理经验的对象；另一方面，实际的外部世界的运行只有按照精确的数学—
—亦即“智慧接触得到的”柏拉图理想世界才能最终被理解。
柏拉图在雅典创建了科学院以推动这种观念。极富影响的著名的哲学
家亚里斯多德即为其中之出类拔萃者。但是我们要在这里论及另一位比亚
里斯多德名望稍低的科学院成员，即数学家兼天文学家欧多索斯。依我看
来，他是一位更优秀得多的科学家，也是古代最伟大的思想家之一。
欧几里德几何中有一基本的、微妙的并的的确确最重要的部分，那就
是实数的引进，虽然今天我们几乎不认为它是几何的（数学家宁愿将它称
作“分析”的，而非“几何”的。）因为欧几里德几何研究长度和角度，
所以必须了解用何种“数”来描写长度和角度。新观念的核心是在公元前
四世纪由欧多索斯（约公元前
408至
355年）
②提出的。
②我在这儿是指大爆炸的“标准模型”，还有许多大爆炸理论的变种，目前最流行的是所谓的“暴涨模型”，
由于毕达哥拉斯学派发现了像
2这样的数不能被表达成分数，使得希腊
几何陷入了“危机”之中（参阅第三章第
94页）。将正方形的对角线，以
其边长来度量时就必然出现
2这个数。对于希腊人来说，为了用算术的
定律来研究几何量，将几何测量（比）按照整数（比）来表示是很重要的。
欧多索斯的基本思想是提供一种以整数表达长度比例的办法（也就是实
数）。他依赖于整数的运算提出了决定一个长度比例是否超过另一个比例，
或两者是否完全相等的判据。
该思想可概述如下：如果
a，b，c和
d是四个长度，则断定比例
a/b
大于比例
c/d的判据是：存在整数
M和
N，使得
a增大到
N倍超过
b增大
到
M倍，而同时
d增大到
M倍超过
c增大到
N倍
①。可用相应的判据来断定
a/b是否比
c/d小。所寻求的使
a/b和
c/d相等的判据也就是前两个判据
都不能满足！
直到十九世纪，狄得钦和韦尔斯特拉斯等数学家才发展出完全精确的
抽象的实数数学理论。但是他们的步骤和欧多索斯早在
22个世纪以前已经
发现的思路非常相似！我们在此没有必要描述这个现代发展。在第三章第
95页我已给出了这个理论的模糊暗示。但是，为了更容易表达，我宁愿在
这里用更熟悉的小数展开的方法来讨论实数理论。（这种展开实际是在
1585年才由斯蒂文引进的。）必须指出，虽然我们很熟悉小数表达方式，
但希腊人却对此无知。
图
5.3托勒密定理
然而，在欧多索斯设想和狄德钦——韦尔斯特拉斯设想之间有一个重
大差别。古希腊人把实数设想成按照几何量（比）的给定的东西，当作“实
际”空间的性质。希腊人用算术来描述几何量是为了要严格地处理这些量
以及它们的和与积——亦即古人这么许多美妙几何定理的要素的先决条
件。（我在图
5.3画出并解释了杰出的托勒密定理——虽然托勒密比欧多
索斯要晚许久才发现它——该定理和一个圆周上的四点之间的距离相关，
它很清楚地表明了和与积都是需要的。）历史证明欧多索斯判据极其富有
成果，尤其是它使希腊人能严格地计算面积和体积。
然而，对于十九世纪尤其是当代的数学家而言，几何的作用已被改变
了。古希腊人，尤其是欧多索斯，认为“实”数是从物理空间的几何中抽
取出来的东西。现在我们宁愿认为在逻辑上实数比几何更基本。这样的做
法还可以允许我们建立所有不同种类的几何，每一种几何都是从数的概念
依我看来，它无疑地是属于尝试的范畴之中！
①尼古拉·伊凡诺维奇·罗巴切夫斯基（
1792—1856）是几位独立发明这种和欧几里德几何不同的几何中
的一个人。其他人是卡尔·弗里德里希·高斯（
