§4-2 重力势能
只有当我们的公式包含了所有形式的能量时才能理解能量守恒。我想在这里讨论一下地球表面附近的重力势能的公式，并用一种与历史无关的方式来导出这个公式，这种推导方式只是为这堂课想出来的，也就是说一种推理思路，为的是要向你们说明一个值得注意的情况：从几个事实和严密的推理出发可以推断出很多有关大自然的知识。它也表明了理论物理学家投身于怎样的一类工作，我们这里的推理仿照了卡诺(Carnot)讨论蒸汽机效率时所使用的极其杰出的论证方式（注：事实上你们可能已经知道式(4.3)，因此这一讨论的意义与其说是得出(4.3)式，不如说是表明能用推理论证的方法来得出这样的结果）。
让我们考虑一种起重的机械，它有这样的特点：用降低一个重物的方法来提高另一个重物。此外还假设：在这种起重机械中不可能有永恒的运动。(事实上，根本不存在什么永恒运动，这正是能量守恒定律的一般表述。)在定义永恒运动时必须特别小心。首先，我们定义起重机械的永恒运动， 假如我们提起和放下一些重物并使机械回复到原来的状态后，发现最后的结果是提升了一个重物，于是我们就有了永恒运动的机械，因为我们可以利用被提起的重物使另外的一些东西运转。这就是说，提起重物的机械精确地回到原来的状态，而且是完全独立完成的——它没有从外界(就像布鲁斯的积木那样)取得能量来抬高这个重物。
图4-1所示是一台很简单的起重机械。这台机械举起三个单位的重物。我们把这三个单位的重物放在一个秤盘里，在另一个盘内则放置一个单位的重物。但是，为了使机械实际上能工作，我们必须在左边减去一点点重量。另一方面，我们可以通过降低三个单位的重物来升高一个单位的重物，只要我们在右边的盘子里提起一点点重量，当然，我们认识到，对于任何实际的起重机械来说，为了使它运行必须施加一点额外的作用。这一点我们暂时不去考虑。理想的机械并不需要额外的作用，然而它们事实上是不存在的。我们实际使用的机械在某种含义上可以说几乎是可逆的，即假如降低一个单位的重物能使这种机械提升三个单位的重物的话，那么降低三个单位的重物也能使这种机械把一个单位的重物提升到接近原来的高度。
我们设想存在着两类机械：一类是不可逆的，它包括所有的真实的机械；另一类是可逆的。当然实际上它是不可能达到的，不管我们怎样仔细地去设计轴承、杠杆等等。但是，我们假设有这样的东西——一台可逆机；在它使一个单位(一磅或任何其他单位)重的物体降低一个单位距离的时候提起了三个单位的重物。把这台可逆机称为A机。假定它使三个单位的重物升高的距离是x。此外，假设还有另一台机械——B机，它不一定是可逆机，并且也使一个单位的重物降低一个单位距离，不过使三个单位的重物升高的距离是y。我们现在可以证明y不会高于x，这就是说，不可能建造这样一种机械，能把重物抬得比可逆机所提到的高度还要高。让我们来看看为什么是这样。假设y大于x。我们用B机使一个单位的重物降低一个单位距离，这使三个单位的重物升高距离y，然后，我们可以使这个重物从y降到x获得自由的能量，再利用可逆机A反向运转，使三个单位的重物降低x而使一个单位的重物升高一个单位距离。这样一个单位的重物回到了原来的高度，而使这两台机械又处于初始的备用状态！ 因此，假如y高于x，那么就会有永恒运动，但我们已经假设这是不可能的。于是利用这些假定，我们就能够推导出y不会比x高，因此在所有可能设计的机械中，可逆机是最好的。
我们设想存在着两类机械：一类是不可逆的，它包括所有的真实的机械；另一类是可逆的。当然实际上它是不可能达到的，不管我们怎样仔细地去设计轴承、杠杆等等。但是，我们假设有这样的东西——一台可逆机；在它使一个单位(一磅或任何其他单位)重的物体降低一个单位距离的时候提起了三个单位的重物。把这台可逆机称为A机。假定它使三个单位的重物升高的距离是x。此外，假设还有另一台机械——B机，它不一定是可逆机，并且也使一个单位的重物降低一个单位距离，不过使三个单位的重物升高的距离是y。我们现在可以证明y不会高于x，这就是说，不可能建造这样一种机械，能把重物抬得比可逆机所提到的高度还要高。让我们来看看为什么是这样。假设y大于x。我们用B机使一个单位的重物降低一个单位距离，这使三个单位的重物升高距离y，然后，我们可以使这个重物从y降到x获得自由的能量，再利用可逆机A反向运转，使三个单位的重物降低x而使一个单位的重物升高一个单位距离。这样一个单位的重物回到了原来的高度，而使这两台机械又处于初始的备用状态！ 因此，假如y高于x，那么就会有永恒运动，但我们已经假设这是不可能的。于是利用这些假定，我们就能够推导出y不会比x高，因此在所有可能设计的机械中，可逆机是最好的。
