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《与天为敌》
作者：（美）彼得 L.伯
第 1 章 希腊之风和骰子的作用
第1节 - （1）
为什么掌控风险是一个如此独特的现代理念?为什么人类等待了几千年直到进入文艺复兴时期才打破度量和控制风险的屏障?
这些问题很难回答。但是我们可以从某个线索开始。从有记载的人类历史的开端时起，赌博—一种风险承担的本质—就已经是一种盛行的娱乐活动，它甚至还常常使人们深陷其中。正是这种机会性赌博启发了帕斯卡和费马，使得他们革命性地探索出概率理论，而这种机会性赌博并不是关于资本主义本质或者未来模式的一些深奥的问题。但是历史上直到那个时候，人们进行赌博或做游戏时并不像现在这样使用数字系统，而数字系统的使用可以决定最终的胜负。当时承担风险的行为没有约束，并不受风险管理理论的束缚。
人类总是容易沉溺于赌博，因为我们在赌博中直接面对命运，没有任何的障碍。我们之所以参加这场可怕的战斗，是因为我们相信自己有一个强有力的盟友:幸运女神总会站在我们和命运(机会)之间，并且将胜利带给我们。亚当?斯密是一个研究人类本性的出色学者，他把这种动机定义为“绝大多数人对自己的能力和对自己会交好运的愚蠢假设过分自负”。
1尽管斯密敏锐地意识到人类喜欢承受风险的倾向有利于促进经济的发展，但是他仍然担心，当这种倾向失去控制时，会对社会造成不利的影响。所以他将人的道德情感与自由市场的益处仔细地进行权衡。160年以后，另外一位伟大的英国经济学家约翰?梅纳德?凯恩斯也同意这种观点：当一个国家的资本发展成为赌博活动的副产品时，那么它将不会产生好的结果。
2但是如果人们对自己的好运气都缺乏自信和信心，整个世界将变得毫无生气。凯恩斯不得不承认“如果人的本性对于碰运气毫无兴趣的话，仅仅依靠冷静地计算，人们就不会进行过多的投资活动”。3如果预期的结果是失败，没有人会去承受风险。当苏联人试图通过政府命令和计划策略将不确定性完全消除时，他们同时也抑制了社会和经济的发展。
3赌博奴役了人类一千年之久，从社会底层到最受尊敬的上层领域，它无处不在。耶稣在十字架上受难时，皮拉特(Pontius Pilate)的士兵们通过抽签来占有他的长袍。罗马皇帝马库斯?奥雷柳斯身旁经常跟随着赌博总管。Sandwich伯爵发明了以自己的名字命名的点心—三明治，以免为了吃饭而离开赌桌。美国大革命时期，乔治?华盛顿在自己的帐篷里开设赌局。
4 赌博与野性在西方是同义词。“今晚会遇到幸运女神”是《红男绿女》中最脍炙人口的一句歌词—《红男绿女》是一部关于一个冲动的赌徒和他的起伏不定的掷骰子赌博的音乐剧。我们已知赌博的最早形式是一种赌骰子游戏，骰子是由距骨或是踝骨制成的。
5 这种我们今天所用骰子的祖先是从羊或鹿的踝骨中取出的一种四方形的骨头，这种骨头是实心的，没有骨髓，坚硬且不易损坏。距骨在世界上许多地方的考古挖掘中都曾被发现过。埃及墓穴里的壁画上有用距骨进行赌博的画面，这可以追溯到公元前3500年。希腊的花瓶上也画有年轻人将其抛入圆盘的场景。虽然埃及人用打磨建造金字塔的石头的方法来惩罚那些冲动的赌徒，但是考古的发现表明法老们同样使用骰子赌博。双骰子赌博是由美国人发明的，它来源于十字军东征时传入欧洲的各种骰子的赌博。这些赌博通常被认为是危险的—al zahr，阿拉伯语中对骰子的称谓。
6纸牌赌博游戏起源于亚洲，它是从古老算命的形式发展起来的。但是直到发明了印刷术，它们才在欧洲盛行起来。这些牌最初是又大又方的，在四个角上没有可辨认的数字或小点。人头牌中只印了一个头像而不是两个头像，这意味着游戏者常常要从牌的下边才能识别它们—因为将牌转过来会暴露出你拿着人头牌。四方的角使得游戏者可以很容易地做手脚—他们只需将一角撕下一点就可以在今后的牌局中认出这张牌。直到19世纪，人们才开始使用印有两个头像的人头牌和圆角的牌面。如同掷骰子游戏一样，扑克牌是美国人一种古老游戏的变形，这项游戏只有150年的历史。戴维?哈亚努(David Hayano)是这样描述扑克牌的：“人们使用机密的手法，在游戏中进行大量的欺诈，使用计算的策略并有着对深层次的、不可见结构的强烈信念……这是一种要去亲身体验而不仅仅是在旁边观看的游戏”。
7 哈亚努认为，大约有4 000万美国人常常玩扑克牌，他们都相信自己比对手更加聪明。 最使人沉迷的赌博大概要算在赌场里进行的完全碰运气的赌博，自从它传入美国以后，就像野火燎原一样迅速地传播开来。《纽约时报》1995年9月25日发自衣阿华州达文波特的一篇文章认为赌博业是美国发展最快的行业：“它是一个价值400亿美元的行业。它比棒球场或电影院吸引了更多的顾客。”
8《纽约时报》引述了一位伊利诺伊大学教授的话，这位教授估计联邦政府从赌场每得到一美元，需要在社会机构和犯罪惩戒系统上支付3美元—这大概是亚当?斯密已经预期到的结果。
以衣阿华州为例，这里甚至直到1985年还没有一张彩票，但是到1995年，衣阿华州10个大赌场，另外还有一个赛马场和一个赛狗厂，并有着24小时运转的投币机。这篇文章上说：10个工人中大约有9个人承认自己曾经参与过赌博，他们中有5.4%的人承认自己有赌博上的问题，而5年前这项数字只有1.7%。20世纪70年代这个州的一个旧教的牧师曾因参与赌博游戏而入狱。很明显最纯粹形式的赌博仍然伴随着我们。
必须将依赖于运气的赌博与那些技巧可以在其中起到作用的赌博区分开来。转盘、骰子和投币机的工作原理是一样的，但是这种原理只可以部分地解释扑克牌、赛马和十五子棋游戏(backgammon)中涉及的内容。前一类赌博的结果完全由命运决定，而在后一类的赌博中，如何进行选择也起到一定的作用。机会，也就是获胜的可能，是你在第一类赌博中所需知道的一切，当结果不仅仅取决于运气，还取决于赌博技巧的时候，那么在预测谁输谁赢时所需的信息要比在先前的情况下所需的信息要多得多。在牌类赌博和赌马中有真正的高手，但是在掷骰子的游戏中没有人能够成为高手。
许多观察家认为股票市场也是一个赌局。在股市中盈利是运气和技巧综合的结果，或者仅仅是一场依靠运气的赌博。对于这个问题，我们将在第12章提及。
在依赖于运气的赌博中，输与赢经常发生，就像在实际生活中一样。赌博者以不对称的方式对这种情况进行反应：他们输钱的时候，会应用平均法则，认为输的局面马上就会中止，但是他们在赢钱的时候，却将同样的法则置之脑后，认为自己会一直赢下去。在这两种情况下，他其实都不是真正地应用了平均法则。最后一次掷骰子的结果并不能说明有关下一次掷骰子的任何信息。扑克牌、硬币、和转盘都没有任何记忆。
赌博者们或许认为他们是在对“红”或“7”或“四张相同的牌”下注，但实际上他们是在对时钟下注。输钱的一方希望短期看起来像是长期，以便机会能够继续下去，而赢的一方希望长期看起来像是短期，以便机会能够终止。在远离赌桌的地方，保险公司的经理以同样的方式管理自己的业务。他们将保费用来弥补长期中所蒙受的损失，但是当地震、火灾、飓风都同时发生时，短期对他们来说就会非常困难。与赌博者不同，保险公司运作的是资本，并且保留储备金以弥补不可避免的短期内的坏运气。
时间是赌博中决定性的因素。风险和时间是同一事物的两个相反的方面，因为如果没有明天，就不会有风险。时间会改变风险，风险的本质由时间的范围来塑造的：未来就是赌场。 当决策是不可逆转的时候，时间尤为重要。但是许多不可逆转的决策必须在信息不完全的基础上做出。不可逆性决定了各种决策：不坐出租车而坐地铁;在巴西建造汽车制造厂;改变工作;发动战争等。
如果今天我们买了一只股票，我们可以在明天将它卖掉。但是当转盘桌旁收付钱的那个人喊“没人下注了!”或是扑克牌的赌注又翻了一倍时，我们还能做什么呢?一切已不可挽回。我们应不应该在采取行动时不再抱着这样的希望：随着时间的流逝会带来好运，或者机遇将走向我们这一边?
