要贡献来自于引起温度微小增加的随机的粒子运动，水的溅开以及一杯水
落到地面上去等等。
为了更精密地定义熵的概念，让我们回到第五章引进的相空间的观
念。我们记得，系统的相空间通常具有极大的维数，其中每一点代表了包
括系统的所有细节的整个物理态。相空间的一个单独的点提供了构成该物
理系统的每一个单独粒子的位置和动量座标。为了熵的概念，我们需要用
一种办法把从其显明（也即宏观）性质看起来一样的所有的态集中起来。
这样，我们必须把我们的相空间分成一些区域（参见图
7.3）。属于任何
特别区域的不同点虽然代表它们粒子的位置和运动的不同细节，但是对于
宏观的观察特征而言，仍然认为是一样的物理系统。从什么是显明的观点
看，一个单独区域中的所有点应被考虑作相同的物理系统。相空间这样地
被划分成区域的作法被称为相空间的粗粒化。
图
7.3相空间被粗粒化成在宏观上无法相互区分开的态的区域。熵和
相空间体积的对数成比例。
现在，这些区域中的一些会比其他的区域庞大得多。例如，考虑一盒
气体的相空间。相空间的大部分体积对应于气体非常均匀地在盒子中分布
的态，粒子以一种能提供均匀温度和压力的特征的方式运动。这种运动的
特别方式，在某种意义上可能是称之为马克斯韦分布的最“紊乱的”一种，
它是以我们前面遇到的同一位詹姆斯·克拉克·马克斯韦来命名的：气体
处于这种紊乱状态时就说它达到了热平衡。相空间中的点的绝对大的体积
对应于热平衡；该体积中的点描述和热平衡一致的个别粒子位置和速度的
所有不同的细致形态。这个巨大的体积是我们在相空间中的一个（很容易
是）最大的区域，实际上它几乎占据了整个相空间！让我们考虑气体的另
一种可能的态，譬如所有的气体被局限在盒子的一个角落上。又存在许多
不同的个别粒子的细致的态，它们都描述以同样的方式把气体局限在盒子
角落的宏观态。所有这些在宏观上都不能互相区别，而相空间中代表它们
的点构成了相空间的另一个区域。然而，这一个区域体积比代表热平衡的
那个区域要小得多了。如果我们的盒子的体积为一立方米，装有在通常大
气压和温度下的平衡的气体，而角落区域的体积取作一立方厘米，则上面
的相空间体积的缩小因子大约为101025！
为了评价这类相空间体积之间的差异，想象一种简化的情形，即把许
多球分配到几个方格中去。假如每一方格或者是空的或者只容纳一个球。
用球来代表气体分子而方格表示分子在盒子里所占据的位置。让我们从所
有方格中挑出特殊的小子集；这些被用于代表对应于盒子的一个角落的区
域的气体分子位置。为明确起见，假定刚好有十分之一数目的方格为特殊
的——譬如讲有
n个特殊的方格和
9n个非特殊的方格（见图
7.4）。我们
希望把
m个球随机地分配到这些方格中去，并且求出所有的球都落到特殊
方格中去的机会。如果只有一个球和十个方格（这样我们只有一个特殊方
格），则很清楚，机会应为十分之一。如果只有一个球，但有任意数目
10n
的方格（这样我们就有
n个特殊方格），则情况不变。这样就对于仅有一
个原子的“气体”，把气体局限在那个角落的区域，就具有整个“相空间”
体积的十分之一。倘若我们增加球的数目，所有它们都在特殊方格中的机
会就非常显著地减少。对于两个球，譬如讲二十个方格
体积的十分之一。倘若我们增加球的数目，所有它们都在特殊方格中的机
会就非常显著地减少。对于两个球，譬如讲二十个方格（其中两个是特殊
的）（m=2，n=2），机会为
1/190，或者对于一百个方格（其中十个是特
殊的）（m=2，n=10），机会为
1/110；对于数量非常大的方格机会变成
1/100。
这样，对于两个原子“气体”特殊区域的体积仅为整个“相空间”的百分
之一。对于三球和三十个方格（m=3，n=3），机会为
1/4060；而对于数量