我们还可以看出所有的可逆机提升的高度一定完全相同。假定B的确也是可逆的。当然，前面关于y不会高于x的论据现在同样成立，但是我们也可以把这两台机械的工作顺序倒过来，即反之论证x不高于y。这一点是很值得注意的，因为它使我们能够在不考察内部机制的情况下分析不同的机械对物体可以提升的高度。我们立刻知道，如果有一个人制作了一组极其精巧的杠杆，利用这组杠杆使一个单位的重物降低一个单位距离就可以把三个单位的重物提升到某一个高度，把这组杠杆和一个具有同样用途的简单的可逆的杠杆作比较就可以知道它不会比简单的可逆的杠杆提得更高，而是或许还会低一些。假如这个人的机械是可逆的，我们也能精确地知道它可以提得多高。概括地说就是：每一台可逆机械无论怎样运转，当它使一个单位的重物下降一个单位距离时，总是会使三个单位的重物提升同样的距离x。很清楚，这是一条非常有用的普遍定律。接下来的问题自然是x是多少？
假如我们有一台可逆机，它能在3对1时提升距离x。在图4-2中，我们在一个固定的多层架子上放置三个球。另外有一个球放在离地面一英尺的台上。这台机械可以使一个球降低1英尺来抬高三个球。现在，我们来这样安排：设容纳三个球的升降台有一层底板和两层架子，间隔正好是x，其次，容纳球的多层架的间隔也是x(图a)。首先我们使小球从多层架水平地滚到升降台上的架子中去(图b)，我们假设这并不需要能量，因为高度并没有改变。于是开动可逆机进行工作：它使一个球降到底层，而使升降台升高距离x(图c)。由于我们已经巧妙地安排了多层架，于是这些球又和架子相平。这样就把球卸到了多层架上(图 d)。卸了球以后，我们可以使机械回复到初始状态。现在在上面三层架子上有三个球，在底部有一个球，但是奇怪的是从某种观点上讲，我们根本没有使其中两个升高，因为，无论如何第二层和第三层架子像以前一样里面装着球。因此，最后的效果是使一个球升高了3x的距离。假如3x超过1英尺，那么我们就可以把小球放下来使机械回到初始状态(图f)，这样就能使这个装置再次运转。所以3x不可能超过1英尺，因为如果3x超过1英尺；我们就能创造出永恒运动。同样，使整台机械反向运行，我们可以证明，1英尺不能超过3x，因为这是一台可逆机。所以3x既不大于也不小于 1英尺，这样我们只是通过论证就发现了一条规律，x=1/3英尺。显然，这条规律可以推广为：开动一台可逆机使1磅重物降下一定距离，那么这台机械可以使p磅重物提高那段距离的1/p。另一种表示结果的说法是：3磅乘以所提高的距离(在我们的问题中是x)，等于1磅乘以所降低的距离(在这种情况下是1英尺)。如果我们先把所有的球的重量分别乘以它们现在所在的高度，然后使机械运转，再把所有的球的重量乘以它们所在的高度，得出的前后结果不会有任何改变。(我们必须把例子中只移动一个重物的情况推广到当我们降低一个重物就能提升几个不同的重物的情况——但这是不准的。)
我们把重量和高度的乘积之和称为重力势能——这是一个物体在空间上与地球之间的相互关系而具有的能量。那么，只要我们离地球不是太远(当位置很高时重力要减弱)，重力势能的公式就是
(一个物体的重力势能)＝(重量)×(高度) (4.8)
这是一条十分优美的推理思路。唯一的问题在于，或许这并不是实际的情形。(无论如何，大自然毋须按我们的推理行事。)例如，也许永恒运动事实上是可能的。某些假设可能是错误的，或者我们的推理或许有错误，所以验证总是必要的。事实上，实验证明它是正确的。
那种与别的物体的相对位置有关的能量的一般名称就称为势能。当然，在上面的特殊情况中，我们则称它为重力势能。如果我们克服电力做功，而不是克服重力做功，即用许多杠杆“提升”一些电荷使之离开其他的电荷，那么所包含的能量就称为电势能。一般的原则是能量的变化为有关的力乘以力所推过的距离，而且这是一般的能量变化：
(能量的变化)＝(力)×(力的作用下所通过的距离) (4.4)
随着课程的进展我们还要讲到其余的种种势能。
在许多情况下能量守恒原理对于推断会发生什么事都是非常有用的。在高中你们已学过许多有关不同用途的滑轮和杠杆的定律，我们现在可以看到所有这些“定律”都是一回事，并且不需要记住75条法则。一个简单的例子是如图4-3所示的一个光滑斜面，很巧，这是样来求出答案呢？假如我们说情况正好是平衡的话，那就是可逆的，因而可以使重物上下移动。所以，我们可以考虑下述情况。起初，如图(a)所示，1磅重物在斜面底部，而重物W在斜面的顶端。当W以一种可逆的方式滑下去后，1磅的物体就在斜面顶部，而W经过的距离就是斜边的长度，如图(b)所示，即5英尺。我们使1磅重的重物只提高了3英尺而使W降低了5英尺，所以，W=3/5磅。注意，我们是从能量守恒，而不是从力的分解来得出这个斯蒂维纽司(Stevinus)所发现的方法就铭刻在他的墓碑上。图4-4说明这个重物一定是3/5磅，因为这个圆球链并没有转动，很明显链条的下端的部分是为自身所平衡的，所以一边三个重物的拉力必须与另一边五个重物的拉力平衡，即按边长的比例。从图中你们可以看到，W一定是3/5磅。
