9．刘维尔相空间体积只是整族具有不同维数的在哈密顿演化下保持不
变的“体积”（称作彭加莱不变量）之一。但是，我的这个断言如此之囊
括无遗实在有些过分，我们可以想象一个系统，将其中我们不感兴趣的一
些自由度（对某些相空间体积有贡献）“倾倒”到某处去（诸如逃到无穷
处的辐射），这样我们感兴趣的部分的相空间就会减小。
10.这第二个事实尤其是科学的极大的幸运。因为没有它的话，巨大物
体的动力行为就不可理解，而大物体行为几乎不能给精确适用于粒子本身
的定律提供任何暗示。我猜想，牛顿之所以那么强调他的第三定律的原因
在于，如果没有它，则从微观到宏观的动力行为的传递就不成立。
另一个对于科学发展生死攸关的“奇迹般的”事实是，反平方律是仅
有使围绕着中心物体的一般轨道具有简单的几何形状的方次律（随距离而
减小）。如果定律或力是倒数律的或反三方律的，开普勒还会有何成就呢？
11.我已为各种场选好了单位，以使和马克斯韦的密先的方程的形式相
接近（除了他的电荷在我处为
c
-2ρ以外）。当用其他的单位制时，因子
c
的分布将会不同。
12.事实上，我们具有无限多的
Xi和
P
i更复杂之处在于，我们不能只
用这些场的值作为座标，必须引进某种马克斯韦场的“势”才能纳入到哈
密顿理论的框架中去。
13.也就是说，不过两次可微的。
14.洛伦兹方程告诉我们，由电荷所处的地方的电磁场引起了作用于它
上面的力；如果它的质量又是已知的，牛顿第二定律就告诉我们该粒子的
加速度。然而，带电粒子经常以近于光速的速度运动，狭义相对论的效应
变得很重要，影响了实际上应取的粒子质量数值（见下一节）。正是这种
原因使作用在带电粒子上的正确的力定律推迟到狭义相对论的诞生才被发
现
15.事实上，自然界中的任何量子粒子，在某种意义上，整个自身都像
一台这样的钟。正如第六章要讲到的，任何量子粒子都和一个振动相关系，
其频率与质量成比例；见
265页。现代最精确的钟表（原子钟、核子钟）
归根到底是依赖于这个效应。
归根到底是依赖于这个效应。
也许读者会忧虑，由于旅行者世界线在
B处出现了一个“角”，正
如图示的，他在事件
B处遭受到无限大的加速度。可以用有限的加速度将
他的世界线在
B处的尖角弄圆滑，这只不过把他所经历的由整个世界线的
闵可夫斯基“长度”所测量的总时间稍微改变一点。
17.这些就是
M依照爱因斯坦的同时性定义，由从
M发出并被问题中
的事件反射回到
M的光讯号判断的事件空间。例如，见林德勒（1982）。
18.这是该形状的初始的对时间的二阶微分（或“加速度”）。形状
的改变率（或“速度”）在初始时为零，因为球面在开始时刻是静止的。
19.杰出的法国数学家埃利·卡当（1923）首先对牛顿理论的数学形式
重新进行表述——这当然是在爱因斯坦的广义相对论之后。
20.在这种意义上的局部的欧几里德性的弯曲空间称作以伟大的贝纳
德·黎曼（1826——1866）命名的黎曼流形。他在高斯的某些更早的有关
的两维情形的工作之后，首先研究这类空间。我们在此需对黎曼观念作重
大的修正，也即允许几何为局部闵可夫斯基的，而不是欧几里德的。通常
将这种空间称为洛伦兹流形（属于所谓的伪黎曼或更不逻辑点的半黎曼流
形的一类）。
21.或许读者会忧虑，零值何以代表“长度”的最大值！事实上的确
是如此，只不过在空洞的意义上而言：零长的测地线的特征是，没有任何
其他的粒子的世界线可将其上面的任何一对点（局部地）连接。
22.畸变效应和体积改变的分解事实上不像我所表达的那么明确。里奇
张量本身会引起一定量的潮汐畸变。（对于光线而言，这种分解是完全明
确的；参阅彭罗斯和林德勒（1986），第七章）例如可参阅该书第
240和
210页关于魏尔和里奇张量的精确定义。（德国出生的赫曼·魏尔是本世
纪一位杰出的数学人物；意大利的格里高里·里奇是一位有巨大影响的几
何学家，他在上世纪奠定了张量理论。）
23.大卫·希尔伯特在
1915年
