读者应该深入思考一下这一个非同寻常事实的重要性。光的确不是有
时像粒子有时像波那样行为。每一个单独粒子自身完全地以类波动方式行
为；一个粒子可得到的不同选择的可能性有时会完全相互抵消！
为了得到干涉，两个不同选择都必须有贡献，有时“相加”——正如
人们预料的那样相互加强到两倍——有时“相减”——这样两者会神秘地
相互“抵消”掉。事实上，按照量子力学的规则，所发生的事比这些还更
神秘！两种选择的确可以相加（屏幕上最亮的点），两者也的确可以相减
（暗点）；但它们实际上也会以另外奇怪的组合形式结合在一起，例如
“选择
A”加上
i乘以“选择
B”，
这儿是我们第三章的“负一的平方根”（=
i
－1）（在屏幕上中等强
度的地方）。事实上任何复数都能在“不同选择的组合”中起作用！
读者可能会记得在第三章时我的复数对于“量子力学的结构是绝对基
本的”警告。这些数绝不仅仅是数学的精巧。它们通过令人信服的、使人
意外的实验事实来迫使物理学家注意。我们必须接受复数权重才能理解量
子力学。现在我们接着考虑它的推论。
概率幅度
概率幅度
量子水平就是分子、原子和次原子粒子的水平。这通常被认为是非常
“小尺度”现象的水平，但是这个“小”实际上并非是指物理尺度。我们
将会看到量子效应能在许多米甚至一光年的距离上发生。如果认为只牵涉
到非常小的能量差，这才有点接近于认为某种东西是“处于量子水平上”
的特征。（以后我将尽力弄得更精确些，尤其是在第八章的
424页）。经
典水平就是我们直接了解的“宏观”水平。在这水平上，我们的“事物”
发生的通常图像是正确的，并且可以使用通常的概率观念。我们将看到在
量子水平上，我们必须使用的复数和经典概率有紧密的关系。它们并不真
正相同，但是为对付这些复数，先回顾一下经典概率的行为是有益的。
考虑一个不确定的经典情形，两种选择之中我们不知哪一种会发生。
可将这种情形描述作这些选择的“加权”组合：
pד选择
A”加上
qד选择
B”
此处
p为
A发生的概率，而
q是
B发生的概率。（要记住，概率是在
0和
1之间的实数。概率
1表明“一定发生”，而概率
0表明“一定不发生”。
概率
1/2表明“发生和不发生是同等可能的”。）如果
A和
B是仅有的不
同选择，则两者概率的和必须是
1：
P+q=1。
然而如果还有其他选择，则此和可以比
1小。那么，比率
p∶q就给出了发
生
A和发生
B的概率的比率。在只有两种选择时，发生
A和发生
B的实际
概率分别为
p/（p+q）和
q/（p+q）。如果
p+q比
1大，我们还可以这样地
解释。（这可能是有用的，例如，只要我们进行了多次的实验，p为发生
A
的次数，q为发生
B的次数。）如果
p+q=1，我们就说
p和
q是归一化的，
这样它们就给出了实际的概率，而不仅仅是概率的比率。
在量子力学中我们将做一些显得与此非常相似的事，现在
P和
q变成
为复数——我将使用
w和
z分别表示之
wד选择
A”加以
zד选择
B”
我们如何解释
w和
z呢？由于它们会各自独立地变为负数或者复数，它们
肯定不是通常的概率（或概率比），但是在许多方面很像概率。它们被叫
作（适当地归一化之后——见后面）概率幅度，或简单地称作幅度。此外，
人们经常用这类暗示概率的术语，如：“发生
A的幅度为
w和发生
B的幅
度为
z”。它们不是实际的概率，但是我们假装它们是——或宁愿说成概
率在量子水平上的相似物。
通常的概率如何起作用呢？考虑一个宏观对象将有助于理解，譬如说
打一个球使之穿过两个洞中的一个再到后面的屏幕去——正如上述的双缝
实验那样（参见图
