光就会通过第二偏振片。但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二偏振
片就将通过第一偏振片的光全部阻拦住。如果两个偏振片的指向夹角为j
时，则第二偏振片让
cos2j
部分的光通过。
图
6.26平面偏振的电磁波。
在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。第一偏
振片的行为像一个偏振度测量器。如果光子的确在一个合适的方向偏振，
它就给出是的答案，并让光子通过。如果光子在与此相垂直的方向偏振，
则答案为非，光子就被吸收。（注意在希尔伯特空间中的“正交”并不对
应于通常空间中的“夹直角”！）假定光子通过了第一偏振片，则第二偏
振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。如果两个方向的夹角
为j，我们现在就有
cos
j2作为已经通过第一偏振片的光子通过第二偏振片
的概率。
黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们
必须考虑圆的和椭圆的偏振。图
6.27画出了经典波动的情形。圆偏振时
电场旋转，而不是振荡。磁场仍然和电场成直角并同步地旋转。椭圆偏振
可看成旋转和振动的结合，而描写电场的矢量在空间划出一个椭圆。在量
子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式——光子自旋的态。
如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上
运动的光子。现在北极代表右手自旋的态｜R＞，这表明当光子通过时电
场矢量以反时钟方向绕着垂直的轴旋转（从上面看）。而南极代表左手自
旋的态｜L＞。（我们可以把光子想象成像来福枪子弹一样自旋，或是右旋
或是左旋。一般的自旋态｜R＞+q｜L＞是这两种态的复线性组合，它对应
于黎曼球面上标出的一点。为了求出
q和偏振椭圆的关系，我们首先取
q
的平方根p：
p=
q。
然后在黎曼球面标出
p而不是
q。考虑通过球面中心的一个平面，该平面
垂直于连接标上
p的点和球心的直线。此平面和球面的交线为一圆周。我
们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆（图
6.28）。q的黎曼球面仍然描述
了光子偏振态的总体，但是
q的平方根为之提供了空间实现。
图
6.27圆偏振电磁波。（椭圆偏振是介于图
6.26和图
6.27之间的中
间情况。）
图6.28黎曼球面（现在是q 的）也描述了一个光子的偏振态（指向
q的矢量称为斯托克斯矢量。）
我们可同样地将用于电子的同一个公式
1/2（1+cosθ）用于计算概
率，只要我们把它应用于
q而不是
p。考虑一平面偏振我们首先在一个方
向上，然后在另一和它夹j角的方向上测量光子的偏振。这两个方向对应
于球面赤道上从中心看张角为的两个
p值。因为
p为
q的平方根，所以
q
点在中心的张角为
p点张角的两倍：θ=2
j。这样，在第一测量结果为是
后第二测量结果亦为是（亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振
片）的概率为
1/2（1+cos2）这正是前面断言的
cos
2j.（可用简单的三角
验证之）。
乱这些描述。该因子是当我们要求｜→＞和｜←＞归一化时所引起的。
大自旋物体
大自旋物体
为
×h/2
n 的粒子或原子，让它处于静止。
这样自旋就定义了一个
n+1态的量子系统。（对于一个无质量的，也就是
以光速运动的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个
两态系统。但是对于有质量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我
们选择在某一个方向测量该自旋，会发现共有
n+1不同的可能的结果，此