让我们现在用图4-5所示的螺旋起重器这个比较复杂的问题来说明能量守恒原理。螺旋的把柄长为20英寸，螺纹为每英寸10圈，我们想知道，为了举起一吨(2000磅)的重物，在把柄上要施加多大的力？假如我们要使一吨重物升高1英寸，就必须使把柄转10圈。把柄转一次时大约走过126英寸。所以它总共要走过1260英寸，如果我们利用各种滑轮之类的机械，就可以用加在柄的端点上的一个未知的小重物W来举起1吨的重物，我们发现，在图4-6中我们举一个稍为更复杂一点的例子。一根8英尺长的棒，一端被支撑着，在棒的中间有一个60磅的重物，离支点2英尺处有一个100磅的重物，假如不考虑棒的重量，为了保持它的平衡，我们要在棒的另一端加多大的力？假设在棒的那一端放上一个滑轮，并在滑轮上悬挂一个重物W，为了使棒平衡，W应当是多重？我们设想W落下任意一段距离，为了简便起见，设它下降了4英寸，那么这两个重物要升高多少呢？棒的中心升高了2英寸，而离固定端2英寸处的那一点升高了1英寸，所以，各个重物与高度的乘积之和不变，这个原理告诉我们，W乘以下降的4英寸，加上60磅乘以升高的2英寸，再加上100磅乘以升高的1英寸，其和必定是零。
-4W+(2)(60)+(1)(100)＝0, W=55磅 (4.5)
这就是说为了使棒平衡，必须加上一个55磅的重物。用这种方法，我们可以得出“平衡”定律——复杂的桥梁建筑的静力学，等等。这种处理问题的方法称为虚功原理，因为为了进行这种论证，我们必须设想系统移动一下——即使它实际上没有移动，甚至不能移动。为了运用能量守恒的原理，我们用了很小的假想的运动。
§4-3 动能
为了说明另一种形式的能量，我们来考虑一个单摆(图4-7)。假如我们把它拉向一边，再把它放开，它就会来回摆动。在这种运动中，每当从端点跑向中点时，它的高度降低了，这时势能跑到哪里去了呢？当摆降到底部时，势能就消失了，不过，它将再次爬上来。可见重力势能必定转变为另一种能量形式。很明显它是依靠了自己的运动才能重新爬上来。所以，当它到达底部时，重力势能就转变为某种其他形式的能量。
我们应当得出一个运动能量的公式。现在，回想一下关于可逆机的论证，很容易看出，在底部的运动必定具有一定量的能量，可使摆升高到一定高度，这个能量与摆上升的机制无关，或者说与上升的路径无关，所以与我们对孩子玩积木的情形所写出的公式一样，这里也有一个(两种能量间的)等价公式。我们有另一种表示能量的形式，要说明它是不难的。摆在底部的动能等于重量乘以它能升高的高度：K.E.＝WH.现在需要的是一个利用某种与物体的运动有关的规则来说明摆动高度的公式。假如我们以一定的速度直接朝上抛出一个物体，它将到达一定的高度；我们暂时还不知道到底是多高，但是它依赖于速度——关于这个，有一个相应的公式。于是，为了找到物体以速度V运动的动能的公式，我们必须计算它能到达的高度；再乘以物体的重量。我们立刻就会知道，可以把动能写成这种形式：
K.E.=WV2/2g
当然，运动具有能量这个事实与物体处于重力场内这件事毫无关系。无论运动怎样产生，这都没有关系。这是一个适用于各种速度的一般公式。(4.3)及(4.6)两式都是近似的公式。 (4.3)式在高度很大时是不正确的，因为这时，重力要减弱；而(4.6)在高速时要加以相对论性的校正。然而，当我们最后得到动能的精确公式时，能量守恒定律是正确的
§4-4 能量的其他形式
我们可以继续以这种方法来说明能量还以其他的方式存在。首先考虑弹性能，假如我们拉伸弹簧，就必须作一些功，因为拉伸时，可以提起重物。所以弹簧在伸长的情况下具有做功的可能性。假如我们求出重量与高度的乘积之和，那将与总能量不符——我们必须加上另外的一些东西来说明弹簧处于拉紧状态这一事实。弹性能就是关于弹簧被伸长时这个事实的表述。它有多大呢？假如我们释放弹簧，那么弹簧经过平衡点时，弹性能就转变为动能，能量就在弹簧的伸长、压缩和动能之间来回变换。(这里也有一些重力势能的增减，但是如果我们愿意的话，可以使实验“斜着”做)弹簧将一直来回振动，直到能量失掉为止……。啊哈！前面我们已经在整个过程中玩了一点小小的手法——如加上一些小重物使物体运动，或者说机械是可逆的，它们可以永远运动下去等。但是，我们可以看到这些东西最终都要停下来的。当弹簧不再上下振动时，能量到哪里去了呢？这就引进了另一种形式的能量：热能。
