不清楚，这么荒谬的微小尺度究竟有什么物理意义。类似的议论也适用于
相应的微小的时间间隔。
物理学选用实数系统的原因在于它的数学上的可用、简单、精巧以及
在非常广大的范围内和距离似及时间的概念相符合。它之所以被选用并不
是因为知道它和这些物理概念在所有的范围中都一致。人们还可以预料
到，在非常微小的距离或时间的尺度下，不存在这样的一致。人们通常用
尺来测量简单的距离，但这样的尺在我们追溯到它们自身原子的尺度时，
就变得粗糙起来。这一切并不妨碍我们继续准确地利用实数，但要经过更
加精细的处理，才能测量更小的距离。我们至少要有点怀疑，在极小尺度
的距离下，也许最终存在有根本原则上的困难。自然对于我们真是恩惠有
加，我们从小习惯用于描述日常或更大尺度的事物的同一实数，在尺度比
原子小很多，肯定在比“经典”的次原子粒子，譬如电子或质子的经典直
径小百倍的尺度下仍然有用，似乎直到比这粒子小二十个数量级的“量子
引力尺度”仍然适用。从经验得知，这是极不寻常的推论。熟知的实数距
离的概念似乎还可外推到最遥远的类星体以及更远处，至少给出了至少
1042也许
10
60甚至更广的大范围。事实上，实数系统的合适性通常是不可
置疑的。我们原先和实数相关的经验主要被限於相对有限的范围，人们为
什么对实数于物理精密描述的可用性如此信心百倍呢？
这种信念——也许是不当的——必须来源于（虽然这个事实经常不被
承认）实数系统逻辑的优雅、一致性和数学的威力以及对自然的深刻数学
和谐的信仰。
①注意
1020表示
100000000000000000000，也就是
1后面跟二十个
0。
复数
复数
用
i来表示它，所以就有
i2=-1。
当然
i的数量不能是实数，因为任何实数自乘的结果总是正数（或是零，
零自乘得零）。由于这个原因，习惯上用“虚数”来称呼其平方为负数的
数。正如我早先强调的，“实”数和物理实在的关系不像初看起来那么直
接、那么令人信服，这里实际牵涉到数学的无限精细化的理想化，自然并
没有先天地保证这种做法的合理性。
一旦有了-1的平方根，就可以不费劲地得到所有实数的平方根。如果
a为一个正实数，则量
i×
a
是负实数-a 的平方根。（还有另一平方根
-i×
a。）本身又如何呢？
i
它有平方根吗？它的确有，很容易检验量
(1+ i) ／
2
（以及它的反号）的平方得
i。这个数有平方根吗？答案又是肯定的；量
(1 + 1 2)
(1－12
／2)或者它的反号的
+i
2
平方的确为(1+ i) ／
2。
我们注意到，在形成这样的量时，我们允许把实数和虚数相加，也允
许把我们的数乘任意实数（或除以非零的实数，这相当于乘以它们的倒
数）。所得的结果称为复数。复数是具有形式
a+ib
的数，这里
a和
b是实数，分别称作该复数的实部和虚部。将这样的两个
数相加和相乘必须遵循通常的代数法则以及
i
2=-1的规则：
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
(a+ib)×(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)。
现在出现了新的鲜明的情况！我们对这个系统的动机是使对任何数都
能取平方根。这个目的是达到了，虽然还不这么明显。但是，它做得比这
还多得多：取立方根、五次方根、九十九次方根、π次根、（1+i）次根等
等都可以畅通无阻地进行（正如伟大的十八世纪数学家列纳多·欧拉指出
的那样）。作为复数的另外一个魔术，我们考察在中学就学到的三角几何
中略显复杂的公式，两个角之和的正弦与馀弦公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，
只不过分别是简单得多（也容易记忆得多！）的复方程
①
eiA+iB=eiAeiB
的虚部和实部。
我们在这里所要知道的是“欧拉公式”（该公式显然地也被十八世纪的英
国数学家罗杰·可提斯在早许多年就得到）
eiA=cosA+isinA，
把它代入前面的方程，其结果的表达式为
cos(A+B)+isin(A+B)=(cosA+isinA)(cosB+isinB)，
只要把右边乘出，我们就得到所需的三角关系式。
还有任何代数方程
a0+a1z+a2z2+a3z3+.+anzn=0（此处
a
0，a
1，a
2，.，a
n为复数，a
n≠0）总有复数的解。例如，存
在满足关系
z102+999z33-πz2=-417+i
的一个复数
z，虽然这一点绝非明显！这一个普遍的事实有时被称作“代
数的基本定理”。不少十八世纪的数学家都为证明这个结果奋斗过。甚至
欧拉也没有找到一个满意的一般的论证。后来在
1831年，伟大的数学家和
科学家卡尔·弗列得里希·高斯给出了惊人的富有创见的论证，并提供了
第一个一般性证明。他的证明的关键部分是几何地表达复数，然而利用拓
朴学表的论断。
高斯实际上不是使用复数描述的第一个人。瓦里斯在大约二百年前就
这么做了，虽然他没有像高斯那样有效地使用这工具。通常把复数的几何
表示归功于瑞士的簿记员金·罗伯特·阿伽德，他在
1806年将其描述出来，
尽管挪威的测绘家卡斯帕·温塞尔事实上在早九年就给出了完整的描述。
为了和这个惯用的（虽然不是历史上准确的）术语相一致，我将复数的标
准几何表示称为阿伽德平面。