11月发现了实际方程的正确形式，但该
理论的物理观念则完全归功于爱因斯坦。
24.对于通晓这些东西的读者而言，这些微分方程正是用爱因斯坦方程
代入到完整的比安基等式而得到的。
25.存在某些（虽然不是非常令人满意的）方法可绕过这个论证，参阅
惠勒和费因曼（1945）
26.因为它不是二维的，而是三维的，所以在这里用术语“超面”比“曲
面”在技术上更为合适。
27.有关这些问题的严格定理一定是非常有用的，并且非常有趣，可惜
迄今还没有得到。
28.现在这个理论是不可计算的，它的（临时的）毫无用处的答案是无
限大。
第六章量子魔术和量子神秘
哲学家需要量子理论吗？
哲学家需要量子理论吗？
大多数关于实在的性质、我们清醒的知觉以及表观上的自由意志的严
肃的
1哲学论证的背景都具有一幅这样的图像。一些人也许会对量子理论
——这一事物的基本的、却是使人困扰的理论——也起作用感到不舒服。
量子理论是在本世纪最初的二十五年由于观察到世界的实际行为和经典物
理的描述之间的微妙偏差而产生的。对许多人来说，“量子理论”这一术
语仅仅是唤起某种“不确定性原理”的模糊概念。该原理禁止我们在粒子、
原子或分子的水平上对之进行精确的描述，所能得到的只是随机的行为。
实际上，我们将会发现，尽管量子描述和经典物理彻底不同，它却是非常
精确的。此外，我们还将看到，尽管一般的观点与它正相反，在粒子、原
子和分子的微小的量子水平上不出现随机性——它们决定性地进行演化—
—概率似乎是通过某种大尺度的、神秘的、和我们能意识感觉的经典世界
的呈现相关联的作用而产生的。我们必须理解量子理论如何迫使我们改变
物理实在的观点。
人们会以为量子和经典理论之间的偏差非常微小，但事实上它们同时
又是许多常观物理现象的基础。固态物体之所以存在、物质的强度和物性、
化学的性质、物质的颜色、凝固和沸腾现象、遗传的可能性、还有许多其
他熟知的性质需要量子力学才能解释。也许还有意识，它是某种不能由纯
粹经典理论来解释的现象。我们的精神也许是来源于那些在实际上制约我
们居住的世界的物理定律的某种奇怪的美妙特征的性质，而不仅仅是赋予
称之为经典的物理结构的“客体”的某种算法的特征。在某种意义上，这
也许就是“为什么”尽管经典宇宙已经是如此地丰富和神秘，作为有情感
的生物，我们必须在量子世界、而不是在完全经典的世界中生活。为了诸
如我们这样的思维的知觉的生物可由世界物质构成，是否需要一个量子世
界？诸如这样的问题似乎更适合于让一心建造一个可供人居住的宇宙的上
帝，而不是我们去解答！但是这个问题和我们也有关系。如果意识不可能
是经典世界的一部份，那么我们的精神必须以某种方式依赖于对经典物理
的特殊的偏离。这就是我在本书中还要考虑的问题。
如果我们要深入钻研一些哲学的主要问题：我们世界如何行为，以及
由什么构成“精神”也就是“我们”，则我们的确必须屈服于量子理论，
这个最精确也最神秘的物理理论。有朝一日科学将会给我们提供比量子理
论更好的对自然的更深刻的理解。我个人的看法是，甚至量子理论也只是
权宜之计，肯定不足以作为我们实际生活其中的世界的完整图画。但这不
可作为我们的借口；如果我们想得到某些我们需要的具有哲学洞察力的东
西，我们就必须按照已有的量子理论去理解世界图像。
由什么构成“精神”也就是“我们”，则我们的确必须屈服于量子理论，
这个最精确也最神秘的物理理论。有朝一日科学将会给我们提供比量子理
论更好的对自然的更深刻的理解。我个人的看法是，甚至量子理论也只是
权宜之计，肯定不足以作为我们实际生活其中的世界的完整图画。但这不
可作为我们的借口；如果我们想得到某些我们需要的具有哲学洞察力的东
西，我们就必须按照已有的量子理论去理解世界图像。
存在一个非常精确的方程，即薛定谔方程，它为量子态提供了完全决
定性的时间演化。但是在随时间演化的量子态和被看到物理世界发生的实
际行为之间存在一种非常古怪的东西。只要我们认定“发生”了测量，我