非常大的方格，机会为
1/1000——这样，对于三个原子“气体”特殊区域
体积就为相空间体积的千分之一。对于四球和非常大量的方格，机会为万
分之一。对于五球和非常大量的方格，机会为十万分之一，等等。对于
m
球和大量的方格，机会为
1/10
m。这样，对于
m原子“气体”，特殊区域
的体积为“相空间”的
1/10
m。（如果把“动量”也包括在内，这仍然成
立。）
图
7.4一盒气体的模型：一些小球分布在数目比球大得多的方格中
去，十分之一的方格被认作特殊的。在左上角上已把这些特殊的标出。
我们可以把这些应用于前面考虑的一盒实际气体的情形。但是现在，
特殊区域不是占据总体积的十万分之一，而是一百万分之一（亦即一立方
米中的一立方厘米）。这表明现在的机会不是
1/10
m，而是
1/（1000000）
m也就是
1/10
6m。在通常的情况下，我们整个盒子中大约有
10
25个分子，
所以我们取
m=10
25。这样，代表所有气体被局限在角落里的相空间的特殊
区域只有整个相空间体积的
1/1060000000000000000000000000！
状态的熵是包含代表该态的相空间区域体积V的测度。鉴于上述的这
些体积间的巨大差别，最好不把它定义为和该体积成比例，而是定义为和
该体积的对数成比例：
熵=klogV。
取对数有助于使这些数显得更合情理。例如
10000000的对数
①大约为
16。
量
k称为玻尔兹曼常数。其数值大约为
10
-23焦耳/开尔芬。此处取对数的
主要原因是使熵对于独立的系统成为可加量。这样，对于两个完全独立的
系统，它们合并起来的系统的总熵为每一个单独系统的熵的和。这是对数
函数的基本代数性质的推论：logAB=logA+logB。如果系统在它们各自的相
空间中属于体积为
A和
B的区域，则合并起来后的相空间中的区划体积就
①更准确地讲，角动量是由不同数量的点的这种形态的复线性组合所描述。由于在复杂系统中，不同的叠
加可得到不同的总自旋值。这只会使总的图像更不像经典角动量！
①然而，在两种方程允许的解的类型方面存在一个重大的差别。经典马克斯韦场必须是实的。而光子态是
复的。光子态还必须满足所谓的“正频率”条件。
是它们的积
AB，这是因为一个系统的每一可能性都必须各自分别计算。所
以合并系统的熵的确为两个单独的熵的总和。）
按照熵的观点，相空间中区划尺度的巨大差异显得更合理。上述的一
个立方米的盒子的气体的熵只比集中在一立方厘米尺度的“特殊”区域的
气体大1400焦耳/ 开尔芬（
= 14k ×1025 ）（由于loge （106×1025）大约
为
14×10
25）。
为了得到这些区划的实际的熵值，我们要稍微忧虑所选择的单位
（米、焦耳、公斤、开尔芬等等）。这有点离题太远，实际上，对于我马
上要给出的极其巨大的熵值，选用何种单位根本没有什么本质上的不同。
然而，为了确定起见（对于专家而言），我将采用由量子力学规则所提供
的自然单位，这时玻尔兹曼常数就变成一：
k=1。
第二定律在起作用
第二定律在起作用
盒子的一个角落里。下一时刻，气体就会散开，并会急速地占领越来越大
的体积。它过一阵就达到了热平衡。在相空间中看我们的图像应是什么样
的呢？在每一阶段，气体所有粒子的位置和运动的完全的细节的状态都由
相空间中的单独的一点描述。这一点在相空间中随着气体的演化而徘徊，
这一精确的徘徊描述了气体中所有粒子的整个历史。这点从非常小的区域
出发——该区域代表所有气体在盒子的一个特殊角落的所有初始态的集
合。随着气体的扩散，我们运动的点进入了一个相当大的体积，这体积相
应于气体以这种方式在盒子中稍微扩散开来。当气体向更远处扩散时，相
空间的点继续进入越来越大的体积，新的体积以一个绝对巨大的因子使该