1777—1855），菲迪纳德·施维卡德和雅诺斯·波里埃。
出发。（其关键的思想是十六世纪由费马和笛卡尔引进的座标几何。座标
可用来定义其他种类的几何。）任何这种“几何”必须是逻辑协调的，但
不必和我们经验的物理空间有任何直接的关联。我们似乎感知的特别物理
几何是经验的理想化（例如，依赖于我们将其向无限大或无限小尺度的外
推，参阅第三章第
99页）。但是现代的实验已足够精密，以至于我们必须
接受“经验的”几何的确和欧几里德观念有差别的这一事实（参阅
242页）。
这种经验和从爱因斯坦广义相对论推导的结果相一致。然而，尽管我们的
物理世界的几何观点起了变化，欧多索斯二十三世纪之久的实数概念在实
质上并没有改变。它对爱因斯坦理论正如对欧几里德理论一样重要。其实，
迄今为止它仍然是一切严肃物理理论的重要部分。
欧几里德的《原本》的第五部基本上是关于欧多索斯“比例论”的阐
述。这对整本书而言是极为重要的。全书首版于公元前
300年的《原本》
的确必须列为有史以来最具深远影响的著作之一。它成为后来的几乎所有
科学和数学思想的舞台。它全部是由一些被认为空间的“自明”性质，亦
即清楚叙述的公理出发演绎而来，其中许多重要推论根本不是显而易见
的，而是令人惊异的。无疑地，欧几里德的著作对后世科学思想的发展具
有深刻的意义。
阿基米德（公元前
287—212）无疑是古代最伟大的数学家。他天才地
利用欧多索斯的比例论，计算出诸如球体，或者更复杂地牵涉到抛物线和
螺线的许多不同形体的面积和体积。今天我们可以用微积分十分容易地做
到这些。但是我们要知道，这是比牛顿和莱布尼兹最终发现微积分早十九
世纪的事！（人们可以说，阿基米德已经通晓微积分的那一多半——亦即
积分的那一半！）阿基米德的论证，甚至以现代的标准看，也是毫无瑕疵
的。他的写作深深地影响许多后代的数学家和科学家，最明显的是伽利略
和牛顿。阿基米德还提出了静力学的（超等的？）物理理论（亦即制约平
衡的物体，诸如杠杆和浮体的定律）。他用类似于欧几里德发展几何空间
和固体几何的科学方法，将其发展成演绎的科学。
阿波罗纽斯（约公元前
262—200）是我必须提及的一位阿基米德的同
时代人。他是一位具有深刻洞察力的、伟大的、天才的几何学家。他关于
圆锥截线（椭圆、抛物线和双曲线）的研究极大地影响了开普勒和牛顿。
令人惊异的是，这些截线的形状刚好是描述行星轨道所必须的！
伽利略——牛顿动力学
伽利略——牛顿动力学
此
1583年伽利略观察到摆能作为计时的可靠手段的这个事件对他（甚至对
整个科学！）极具重要性，因为这样一来运动的计时就变准确了
4。随着
55年后的
1638年伽利略《对话》一书的出版诞生了新的学科——动力学
——开始了从古代神秘主义到现代科学的转化！
图
5.4速度，速率和加速度
让我仅仅列举伽利略提出的四个最重要的物理观念。第一是作用在物
体上的力决定的是它的加速度，而不是速度。此处“加速度”和“速度”
的含意是什么呢？粒子——或物体上的某点——的速度是该点位置相对
于时间的变化率，速度通常是一个矢量，亦即必须同时考虑其方向和大小
的量（否则我们用“速率”这一术语，见图
5.4）。加速度（又是一个矢
量）是速度相对于时间的变化率——这样加速度实际上是位置相对于时间
的变化率的变化率！（这对于古人来说实在太难为了！他们既缺乏可胜任
的“钟表”，又不具备与变化率相关的数学概念。）伽利略断言，作用在
物体的力（在他的情形下是指重力）制约物体的加速度，而非直接制约其
速度——正和古代人例如（亚里斯多德）所相信的不一样。
