散，然而∑（an+bn）=0+0+0+...=0。（机械工业出版社，2009.3）注！必须证明∑an的项与∑bn的项能一一配对才能得此论断。
2009-9-3 06:45 #7
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状态 离线 极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论
极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
本文是黄小宁《不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误》（载《科技信息》2009（32））的第1节。
标准分析之前2千多年的数学一直使用无穷数进行推理计算并取得了一系列伟大成就，只不过对这类举足轻重的“更无理”数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；本文表明实现此飞跃破解由“错误的无穷数概念”竟能推出许多正确结果这一“神秘”之谜竟须历时2千多年！太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。故“数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。”当理论无法解释伟大实践时恰恰表明理论有重大缺陷，不能反而由理论来否定无穷数和行之极有效的无穷小数分析法（以下简称w法）。若无穷数不存在，w法就不堪一击而绝不可2千多年不倒。“‘真人不露相’，数学大厦有‘不露相’的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击[2]。”本文表明否定这类数是百年重大冤案。
有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年胡涂话。最关键要弄清j式
0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε
中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然，应试教育会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中“从某项起以后的各正数项1/n都<ε，明白：
j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε的ρ>0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变数，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论（现代有不少书直接断定：任何非0数的绝对值都不可＜ε——赤裸裸断定无正数＜ε，常见此推理：由非负数p＜ε得p必=0。）。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却<任意一个给定值的数。”（[1]书145页）表明莱大师敏锐地不否定有正数＜ε而不搞自相矛盾。“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更可靠。”（[1]书166页）
[3]书在“序列极限的精确描述”中说j式表示ρ“可以变得比任何一个固定的正数小”（100页）。而正数集的元都是固定正数。刘玉琏等《数学分析讲义学习辅导书上册（二版）》（高教出版社，2003）33页：?ε∈（0，1）=D——表示ε可是D的任何一个数。许品芳等《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器工业出版社，1992.7）。无正数＜ε=只有非正数及可取非正数的变数才可＜ε。于是j式是一目了然的百年胡涂话：①说ρ>0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊！②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句！
文献[4]第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。”