哈姆雷特抱怨说，面对不确定的结果时太多的犹豫不决是不利的，因为决策的本质特色会被不断的思考削弱。但是只要我们一采取行动，我们就丧失了等待新信息出现的机会。这样，不采取行动本身也具有价值。结果的不确定性越大，延迟行动的价值也就越大。哈姆雷特错了：犹豫不决的人是在采取妥协方案。
在解释万物的起源时，希腊神话中以一个巨大的赌局来解释现在科学家们都称之为“宇宙大爆炸”的东西：三个兄弟为分配宇宙而掷骰子，主神宙斯赢得了天堂，海神波塞冬赢得了海洋，而输家冥王海德斯则成为地狱的总管。
概率理论似乎应该由希腊人提出，因为他们对赌博有着极大的狂热，他们有类似数学家的技巧，有很强的逻辑能力以及对论证的执著追求，但是，尽管他们是古代人类中文明程度最高的社会，他们却从不曾踏入概率论这个充满魅力的世界。这一点很令人奇怪，因为直到那时，只有希腊人才有文字记载的文明，并且未被当时占统治地位的教士阶层所限制，而教士阶层要求以神的力量来垄断思想。如果希腊人能够预期到他们杰出的后代—文艺复兴时期的人在大约1000年后所发现的东西，那么我们如今所知的希腊文明发展步伐或许会加快许多。
尽管希腊人强调理论的重要性，但是他们对将其应用于何种技术、从而改变他们对于管理未来的观点却毫无兴趣。当阿基米德发明了杠杆时，他声称只要给他一个支点，他就可以移动整个地球。但是很显然，他并不想改变这种局面。希腊人的日常生活以及他们的生活水平，都与几千年来他们祖先的生活完全一致。他们狩猎、打渔、种庄稼、生儿育女，他们只是使用在底格里斯河至幼发拉底河山谷和埃及早期发展而成的建筑技术，仅仅在形式上略有变化。
在风暴面前屈服是引起人们注意风险管理的唯一形式:他们的诗人和歌剧家们反复地歌颂他们对风的依赖，并不惜牺牲可爱的孩子们去取悦狂风。尤其重要的是，希腊人缺乏一套技术体系使他们可以进行计算而不是仅仅记录下他们活动的结果。
第2节 - （2）
9我的意思并不是说希腊人丝毫没有考虑概率的本质。古希腊单词eikoz意为“似乎可信的”，或者说“可能的”，与现代的“概率”一词有相同的含义，即对某种程度确定性的预期。苏格拉底将其定义为“真实的近似”。
10苏格拉底的定义指出了具有重要意义的一点微妙之处。真实的近似并不是完全的真实。对希腊人来说，真实只是那些可以被逻辑和公理证实的东西。他们对证据的坚持将真实与只凭经验的实验完全对立起来。例如，在费德鲁斯《寓言集》中，西米亚斯(Simmias)对苏格拉底指出：“‘灵魂是和谐的’这个命题只有依赖于概率才可以描绘。”亚里士多德抱怨这样的哲学家：当他们论述似乎可信时，他们所说的并不是真实的。此外，当亚里士多德宣称一个数学家在几何学上争论概率并不十分值得，这样的数学家并不是第一流的数学家
11的时候，苏格拉底已经预见到了这些。在接下来的1000年里，思考关于赌博的问题与进行赌博仍然是两个独立的活动。什穆埃尔?桑伯斯基(Shmuel Sambursky)是一位杰出的以色列历史学家和科学哲学家，他提出了有说服力的论点，这也是我能找到的唯一能解释为什么希腊人没有一步步向前发展，进而提出概率理论的论点。
12 桑伯斯基在他1956年写的一篇论文中指出，希腊人认为，真实与可能性之间有着严格的界限，他们不能想象在日常混乱的自然界中存在任何形式的实体结构或者协调的事物。尽管亚里士多德认为人们应该在针对最终结果的意愿推理的基础上进行决策，但是他并没有为最后成功的可能性提出任何建议。希腊歌剧中一遍遍地重复着人类在无情命运左右下的失落无助，当希腊人想预测明天将会产生什么的时候，他们求助于占卜者而不是请教他们睿智的哲学家。
希腊人相信只有星空才有科学可循，因为各种星体极其富有规率性地在他们所确定的位置出现。希腊人对这种和谐的现象极为重视， 他们的数学家对此认真地加以研究。但是天堂的完美似乎只是更加突出了地球上生活的杂乱无章。此外， 天堂的可预测性还与那些住在天堂里的无常而且愚蠢的诸神形成尖锐的对立。
在古老的《塔木德经》中，犹太哲学家在评估风险上可能做出了略微进一步的发展。但是在这里，我们也找不到证据证明他们在推理的过程中对风险遵循了一种科学的方法。桑伯斯基引述了其中的一篇文章，在这篇文章中这位哲学家解释了为什么一个男人能够以不贞为理由与他的妻子离婚而不受任何惩罚;而如果他说这种不贞行为在结婚前就已发生，他却会受到惩罚。
13“这里有两层疑问，”犹太法典上说，“如果证实(未指定任何方法)新娘结婚时已经不是处女，第一层疑问是：新郎是不是要为此负责—这件事是他做的，还是别人做的?”而第二层疑问是，文中继续论述道，“如果你说他就是那个人，那么这种行为是暴力性质的还是在她同意的情况下发生的?”两层疑问的各个不同回答各有50%的可能性。经过统计计算，哲学家们得出结论：新娘只有1/4(1/2×l/2)的可能性应该对婚前的不贞行为负责。所以，她的丈夫并不能以此为理由与她离婚。
人们容易认为从使用距骨直到概率的发明之间流逝的时间只是一种历史的巧合，令人惋惜的是，希腊人及其学者们的研究已经非常接近于几个世纪后帕斯卡和费马的分析，只需稍进一步，他们就可以走上一个新的台阶。
这一小步未能迈出并不是偶然的。在一个社会将风险的概念纳入自己的文化之前，人们对于未来的态度—而不是对于当前的观点，必须发生改变。一直到文艺复兴时期，人们仍然认为未来仅仅是机遇造成的，或者是随机事件的结果，他们的大部分决定全凭直觉而定。当生活状况与自然界有非常紧密的关系时，人类并没有多少控制的余地。只要生存的需要仍将人类限制于最基本的活动之中，例如生儿育女、种植庄稼、狩猎、打渔、建造房屋等，人类就无法控制环境，但在这个环境中人类是有能力影响自己所决定的结果的。除非未来不再是一个黑洞，否则省下来的一便士永远和挣来的一便士不同。
接下来的几个世纪之中，至少直到十字军东征的时候，大部分人每天的生活中几乎没有什么新奇的现象可言。居住在一个稳定的社会结构之中，他们几乎不去注意横扫大陆的战争，不去注意邪恶的统治者有时会战胜正义的统治者，甚至不去注意宗教的交替互换。气候是发生变化最明显的事物。正如埃及史学家亨利?弗兰克福(Henri Frankfort)提到的那样：“过去和未来—遥远的几乎不需考虑的未来，在目前完全是不明确的。”