特别是当不存在外力时，速度必须是常数——因此，在直线上作的恒
常运动应是没有外力作用的结果（牛顿第一定律）。自由运动着的物体继
续其匀速运动，而不必施加外力去维持它。伽利略和牛顿发展的动力学定
律的一个推论是，直线匀速运动和静止状态亦即不运动在物理上完全不可
区分：不存在一种局部的方法，将匀速运动从静止中区别开来！伽利略关
于这点特别清楚（甚至比牛顿还清楚）。他以海上的航船作例子对此作了
非常形象的描绘（参阅德拉克
1953，186至
187页）：
把你和某位朋友关在某艘大船的甲板下的主舱里，和你一道的还有一
些苍蝇、蝴蝶和其他飞行的小动物。一些鱼在一大碗水中自由自在地
游着；水一滴一滴从悬挂着的瓶子落到下面的一个大器皿里。当船静
止时，仔细观察这些小动物如何以同样的速率向船舱的所有方向飞
行。鱼儿不辨方向地游着，水滴落到下面的器皿中；..在仔细地观
察了这一切以后..让船以你想要的速度行驶。只要其运行是均匀
的、并且不让它作这样那样的摇动，你就会发现，不但所有提及的现
象没有丝毫变化，而且你根本就不知道船是在行驶，还是在静止不
动..正如早先那样，小水滴落到下面的器皿中去，而不向船尾的方
向飘去，虽然就在水滴在空气中的时间间隔里，船已经向前走了船身
长度好几倍的距离。水中的鱼向前游动并不比向后更费动，同样轻松
地向放在碗的任何方向的边缘上的鱼饵游去。还有，蝴蝶和苍蝇毫无
异样地继续飞向四方。似乎它们为了避免落后，在空中随着船作长途
旅行后感到疲劳，最后聚集到船尾的现象从未发生过！
这个被称为伽利略相对论原理的惊人事实，在使哥白尼观点具有动
察了这一切以后..让船以你想要的速度行驶。只要其运行是均匀
的、并且不让它作这样那样的摇动，你就会发现，不但所有提及的现
象没有丝毫变化，而且你根本就不知道船是在行驶，还是在静止不
动..正如早先那样，小水滴落到下面的器皿中去，而不向船尾的方
向飘去，虽然就在水滴在空气中的时间间隔里，船已经向前走了船身
长度好几倍的距离。水中的鱼向前游动并不比向后更费动，同样轻松
地向放在碗的任何方向的边缘上的鱼饵游去。还有，蝴蝶和苍蝇毫无
异样地继续飞向四方。似乎它们为了避免落后，在空中随着船作长途
旅行后感到疲劳，最后聚集到船尾的现象从未发生过！
这个被称为伽利略相对论原理的惊人事实，在使哥白尼观点具有动
前
310—230）——不要和亚里斯多德相混淆！
——比他早十八世纪）提出了日心说，即太阳处于静止状态，而地球在沿
自己的轴自转的同时绕着太阳公转，公转速度为每小时十万公里。为何我
们没有感觉到这种运动？在伽利略提出动力学理论之前，这的确是哥白尼
观点的深深的困惑。如果更早先的“亚里斯多德式”的动力学观点是正确
的话，即在空间中运动的系统的实在速度要影响其动力学行为，那么地球
的运动对我们就会有直接明显的效应。伽利略相对论弄清了，何以地球在
运动，而同时我们却不能直接感觉到它的原因①。
值得指出的是，在伽利略相对论中，“静止”的概念并无任何局部上
的意义。它对人类的空间——时间观念已经具有显著的含义。我们直观的
空间——时间图像是，“空间”构成了物理事件在其中发生的舞台。物理
对象在某一时刻可处于空间的某一点，在后一时刻可处于同一个，或另一
个不同的空间的点。我们想象空间中的点可以从一个时刻维持到另一个时
刻。这样，一个物体实际上是否改变其空间位置的说法就具有意义。但是，
伽利略相对论指出，不存在“静止状态”的绝对意义；所以，“在不同时
间的空间的同一点”的说法是毫无意义的。某一时刻的物理经验的欧几里