点以前所在的体积完全相形见绌（图
7.5）。在每一种情形下，一旦点进
入更大的体积，（实际上）就根本没有在原先更小的体积中找到它的机会。
最后它迷失在相空间中的最大的体积中——这相应于热平衡。这个体积实
际上占领了整个相空间。人们可以完全放心，我们相空间的点在真正随机
的徘徊中，在任何可以想象的时刻都不可能处在更小的体积中。只要达到
热平衡，无论怎么弄，这个态都好好地待在那儿。这样，我们看到了简单
地表达为相空间中适当区域体积的对数测度，其系统的熵随着时间无情增
加①的趋势。
图
7.5热力学第二定律在作用：随着时间演化，相空间点进入越来越
大体积的区域中。结果熵连续地增加。
现在我们似乎为第二定律找到了一个解释！由于我们可以假定相空间
的点不以任何特别设计的方式运动，如果它从相应于小的熵的很小的相空
间体积出发，随着时间的流逝，它一定会以压倒一切的可能性不断进入越
来越大的相空间体积，这相应于熵值的逐渐增加。
但是，在我们用这个论证推导出来的结果中似乎有点古怪的东西。我
们似乎已经推导出时间反对称的结论。熵在时间的正方向增加，所以必须
在相反的方向上减少。这个时间反对称从何而来？我们肯定没有引进过时
间反对称的物理定律。时间反对称仅仅是从这一个事实而来，就是该系统
从一个非常特别的（亦即低熵的）态出发，系统一旦这样地被启动，我们
就看到它在未来的方向演化并发现熵在增加。这种熵增加的确和我们自己
实际宇宙中的系统行为相符。但是，我们同样可以在时间的相反方向上应
用这一论断。我们又可以在某一时刻使系统处在一个低熵的状态，但是现
①对于一般的
n、m，机会为
nCm÷10nCm=n！（
10n-m！）/（10n）！（
n-m）!
在要问的是，什么是在此之前的最可能态的系列。
在要问的是，什么是在此之前的最可能态的系列。
当然，这一点也不像在我们宇宙里实际上所发生的！熵不以这种方式
减少，它增加。如果知道在某一个特定的时刻气体挤在盒子的某一角落，
那么在这之前更多得多的可能是气体被后来很快移开的一块隔板紧密地
限制。或者气体以凝聚态或液态被定在该处并很快地加热成为气态。对于
所有这些可能性，原先的态的熵甚至更低。第二定律的确在起支配作用，
熵总在增加——也就是它实际上在时间的相反方向上减少。现在，我们看
到我们的论证给出了完全错误的答案！它告诉我们使气体跑到盒子的角落
去的最可能的方式是从热平衡开始，然后随着熵的逐渐减少，气体会集中
到角落上去；而事实上，在实际世界中，这是极不可能发生的。在我们的
世界中，气体是从一种更少可能（也即更低熵）的状态出发，挤在一个角
落里的气体的熵不断增加到后来所具有的值。
图
7.6如果我们在时间的颠倒方向上应用画在图
7.5的论证，我们就
“向过去预言”熵从它现在的值也向过去的方向增加，这和观察严重冲
突。
我们的论证虽然不能应用于过去的方向，似乎在未来的方向上可以。
对于未来的方向，我们可以正确地预料到，只要气体从角落上出发，未来
最可能发生的是将要达到热平衡，而不是突然出现分隔，或气体忽然凝固
或变成流体。这么奇异的可能性正是表明，我们的相空间论证中似乎已正
确地排除在未来方向熵降低的行为。但是过去的方向，这样奇异的可能性
的确像是要发生似的——它们对我们而言一点也不奇异。当我们试图在相
反的时间方向应用相空间论证时，我们会得到完全错误的答案！
很清楚，这给我们原先的论证投下了疑问的阴影。我们没有推导出第
二定律。事实上，该论证显示的只是，对于一个给定的低熵的状态（譬如
讲气体被限制在一个角落里，那么在不存在任何约束此系统的外在因素
时，则可望熵从该给定的状态在时间的两个方向上增加（图
7.6）。这个
论证在时间的过去方向上无效正是因为存在这种因素。过去的确有某种东