14尽管这种对于未来的态度持续存在，但这几个世纪中人类的文明程度还是有了很大的提高。很明显当时人们的风险观点并未对此造成任何障碍。但同时，文明进步的本身也不足以推动好奇的人们去探索科学预测的可能性。
随着基督教在西方世界的逐渐盛行，上帝的意愿成了决定未来的向导，他取代了自古以来人们一直信奉的各种神明。这使人们的观点发生了巨大的改变：人类生活在地球上，未来将发生什么仍然是一个谜，但是现在它是由上帝预先安排好的，而上帝的意愿和标准对于肯花时间去学习它们的人而言是很清楚的。
当人们对于未来的思索成为一种正常的行为和信念时，未来似乎不再像以前那么不可预知了。但是，它仍然不依赖于任何形式的数学预测。早期的基督徒将自己的预言限制在来世将会发生的范围之内，而无论他们是如何热烈地恳求上帝让世间的事物按他们的意愿发展。 但是地球上人们对更美好生活的追求仍在继续。公元1000年的时候，基督徒们航行到很远的地方，遇到了不同的人，接触到不同的思想。然后就是十字军东征—这是文化的一次强烈冲击。西方人与一个在约公元700年时就接受了穆罕默德宗教的阿拉伯国家发生了冲突，后者的领土向东一直延伸到印度半岛，基督徒们带着对未来的信仰，遇到了阿拉伯人，而后者达到的智慧比这些将他们从圣地驱逐出去的好事者们的智慧要高深得多。
阿拉伯人在侵略印度的过程中，了解了印度的计数体系，这使他们将东方的科学成就应用于自己的学术研究、科学调查以及实验之中。对于阿拉伯人来说，这些成就是非凡的，对西方人而言也是如此。
在阿拉伯人手中，印度数字可以计算和测量天文、航海和贸易中的问题。新的计算方法逐渐取代了算盘，而这之前的几个世纪中，从西半球的玛雅族人、欧洲，一直到印度和东方，算盘一直是进行算术计算的唯一工具。算盘(abacus)这个词源于希腊语abax，意为沙盘。在沙盘中，一块块小卵石铺在沙子上。15计算(calculate)这个词源于calculus，即拉丁语中的小卵石。
在这以后的500年里，随者新的数学体系取代了简单的算盘，人们在计算中以书写代替了移动筹码。书面计算过程推动了抽象思维的发展，后者打开了以前数学从未涉及的领域。现在，海上航行可以持续更长的时间，把握时间可以更为精确，建筑可以更加宏伟，生产方法可以更为周密。如果我们现在仍然以I，V，X，L，C，D，M或者希腊或希伯来语中代表数字的字母进行度量和计算，那么现在的世界将会有很大的不同。
但是阿拉伯数字并不足以促使欧洲人探索基本的概念。系统的概率及其严格的推断认为未来是可以预测的，甚至在某种程度上未来是可以控制的，欧洲人想用这种极端的想法代替随机性。这种进步必须要等到人类意识到在命运面前人们并不是完全无助的、他们的命运也不是上帝决定的之后，才会产生。
文艺复兴和新教革命为风险占据统治地位揭开了序幕。公元1300年以后，当神秘论在科学和逻辑面前低下头时，希腊和罗马的建筑形式开始替代哥特式建筑，教堂的窗户安在了有阳光的一面，雕塑中的男人和女人开始实实在在地站立着而不再摆出一副没有肌肉也没有重量的传统姿势。与艺术上的变化相对应的是思想变革同样对新教革命做出了贡献，削弱了哥特式教堂的控制能力。
这次变革并不仅仅意味着人类与上帝之间关系的一种改变。忏悔制度的废除告诫人们从此以后将不得不靠自己的双脚走路，必须为自己决定的后果负责。
但是如果人们得不到非人类的神明和随机事件的怜悯，面对一个未知的将来，他们再也不能始终保持被动。他们只能在更大的范围内，用比以前更长的时间来做出决定。标志着新教义的节俭和禁欲的概念证实了与当前有关的未来不断提高的重要性。随着这种选择和决策的不断开放，人们逐渐意识到未来不仅提供危险，同样也提供机遇;人们开始意识到它是开放的，充满了机会。16世纪和17世纪是地理探险的时代，人们面对着新的土地，新的社会、艺术体验、诗歌、科学、建筑学和数学，新的机遇带来了贸易的急剧增长，同样也刺激了变革和探索的发展。哥伦布并不是在加勒比海上巡航，他是在找寻通往印度的一条新路径。发家致富的梦想是最有煽动性的，有一些人并未去冒险赌博就获得了财富。
没有什么比这种率直的陈述更使人赏心悦目的了。贸易是一个互惠的过程，是一项交易，交易后交易双方都认为其财富比交易前有所增加。这是一个多么基本的概念!可在这之前，人们主要是通过剥削和掠夺他人的财富使自己变得富有。尽管欧洲人仍然在海上进行掠夺，但在陆地上，更多的人而不再是少数人，有了为自己积累财富的可能。在这个时候，富裕起来的是那些聪明的、富有冒险精神和创新精神的人—他们大部分是商人—而不再仅仅是世袭的人们和他们的奴仆。
经商同样是一个有风险的行业。贸易的发展把赌博的原理转化为财富的创造，其必然的后果是资本主义，它是承受风险的缩影。但是，如果没有新的活动， 资本主义也不会盛行起来。如果未来仍然是由上帝的意愿所掌握的，那么下面这两种活动就没有出现的必要：一是簿式记账法，这是一项乏味的工作，但它却推动了计数和计算新技术的普及;二是预测，一项稍显复杂但也更具有挑战性的工作，它将承受风险与获得回报直接联系起来。
你不会在计划利用海洋运送货物，或者装配要出售的物品或去借钱之前，不事先决定将来你的商店主要经营什么商品。在顾客出现并把他们的钱放在柜台上之前，你必须先做好计划，以确保你订购的物品能按时送到，你所卖的东西会如期制造出来，并且你销售的商品已经全部到位。一个成功的企业总裁往往首先是一个预言家，然后才是考虑如何购买原料、生产、促销、定价以及进行组织等工作。
你在下一章中会看到人们认识到帕斯卡和费马的发现标志着智慧的开始，而不仅仅是对一个有关机会赌博的智力性难题的解答。他们大胆地面对不断增长的复杂性以及实际操作的重要性，敢于处理风险的许多不同情况，并发现这些是关系到人类生存最基本哲学层面的问题。 但是我们必须暂时不考虑哲学，因为故事应当从开头讲起。处理不确定性的现代方法以度量开始，并使用机会和概率，首当其冲的即是数字。但是这些数字是从哪儿来的呢?