德三维空间的哪一点是我们的欧几里德三维空间另一时刻的“同一点”呢？
没有办法找到。对应于每一时刻我们似乎必须有一个完全“新”的欧几里
德空间！考虑具有物理实在性的四维空间——时间图就会使这一层意思明
了（见图
5.5）。不同时刻的三维欧几里德空间的确被分开，但所有这些
空间合并在一起构成了完整的四维的空间——时间图。在空间——时间中
进行匀速直线运动的粒子的历史是一条直线（称为世界线）。以后在讨论
爱因斯坦相对论时我还会回到空间——时间以及运动的相对性的问题上
来。我们将发现在那种情形下对四维维数的论证会更加有力。
①欧多索斯也是两千年以来行星运动的有用理论的首创者。此理论后来由希帕裘斯和托勒密所发展，以后
即被称为托勒密系统。
图
图
伽利略的第三个伟大洞察是开始理解能量守恒。伽利略主要关心物体
在重力下的运动。他注意到，如果从一静止状态释放一个物体，则不管它
是简单地落下，还是随一个任意长度的摆振动，或是沿着一个光滑斜面滑
下，其速率只依赖于它从释放之处下落的垂直距离。正如我们现在所说
的，储存于超过地面的高度的能量（引力势能）会转换成它的运动的能（只
依赖于物体速率的动能）。反之亦然，但总能量既不损失也不增加。
能量守恒定律是一个非常重要的物理原则。它不是物理学的一个独立
要求，而是我们很快就要讨论的牛顿动力学定律的推论。笛卡尔、惠更斯、
莱布尼兹、欧拉以及开尔芬等人几个世纪来的努力，使这一定律的表述越
发清晰。在本章的后部以及第七章，我们将要再回到这个问题上来。如果
把能量守恒定律和伽利略的相对论原理相结合，我们就能得到更多的相当
重要的守恒定律：质量和动量守恒。粒子的动量是它的质量和速度的乘
积。火箭的推进即是动量守恒的众所周知的例子之一，火箭往前动量的增
加恰好和（更轻的、但是更急速的）废气往后的动量相平衡。枪的后座力
也是动量守恒的一个表现形式。牛顿定律的进一步推论是角动量守恒，角
动量守恒是描写一个系统的自旋的不变性，地球绕自己的轴自旋以及网球
的自旋都是依靠它们的角动量守恒来维持的。组成任何物体的每一个粒子
都对该物体的总角动量有贡献，这贡献等于它的动量与它离开中心的垂直
距离的乘积。（自旋转物体只要变紧凑，其角速度就会增加，即是其中的
一个推论。滑冰者和马戏团高架秋千艺术家经常表演的令人惊叹而熟悉的
动作也起源于此。他们经常利用收回手臂或腿的动作使旋转速度自动增
加。）在后面的内容中我们将会看到质量、能量、动量以及角动量都是重
要的概念。
最后，我应该让读者回顾一下伽利略的先知的洞察力，那就是当大气
摩擦力不存在的时候，在重力作用下所有物体都以同一速率下落。（读者
也许会回想起他从比萨斜塔上同时释放不同物体的著名故事，）三个世纪
以后，正是这一个洞察导致爱因斯坦将其相对论原理推广到加速参考系
统，从而为他的非凡的引力的广义相对论提供了基石，这在本章的结尾处
将会看到。
图
5.6矢量加法的平行四边形定律。
图
5.7两粒子之间的力是沿着它们之间连线的方向（由牛顿第三定
律，B作用到
A的力总是和
A作用到
B的力大小相等方向相反）。
在伽利略的创立的令人印象深刻的基础上，牛顿建立了绝顶庄严华美
的大教堂。牛顿指出了物体行为的定律。第一和第二定律基本上是伽利略
给出的：如果没有外力作用到一个物体上，则物体将继续其直线匀速运动；
如果有外力作用到上面，则物体的质量乘以它的加速度（亦即其动量变化
率）等于这个力。牛顿本人的一个特殊的洞察，在于意识到还需要第三定
律：物体
A作用在物体
B上的力，刚好和物体
B作用到物体
A上的力大小