西在约束这个系统。某种东西强迫熵在过去取低的值。熵在将来增加的这
种趋势不足为奇。在某种意义上讲，高熵的态就是自然的“态”，这点就
不必多加解释了，但在过去的低熵态是令人困惑的。是什么约束使得我们
世界的过去的熵变得这么低？具有令人不可思议的低熵状态在我们居住的
实在宇宙中普遍存在，虽然我们对这一点早已司空见惯，并通常不认为有
什么大惊小怪，但它的确是一个令人惊异的事实。我们自己本身便是具有
极小熵值的结构！从上述的论证可以看出，给定一个低熵态，我们不应该
为后来的熵增加感到惊讶。应该惊讶的是，当我们考察它的过去时，熵变
得越来越不可想象地低！
宇宙中低熵的起源
宇宙中低熵的起源
我们自身的低熵究竟从何而来呢？我们身体的组织是由我们吃的食
物和我们呼吸的氧气来的。人们经常听到这样的说法，即我们从食物和氧
气的摄入中得到能量。但是只要想得更清晰一些就会发现这不是完全正确
的。的确，我们消耗的食物和吸收到身体中来的氧气的化合为我们提供了
能量。但是，大多数情况下，该能量又重新以热的形式离开我们的身体。
由于能量是守恒的，在我们整个成年的生活中，身体实际上的能量含量或
多或少是维持着一个常量，我们身体一点也没有必要再添加能量。我们不
需要比我们已具有的更多的能量。事实上，当我们的体重增加时我们的确
添加了能量，但通常这是多余的！还有，当我们从儿童长大，体格变健壮
时，能量含量增加了相当多；这不是我在这里所关心的。问题在于我们如
何使自己在正常（主要成年的）生活中存活。我们不必为此增加自身的能
量含量。
然而，我们确需要取代以热的形式连续损失的能量。事实上，我们越
是“有精力”，则实际上以这种方式损失的能量越多。所以这能量都必须
有所取代。热量是能量的最无序的形式，也就是说，它是能量的最高熵的
形式。我们吸收低熵形式的能量（食物和氧气）并以高熵形式（热、二氧
化碳、排泄物）排泄出去。我们没必要从我们的环境获取能量，因为能量
是守恒的。但是，我们是在连续地对抗热力学第二定律。熵不守恒，它无
时无刻地增加着。我们必须使自身的熵降低才能存活。为此我们从食物和
大气氧气中吸收低熵的化合物，让它们在我们身体内化合，以高熵的形式
释放能量，否则我们的体重就会增加。用这种方式，我们可维持我们身体
内的熵不增加，并能保持（并甚至增加）我们的内部组织。（见薛定谔
1967。）
从什么地方来提供这些低熵呢？如果我们吃的食物刚好是肉（或蘑
菇！），那它正如我们一样要依赖于更外部的低熵源去提供和维持其低熵
结构。这只不过把我们外部的低熵源的问题推到其他的地方。这样，让我
们假定我们（或动物或蘑菇）消化植物。我们因为绿色植物的巧妙——不
管是直接的或是间接的——而必须极其感谢它：因它吸收大气的二氧化
碳，把氧气从碳中分离开来，而利用碳来建造它们自身的结构。这一光合
作用的过程导致大量的熵降低。我们自己实际上在身体内把氧和碳重新简
单地结合，用这种办法利用低熵的这种分离。绿色植物为什么能实现熵降
的魔术呢？它们是利用阳光来实现的。阳光给地球带来了相当低熵形式的
能量，即是可见光光子的能量。地球，包括它上面的居住者，不能保留此
能量，而是（过了一阵）就把它全部重新辐射回到太空去。然而重新幅射
的能量具有高熵的形式并被称为“辐射热”——它表明是红外光子。和普
遍的印象正相反，地球（和居住者）并不从太阳获得能量！地球所进行的
只不过是取来低熵形式的能量，然后以高熵的形式全部把它吐回到太空去
（图
7.7）。太阳对我们所做的是给我们提供了巨大的低熵源。我们（通
过植物的巧妙功能）利用了这些低熵，最终抽取某一极小的部分将其转换
成惊人的、错综复杂的、有组织的结构，这就是我们自身。
图
7.7我们如此利用这事实：太阳是黑暗太空中的一个热点。