第 2 章 像一二三那样简单
第1节 - （1）
没有数字，就不会有几率，也不会有概率。没有几率和概率，对付风险的唯一方法就是祈求上天和命运。没有数字，风险就是一件很糟糕的事情。
我们生活在一个数字和计算的世界里，它包括从早上我们醒来时所瞥见的钟表，到晚间我们经常转换的电视频道，随着这一天的进行，我们要计算放入咖啡机的咖啡数量，要付给管家的钱数，要咨询昨天股票的价格，拨打一个朋友的电话号码，检查汽车中汽油的数量，查看速度表的速度数，触按办公大楼的电梯按钮，用密码打开办公室的门。就这样，这一天几乎还没有开始。
很难想像没有数字的时候是什么样子。但如果时光倒流，一个1 000年前受过良好教育的人闯入现代社会，他很可能不认识数字0，并且，即使参加三年级的数学测试，也不可能及格。即使是对一个生活在500年前的人，情况亦可能如此。
在西方，数字的故事开始于1202年。那时，沙特尔大教堂接近完工，约翰国王已经统治了英国3年。那一年，一本名叫《算盘书》(Liber Abaci)的书在意大利出版，该书又名《计算之书》(Book of the Abacus)。这本书共15章，全部是手写而成，因为几乎在300年之后印刷术才被发明。《算盘书》的作者是莱昂纳多?皮萨诺(Leonardo Pisano)，他当时年仅27岁，但是他十分幸运，因为他的书得到了当时罗马君主弗雷德里克二世的支持。从来没有其他的作者像他这样幸运。
1莱昂纳多?皮萨诺一生中最为著名的是他的另一个名字斐波那契(Fibonacci)，这个名字至今为人所知。他的父亲姓波那契(Bonacio)，斐波那契是“波那契的儿子”的缩写。Bonacio在英文里的意思是笨蛋，而Fibonacci的意思是傻瓜。波那契可能比笨蛋好一些，因为他作为比萨市的领事出使过很多城市，而他的儿子莱昂纳多就肯定不是一个傻瓜了。
斐波那契是在访问布加时产生了撰写《算盘书》的想法。布加是一个繁华的阿尔及利亚城市，当时他的父亲作为比萨市的领事在那里任职。在布加，一位阿拉伯的数学家向斐波那契揭示了印度—阿拉伯数字体系的神奇之处，这个数字体系是在十字军东征圣地时由阿拉伯数学家引进到西方的。当斐波那契发现这个数字体系能够完成所有的计算时—其中一些计算是罗马字符所不能完成的，他开始学习所有与这个数字系统有关的东西。为了能向地中海地区有名的阿拉伯数学家学习，他遍访埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯。
最终，《算盘书》在各个方面都十分出色。这本书使人们看到了一个新的世界。在这个世界中，阿拉伯数字替代了希伯来、希腊以及罗马的数字体系，后者是用字母来进行计数和计算的。这本书很快受到了意大利和整个欧洲数学家们的追捧。
《算盘书》远远不是一本只是教授读写新数字的启蒙书。斐波那契一开始解释了如何从一个数字的数字数目来确定它是一个单位，还是10的倍数，抑或是100的倍数，等等。在后面的章节里，该书展示了数字更高级别的混合。那里，我们可以看到各种计算，包括所有的数字和分数、比例原则、平方根和更高次方根的抽取，甚至可以看到线性方程式和二次方程式的解决方法。
斐波那契的练习十分新颖，有独创性。如果这本书仅仅是处理与理论相关的一些问题，那么它就不会在数学专家这个小圈子之外获得如此广泛的关注。斐波那契将该书和实际应用结合了起来。例如，他描写和阐述了许多革新，在这些革新中，新的数字使商业簿记变为可能。比如可以计算边际收益、货币兑换、重量和度量的转换等。他甚至讲述了利息支付的计算方法，虽然那时在许多地方还禁止发放高利贷。
《算盘书》还提供了一种激励。像弗雷德里克国王这样聪明且很有创造性的人都会欣赏这种激励。从1211~1250年是弗雷德里克的统治时期。虽然他在此时期十分残暴，并且迷恋权力，但是他的确对科学、艺术和国家哲学很感兴趣。在西西里，他摧毁了所有的私人要塞和世袭的城堡。他向牧师征税，并且禁止他们进入政府机构。他还建立了专制的官僚政治，废除了国内的通行税，撤销了限制进口的法规，并且打破了地区垄断。
弗雷德里克不能容忍对手的存在。他的祖父弗雷德里克?巴巴罗萨在1176年莱尼亚诺(Legnano)战役中曾被罗马教皇所羞辱，和他的祖父不一样，弗雷德里克在和罗马教皇的战争中得到了极大的快乐。而他的不妥协使他两次被教会驱逐。在第二次被逐出教会时，格里高利九世教皇要求弗雷德里克下台，并将其视为异教徒和反基督教徒。作为回应，弗雷德里克更加凶猛地进攻教皇的领地。与此同时，他的舰队俘虏了很多高级神职代表，这些人当时正前往罗马去参加罢免弗雷德里克的宗教大会。
弗雷德里克结交了许多当时有名的学者。他邀请他们中的许多人加入他在巴拉莫的王国。西西里最美丽的一些城堡就是由他建造的。在1224年，他创建了欧洲第一所大学，用来培训公职人员，使他们能够得到皇家颁发的执照。
弗雷德里克对《算盘书》特别着迷。在1220年他出访比萨市时，斐波那契受邀觐见。在面谈时，斐波那契解决了由弗雷德里克的一个幕僚学者提出的有关代数和三次方程式的问题。后来，斐波那契就这次会谈写了一本书，题为《正方形之书》(Liber Quadratorum, 或The Book of Squares)。他把这本书献给了国王。
斐波那契最著名的要属他的《算盘书》中的一篇短文了。这篇短文，引发了数学界的一个奇迹，这篇短文讨论了关于1对兔子在1年内能够生育多少只兔子的问题。假设每个月每对兔子能生出1对兔子，并且兔子在它们2个月大的时候才能生育。斐波那契发现1年内由最初的1对兔子能够繁衍出233对后代。
他还发现了其他一些更有趣的事情。他假设第1对兔子到第2个月才生小兔，然后，每个月生1对小兔。到第4个月时，他们的前两个子女开始生育。这个进程开始后，每个月底时兔子的总对数如下：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。每个连续的数字是前两个数字之和。如果持续生育100个月，兔子的总对数将是354 224 848 179 261 915 075。
斐波那契数列远远不只是一种消遣。将任何一个斐波那契数列中的数除以它后面的数，数字3后的结果总是0.625，数字89后的结果总是0.618;数字越大，小数位越多。用数字2之后的任何数除以它前面的数，其结果总是1.6，在144之后，其结果总是1.618。
希腊人知道这个比例，他们称其为“黄金分割”。帕德嫩神殿、扑克牌和信用卡的形状以及纽约的联合国总部大楼都使用了这个比例。绝大多数基督教堂的水平构件和垂直构件的交叉部位也采用了相同的比例：横木上端的长度是下端长度的61.8%倍。黄金分割也同样出现在自然界之中—在花朵的花纹上，在洋蓟的叶片上，在棕榈树的叶柄上都能发现黄金分割比例。对于正常比例的人来说，肚脐之上部分的长度和肚脐之下部分的长度之比也是黄金分割比例。我们每根手指(从指尖到手掌的部分)的各关节指骨长度的比也同样遵循黄金分割比例。
在一个更加传奇性的证明中，斐波那契比例对一个美丽的螺旋的比例和形状做出了解释。图2-1展示了螺旋是如何从一系列的正方形中演变出来的。这些连续相关的正方形的面积和斐波那契数列中的数字相同。演变过程从2个相同面积的小正方形开始，接下来，其相邻的正方形的面积是前两个正方形面积的2倍，接下来的正方形面积是第1、2个小正方形面积的3倍、5倍，依此类推。注意，这个序列产生了一系列具有黄金分割比例的矩形。然后，从最小的正方形开始，用1/4圆弧将这些正方形的对角按次序连接起来。 图2-1 按斐波那契比例形成的螺旋
这个熟悉的螺旋会出现在某些银河中，出现在公羊的犄角中，出现在许多贝壳中，还会出现在前进的海浪中。若忽略最初的正方形的大小，虽然螺旋越来越大，但是这个结构一直保持原形态，没有任何改变。由此得出结论：形态是独立于成长的。著名记者威廉?胡佛(William Hoffer)曾经评论道：“这个巨大的黄金螺旋好像是在保持质量的前提下以自然的法则增加数量。”
第2节 - （2）