们就必须抛弃我们直到该时刻止辛辛苦苦演化来的物理态，而用它来计算
该态会“跃迁”到一族新的可能的态去的不同的几率。除了这个量子跃迁
的怪异之外，对于物理形态还存在什么是裁决“测量”实际上已经进行了
的问题。测量装置本身毕竟假定是由量子元件建造的，所以也要按照决定
性的薛定谔方程演化。“测量”的实际发生是否必须伴随有意识的存在？
我想量子理论家中只有少数人会采取这种观点。大概人类的观察者自身也
是由微小的量子元件所组成的吧！
我们将在本章的后面考察量子态“跃迁”的某些奇怪推论——例如，
为什么在一处的“测量”似乎会在遥远的区域引起一个跃迁！在这之前，
我们还将碰到其他的怪现象：有时一个物体可以分别非常好地通过两个不
同的途径。但是一旦同时允许通过两条途径它们就会互相抵消，使得任何
一条也通不过！我们还将仔细地考察实际上量子态是如何描述的。我们会
看到这种描述和相应的经典描述差别有多大。例如，粒子会一下子在两处
出现！当一起考虑几个粒子时，我们会看到量子描述是多么复杂。人们会
发现，个别粒子本身并没有单独的描述，而必须考虑所有它们在一道的不
同形态的复杂叠加。我们会看到为什么同一类的不同粒子不能有各自的本
体。我们将仔细地考察自旋的（基本是量子力学的）古怪性质。我们还将
考虑由令人困惑的“薛定谔猫”的理想实验所引发的重要问题，以及理论
家们提出的试图解决这个基本迷惑的各种不同看法。
本章中的一些材料并不像前面（或后面）章节那么明白易解，有时又
有点过于技术性。在描述中我尽量做到诚实，这样我们必须更勤勉一些。
其目的在于真正理解量子世界。在论证的不甚清楚之处，我建议你要坚持
下去，以期对整个结构有点印象。如果无法完全理解也不必沮丧；它是这
个学科本身的性质！
经典理论的问题
经典理论的问题
尤其是，经典原子不能是稳定的，粒子的所有运动都转移到场的波动
模式中去。让我们回顾一下伟大的纽西兰/英国实验物理学家恩斯特·卢瑟
福在
1911年引进的原子太阳系模型。公转的电子处于行星的地位，中心的
太阳为原子核所取代，它们在很微小的尺度上由电磁力而不是引力绑在一
起。一个基本的、并且似乎是不可逾越的问题是，当一个公转电子绕着核
子时，按照马克斯韦理论应发射出电磁波，其强度在比一秒钟短得非常多
的时间间隔里迅速地增强到无穷，同时它以螺线形的轨道向内撞到核上
去！然而，人们从未观测到过这类事。在经典理论的基础上理解所观察到
的结果是非常困难的。原子会发射出电磁波（光），但是只能以突发的形
式，它具有非常特别的分立频率，这就是被观察到的狭窄的光谱线（图
6.1）。而且这些频率满足“莫名其妙”的规则
2，这从经典理论观点看来
毫无根据。
图
6.1经常发现从灼热的物质中的原子发射出的光只具有非常特别的
频率，可用棱镜把这不同的频率分解，从而提供了原子的特征光谱线。
另一种场和粒子不能共存的不稳定性的呈现是称为“黑体辐射”的现
象。想象具有某个确定温度的物体，电磁辐射和粒子处于平衡状态。1900
年，瑞利和琼斯计算出，所有能量都会被场吸收光——没有极限！此处发
生了物理上荒谬的事情（“紫外灾难”：能量不断地跑到场中去，跑到越
来越高的没有上限的频率上去），而自然本身却更谨慎。在场振动的低频
处，能量正如瑞利和琼斯所预言的那样。但是在预言到灾难的高端，实际
观察显示，能量分布并没有无限增加，而是随着频率增加而下落。在给定
的温度下，能量的最大值发生在非常特别的频率（也即颜色）处（见图
6.2）。（火钳的红颜色和太阳的黄——白热实际上是两个人们所熟知的例
子。）
图
图
量子理论的开端
量子理论的开端
态
3。如果粒子是场的话，那么需要一些新的因素去使场采取分立的特征。
1900年，才气横溢的、但又是保守谨慎的德国物理学家马克斯·普郎
克提出了一个革命性的思想用以压制“黑体”的高频率的模式：电磁振动
只能以“量子”的形式发生，量子的能量
E和频率
v之间有一确定的关系
E=hv，