让我们以整体的观点考虑太阳和地球，能量和熵发生了什么变化？太
阳以可见光光子的形式辐射能量。其中有一些被地球所吸收，它们的能量
以红外光子的形式被重新辐射。现在，在可见光和红外光之间的关键差别
在于前者有一个高频，所以单独光子比后者有更高的能量。（回忆一下在
265页给出的普郎克公式
E=hv。它告诉我们，光子的频率越高则能量越
大。）由于每一可见光子比每一红外光子具有更高的能量，为了使进入地
球的和离开地球的能量相平衡，只能有比离开地球的红外光子的数目更少
的可见光子到达地球。地球吐回到太空去的能量被分散到比从太阳接收到
的能量的多得多的自由度去。由于把能量再送回太空时牵涉到多得这么多
的自由度，相空间的体积变得大得多，所以熵值就被极大地增加。绿色植
物吸收低熵形式的能量（相对少量的可见光子）而重新把它以高熵形式（相
对多量的红外光子）辐射，为我们提供了所需要的分解的氧和碳，以这种
方法把低熵喂给我们。
所有这一切之所以可能的原因是，太阳为天空中的一个热点！天空处
于温度不平衡的状态；它的一个小区域亦即太阳占据的地方，比其他地方
的温度高得多得多。这个事实为我们提供了所需要的强大的低熵源。地球
从这一个热点得到低熵形式（少量光子）的能量，然后以高熵的形式（许
多光子）重新辐射到冷的区域去。
太阳为什么是这样的一个热点呢？如何才能得到这个温度的不平衡，
并因此为我们提供低熵态呢？答案是它从原先均匀分布的气体（主要是氢
气）的引力收缩形成的。在其形成的早期阶段，当它收缩时，太阳被加热
上去。在到它的温度和压力达到一定点之前，也即除了引力收缩外，它还
找到另一种叫作热核反应的能源，它会继续收缩并变得更热。热核反应使
氢核聚变成氦核，并同时释放能量。如果没有热核反应，太阳会变得比目
前的更热得多和小得多，直到最终消逝。热核反应使太阳不再继续收缩以
免过热，从而使它稳定在适合于我们的温度上，能在更长久的时间里持续
发光，否则的话早已熄灭。
上去。在到它的温度和压力达到一定点之前，也即除了引力收缩外，它还
找到另一种叫作热核反应的能源，它会继续收缩并变得更热。热核反应使
氢核聚变成氦核，并同时释放能量。如果没有热核反应，太阳会变得比目
前的更热得多和小得多，直到最终消逝。热核反应使太阳不再继续收缩以
免过热，从而使它稳定在适合于我们的温度上，能在更长久的时间里持续
发光，否则的话早已熄灭。
）
3没有引力，甚至太阳根本就不会存在！没有热核反应太阳仍然发光——虽
然不以适合我们的方式——但是没有引力就根本没有发光的太阳，的确需
要引力来聚合物质，并提供所需要的温度和压力。若无引力，代替太阳之
处我们只会有一团冷而弥散的气体，在天空中不会有热点！
我未讨论到地球内“化石燃料”中的低熵来源，但是其考虑基本上是
一样的。根据传统理论，地球上所有的油（和天然气）是来自于史前植物
的生命，又是植物被当作低熵的来源。这些史前植物从太阳得到它们的低
熵——所以我们应该再次转向把弥散气体变成太阳的引力作用。托玛斯·高
尔德提出了地球上石油起源的逆经叛道的理论。他不同意传统的观点，认
为地球上存在比史前植物产生的更丰富得多的碳氢化合物。高尔德认为，
油和天然气是在地球形成时被包含在地球内的，并一直连续地渗透出来直
到下层的矿穴
4。根据高尔德的理论，油在地球形成之前，即使在外空仍
然是由阳光合成的。这又是起源于引力形成的太阳。
用于核电站的铀
235同位素的低熵核能量又如何呢？这的确不是原先
从太阳（虽然在某阶段它也可能通过太阳），而是从某些其他的恒星来的。
这些恒星在几十亿年前的一次超新星爆发中爆炸！这些物质实际上是从许
多这类爆炸的恒星中聚集起来的。爆发把这些物质从恒星中吐到太空去，
其中一些最终（通过太阳的作用）被聚集在一块，并把重元素提供给地球，