在弹簧或杠杆里有着由大量原子组成的晶体。假若极其仔细和精致地安排了机械的各个组成部分后，人们可以试着使事情作这样的调整：当某个东西在另一个东西上滚动时，根本没有一个原子会作任何跳动。但是我们必须非常小心。通常在机器运转时，由于材料本身的缺陷，会产生撞击和跳动，材料中的原子就开始无规则地摆动。于是那部分能量失踪了，但我们却发现机械运动减慢后，材料中的原子正以杂乱无章的方式摆动着，不错，这里仍然有动能，但是它与看得见的运动没有联系。多么奇怪！我们何以知道这里仍然有动能呢？我们发现，从温度计上可以看出，事实上弹簧或杠杆变热了，所以确实动能有了一定数量的增加。我们称这种形式的能量为热能。但是我们知道这实在并不是一种新的形式，它就是内部运动的动能。(我们在宏观范围内对物质所做的一切实验中都有一个困难，即不能真正演示出能量守恒，也不能实际制成可逆机，因为每当我们使大块材料运动时，原子不会绝对不受扰动，所以总有一定量的无规则运动进入原子系统，我们无法用眼睛看出这一点，但是可以用温度计或其他方式测量出来。)
还有许多其他形式的能量，当然，眼下不可能对它们叙述得更详细些。这里有电能，它与电荷的吸引和排斥有关。存在着一种辐射能，即光能，我们知道它是电能的一种，因为光可以表示为电磁场的振动；还有化学能——在化学反应中释放的能，它是原子彼此间相互吸引的能量。弹性能也是如此，所以实际上，弹性能在一定程度上就像化学能。我们目前对化学能的理解是化学能可分为两部分：首先是原子内电子的动能，所以化学能的一部分是动能，其余一部分是电子和质子的相互作用所产生的电能。接下去我们来考虑核能，它涉及原子核内的粒子的排列。我们有核能的公式，但是没有掌握基本的定律。我们知道它不是电能，不是重力能，也不纯粹是化学能，但是不知道它究竟是什么。看来这是另外的一种能量形式；最后，存在着一个与相对论有关的对动能定律的修正(或者你喜欢用的随便哪一种说法)，也就是说动能与另一种称为质能的东西结合在一起。一个物体由于它的纯粹的存在就有能量产生。假如有一个静止的电子和一个静止的正电子起先稳定地搁置着而不发生任何作用——既不去考虑引力效应，也不去考虑其他，然后当它们碰在一起时就会湮没，并释放出一定量的辐射能，它是可以计算的。为此我们需要知道的只是物体的质量，而与究竟是什么物体无关。两个粒子消失后，就产生了一定的能量。爱因斯坦首先找到了计算公式，即 E=mc2。
从我们的讨论中可以很明显地看到，在进行分析时，能量守恒定律是极其有用的。我们已经在几个例子中表明了这一点，在那些例子中并没有知道所有的公式。假如我们有了各种能量的公式，那么毋须深入细节就能分析出有多少过程应当会发生。所以守恒定律是非常有趣的。由此很自然会产生一个问题，在物理学中还有哪些其他守恒定律？有另外两条守恒定律是与能量守恒定律类似的，一条称为线动量守恒，另一条称为角动量守恒，关于这方面我们在以后会知道得更多。归根到底，我们并没有深刻地理解守恒定律。我们不理解能量守恒，并不认为能量是一定数量的滴状物。你们也许听说过光子是以一个个的滴状形式出现的，一个光子的能量是普朗克常数乘以频率。这是正确的。但由于光的频率可以是任意的，所以没有哪条定律断言能量必须是某种确定的数值。与丹尼斯的积木不同，能量的数值可以是任意的，至少今天的理解是如此。所以在目前我们并不把能量理解为对某种东西的计数，而只是看作一种数学的量。这是一种抽象而又十分奇怪的情况。在量子力学中，我们知道能量守恒与世界的一个重要性质——事物不依赖于绝对时间——有十分密切的关系。我们可以在一个给定的时刻安排一个实验，并且完成它，然后在晚一些的时候再做同样的实验，那么实验的情形将完全是相同的。但这是否严格正确，我们并不知道。如果我们假设它是正确的，再加上量子力学的原理，我们就可以推导出能量守恒定律，这是一件相当微妙和有趣的事，不容易加以解释。其他的守恒定律也有联带的关系。动量守恒定律在量子力学中与一个命题有关，即无论你在哪里做实验都不会造成什么差别，结果总是同样的。最后，像空间上的无关性与动量守恒相联系、时间上的无关性与能量守恒相联系一样，假如我们转动仪器的话，这也不会造成任何差别，所以世界在角度取向上的不变性与角动量守恒相关。此外，还有三条其他的守恒定律。迄今为止我们可以说，这些定律是精确的。它们要容易理解得多，因为在本质上它们是属于清点积木一类的事。
这三条守恒定律中的第一条是电荷守恒定律这只是意味着，数一下你有多少正电荷，多少负电荷，将正电荷的数量减去负电荷的数量，那么这个结果将永远不会改变。你们可以用一个负电荷抵消一个正电荷，但是你们不可能创造任何正电荷对负电荷的净余额。另外两条守恒定律与这一条相类似。一条称为重子的守恒。存在着一些奇异粒子，例如中子和质子，它们称为重子。在任何自然界的反应中，假如我们数一下有多少重子进入一个反应，那么在反应结束时出去的重子（注：反重子的重子数记为(-1)）的数量将完全相同。还有一条是轻子守恒定律。我们可以举出称为轻子的一群粒子：电子，μ介子和中微子，还有一个电子的反粒子，即正电子(轻子数为-1)。在一个反应中对轻子的总数进行计数将揭示出这个事实：进入的数量与出去的数量决不会改变，至少就今天所知就是如此。
这就是六条守恒定律，其中三条是微妙的，与空间和时间有关，另外三条从对某种东西进行计数的意义上说是简单的。