斐波那契的《算盘书》在衡量克服风险的关键因素的道路上迈出了伟大的第一步。但是人们还没有准备好将数字和风险联系在一起。在斐波那契的时代，绝大多数的人仍然认为风险源自于自然的多变性。在验证克服风险的技巧之前，人们不得不通过学习来识别人为的风险，并鼓起勇气和命运作斗争。这种验证至少还要持续两百年的时间。
仅仅通过回顾那个无法区分10和100的时代—虽然在这个时代，我们也能发现许多著名的革新者，我们就能充分赞赏斐波那契的伟大功绩。
穴居人这样的古人知道如何记录事物，但是他们没有太多的事情需要记录。他们将一段时间记录在石头或圆木上，并且记录他们所猎杀的动物的数量。太阳为他们记录时间，但他们很难界定5分钟或是半小时的时间。
对度量和计算的系统研究始于公元前一万年的某个时候。
3那时人类已经在由大河大江所冲刷成的盆地上定居下来，开始从事种植业。这些大江大河包括：幼发拉底河和底格里斯河、尼罗河、印度河、长江、密西西比河以及亚马逊河。这些河流不久就成为贸易和旅行的高速通道，最终，一些更具冒险精神的人们来到了江河汇入的大海。对于那些涉足遥远地区的旅行者来说，日历、航海和地理是最重要的，而这些因素都需要更加精确的计算。
教士是最早的天文学家，而数学起源于天文学。当人们发现石头上的刻痕以及树枝不够用于计数时，他们开始将数量归为10个或20个一组，这样便于用手指或脚趾计数。
虽然埃及人精通天文学，能够预测尼罗河水涨落的时间，但是他们可能从来没有想过管理或影响未来。变革并不是他们思维进程的一部分，他们的思维已经被习惯、周期性的事物所统治。他们尊重过去。
大约在公元450年，希腊人发明了一种字母数字体系。这个体系由希腊字母表中的24个字母组成。其中的3个字母后来逐渐被荒废掉了。从1~9的每个数字都有相应的字母，每个10的倍数有一个字母。例如，字符“pi”源自希腊字“penta”的第一个字母，这个字是5的意思。“delta”代表10，它是希腊文字“deca(十)”的第一个字母。“alpha”代表1，它是希腊文字“alphabet”的第一个字母。“rho”代表100。这样，115就写为rho-deca-penta，或者是rdp。希伯来人、菲印欧人也使用相同的密码—字母体系。
4这些字母数字帮助人们建造出更加坚固的建筑，使人们能够旅行的更远，帮人们记录更准确的时间。但是，这个体系有严重的局限性。你可能没有注意到，当用这些字母进行加、减、乘、除的运算时，会遇到极大的困难。这些数字的替代物仅仅能作为记录计算结果的工具，而这些计算是通过算盘等方法进行的。印度—阿拉伯数字体系出现在公元1000~1200年间，在此之前，数学界一直使用算盘这种历史上最古老的计算工具。
算盘的工作原理是：设定每一栏算珠数目的上限;在做加法运算时，最右边的一栏填满，多余的算珠就挪到其左边的一栏，依此类推。我们的“借一存三”的概念就来源于此。
5虽然早期的数学形式有许多局限，但是它们很有可能使知识，特别是几何学(关于形状的语言)得到快速发展。这些数学形式已应用到天文、航海和机械之中。这里最令人难忘的进步是由希腊人和他们在亚历山大的同僚一起完成的，欧几里德最著名的《元素》(Elements)一书。除了《圣经》以外，有关本书的版本和印刷物数量无书能及。
但是，科学的革新并不是希腊人最大的贡献。毕竟，在欧几里德之前，埃及和巴比伦神殿的牧师已经学习几何很久了。甚至早在公元前2000年时最著名的毕达哥拉斯定理—直角三角形斜边的平方等于另外两边平方之和—就已经在底格里斯河和幼发拉底河流域使用了。
希腊精神的独特品质是他们对证明的坚持。他们更关心“为什么”而不是“是什么”。希腊人能够重新构建一些根本的问题，因为希腊文明在历史上第一个摆脱了由强权的神职人员强加的知识禁锢的束缚。这种精神态度使希腊人成为世界上第一批旅行者和殖民者，那时，他们将地中海盆地变为他们自己的领地。
希腊人拒绝接受没有根据的表面价值，认为这些是由旧社会遗传过来的。希腊人对样本不感兴趣，他们的目标是能找到一种观念，这种观念能应用到任何地方、任何事情之中。例如，仅仅通过度量就能证实直角三角形斜边的平方等于另两边平方之和，不论大小，所有的直角三角形都遵循这个原则，无一例外。但是希腊人会问，为什么会出现这种情况?证明是欧几里德的几何学的全部。证明而不是计算会对数学理论永远起支配作用。
这彻底打破了其他文明的分析方法，但也使我们再次怀疑希腊人为什么没有能够发现概率法则，没有发现微积分，甚至没能发现简单的代数学。除了他们所取得的成就外，这些可能是因为他们不得不依赖于以字母为基础的笨拙的数字体系。罗马人也受着同样的困扰。就像9这样的简单数字需用两个字母表示：IX。罗马人不能将32写成III II，因为人们无法知道它到底是代表32，302，3020，还是3，2，0的更大组合。基于这个数字体系是无法进行计算的。
直到公元500年的时候，一种更高级的数字体系被发现了。在那时，印度人发展了我们今天使用的数字体系。是谁设计了这个神奇的发明?它是在什么情况下传遍了整个印度大陆的?这至今还是一个谜。作为变更宗教，穆罕默德在公元622年创建了伊斯兰教，并统一了一个强大的国家。他的信徒遍及印度及周边地区。在这之后90年，阿拉伯人第一次接触到了这些新数字。
这个新的数字体系对内陆和西方的知识分子的活动起到了一种镀金的效果。巴格达在当时已经是伟大的文化学习中心，也是数学研究活动的中心。哈里发(Caliph)扣留了一些基督教学者，要求他们翻译托勒密、欧几里德等数学先锋的著作。不久，这些数学家的著作就遍及整个阿拉伯王国。到9、10世纪时，连远在西方的西班牙都使用这些书籍。
实际上，有一位西方人在印度人之前两百年时就提出了数字体系。公元250年时，一个名叫丢番图(Diophantus)的亚历山大数学家写了一篇论文，在文中他阐述了用真正的数字体系来替代字母数字体系的好处。
6我们对丢番图知道得并不多，但是我们所知的那一点点事情却很有趣。根据数学历史学家赫伯特(Herbert Warren Turnbull)所讲，有一个关于丢番图的一个希腊格言是这样说的：“他的童年时代占了他全部生命的1/6，又过了1/12生命的时间，他长出胡子了。又经过1/7生命的时间，他结婚了，5年后，他的儿子出生了。他的儿子的寿命仅仅是他寿命的一半，他的儿子比他早死4年。”那么，丢番图活了多少岁呢?7代数迷们能够在本章的最后得到答案。
丢番图长期从事字符代数的研究—字符代数就是使用字符来代替数字。他认为“方程式4=4x+20是荒唐的，是不可能有结果的”。8不可能?荒唐?这个方程式要求x等于-4。因为丢番图没有零的概念，所以对他来说，负数在逻辑上是不可能的。
丢番图杰出的革新好像被忽视了。几乎是在1 500年以后，人们才开始注意到他的工作。最终，他的功绩得到了应有的重视。他的论述为代数在17世纪的繁荣发展发挥了核心的作用。像a+bx=c这样的我们今天熟知的代数方程式被称为丢番图方程式。
印度—阿拉伯数字体系的核心是0的发明，印度人称其为sunya，而阿拉伯人把它叫做cifr。
9这个数字像密码一样出现在我们面前，它代表“空”，在算盘和计数器上代表一个空列。 人们通常用数字记录猎杀的动物、经历的天数以及所经过的地方。因为零在这些方面上无法应用，所以人们很难掌握零这个概念。20世纪的英国哲学家阿尔弗雷德?怀特黑德(Alfred North Whitehead)曾经指出：
关于零的要点是我们在日常的生活中并不需要使用它，不会有人出门去买零条鱼。在所有的基本数字中，零是最近代化的一个。我们只有在改进我们的思维方式的时候才会使用到它。
10怀特黑德“改进思维方式”的格言暗示：零的概念不仅仅是对计数和计算方法的改进，它所带来的是更深远的思维解放。正像丢番图所感觉到的那样，一个合适的数字系统能够将数学发展为抽象科学同时也能发展成为一种度量的技术。零的出现打破了对思想和进步的限制。
零以两种方式对旧的数字系统进行了变革。第一，人们仅仅通过使用0~9这10个数字，就能进行所能想像到的任何计算，也能书写所能想像到的任何数字。第二，像1，10，100这样的数字序列能够明示这个序列中的下一个数将是1 000。零使整个数字系统的结构立刻变得清晰可见。试一下罗马数字I、X、C或者V、L、D，你能知道这两个序列的下一个数是什么吗?