h为一自然的基本常数，现在被称作普郎克常数。令人叹为观止的是，普
郎克利用这个荒谬绝伦（无法无天）的因素，能够在理论上得到和观察一
致的作为频率函数的强度，这就是现在所谓的普郎克辐射定律。（按日常
标准来看，普郎克常数是非常小的，大约为
6.6×10
-34焦耳秒。）普郎克
凭此壮举揭示了量子理论光临的曙光。尽管在爱因斯坦提出另一个使人惊
愕不已的设想，即电磁场只能以这种分立的单位存在之前，普郎克理论并
没有引起多大注意。我们记得，马克斯韦和赫芝指出了光是由电磁场的振
荡所组成的。这样一来，按照爱因斯坦——以及牛顿在两个多世纪以前所
坚持的——光本身实际上应为粒子！（在十九世纪初叶，卓越的英国理论
家兼实验家托马斯·杨显明地建立了光为波动的事实。）
光如何由粒子又同时由场振荡所组成的呢？这两个概念的矛盾似乎是
不可调和的。某些实验事实很清楚地显示光是粒子，而另一些事实则指出
光为波动。1923年，法国贵族及富有洞察力的物理学家路易·德布罗依王
子在他的博士论文中（该论文是爱因斯坦认可的！）使这个粒子——波动
的图像更加混淆，他提出物体的粒子本身有时应像波动那样行为！任何质
量为
m的粒子的德布罗依波频率
v也满足普郎克关系式。这与爱因斯坦的
E=mc2相结合，即告诉我们
v和
m之间的关系是
hV=E=mc2。
这样，按照德布罗依的设想，自然不遵循作为经典理论特征的粒子和场的
二分法！事实上，任何以某频率
v振荡的东西都只能以分立的单位质量
hv/c2发生。自然以某种方式设计建造一个协调的世界，在其中粒子和场
振动被认为是同一东西！或者，在她的世界中包含某种更微妙的要素，
而“粒子”和“波动”两词汇只不过传达了它部分的合适的图像。
1913年，丹麦物理学家及二十世纪主要科学思想家尼尔斯·玻尔再次
极其漂亮地利用了普郎克关系。一个绕核公转的电子角动量（参阅
190页）
只能为h/2π的整数倍，这即是玻尔规则。后来狄拉克为了省事引进了符
号：
h
h =h/2π。
这样，绕着任何轴的角动量的可允许值为
0，，2 ，3 ，4h
h hh ，
原子的“太阳系模型”在加上这个新的要素后，就得到了在相当的准确度
上，自然实际服从的许多分立的稳定的能量级和谱频率的“怪异的”规则。
玻尔漂亮的设想虽然极其成功，却只是提供了称之为“旧量子论”的
某种临时的“凑合物”的理论。我们今天所知道的量子理论是由后来的两
套独立的方案所产生的。它们由一对杰出的物理学家所开创的：一位是德
国的威尔纳·海森堡，另一位是奥地利的厄文·薛定谔。这两种方案（分
别为
1925年的“矩阵力学”和
1926年的“波动力学”）在初始时显得完
全不同，但是很快发现它们是等同的，并且很快就被包摄到一个更合理、
更一般的框架中去。这个框架是在不久之后首先由英国伟大的理论物理学
家保罗·阿得林·毛里斯·狄拉克提出。我们将在以下几节了解该理论的
概要以及它的非同寻常的含义。
双缝实验
双缝实验
图
6.3）。为了确定起
见，我们用光做实验。按照通常的命名法，光量子称为“光子”。光作为
粒子（亦即光子）的呈现最清楚地发生在屏幕上。光以分立的定域性的能
量单位到达那里，这能量按照普郎克公式
E=hv恒定地和频率相关。从未接
收过“半个”（或任何部分，光子的能量。光接收是以光子单位的完全有
或完全没有的现象。只有整数个光子才被观察到。
图
6.3单色光的双缝实验。
然而，光子通过缝隙时似乎产生了类波动的行为。先假定只有一条缝
是开的（另一条缝被堵住）。光通过该缝后就被散开来，这是被称作光衍
射的波动传播的一个特征。但是，这些对于粒子的图像仍是成立的。可以
想象缝隙的边缘附近的某种影响使光子随机地偏折到两边去。当相当强的
光也就是大量的光子通过缝隙时，屏幕上的照度显得非常均匀。但是如果
降低光强度，则人们可断定，其亮度分布的确是由单独的斑点组成——和
粒子图像相一致——是单独的光子打到屏幕上。亮度光滑的表观是由于大
量的光子参与的统计效应（见图