关于能量守恒，我们应当指出，可资利用的能量是另一回事——在海水中的原子进行着大量的晃动，因为海水具有一定的温度，但是如果不从别处取得能量，就不可能使原子都按一个确定的方向运动。这就是说：虽然我们知道能量确实守恒，但是可供人类利用的能量并不那么易于保存。确定究竟有多少能量可供利用的那些定律称为热力学定律，它们包括着一个称为熵的有关不可逆热力学过程的概念。
最后，我们提一下这个问题：今天我们可以从哪里获得能量的供应？我们的能量来源是太阳、雨水、煤、铀以及氢。大阳形成了降雨，也造成了煤矿，所以所有这些都起源于太阳。虽然能量是守恒的，但看来大自然对此并无兴趣，她使太阳释放了大量的能量，但其中只有二十亿分之一到达地球。大自然保存着能量，不过实际上并不关心这一点；她让巨大数量的能量向四面八方散布开去。我们已经从铀中得到能量，从氢中也能得到能量，但是，现在只是在爆炸的危险的条件下才得到这些能量。假如可以在热核反应中控制它，那么结果每秒钟从10夸脱水中得到的能量就等于整个美国每秒钟所发的电量，每分钟用150加仑的水，就会使你们有足够的燃料来供应今天在整个美国所需要使用的能量！所以，怎样想出一些办法使我们从对能量的需要中解放出来就成为物理学家的责任。无疑，这是可以达到的目标。
§5-1 运动
在这一章里我们将研究时间和距离这两个概念的某些方面。上面我们曾经强调过，物理学像所有其他科学一样是依赖于观察的，人们或许还可以说，物理科学发展到它今天这种形式在很大程度上是由于强调了要进行定量的观察。唯有通过定量的观察，人们才能得到定量的关系，这些关系是物理学的核心。
很多人都喜欢把伽利略在350年前所做的工作看作是物理学的开端，并且称他为第一个物理学家。在此之前，对运动的研究是一种哲学上的事情，它所根据的是人头脑中所能想象出来的一些论据。大部分的论据是由亚里士多德和其他希腊哲学家提出的，并且被认为是“已经证明”了的。伽利略采取一种怀疑的态度，关于运动他做了一个实验，这个实验主要是这样的：他让一个球沿一斜面滚下，并且观察它的运动。然而他并不只是观察而已，而且还测量了在多长一段时间内小球跑了多远一段距离。
在伽利略之前很久，人们已经很好地掌握了测量距离的方法，但是，对于时间的测量，特别是短时间的测量，还没有精确的方法。虽然伽利略后来设计了比较准确的钟(不过不像我们今天所见到的那样)，但他在第一次做运动实验时是用他的脉搏来数出等间隔的时间。让我们也来做一下这个实验。当小球沿着轨道滚下时(图5-1)，我们可以数自己的脉搏：“一…二…三…四…五…六…七…八…。”我们请一个朋友于每数一次就在小球所到达的位置上做一个小记号；然后就可以测量小球从被释放的位置开始在1个、2个或3个等等相等时间间隔内所经过的距离。伽利略用下面这种方法来表述他的观察结果：如果从小球释放的时刻算起，它的位置是在1，2，3，4，……单位时间记下的，那么这些记号离开起点的距离就正比于数1，4，9，16，……。今天我们就会这样说：距离与时间的平方成正比：
S∝t2
运动的研究对所有物理部门是一件基本的事，它所讨论的问题是何处与何时
§5-2 时间
让我们先来考察一下何谓时间。时间究竟是什么？假如我们能够找到时间的一个确切的定义那该是多好。在韦伯斯特辞典里把“一段时间(a time)”定义为“一个时期(a period)”，又把后者定义为“一段时间”。这种定义看来并不十分有用。或许我们应该说：“时间就是不发生其他事情时所发生的事。”然而这也未必使我们的理解深入。事实上(就字典的含义来说)时间很可能是我们不能定义的事物之一。面对这个事实也许并没有什么不好。我们干脆说时间就是我们所知道的那回事：它就是我们等了多久！
不管怎样，重要的不在于我们是如何来定义时间，而在于我们如何来测量它 测量时间的一种方法是利用某种能以有规则的方式一再发生的事情，即某种能周期性发生的事情。例如，一个昼夜。昼夜似乎是一再重复出现的。然而你思索一下，也许就会问：“昼夜是否系真正周期性重复的？它们是否有规则地变化着？每一天是否都同样长？”人们肯定会有这种印象，夏天的日子比冬天的日子长。当然，在人们感到非常无聊的时候，总觉得冬天的有些日子长得可怕。你们一定会听到过有人这么说：“哎呀，这是多么长的一天！”
但是就平均而言，日子确实大致一样长。我们有没有什么方法来检验日子——不论从一天到下一天，或者至少就其平均而论——长短相同与否？一个办法是把它同某种别的周期性现象作比较，我们来看怎样能用一个沙漏来做这种比较。如果我们让某个人昼夜站在它的旁边，每当最后一粒沙掉下之后，他就把沙漏倒转来，这样，我们用沙漏就能“创造”一个周期性的事件。
于是，我们就能计算从每天早上到下一天早上倒转沙漏的次数，这一次我们大概会发观每一“天”的“小时”数(即倒转沙漏的次数)并不相同。这样，我们就会猜疑太阳或者沙漏，或者怀疑这二者。在加以思索之后，我们或许会想到要计算从这个中午到下一个中午的“小时”数。(在这里中午的定义并不是12:00，而是指太阳在其最高点的时刻。)这一次我们将会发现，每一天的小时数都是相同的。