一样而方向相反（“每一个作用必有其大小一样方向相向的反作用”）。
这就提供了基本的框架。“牛顿宇宙”是由在服从欧几里德几何定律的空
间中运动的粒子所组成。作用到这些粒子上的力决定了他们的加速度。每
一个粒子所受的力是由所有其他粒子分别贡献到该粒子的力利用矢量加
法定律相加而得到（见图
5.6）。为了很好地定义这个系统需要一些规则，
这些规则可以告诉我们从另一个粒子
B作用到粒子
A的力是什么样子的。
通常我们需要该力沿着
AB之间的连线作用（见图
5.7）。如果该力是引力，
则
A和
B之间的力是互相吸引的，其强度和它们质量乘积成正比，而和它
们之间的距离的平方成反比：亦即反平方律。对于其他种类的力，其依赖
于位置的方式可与此不同，也可能决定于粒子质量以外的其他性质。
伽利略的一位同时代人，伟大的约翰斯·开普勒（1571—1630）注意
到，行星绕太阳公转的轨道是椭圆而不是圆周（太阳总是处于该椭圆的一
个焦点上，而不在其中心）。他还给出了制约行星作此椭圆运动的速率的
其他两个定律。牛顿能够从他自己的一般理论（以及引力的反平方律）推
导出开普勒三定律。不仅如此，他还对开普勒的椭圆轨道作了各种细节上
的修正，诸如春秋分日点的进动（许多世纪以前的希腊人已注意到这些地
球旋转轴方向的这种极慢的运动）。为了取得所有这些成就，牛顿就必须
发展除了微积分之外的许多数学手段。他惊人的成就得大大归功于其超等
的数学技巧及其同等超人的物理洞察力。
牛顿动力学的机械论世界
牛顿动力学的机械论世界
让我们先明确一下什么是世界的“牛顿”模型。例如，我们可以认为
组成物体的所有粒子是数学的、亦即没有尺度的点。另外的办法是将它们
当作球状的刚性球。无论如何，我们都必须假定知道力的定律，例如，牛
顿引力论中的引力的反平方律。我们还要对自然的其他力，比如电力和磁
力（威廉·吉尔伯特在
1600年首先仔细研究过）以及现代已知将粒子（质
子和中子）绑在一起形成原子核的强核力的定律也表述出来。电力正和引
力一样满足反平方律，但类似的粒子互相排斥（而不像引力那样互相吸
引）。这里不是粒子的质量，而是它们的电荷决定它们之间电力的强度。
磁力和电力一样也是“反平方的”
②，但是核力以相当不同的形式随距离而
变化。在原子核中当粒子相互靠得紧密时核力极大，而在更大距离下则可
以忽略不计。
假定我们采用刚体圆球的模型，并要求两个球碰撞时，它们即完全弹
性地反弹。也就是说，它们如同两个完好的撞球那样，在能量（或总动量）
没有损失的情况下分离开。我们还必须明确指明两球之间的作用力。为了
简单起见，我们可以假定任两球之间的作用力都沿着它们中心的连线，其
大小为该连线长度的给定的函数。（由于牛顿的一个出色的定理，此假设
对牛顿引力自动成立。对其他力的定律，这可当成一个协调的要求而加上
的条件。）如果刚体只进行成对碰撞，而不发生三个或更多个的碰撞，则
一切都定义得很好，而且结果会连续地依赖于初始条件（亦即只要初态的
变动足够小，财能保证结果变化也很小）。斜飞碰撞的行为是两球刚好相
互错过的行为的连续过渡。但在三球或多球碰撞的情形下就产生了新问
题。例如，如果三球
ABC一下子跑到一块，那
AB先碰撞，紧接着
C和
B
碰撞，或
AC先碰撞，紧接着
B和
A碰撞，情况就很不一样（见图
5.8）。
在我们的模型中，只要有三碰撞发生就存在非决定性！只要我们愿意，就
可以用“极不可能”的理由简单地将三碰撞或多碰撞的情形排除掉。这就
提供了一种相当一致的方案，但三碰撞的潜在问题表明终态将以不连续的