6.4）。（为了比较起见，一个
60瓦的电
灯泡每一秒钟大约发射出
100000000000000000000个光子！）光子在通过
狭缝时的确被随机地弯折——弯折角不同则概率不同，就这样地得到了所
观察到的亮度分布。
图
6.4只有一个缝隙打开时屏幕上的强度模式——分立小点的分布。
然而，当我们打开另一条缝隙时就出现了粒子图像的关键问题！假设
光是来自于一个黄色的钠灯，这样它基本上具有纯粹的非混合的颜色——
用技术上的术语称为单色的，也即具有确定的波长或频率。在粒子图像
中，这表明所有光子具有同样的能量。此处波长约为
5×10
-7米。假定缝
隙的宽度约为
0.001毫米，而且两缝相距
0.15毫米左右，屏幕大概在一米
那么远。在相当强的光源照射下，我们仍然得到了规则的亮度模式。但是
现在我们在屏幕中心附近可看到大约三毫米宽的称为干涉模式的条纹的
波动形状（图
6.5）。我们也许会期望第二个缝隙的打开会简单地把屏幕
的光强加倍。如果我们考虑总的照度，这是对的。但是现在强度的模式的
细节和单缝时完全不同。屏幕上的一些点——也就是模式在该处最亮处—
—照度为以前的四倍，而不仅仅是二倍。在另外的一些点——也就是模式
在该处最暗处——光强为零。强度为零的点给粒子图像带来了最大的困
惑。这些点是只有一条缝打开时粒子非常乐意来的地方。现在我们打开了
另一条缝，忽然发现不知怎么搞的光子被防止跑到那里去。我们让光子通
过另一条途径时，怎么会在实际上变成它在任何一条途径都通不过呢？
图
6.5两个缝隙同时打开时屏幕上的强度模式——分立小点的波动状
分布。
在光子的情形下，如果我们取它的波长作为其“尺度”的度量，则第
二条缝离开第一条缝大约有
300倍“光子尺度”那么远（每一条缝大约有
两个波长宽）（见图
6.6），这样当光子通过一条缝时，它怎么会知道另
一条缝是否被打开呢？事实上，对于“对消”或者“加强”现象的发生，
两条缝之间的距离在原则上没有受到什么限制。
当光通过缝隙时，它似乎像波动而不像粒子那样行为！这种抵消——
对消干涉——是波动的一个众所周知的性质。如来两条路径的每一条分别
都可让光通过，而现在两条同时都开放，则它们完全可能会相互抵消。我
在图
6.7中解释了何以致此。如果从一条缝隙来的一部分光和从另一条缝
隙来的“同相”（也就是两个部分波的波峰同时发生，波谷也同时发生），
则它们将互相加强。但是如果它们刚好“反相”（也就是一个部分波的波
峰重叠到另一部分的波谷上），则它们将互相抵消。在双缝实验中，只要
屏幕上到两缝隙的距离之差为波长的整数倍的地方，则波峰和波峰则分别
在一起发生，因而是亮的。如果距离差刚好是这些值的中间，则波峰就重
叠到波谷上去，该处就是暗的。
图
6.6从光子的观点看缝隙！大约在
300倍“光子尺度”外的第二条
缝是开还是闭，对它而言怎么会有影响呢？
6.7在纯粹波动图像中，我们可按照波动的干涉来理解屏幕上亮的和
暗（虽然不是分立）的模式。
关于通常宏观的经典波动同时以这种方式通过两个缝隙没有任何困惑
之处。波动毕竟只是某种媒质（场）或者某种包含有无数很小点状粒子的
物体的一种“扰动”。扰动可以一部分通过一条缝隙，另一部分通过另一
条缝隙。但是这里的情况非常不同；每一个单独光子自身是完整的波动！
在某种意义上讲，每个粒子一下通过两条缝隙并且和自身干涉！人们可将
光强降得足够低使得保证任一时刻不会有多于一个光子通过缝隙的附近。
对消干涉现象，因之使得两个不同途径的光子互相抵消其实现的可能性，
是加在单独光子之上的某种东西。如果两个途径之中只有一个开放，则光
子就通过那个途径。但是如果两者都开放，则两种可能性奇迹般地互相抵
消，而发现光子不能通过任一条缝隙！
读者应该深入思考一下这一个非同寻常事实的重要性。光的确不是有
时像粒子有时像波那样行为。每一个单独粒子自身完全地以类波动方式行
为；一个粒子可得到的不同选择的可能性有时会完全相互抵消！