现在我们比较有把握认为“小时”和“昼夜”具有一种有规则的周期性，也就是说它们划分出相继的等时间间隔，虽然我们没有证明它们中不论那一个“确实”是周期性的。或许有人会问：是否会有某个万能者在夜间使沙漏中的流动变慢，而在白天又把它加快？我们的实验当然无法对这类问题做出回答，我们所能说的，只是发现一种事物的规则性与另一种事物的规则性相吻合而已。我们只能说把时间的定义建立在某种明显是周期性的事件的重复性上。
§5-3 短的时间
现在我们要指出，在检验昼夜的重复性这个过程中我们获得了一个重要的副产品。这就是找到了一种比较精确地测量一天的几分之一的方法。亦即我们找到了一种用较小的间隔来计点时间的方法。能不能把这种过程再往前发展，从而学会测量甚至更小的时间间隔呢7 。
伽利略断定，只要一个摆的摆幅始终很小，那么它将总以相等的时间间隔来回摆动。如果做这样一个实验，对摆在一“小时”内的摆动次数进行比较，那么这个实验就会表明，情况确实如此。我们用这个方法可划分出一个小时的几分之一。假如我们利用一个机械装置计点摆动次数，并且保持摆动进行下去，那么就得到了我们祖父一代所用的那种摆钟。
让我们约定，如果我们的摆一小时内振动3600次(并且如果一天有24个这样的小时)，那么我们就称每一摆动的时间为1“秒”。这样，就把原来的时间单位分成大约105个部分。我们可以应用同样的原理把秒分成更加小的间隔。你们可以理解，制造一个能够走得任意快的机械摆是不现实的，但是我们现在能够制造一种称为振荡器的电学摆。这种电学摆能提供周期很短的摆动。在这种电子振荡器中，是电在来回振动，其方式与摆锤的摆动方式相类似。
我们可以制造一系列这种电子振荡器，每一个的周期要比前一个减小10倍。每一个振荡器可用前一个较慢的振荡器这样来“定标”，即数出较慢的振荡器振动一次时它所振动的次数。当我们的钟的振动周期小于一秒的几分之一时，如果没有某种辅助装置以扩展我们的观察能力，那就无从计点振动的次数。这种装置之一是电子示波器，它的作用就像一种供短的时间用的“显微镜”。这个装置在荧光屏上画出一幅电流(或电压)对时间的图像。将示波器依次与我们的系列中相继的两个振荡器相连，它就先显示出一个振荡器中的电流图像，然后显示出另一个振荡器中的电流图像，从而得到如图5-2所示的两幅图像。这样，我们就很容易测出较快的振荡器在较慢的振荡器的一个周期中振动的次数。
利用现代电子技术，已经制造出周期短到大约10-12秒的振荡器，并且可以按照前面描述的那种比较方法用我们的标准时间单位——秒来予以定标。近年来，随着“激光器”或光放大器的发明和完善，已能制造周期甚至比10-12秒更短的振荡器了，但是还不能用上述那些方法来予以定标，虽然毫无疑问，这在不久期间一定能够做到。
比10-12秒还短的时间已经测量出来，但用的是另一种测量技术。事实上，这里所用的是“时间”的另一种定义。一个方法是观察发生在运动物体上的两个事件之间的距离。例如，假定有一辆行驶的汽车把它的车灯先开亮，然后再关掉。如果我们知道车灯开、关的地点，以及车速，那么我们就能求出灯开的时间有多长。这段时间就是灯开时所通过的距离除以汽车的车速。
近几年来，正是这种技术被用来测量π0介子的寿命。π0介子在感光乳剂中产生并在其中留下微细的踪迹，用显微镜观察这些踪迹时，人们就可看到，平均而言一个π0介子(认为它以近于光速的某个速度运动)在蜕变之前大约走过了10-7米的距离，所以它的寿命总共只有大约10-16秒。但是必须着重指出，这里我们用了一个与前稍有不同的“时间”的定义。然而，只要在我们的理解方面不出现任何不协调的地方，那么我们就觉得有充分的信心认为这些定义是足够等效的。
在把我们的技术——而且如有必要也把我们的定义——进一步加以扩展之后，就能推断更快物理事件的持续时间，我们可以谈论原子核振动的周期，以及第二章中提到：过的那种新发现的奇异共振态(粒子)的寿命。它们的全部寿命只不过占10-24秒的时间，大致相当于光(它以我们已知的最快速度运动)通过氢原子核(这个已知的最小物体)所花的时间。
那么，再短的时间呢？是不是还存在尺度更小的“时间”？如果我们不能够测量——或者甚至合理地去设想——某些发生在更短时间内的事情，那么要谈论更短的时间是否还有任何意义？可能没有意义。这是一些尚未解决的、但你们会提出的、而且也许在今后二十或三十年内才能回答的问题。
§5-4 长的时间
我们现在来考虑比一抖夜还长的时间。要测量较长的时间很容易，我们只要数一数有几天就是——只要旁边有人在做这种计数的工作。首先我们发现，自然界里存在着另—个周期性，即年，一年大约等于365天。我们还发现，自然界有时也为我们提供了计算年的一些东西，例如树木的年轮或河流底部的沉积物。在某些情况下，我们就能利用这些自然界的时间标记来确定从发生某种事件以来所经历的时间。