有关阿拉伯算术最早的著作是由阿尔?花拉子米(al-Khow^arizm^l)编写的。他是生活在825年左右的数学家，比斐波那契早了400多年。
11虽然许多人从他的著作中获益，但是知道他的人却很少。我们大多是间接知道他的。试着快速地念“al-Khow^arizm^l ”这个字，这样我们就能得到“algo-rithm”这个词，它的意思是计算法则。
12 阿尔?花拉子米率先建立了用印度数字来进行加、减、乘、除运算的法则。在他的另一篇名为《移项和销项》的论文中，阿尔?花拉子米详细说明了处理方程式的过程。代数(有关方程式的科学, algebra)这个词就源自“al-jabr”。
13在早期数学家中，最重要、最著名的要数奥马尔?哈亚姆(Omar Khayyam)。他大约生活在1050—1130年，是《鲁拜集》Rubaiyat诗集的作者14。他的令人难忘的75段四行诗系列在维多利亚时代由英国诗人爱德华?费茨杰拉德(Edward Fitzgerald)翻译成英文(鲁拜集这个词现在已被定义为一种诗的格式)，这个译本对数学或科学并没有什么帮助，相反它在饮酒作乐和享受美好生活方面起到了很好的作用。然而实际上，在第27段，奥马尔写道：
当我在青春时分 也曾热访过博士圣人， 炎炎的伟论听了多回， 可我依然出来—由那原径。
根据费茨杰拉德的介绍，奥马尔?哈亚姆曾经和两个像他一样聪明的人一起学习，他们是纳扎姆?穆克和哈桑?萨巴。有一天，哈桑提出，既然他们三人中至少有一个人会大富大贵，那么他们三个应该起誓，不论谁成为那个幸运的人，都要和其他两个人分享荣华，不能自己独享。他们三个都发了誓。最终，纳扎姆成为了土耳其皇帝的高官。于是他的两个朋友找到他，要求他兑现他曾经许下的诺言。
哈桑想做官，他的要求得到了满足，但是他对他的升迁并不满意。这导致他最终成为了一个狂热宗教的领袖，并在伊斯兰世界传播恐怖。多年后，哈桑最终刺杀了他的老朋友纳扎姆。
奥马尔?哈亚姆既不要头衔，也不要官职。他对纳扎姆说：“你能给我的最大恩惠是，你让我得到你的好运的庇护，这样，我就能传播科学的益处，并且能祈求上天保佑你长命百岁，永享富贵。”虽然土耳其皇帝很喜爱奥马尔并且赐予他很多好处，但是“由于奥马尔极其大胆的思想和言论，他在当时仍被视为异类。”
奥马尔?哈亚姆利用新的数字系统开发了一种计算语言。这种语言超越了阿尔?花拉子米的研究，成为了更加复杂的代数语言的基础。另外，奥马尔利用技术数学的观察，改革了历法，发明了用三角形法对数字进行重新排列。这种方法方便了平方、立方以及更高级的运算。这个数字三角形是17世纪法国数学家布雷斯?帕斯卡(Blaise Pascal)所发展的数学理论的基础。帕斯卡是选择、机会和概率理论的创始人之一。
阿拉伯人的令人难忘的功绩再一次暗示我们：如果没有合乎逻辑的结论，即使思想走得再远，它也会停止的。为什么阿拉伯人有如此先进的数学思维，但是他们却没有着手进行概率理论和风险管理的研究?我相信答案和他们生活的观念有关。是谁决定我们的未来?是命运，是上天还是我们自己?只有当人们认为自己已经达到某种程度的解放时，风险管理的观念才会出现。希腊人、早期的基督教徒以及宿命的穆斯林都没有做好这一跨越的准备。
公元1000年时，摩尔人的大学在西班牙普及新的数字体系，而萨拉逊人在西西里普及这种数字体系。这个数字系统实际应用的第一个例子是诺曼底人发行的西西里硬币，硬币上铸有“1134 Annoy Domini”的字样。直到13世纪，这些新数字才被广泛应用。
虽然弗雷德里克国王资助了斐波那契的书，并且该书在欧洲广泛发行，但是直到1500年，这个印度—阿拉伯数字体系才引发了激烈、艰苦的反抗。在这里，我们能够解释这种迟滞，至少有两个因素在起作用。
第一， 部分抵抗源自惯性的力量。这种力量反对改变任何长久以来一直使用的东西。重新学习新的方法永远不受欢迎。
第二个因素基于更坚实的证据—和老数字相比，新数字更易被用于作假。将0变为6 或9是十分容易的，1也很容易被改写成4，6，7或9(这就是欧洲人将7写成-7 的原因)。虽然新数字已经在教育水平很高的意大利立足，但是佛罗伦萨在1229年颁布法令，禁止银行家使用“异教徒”的符号。结果，很多人为了学习这个新数字系统，只好把自己装扮成穆斯林人。
15 15世纪中期活字印刷术的发明成为了人们战胜反对力量，全面使用新数字的催化剂。现在虚假的修改已不再可能发生。人人都明白使用罗马数字的复杂性。这个突破，极大地推动了商品交易。现在，阿尔?花拉子米的乘法表已经成为所有学生终生要记住的东西。最终，随着概率的崭露头角，赌博业开始了新的篇章。 关于丢番图字谜的代数解答如下： 假设x代表他去世时的年龄，则 x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4 丢番图活了84岁。
第 3 章 思考人类的本性
第1节 - （1）
在短短的几年内，对卡达诺和帕斯卡数学成就的应用已经提升到了他们两位难以想象的领域。首先，格朗特、配第和哈雷将概率理论应用到对原始数据的分析上。与此同时，皇家港修道院的《逻辑或思维的艺术》一书的作者已经将度量和主观信仰结合在一起。书中写道，“担心受到伤害的恐惧不仅和受到伤害的严重程度成比例关系，而且还和这件事情发生的概率成比例关系。”
1738年，《圣彼得堡皇家科学学院论文集》中收录了一篇文章，其中心主题是：“一件物品的价值(value)并不仅取决于它的价格(price)，还取决于它所产生的效用(utility)。”1这篇论文最早于1731年提交到学院，当时的题目是《有关衡量风险的新理论说明》(Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis)。本书的作者很喜欢意大利语，所以上述引文中的3个意大利词汇value, price和utility都是他使用的。在文中的其他地方，也有同样的情况。
1738年这篇文章的作者很可能已经阅读过《逻辑或思维的艺术》一书，不过这完全是我的猜测，但是这两者间的知识连接性是十分惊人的。在18世纪的西欧，人们对《逻辑或思维的艺术》一书很感兴趣。
两位作者都将自己的论述建立在相同的命题之上，这个命题就是，任何与风险有关的决策都涉及两个截然不同但又不能分开的元素：客观事实和主观意见，而这个主观意见是关于通过决策来达到所得或所失东西的愿望。客观的衡量以及主观的信心度都很重要，但是这两者本身都是不充分的。
这两位作者都有自己偏爱的研究方式。《逻辑或思维的艺术》的作者认为只有病态的厌恶风险的人才会根据事情的结果做抉择，而不去考虑其中涉及的概率问题。《有关衡量风险的新理论说明》的作者认为只有头脑简单、四肢发达的人才会只根据概率做决策，而根本不去考虑这件事的结果。
圣彼得堡论文的作者就是瑞士的数学家丹尼尔?伯努利，他那时38岁。2虽然丹尼尔?伯努利的名字通常是在科学界享有知名度，但是他的这篇论文不仅论述了风险的课题，还涉及了人类行为的论题，是史上最具深远意义的作品之一。伯努利强调了度量和本质间的复杂关系，这涉及到生活的方方面面。