结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位
h/2，在那个方向
自旋的可能结果为
n，n-2，n-4，.，2-n或-n。这样
n=2时其值为
2，0
或-2；n=3时其值为
3，1，-1或-3；等等。负值对应于自旋主要指向和所
测量的方向相反的方向。在半自旋的情形，亦即
n=1时，上述的值
1对应
于是，而值-1对应于非。
由于我不想企图在这里解释的原因，人们发现（马约拉纳
1932，彭罗
斯1987a）对于hn/2的自旋每一个自旋态（准确到一个比例系数）可唯
一地由黎曼球面上的（无序的）n点的集合，也就是从中心出发的
n个（通
常不同的）方向表征（见图
6.29）。这些方向由可能对此系统进行的测量
所表征：如果我们在它们中的任一个方向测量自旋，则结果一定不会全在
相反方向上，也就是给出值
n，n-2，n-4，.2-n，但不会有-n。）在譬如
上述电子的
n=1的特殊情形下，这就是在上面描述中标以
q的黎曼球面上
的一点。但是对于大数值的自旋，正如我刚才描述的，图像变得更为精巧
——虽然，由于某种原因，物理学家对此并不特别熟悉。
在这些描述中有些相当令人吃惊和困惑的东西。人们经常相信，当系
统变得更大更复杂时，在某种适当的极限的意义上，原子（或基本粒子或
分子）的量子描述就会过渡到经典的牛顿描述。然而，在实际情况中，这
肯定是不对的。正如我们已经看到的，具有大角动量的客体的自旋态对应
于大量的杂乱地撒开在黎曼球面上的点①。我们可以把物体的自旋认为是由
一大堆大小为一半的，方向由这些点决定的自旋所组成。这些结合态中只
有很少情形，其大部分点集中在球面上的一个小区域中（亦即大部分半自
旋近似地指向同一个方向）——这些才对应于人们通常在譬如板球等等经
典物体处遇到的角动量的实际的态。我们也许会预料
到，如果我们选择一个总角动量为某个非常大的数（按照单位h /2），
是处于“紊乱”的自旋态，那么某种类似于经典自旋的东西就会开始出现。
但是情况根本不是这样，一般地讲，具有大的总自旋的量子自旋态和经典
①这个客观性是我们认真采用标准量子力学形式的一个特征。在一种非标准的观点中，系统也许事先已“知
道”它将提供给任何测量的结果。还会带给我们物理实在的一种不同的显然客观的图像。
态毫不相像！
图
6.29对于一颗有质量的粒子，一般的高自旋态可用指向任意方向的
半自旋态的集体来描述。
那么经典物理中的角动量的对应物是如何构成的呢？大多数大自旋量
子态实际上不和经典的东西相类似，它们是每一个都类似于经典的（正交
的）态的线性叠加。对此系统进行“测量”时，其状态（以某种概率）“跃
迁”到这一个或那一个类经典的态上去。这种情形和系统的任何其他经典
地可测量的性质相类似，而不仅仅是角动量。正是量子力学这个方面在一
旦系统“到达经典水平”时即起作用。在后面我还要仔细讨论这些，但在
讨论这么“大”或这么“复杂”的量子系统之前，我们必须对量子力学如
何实际处理包含多于一个粒子的系统的古怪方式有些了解。
多粒子系统
多粒子系统
章
202页）复杂得很多。这似乎
很糟糕。人们也许以为，必须用两个场来描述两个粒子的量子态。根本不
是这回事！两个或更多粒子的状态的描述，正如我们将看到的，要比这个
更精巧得多！
一个单独的（无自旋的）粒子的量子态由粒子所能占领的每一可能位
置上的一个复数（幅度）所定义。粒子在点
A有一幅度，在点
B有一幅度，
在点
C有一幅度等等。现在考虑两个粒子。譬如，第一个粒子可能呆在
A，
而第二个粒子呆在
B这种可能性必须有一幅度。另外，第一个粒子可呆在
B，而第二个粒子呆在
A，这也需要一幅度；或第一个粒子呆在
B，而第二
个粒子呆在
C；或者也许两个粒子都在
A。每一种可能都有一个幅度。这样，
波函数不仅仅是位置的一对函数（也就是一对场）；它必须是两个位置的
一个函数！
为了估计一个双位置的函数比二个单位置的函数复杂多少，我们可想
象一种情景，只存在有限数目的允许位置的集合。假定只有十个允许的由
（正交）态给定的位置
｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，｜4＞，｜5＞，｜6＞，｜7＞，｜8＞，｜9＞。