当我们不能用计算年的方法来测量更长的时间时，那就必须寻找其他的测量方法。最成功的方法之一是把放射性材料作为一只“钟”来使用。在这种情况下，并不出现象昼夜或摆那样周期性的事件，但是有一种新的“规则性”。我们发现，某种材料的样品，当它的年龄每增加一相向的数值时，它的放射性就减少一相同的分数。假如我们画一张图来表示所观察到的放射性作为时间(比方以天来计算)的函数，那么我们就得到如图5-3所示的一条曲线。我们看到，如果放射性在，7天内减少到一半(称为“半衰期”)，那么它在另一个T天内就减少到四分之一等。在任一时间间隔t内共包含了t/T个半衰期，而在这段时间t后尚剩下的部分则是(1/2)(t/T)。
如果我们知道一块材料比如说一块木料，在它形成时其中含有数量为止的放射性物质，而用直接测量我们发现它此刻的量为B，那么只要解方程
(1/2)(t/T)=B/A
就能计算这一物体的年龄t。
幸运的是，在某些情况中，我们可以知道物体在形成时它所包含的放射性总量。比如说我们知道空气中的二氧化碳含有某一确定小量的放射性碳同位素C14(它由于宇宙线作用而连续不断地得到补充)，如果我们测量一个物体的碳的总含量，并且知道这个总含量的某一分数原来是放射性的C14，那么，我们就知道上述公式中所要用到的那个开始时的总含量 A。碳14的半衰期是5000年，通过仔细的测量我们测出经20个左右的半衰期后所余留下来的数量。因此，我们就能够确定生长于100,000年以前那样古老的有机体的年代。
我们很想知道，并且认为也能知道比之更老的那些事物的寿命。许多有关这方面的知识，我们是通过测量具有不同半衰期的其他放射性同位素而得到的。如果我们用一种半衰期更长的同位素来进行测量，那么就能测得更长的时间。例如，铀有一种同位索，它的半衰期大约为109年，所以如果有一种物质在它109年前形成时就含有这种铀，那么今天这种铀就只剩下一半。当铀蜕变时，它变成了铅。设想有一块岩石，它是在很久以前通过某种化学过程形成的。铅由于具有与铀不同的化学性质，它将出现在岩石的一个部分中，而铀则出现在岩石的另一部分中。铀和铅将互相分开。如果我们今天来考察那块岩石将发现在那种应该只有铀存在的地方，现在有某一分数的铀和某一分数的铅，通过对这两个分数的比较；我们就能说出百分之几的铀已消失并且变成了铅。利用这个方法，有些岩石的年龄被测定为几十亿年。这个方法的一个推广便是不用特定的岩石，而是着眼于海洋中的铀和铅，并且对整个地球取其平均值。用这个推广了的方法(在过去几年中)曾测得地球本身的年龄为大约55亿年。
人们发现，地球的年龄与掉到地球上的陨石(也是用铀方法测定的)的年龄是相同的，这是一件令人鼓舞的事情。看来，地球是由漂游在太空中的岩石形成的，而陨石很可能就是遗留下来的那些物质的残片。在50亿年前的某个时候，宇宙开始形成。现在人们认为，至少我们这部分宇宙起源于大约100或120亿年之前。我们不知道在此之前发生过什么事情。事实上我们又可以提出来问：这个问题是否有任何意义？更早的时间是否有任何意义？
§5-5 时间的单位和标准
我们在前面实际上已表明了，如果从时间的某个标准单位，比如一天或一秒出发，并把所有其他的时间表示为这个单位的倍数或分数，那么将十分方便。然而，我们将用那个，单位作为我们的时间基本标准呢？是否用人的脉搏跳动？如果我们比较各人的脉搏，那就会发现它们之间似乎差别很大。如果比较两只钟，则发现它们的变化不那么大。于是你们会说：好，就让我们采用钟吧！但是用谁的钟呢？有个故事讲到一个瑞士男孩，他想使他所在的镇上所有的钟在正午时刻都同时敲响，所以他就跑来跑去，穿家过院，想使人人相信这样做的好处。每个人都想，如果他的钟在正午敲响时，其他钟也全都敲响的话，这该是一个多好的主意呀！然而要决定谁的钟应该取作标准，这倒是一件难事。幸运的是，我们大家都同意用一只钟，即地球。在很长一段时间里，人们把地球的自转周期当作时间的基本标准。但是当测量越来越变得精确的时候，人们发现，用最好的钟来进行测量，地球的转动也不是严格周期性的。我们有理由相信，这些“最好”的钟是精确的，因为它们彼此之间是相符的。由于种种理由，我们现在认为，有些天要比另一些天长，有些天要比另一些天短，平均而论，地球的自转周期是随着一个世纪一个世纪的过去而变长了一点的。
直到晚近以前，我们还没有找到任何一个比地球的周期好得多的标准，所以把所有的钟同一天的长度联系了起来，而把一秒规定为一个平均日的1/86400。最近我们对自然界中某些振荡器获得了一些经验。我们现在相信，这些振荡器可以当作比地球更稳定的时间参考物。而且，它们也是基于一个大家都能采用的自然现象。这就是所谓的“原子钟”。它的基本的内在周期，就是原子振动的周期，这种振动对于温度或任何其他外界影响都不十分敏感。原子钟能使时间的精确度达到)109分之一，或者比之更高。在过去二年中，哈佛大学的拉姆齐(N.Ramsay)教授研制了一种改进的原子钟，它是依靠氢原子的振动而工作的。拉姆齐认为，这种钟比其他原子钟精确100倍。现在他正在对之作测量，这些测量将表明他的说法是否正确。