丹尼尔?伯努利出生在一个杰出的科学家家庭。从17世纪末~18世纪末期，伯努利家族中有8位被认为是杰出的数学家。正如历史学家埃里克?贝尔(Eric Bell)所描述的那样，伯努利家族“世代子孙中的大部分人声名显赫—有时候达到巅峰，他们涉及的领域有法律、学术、文学、行政和艺术，没有人是失 败者。”3 这个家族的祖先是巴塞尔的老尼古拉斯?伯努利(Nicolaus Bernoulli)，他是一个富有的商人。尼古拉斯很长寿，他1623年出生，1708年去世。他有三个儿子，雅各布(Jacob)、尼古拉斯(被称为Nicolaus I)和约翰(Johann)。让我们再认识一下雅各布，前面我们说过，他是“大数定律”的发现者，而这个定律是被记录在他的一本名叫《猜想的艺术》(Ars Conjectandi)的书中。
雅各布还是一位伟大的教师，他的学生遍及欧洲各地;同时，他也是一个颇受赞誉的数学、工程学和天文学领域的天才。维多利亚的统计学家弗朗西斯?高尔顿将其描述为“有才华，精神忧郁，脾气暴躁……可靠但有些迟钝”。4他和他父亲的关系很差，从他的格言中我们就能看出这一点：“我生活在群星之中，我父亲除外。”5 高尔顿还曾在他的《天赋的世袭》(Hereditary Genius)一书中将伯努利家族描绘为“绝大多数人好争论，喜欢嫉妒别人”，6尽管这一评价稍显刻薄，但伯努利家族自身恰恰是高尔顿优生学理论的最好例证。 这些特征似乎贯穿整个家庭。雅各布的弟弟约翰后来成为了数学家，他就是丹尼尔?伯努利的父亲。他被历史学家詹姆斯?纽曼描述为“粗暴的，出言不逊的，在必要时不诚实”的人。7当丹尼尔凭借其在行星运行轨道方面的研究工作获得了法国科学学院的奖金时，他的父亲约翰觊觎这笔奖金，于是将丹尼尔赶出了家门。纽曼写道，约翰活了80岁，“始终保持着自己的权利和他那卑鄙的作风。” 接下来我们来看看尼古拉斯(Nicolaus I)的儿子，也就是尼古拉斯二世(Nicolaus II)。
尼古拉斯二世的叔叔雅各布长期患病，于1705年去世，他留下了未完成的《猜测的艺术》书稿。虽然当时尼古拉斯二世只有18岁，但是他被要求对该书进行编辑校对以供出版。他花了8年时间来完成这项工作。在前言中，他提到这本书耽搁的时间太长，以致出版商经常敦促他，但他只能以“我经常出门在外”和“我太年轻并没有经验，我不知道如何完成它”来招架。8 或许他正是从疑问中得到了益处：在8年的时间里，他一直在寻求他所在时代杰出数学家们的观点，这其中包括牛顿。除了通过积极的书信往来进行思想交流外，他还亲自去伦敦和巴黎请教著名的学者。他自己也为数学做出了许多贡献，这其中包括在法律应用方面使用概率理论和推测方法进行分析。 丹尼尔?伯努利还有一个比他大5岁的哥哥，他也叫尼古拉斯，这使得情况变得更加复杂;按照惯例，他被叫做尼古拉斯三世(Nicolaus III)。
也就是说，他的祖父没有数字编号，他的大伯是尼古拉斯一世，他的第一个表兄是尼古拉斯二世。尼古拉斯三世自己也是一位杰出的学者。正是尼古拉斯三世带领着丹尼尔开始学习数学，那时丹尼尔只有11岁。作为长子，尼古拉斯三世受他父亲的鼓励，成为了一名数学家。在他8岁的时候，他已经会说4种语言;19岁时他成为巴塞尔的哲学博士;1725年在他30岁的时候被任命为圣彼得堡的数学教授。然而仅一年之后，他就死于某种热病。 丹尼尔?伯努利和尼古拉斯三世在同一年得到圣彼得堡的聘任书，他一直在那里执教到1733年。随后他回到了故乡巴塞尔，在那里成为了物理和哲学教授。他是被彼得大帝邀请到俄国的首批著名学者之一，彼得大帝希望借此能将自己的新首都建成一个知识分子活动的中心。根据高尔顿的记载，丹尼尔?伯努利是“物理学家、植物学家、解剖学家，还是有关流体力学的作家，并且是一位很早熟的人”。9丹尼尔?伯努利还是权威的数学家和统计学家，尤其对概率感兴趣。
第2节 - （2）
伯努利在他的时代是非常著名的人物。18世纪是寻求理性的时代，这是对17世纪无休止宗教战争的反应。随着流血冲突逐渐平息下来，秩序和对古典文化形式的欣赏替代了反对变革的热情和巴洛克艺术的情感特质。平衡的感觉以及对理性的推崇是启蒙的象征。就是在这种背景下，伯努利将《逻辑或思维的艺术》中的神秘主义思想转变为理性决策者能够利用的逻辑论据。
丹尼尔?伯努利的圣彼得堡论文在开始的段落就提出了他要反驳的主题:
自从数学家们开始研究风险度量，大家对以下观点都有共识：将每个可能的收益乘以可能出现方式的数目，然后将这些乘积的总和除以总情况数，就能计算出预期的价值。10但伯努利发现用这个假设来描述人们在现实生活中如何做决策是有缺陷的，因为它仅仅注意了事实，而忽略了可能结果的后果，这个可能的结果是某人在未来不确定又不得不做决策的情况下产生的。价格和概率并不足以决定什么事是值得的。虽然事实对每个人来说都是一样的，但“效用……取决于做预测的人所处的特定环境……没有理由去假设……每个个人所预计的风险在价值上是等同的。”各人有各人的具体情况。
效用的概念是直觉的体验，它传达了有用、渴望或是满足的感觉。这个观点技术性更强，这使得伯努利对数学家们的“预期价值”概念很不耐烦。正如伯努利指出的，预期价值应等于许多结果中每个结果的价值和这种结果所有其他可能性概率的乘积的总和。在某些场合，数学家们仍然用“数学预期”这个词来表示预期价值。
一枚硬币有两面—头像和背面，当它落地时，每个面有50%的几率朝上，因为一枚硬币不可能头像和背面同时朝上。那么，掷硬币的预期价值是什么呢?对于头像一面，我们用1乘上50%，同样，对于背面，我们也用1乘上50%，这样将总数100%除以2，则得到对掷硬币下注的预期价值是50%。你可以任选头或背，两者的概率相同。
掷两粒骰子的预期价值又是什么呢?如果我们将可能出现的11个数相加：2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12，那么总数是77，则掷两粒骰子的期望值是77/11，正好就是7。
但是这11个数出现的概率并不相同。正如卡达诺所阐述的，一些数字比另一些数字更容易出现，而这时有36种组合，产生从2~12共11个数字;2只能在两个骰子都掷出1时出现，而4有三种方式被掷出，即3+1，1+3和2+2。卡达诺的表格(见表6-1)列出了这11种结果各自的组合数。
掷两个骰子的预期值或者说数学预期正好是7，验证了我们计算得出的77/11。现在我们知道在掷骰子赌博中为什么掷出7点是如此关键了。
伯努利承认这种计算对机会性赌博来说是很有效的，但是他坚持认为日常生活与这截然不同。甚至当概率广为人知时(这种形式过于简单，以致被后来的数学家们所放弃)，理性的决策者也试图将效用—有用性和满意度—最大化，而不是将预期价值最大化。预期效用的计算方法与计算预期价值的方法相同，但是效用被用作权重因子。11例如，皇家港修道院的《逻辑或思维的艺术》的主要作者安东尼?阿诺德指出，人们害怕雷暴是因为他们过高估计了被雷电击中这种小概率的事件，但是他错了，因为他忽略了某些东西。事实对每个人来说都是相同的，甚至听到第一声雷就害怕的人也完全清楚闪电恰好击中他们所站的地方的可能性几乎没有。伯努利对这点认识得更加清楚：害怕被闪电击中的人对他们所害怕事情的结果加大了权重，虽然他们知道被击中的几率微乎其微。
本质决定度量。询问一下飞机上的乘客，当飞行条件恶劣时，他们每人的恐慌程度是否相同。绝大多数人都知道乘飞机比驾驶汽车安全得多，但是一些乘客总是让空中小姐忙碌不堪，而其他乘客则根本不考虑天气，酣然入睡。
这是件好事。如果所有人都以相同的方式评估风险，许多带有风险性的机会就会被我们错过了。富于冒险精神的人在小概率高收益事件上设置的效用较高，而在大概率的损失事件上设置的效用较低。而其他人在收益上设置的效用就很低，因为他们的最大目的是保存他们的资产。某人看到阳光灿烂时，其他人可能看到的是狂风暴雨。如果没有冒险精神，这个世界就会发展得很慢。想想看，如果所有人都害怕闪电，担心乘飞机，不敢投资新兴公司，那么这个世界将变成什么样子。我们真的很幸运，因为人类对风险的偏好各不相同。