粒子态｜ψ＞为某种组合
｜ψ＞=z
0丨
0＞+z
1丨
1＞+z
2丨
2＞+z
3丨
3＞+..+z
99＞，
此处不同分量
z
0，z
1，z
2，.z
9分别顺序提供了粒子在每一点处的幅
度。十个复数指定了粒子的状态。对于双粒子状态，我们对每一对位置都
需要一个幅度。共有
102=100
不同的（有序）位置对，所以我们需要一百个复数！如果我们只有两个单
粒子态（亦即“位置的两个函数”而不是上面的“一个双位置的函数”），
则我们只需要二十个复数。
我们可以把这一百个数标为
z00,z01,z02,.,z09,z10,z11,z12,.z20.z99,
以及把相应的（正交）基矢量标为
12｜0＞｜0＞，｜0＞｜1＞，｜0＞｜2＞，.，
｜0＞｜9＞，｜1＞｜0＞，.，｜9＞｜9＞。
则一般的双粒子态｜ψ＞可写成
｜0＞｜9＞，｜1＞｜0＞，.，｜9＞｜9＞。
则一般的双粒子态｜ψ＞可写成
z
00|0＞|0＞+z
01|0＞|1＞+.+z
99|9＞9＞。
此处态的“乘积”记号具有如下意义：如果｜α＞是第一个粒子可能
的态（不必是位置态），而｜β＞为第二个粒子的可能的态，则断言第一
个粒子的态为｜α＞以及第二个态为｜β＞的态可写作
｜α＞｜β＞。
可对任何其他的量子态而不必仅仅是单粒子态取“乘积”。这样，我们总
是将乘积态｜α＞｜β＞（不必为单粒子的态）解释作描述以下事件的同
时发生：
“第一系统处于态｜α＞而且第二系统处于态｜β＞”。
（可对｜α＞｜β＞｜γ＞等等进行类似的解释；见下面。）然而，一般
双粒子态实际上并不具备这种“乘积”的形式。例如，它可以为
｜α＞｜β＞+｜ρ＞｜σ＞，
此处｜ρ＞为第一系统的另一个可能的态，而｜σ＞是第二系统的另一个
可能的态。此状态是一线性叠加；也就是第一个（｜α＞以及｜β＞）的
同时发生加上第二个（｜ρ＞以及｜σ＞）的同时发生，而它不能被重写
成一个简单的乘积（亦即作为两个态的同时发生）。作为另一例子，态｜
α＞｜β＞-i｜ρ＞｜σ＞描述另一个不同的线性叠加。注意量子力学需
要很清楚地区别“以及”和“加”这两个词。在现在语言中——譬如在保
险小册子中——非常不幸地将“加”在“以及”的意义上使用。这里我们
要加倍小心！
三个粒子的情形非常类似。在上述的只有十个可选择的位置的情况
下，为了指明一般的三粒子状态，我们现在需要一千个复数！三粒子态的
完备基是
｜0＞｜0＞｜0＞，｜0＞｜0＞｜1＞，｜0＞｜0＞｜2＞，.，｜9＞｜
9＞｜9＞。
特殊的三粒子态具有如下形式
｜α＞｜β＞｜γ＞
（这里｜α＞，｜β＞和｜γ＞不必为位置态），但是对于一般的三粒子
态人们必须将许多这种简单的“乘积”叠加起来。对于四个或更多粒子的
相应的模式则不必多赘。
迄今为止我们只是讨论可辨别的粒子。这里我们将“第一个粒子”，
“第二个粒子”和“第三个粒子”等等都当作不同种类的。然而，量子力
学的一个显著特点是，等同粒子的规则与上面不同。其规则事实上是，在
很清楚的意义上，特别种类的粒子必须完全等同，而不仅仅是极端接近于
等同。但是，所有电子之间相互等同的方式和所有光子的方式不同。粒子
的这两种一般种类必须以相互不同的方式处理。
为了不使读者在完全被用词不当所混淆之前，让我首先解释费米态和
玻色态实际上是如何表征的。其规则如下。如果｜ψ＞是牵涉到某一特别
种类的一些费米子，那么如果两个费米子相互交换，则｜ψ＞必须作如下
的变化
为了不使读者在完全被用词不当所混淆之前，让我首先解释费米态和
玻色态实际上是如何表征的。其规则如下。如果｜ψ＞是牵涉到某一特别
种类的一些费米子，那么如果两个费米子相互交换，则｜ψ＞必须作如下
的变化
｜ψ＞—→－｜ψ＞。
它的一个含义是两个费米子不能处于同一态中。因为如果这样的话，把
它们交换就根本不影响其总的态，我们就必须有-｜ψ＞=｜ψ＞，也就是｜
ψ＞=零，对于量子态来说这是不允许的。这个性质称之为泡利不相容原
理
13，它对物体的结构具有基本的含义。物体的主要成份的确是费米子：
电子、质子和中子。若没有不相容原理，物体就会向自身坍缩！