阿伽德平面是一个通常的欧几里德平面，它具有标准笛卡尔的
x，y
座标，x标出水平距离（向右为正，向左为负），而
y标出垂直距离（向
上为正，向下为负）。复数
z=x+iy
在阿伽德平面中以座标为
(x，y)
的点所表示（见图
3.8）。
①量
e=2.7182818285…（自然对数的底，其数学上的重要性可和π相比较的无理数）的定义为
e=1+1/1+1/(1+2)+1/(1×2×3)+…，
表
示
e的
z次方，ez可展开为
图
图数
z=x+iy。
注意
0（作为一个复数）由座标系的原点代表，1是由
x轴上的特殊的点代
表。
阿伽德平面为我们把整个复数的家族组织成一个几何上有用的图画。
这类事对我们而言并无新奇之处。我们已经熟悉实数可以组织成为一个几
何的图像的方法，也就是一根向两个方向无限延伸的直线。直线上的特定
点为
0，另一点为
1。点
2的位置处于它到
1的位移和
1到
0的位移相同
的地方；点1 处于和的中点；点－使得处于它和的中间等等。以
1 101
2
这种方式标出实数的集合称为实线。对于复数，我们事实上用两个实数作
为复数
a+ib的座标，也就是
a和
b。这两个数给出我们一个平面——阿伽
德平面上的点的座标。例如，我在图
3.9上近似地标出了复数
u=1+i1.3，v=-2+i，w=-1.5-i0.4
的位置。
现在复数的加法和乘法的基本代数运算具有清楚的几何意义。首先考
虑加法。假设
u和
v为两个复数，并按照上述的方案表示在阿伽德平面上。
则它们的和
u+v就由这两点的“矢量和”来表示；也就是说，它处于由
u，
v和原点
0构成的平行四边形的另一顶点。我们不难看出，由这种构造（图
3.10）可以得到和，但是我在这里把证明省略掉。
图
3.9阿伽德平面上的
u=1+i1.3，v=-2+i和
w=-1.5-i0.4的位置。
图
3.10两个复数
u和
v的和
u+v可由平行四边形定律得到。
乘积
uv也有清楚的几何解释（见图
3.11），这稍微不太容易看得出
来。（我又在这里省略了证明。）在原点处由
1和
uv的张角等于
1和
u
以及
1和
v张角之和（所有角度都按反时针方向测量），uv离开原点的距
离是
u和
v离开原点距离的乘积。这可以等效地叙述为，由
0，v和
uv形
成的三角形与由
0，1和
u形成的三角形相似，并且具有相同的指向。（精
力充沛而对此不熟悉的读者也许可以利用早先给出的复数加法和乘法的代
数规则以及上面的三角等式来直接证明这些结果。）
图
3.11两个复数
u和
v的乘积
uv使得由
0，u和
uv形成的三角形与
由
0，1和
u形成的相似。可以等效地说：uv到
0的距离是
u和
v到
0的
距离的乘积，而
uv和实轴（水平）构成的角度是
u和
v和该轴夹角的和。
孟德勒伯洛特集的构成
孟德勒伯洛特集的构成
令
z为一个任意选择
的复数。不管这一个复数是什么，它都由阿伽德平面上的某一点所代表。
现在考虑由下式
z—→z2+C
表出的映射，它把
z由一个新的复数来取代。这儿
C为另一个固定的（也
就是给定的）复数。数
z
2+C在阿伽德平面为某一个新的点所表示。例如，
如果
C刚好给出
1.63—i4.2，则
z就按点
z—→z2+1.63－i4.2
来映射。这样，特别是
3就被
32+1.63-i4.2=9+1.63-i4.2=10.63-i4.2
所取代，而-2.7+i0.3就会被
(-2.7+i0.3)2+1.63-i4.2
=(-2.7)2-(0.3)2+1.63+i｛2(-2.7)(0.3)-4.2｝=8.83-i5.82
所取代。当这些数变得复杂时，最好用电脑来进行这些计算。
现在不管
C是多少，特别的点
0在这个方案下被数
C所取代。C本身
又如何呢？它被
C
2+C取代。假定我们继续这个步骤，将这种取代应用于
C2+C，则就得到
(C2+C)2+C=C4+2C3+C2+C。
让我们再重复这个代换，把它应用到上面的数就得到
(C4+2C3+C2+C)2+C=C8+4C7+6C6+6C5+5C4+2C3+C2+C
然后再对此数代换等等。我们得到从
0开始的一个序列
0，C，C
2+C，C
4+2C3+C2+C，..。
现在如果我们选择一定的复数
C来进行，则由这种办法得到的数的序
列在阿伽德平面上永远不会徘徊到离原点非常远的地方去；更精确地讲，
对于
C的这种选择该序列是有界的，也就是说序列的每一个成员都位於以
原点为中心的某一个固定圆周之内（见图
3.12）。C=0的情况是一个好例
子，由于在这种情形下序列的所有成员都是
0。另一发生有界行为的例子
是
C=-1，因为此序列为
0，-1，0，-1，0，-1，..；还有另一例子是
C=i，
其序列为
0，i，i-1，-i，i-1，-i，i-1，-i，..。然而，对于其他不
同的复数
C，序列徘徊到离原点越来越远的不定距离的地方去；也就是说
该序列是无界的，不能被包容于一个固定的圆周之内。这种行为的例子发
生在当
C=1时，因为这时序列变为
0，1，2，5，26，677，458330，..；
C=-3时也发生这种行为，其序列为
0，-3，6，33，1086，..；还有
C=i-1，
序列为
0，i-1，-i-1，-1+i3，-9-i5，55+i91，-5257+i10011，..。
图
3.12如果在阿伽德平面上存在包括序列所有点的某一个固定圆