既然现在有可能制作远比天文时间精确的钟，那么我们可以预期，科学家们不久就会一致同意采用许多原子标准钟中的一种来定义时间单位（1967年的第十三届国际计量大会已通过决议将时间单位“秒”的定义改为：“一秒等于铯133原子基态的两个超精细能级之间跃迁的辐射周期的9,192,631,770倍。”——译者注。记不清什么地方还说过有一个±20（即,192,631,770±20）的误差。——OCR者注。）
§5-6 长的距离
现在我们转到距离的问题上来。事物有多远，或者有多大？人们都知道测量距离的方法是选用一种长度单位再加上计数，例如可以用尺或拇指边量边数。那么怎样来量比较小的东西呢？怎样把距离分小呢？这与我们将时间分小一样，我们同样取一个较小的单位，然后数出这个单位组合成一个较长单位时所需的数目。这样我们就能测量越来越小的长度。
但是我们并不总是把距离理解为用米尺量。得的结果。仅仅用一根米尺是难以测量两个山顶之间的水平距离的。我们曾经凭经验发现可以用另一种方式来测量距离：即用三角法。虽然这意味着我们实际上对距离用了一个不同的定义，但当它们可以一起应用时，就应是彼此相一致。空间或多或少有点像欧几里得所设想的那个样子，所以距离的这两种定义是一致的。既然它们在地球上相一致，那就使我们充满信心可用三角法来测量更大的距离。例如，我们当时曾用三角法测定了第一颗人造卫星的高度(图5-4)。我们测得的高度约有5×105米。如果测量得更仔细一点，则用同样的方法可以测出地球到月球的距离；安放在地球上两个不同地点的两个望远镜，将会告诉我们所需要的两个角度。用这种方法我们求得月球离我们有 4×1O8米远。
对于太阳，我们不能这样做，或者至少到现在没有人能够这样做。由于我们不能相当精确地对准太阳上一个特定的点，从而不能精确地测出两个角度，所以无法测出到太阳的距离。然而如何来测量这个距离呢？我们必须将三角法这个观念加以引伸。我们可以通过天文观察方法来测量所有行星出现的位置之间的相对距离，从而得到一幅有关太阳系的图像，能显示每个行星间的相对距离，但都不是绝对距离。因此需要测出一个绝对距离，而这种绝对测量已用几种方法得到，其中直到最近以前还认为最精确的一个是测出地球到爱神星的距离。爱神星是一个时常靠近地球的小行星。如果对这个小天体应用三角法，就能得到一个所需要的比例尺度。由于知道了其他天体的相对距离，我们就能说出它们之间的绝对距离，例如地球到太阳，或地球到冥王星的绝对距离。
去年，我们在有关太阳系的比例尺度的了解上获得了巨大的进展。喷气推进实验室用直接的雷达观察非常精确地测定了地球到金星的距离。当然，这只是另外一种由推测而得到的距离。我们说，我们知道光传播的速度(因而这也是雷达波传播的速度)，并且假定，在地球与金星之间无论何处这个速度都相同。那么，在发射无线电波并测得电波返回的时间，我们就能从时间来推测距离。这确实是距离测量的另一种定义。
可是我们如何来测量一个更遥远的恒星的距离呢？幸运的是，我们可以回到三角法上来，因为地球绕太阳公转，而这种转动就为测量太阳系外的恒星距离提供了一条基线。假如我们在夏天和冬天用望远镜对准一颗恒星，那么我们可以期望能足够精确地测出这两个角度，从而能测出地球到恒星的距离。
如果恒星离得太远而不能应用三角法时又怎么办？天文学家总是在发明测量距离的新方法。例如，他们发现，从恒星的颜色可以估计它的大小和亮度。他们测定了许多靠近地球的恒星——这些恒星的距离已用三角法测得——的颜色和内在亮度，并且发现在恒星颜色和内在亮度(在大多数情况中)之间存在着一个平滑的关系，如图6-5所示。如果现在测出了一个遥远恒星的颜色，那就可以用颜色—亮度关系来确定这个星体的内在亮度，在测量了我们地球上看来这颗恒星有多亮(或许应该说有多暗)之后，我们就可以计算它有多远(对于一个给定的内在亮度，其表观亮度是随距离的平方而减小的)。对称为球状星团的一群恒星作测量后，所得的结果很好地证实了这种星际距离测量方，法的正确性。图5-6是这样一群恒星的一张照片。只要看一下照片，人们就会相信这些恒星都聚集在一起。用颜色—亮度关系这个测量距离的方法得到了同样的结果，
对许多球状星团进行研究之后使我们得到另一些重要信息。人们发现，在天空的某一部分有许多这样的星团高度集中在一起，而且其中大部分离地球的距离大致相同。把这个信息和其他证据结合起来，就能断定，星团的这个集中处就是我们所在银河系的中心。于是我们就知道到银河系中心的距离——大约为1020米。