6.3），但现在我们用经典的宏观球取代了前面讨论的
光子。从
s将球打到上洞的概率为
P（s，t），打到下洞的概率为
P（s，b）。
而且，如果我们在屏幕上选取特定的一点
p，只要球的确通过
t，则到此
特定的
p点的概率为
P（t，p），而球通过
b到达
p的概率为
P（b，p）。
如果只有上面的洞
t是开放的，则球通过
t到达
p的实际概率为将从
s到
t的概率乘上从
t到
p的概率：
（s，t）×P（t，p）。
类似地，如果只有下面的洞是开放的，则球从
s到
p的概率为
P（s，b）×P（b，p）。
如果两个洞都开放的话，则从
s通过
t到达
p的概率仍为第一表达式
P（s，
t）×P（t，p），正如只有
t洞开放时那样。而从
s通过
b到
p的概率仍
为
P（s，b）×P（b，p）。所以，从
s到
p的总概率
P（s，p）为两者之
和
P（s，p）=P（s，t）×P（t，p）+P（s，b）×P（b，p）。
在量子水平上，除了现在是奇怪的复的幅度起着我们前面的概率的作
用外，其规则和这一模一样。这样，在上面考虑的双缝实验中，光子从源
s到上缝
t我们有一幅度
A（s，t），从上缝到达屏幕上
p点有一幅度
A（t，
p），两者相乘得到从
s通过
t到达
p的幅度
A（s，t）×A（t，p）。
作为概率，假定上缝是开的，不管下缝是否打开，这都是正确的幅度。类
似地，假定
b是开的，则存在光子从
s通过
b到达
p的幅度（不管
t是否
打开）
A（s，b）×A（b，p）。
如果两条缝隙都打开，我们可得到光子从
s到
p的总幅度
A（s，p）=A（s，t）×A（t，p）+A（s，b）×A（b，p）。
这一切都非常好。但是，我们在量子效应被放大达到经典水平从而知
道如何去解释这些幅度之前，它对我们并没有多大用处。我们可把一个光
子探测器或光电管放在
p处，它提供了把量子水平的事件——光子抵达
p——放大成经典的可辨别得出的发生，例如听得见的“咔啦”一声。（如
果屏幕的作用相当于照相底版，使得光子留下可见的斑点，那么这也是一
样的。但为了清楚起见我们就用光电管好了。）必须存在产生“咔啦”一
响的实际的概率，而不仅仅是这些神秘的“幅度”！当我们从量子水平变
到经典水平时，如何从幅度过渡到概率呢？人们发现这里有一种非常美丽
而神秘的规则。
到经典水平时，如何从幅度过渡到概率呢？人们发现这里有一种非常美丽
而神秘的规则。
么是“平方模”？回忆一下我们在复平面上的复数的描述（第三章.. 101页）。
复数.. z的模|z|简单地就是.. z离开原点（也就是点.. 0）的距离。平方模|z| 2
即是这个数的平方。这样，如果我们写
z=x+iy，
这儿.. x和.. y都是实数。由于从0到.. z的连线为直角三角形.. 0，x，z的斜边，
从毕达哥拉斯定理得知我们所需的平方模是..
|z|2=x2+y2
注意，为了使之成为一个真正的“归一化的”概率，|z| 2的值必须在
0和.. 1之间。这表明对于适当归一化的幅度，在复平面上.. z必须处于单位
圆内的某处（见图.. 6.8）。然而，有时我们要考虑组合
wד选择.. A”+zד选择.. B”，
此处.. w和.. z仅仅是和概率幅度成比例，它们没必要在单位圆内部。它们归
一化（并因此提供真正的概率幅度）的条件是平方模的和必须为.. 1：
丨.. w丨.. 2+丨.. z丨.. 2=1。
图.. 6.8用复平面上单位圆内的点.. z来代表概率幅度。其与中心的距离
的平方|z| 2可成为当效应被放大到经典水平时的实际概率。
如果它们不是归一化的，则.. A和.. B的实际幅度应分别为..