我们来重新考虑十个位置的情形。我们假定有一个含有两个等同费米
子的态。态｜0＞｜0＞被泡利原理所排除（在第一个因子和第二个因子交
换时它保持不变并没有反号）。而且，｜0＞｜1＞就这样子也是不行的，
由于在交换时没有变成它的反号；但是这很容易由下式予以补救
｜0＞｜1＞-｜1＞｜0＞
（如果需要的话，为了归一化，可以加上一个总的因子1/ 2。）此态在
粒子相互交换时正确地变号。但现在｜0＞｜1＞和｜1＞｜0＞不再分别为
独立的态。我们现在只许用一个态来取代这两个态。总之，共有
1
2（10×9）
= 45
这类的态，每一个态是从不同的｜0＞，｜1＞，.，｜9＞态的无序对而来。
这样，需要
45个复数才能指明我们系统的态。对于三个费米子，人们需要
三个不同的位置，而基本的态看起来像下面的样子
｜0＞｜1＞｜2＞+｜1＞｜2＞｜0＞+｜2＞｜0＞｜1＞-｜0＞｜2＞｜
1＞-｜2＞｜1＞｜0＞-｜1＞｜0＞｜2＞，
总共有（10×9×8）/6=120态，这样需要用
120个复数去指明三费米子态。
更多费米子的情形是类似的。
对于一对等同的玻色子，独立的基本态共有两类，即像｜0＞｜1＞+｜
1＞｜0＞
的态和像
｜0＞｜0＞
的态（现在这是允许的），共有（10×11）/2=55态。这样我们的双玻色
子态需要
55个复数。对于三玻色子共有三种类型的基本的态，共需要（10×11×12）/6=220个复数，等等。
当然，为了表达主要的观念，我在这里考虑简单化的情形。更现实的
描述则需要位置态的整个连续统，但其基本思想是一样的。另一微小的复
杂性是自旋的参与。一个半自旋的粒子（必须为费米子）在每一个位置都
有二个可能的态。我们可以把它们标作“↑”（自旋“向上”）和“↓”
（自旋“向下”）。在我们简化的情况下，对于每一个粒子共有二十个而
不是十个基本的态
杂性是自旋的参与。一个半自旋的粒子（必须为费米子）在每一个位置都
有二个可能的态。我们可以把它们标作“↑”（自旋“向上”）和“↓”
（自旋“向下”）。在我们简化的情况下，对于每一个粒子共有二十个而
不是十个基本的态
↑＞，｜9↓＞，
但是除此以外，所有讨论都和以前一样地进行（这样，对于两个这样子的
费米子人们需要（20×19）/2=190个数；对于三个则需要（20×19×18）
/6=1140个数，等等。）
我在第一章提到了这样的一个事实，根据现代理论，如果一个人的身
体中的一个粒子和他的屋子的砖头中的一个粒子相交换，则根本不会有什
么事会发生。如果那一个粒子为玻色子，正如我们看到的，态｜ψ＞的确
完全不受影响。如果该粒子为一个费米子，则态｜ψ＞将由-｜ψ＞所替
换，在物理上它和｜ψ＞是等同的。（如果我们感到有必要，可以修补这
一符号改变，在交换之时简单地将粒子旋转
360°就可以了。我们记得在
进行
360°旋转时，玻色子不受影响而费米子变号！现代理论（大约在
1926
年左右）的确告诉我们有关物理物质的个别本体的问题的某些基础的东
西。严格地讲，人们不能提到“这个特别的电子”或“那个单独光子”。
断言“第一电子在这里而第二电子在那里”是声称态具有｜0＞|1＞的形
式。正如我们已经看到的，这对于费米子态是不允许的！然而，我们可以
讲“存在一对电子，一个在这里，另一个在那里。”可以合法地说所有电
子或所有质子或所有光子的集团（虽然在这里不管不同种类的粒子之间的
相互作用。许多单独电子为这个总图像提供一个近似，正如许多单独的质
子或光子那样。这个近似在大多数目的下相当有效，但在其他一些情形下
失效，超导、超流和激光的行为是众所周知的反例。
量子力学呈现的物理世界根本不是我们在经典物理中习惯了的图像。
请赶紧抓牢你的帽子——量子世界中还有更为怪异的现象！
爱因斯坦——玻多尔斯基——罗逊“矛盾”
爱因斯坦——玻多尔斯基——罗逊“矛盾”
在
1905年，正是他曾先提出了“光子”
的概念——电磁场的量子，由此发展了波——粒二象性的观念。（“玻色
子”的概念，正如许多其他的思想也是一部分属于他的，这在理论中占有
中心地位。）然而，爱因斯坦从未接受后来从这些思想发展而来的这一个
理论，他认为这理论只不过是物理世界的临时性描述。他对于这一个理论