2
2
2
w/
w
+
z
2 和z/
w
+
z
,
它们都处于单位圆内部。
现在我们看到，概率幅度根本不像真正的概率，而更像概率的“复数
平方根”。当量子水平上的效应被放大到经典水平上时，这会发生什么影
响呢？我们记得，在进行概率和幅度运算时，我们有时要将它们相乘，有
时将它们相加。第一点值得注意的是，乘法运算在从量子过渡到经典规则
时没有什么问题。这是因为乘积的模数等于各自模数的乘积的这一显著的
数学事实
丨.. zw丨.. 2=丨.. z丨.. 2丨.. w丨.. 2
（这个性质可由第三章的一对复数的乘积的几何描述立即得出；但是若按
照实部和虚部.. z=x+iy w=u+iv，这还算是一点奇迹。不妨试一下！）
此事实的含义是，如果只有一条通道对粒子开放，也就在双缝实验中
只有一条缝隙（譬如.. t）开放，即可以“经典地”论证，不管是否在中间
某点（譬如在.. t）进行附加的粒子检测，出来的概率必须是一样的.. ①。我们..
①也许我们可以说，波动方程和马克斯韦方程类似，（参阅
215页的注脚）也是一个相对论性方程。这样，
可以在两个阶段或只在最后取平方模，也即
丨
A(s,t)丨
2×丨
A(t,p)丨
2=丨
A(s,t)×A(t,p)丨
2，
对于最后的概率，其结果都是一样的。
然而，如果多于一条通道可让粒子通过（也即如果两条缝隙都开放的
话），则我们要求和，而量子力学的特征就在这里开始出现。当我们取两
个复数
w和
z的和
w+z的平方模时，通常不能得到它们各自的平方模的和；
还有附加的“修正项”：
丨w+z丨
2=丨w丨
2+丨z丨
2+2丨w丨丨z丨cosθ。
此处θ为点
z和
w对复平面原点所张的角（见图
6.9）。（我们知道，一
个角的余弦是一直角三角形的“邻边/斜边”比。不熟悉上式的敏捷读者可
用第三章引进的几何去直接推导之。实际上，这正是众所周知的“余弦法
则”，只不过稍微伪装了一下！）正是修正项
2|w||z|cosθ提供了量子力
学的不同选择间的量子干涉。cosθ的值的范围在-1和
1之间。我们在θ=0°时有
cosθ=1。这时这两种选择相互加强，使得总概率比单独概率之
和更大。我们在θ=180°时有
cosθ=-1，这时这两种选择便相互抵消，使
得总概率比单独概率之和更小（对消干涉）。我们在θ=90°时有
cosθ=0。
这时得到了一种中间状态，两种概率相加。对于大的或复杂的系统修正项
通常被“平均掉了”——因为
cosθ的“平均”值为零——我们就余下通
常的经典概率的规则！但是在量子水平上这些项提供重要的干涉效应。
图
6.9有关两个幅度的和的平方模的修正项
2|w||z|cosθ的几何。
考虑双缝都打开时的双缝实验。到达
p的光子幅度为和
w+z，此处
w=A（s，t）×A（t，p）和，z=A（s，b）×A（b，p）。
在屏幕的最亮的点我们有
w=z（这样
cosθ=1），所以
丨w+z丨=丨2w丨
2=4丨w丨
2
为只有一条缝开放时概率|w|
2的四倍——所以当光子数很大时光强变大到
四倍，这与观察相一致。在屏幕的暗的点我们有
w=-z（这样
cosθ=-1），
所以
丨
w+z丨
2=丨
w-w丨
2=0,
也就是零（对消干涉！），又与观察相一致。在刚好中间的点我们有
w=iz
或
w=-iz（这样
cosθ=0），所以
丨w+z丨
2=丨w±iw丨
2=丨w丨
2+丨w丨
2=2丨w丨
2
给出只有一条缝的强度的两倍（这是经典粒子的情形）。我们在下一节的
结尾处会看到如何去实际计算亮、暗和中间的位置。
我们早先考虑过的玻—埃勒—里查德“可计算性现象”也是一个只对在
S的有界区域中的初始值而言的效
应。
还有最后一点必须加以评论。当双缝都开放时，通过
t到达
p的粒子
的幅度确是
w=A（s，t）×A（t，p），但是我们不能将其平方模|w|
2当作
粒子“实际”通过上面的缝隙而到达
p的概率。这会导致没有意义的答案，
特别是如果
p是在屏幕上的暗的地方时。但是，如果我们决定“检测”光
子是否在
t存在，把它在那儿的存在（或不存在）的效应放大到经典的水
平，则可用|A（s，t）|