伯努利的基本论点是人们对风险有不同的价值评定。在建立了这个论点之后，他引出了一个重要的观点：“财富上的少许增长带来的效用同以前拥有的财富数量成反比。”接下来他认识到，“考虑到人的本性，在我看来，先前的假设适用于很多人，他们能够用来进行这种比较”。
有关效用和先前拥有的财富的数量成反比的假设是思想史上重大的知识飞跃之一。在一张未写满字的纸上，伯努利将计算概率的过程转变为一种程序，这种程序将主观考虑因素引入到对不确定结果的决策中去。
伯努利公式的杰出之处在于他认识到，事实的作用仅为预期价值提供了唯一的答案(对每个人来说，事实是一样的)，而主观的过程可以提供和涉及的人数一样多的答案。但是他的研究更进一步：他推荐了一种系统的方法，用这种方法可以确定每个人欲望之间的高低差额—这个欲望和拥有财产的数量成反比。
伯努利在史上第一次将度量运用到无法计算的东西上。在直觉和度量结合的这项工程中，他起到了媒介的作用。卡达诺、帕斯卡和费马介绍了一种用于计算掷骰子赌博风险的方法，而伯努利为我们引进了“风险承担者”—他们选择赌多少或是赌不赌。概率理论促成了选择，伯努利定义了进行选择的人们的动机。这是理论实体和研究上的一个全新领域。在经济学领域中，以及在有关人们日常如何做决定和如何做选择的理论研究中，伯努利奠定了知识的基础。
为了说明自己的理论，伯努利在论文中引用了很多有趣的实际应用，其中最有趣也最著名的是彼得堡自相矛盾(Petersburg Paradox)的问题。这个问题最初是他的“最可敬、最杰出的表兄尼古拉斯?伯努利—《猜测的艺术》的磨蹭编辑”介绍给他的。
尼古拉斯提出了一个在彼得和保罗之间进行的游戏。彼得抛掷硬币，连续抛掷，直到头像朝上为止。如果在第一次抛掷时就出现头像，那么彼得付给保罗一枚硬币;如果头像在第二次抛掷时出现，那么彼得付给保罗两枚硬币;如果头像在第三次抛掷时出现，那么彼得付给保罗4枚硬币，以此类推。每多掷一次，彼得就付给保罗双倍的硬币。那么要付给保罗—在游戏中大笔赚钱的人多少钱才能替换他在游戏中的位置呢?
自相矛盾的问题出现了，根据伯努利的理论，“用已认可的计算方法计算预期价值实际上使保罗的期望价值变得无限大，但是没有人愿意用相应的高价购买这个期望……任何理性的人都会很高兴地以20枚硬币的价钱出售他的机会。”
根据自己有关“财富的增长与已有财富成反比”的假设，伯努利对这个问题进行了更深入的分析。根据这个假设，保罗在第200次投掷时所得奖金的效用仅比第100次投掷时得到的效用多出一点点;甚至在第51次投掷时，他所赢得的硬币就已经超过1 000 000 000 000 000枚。(如果以美元衡量，今天美国政府的所有国债总数也不过是4 000 000 000 000)。
不论是以硬币计算还是以美元计算，对保罗期望值的评估长期以来一直吸引着数学界、哲学界以及经济学界的主要学者们。由伊萨克?托德亨特(Isaac Todhunter)创作的英文版数学历史书在1865年出版，书中多次提及彼得堡自相矛盾难题，并且讨论了这些年来不同数学家提出的许多解决方案。12同时，伯努利的论文一直保持着最初的拉丁文版本，直到1896年，才被译为德文。约翰?梅纳德?凯恩斯在其1921年出版的《概率论》中也简要提及了彼得堡难题。在这之后不久，关于这个问题，出现了许多更加精妙、复杂的数学解法。但是直到1954年—出版216年后，伯努利的这篇论文才有了英文译本。
彼得堡难题不仅仅是有关掷硬币次数的指数和方根的学术探索。想想一个快速增长的公司，其前景十分光明，好像还能永远发展下去，那么即使我们进行一个有些荒唐的假设，假设我们可以准确地预测这个公司的收益将是无限大—实际上如果我们能准确预测出下个季度的收益就已经是很幸运了，那么这个公司的股票价格是多少呢?难道是一个无限大的数字吗?
第3节 - （3）
这种观点达到了极致。最终，投资者投资到像国际香料公司(International Flavors and Fragrances)这样销售额只有1.38亿美元的小公司的股票市值，与投资到像美国钢铁公司这样吸引力稍差但销售额达50亿的大公司的股票市值相当。1972年，宝丽来公司股票的销售额是其全年收益的96倍，麦当劳是80倍，国际香料公司是73倍，标准普尔指数的500只股票平均是19倍。“漂亮50”平均分红收益还不及标准普尔指数的500只股票平均红利的一半。
空谈不如实践，但是实践的结果相当糟糕。预期会一飞冲天的收益最终被证明是远远少于预期收益的。到1976年时，IFF的股价下跌了40%，而美国钢铁公司的股价却翻了一番多。如果按红利加上价格的变化来计算，到1976年底时，标准普尔500指数超过了以前的峰值，而“漂亮50”直到1980年7月才超过了1972年牛市的峰值。更糟的是，1976~1990年间，“漂亮50”均等权重的股票组合一直落后于标准普尔500的表现。
但是在投资领域中，哪会有无限收益的东西呢?宾夕法尼亚大学沃顿商学院的杰里米?西格尔(Jeremy Siegel)教授详细计算了“漂亮50”从1970年~1993年末的表现。13他发现，即使在1972年12月顶峰时购入，50种股票的平均权重组合到1993年底时实现的收益仅比标准普尔指数的收益低一个百分点。如果相同的股票在两年前，也就是1970年12月购买，那么这只股票的收益就会每年比标准普尔500的收益多出一个百分点。1974年股市崩盘峰底时股票成本和市值间的负差额也会小一些。
对于那些真正有耐心的人们来说，他们对持有熟悉的、高质量的公司的股票极其放心，因为在每天日常购物中他们经常遇见这些公司的产品。如果是这样，投资“漂亮50”就会产生丰厚的效用。但这种股票组合的效用对没有耐心的人来说就会小得多了，他们对50种股票的组合没有兴趣，因为其中5只股票在21年间一直在赔钱，20只股票的收益低于90天滚动国债的投资收益，仅仅11只股票的收益超过了标准普尔500的收益。但是，就像伯努利自己在一个非正式场合曾指出的那样，谁付钱，谁决策。
伯努利还介绍了另一个新颖的想法，那就是人力资本。当今经济学家们认为它也是经济增长的动力。这个想法实际上来源于伯努利对财富的定义—财富是“任何可以很好地满足任何形式需求的事物……从这个观点看，除非被饿死，否则没有人是一无所有的”。
大多数人所拥有的财富是什么形式的呢?伯努利认为可见的财产和金融产权不如生产力资本(甚至包括乞丐的智慧)有价值。他认为，一个人靠乞讨为生一年可以挣10枚硬币，但他不会因为50枚硬币而放弃乞讨，因为花完50枚硬币后，他就无法生存了。然而，肯定有一个数目能让他接受并承诺放弃乞讨，例如如果这个钱数是100枚硬币，“我们就可以说这个乞丐拥有价值100枚硬币的财富”。
今天，我们将人力资本这个概念视为理解全球经济变化的基础，人力资本指的是教育、自然天赋和培训的总和，它们组成了未来收益的源泉。人力资本对雇员的作用如同工厂和设备对雇主的作用一样。虽然自1738年以来，物质财富极大增长，但是到目前为止，人力资本仍然是大多数人用来赚取收入的最大财产。这就是为什么那么多人将辛辛苦苦赚来的钱投到人寿保险上面了。
对于伯努利来说，机会性赌博和抽象的问题只不过是一种工具，通过它，伯努利可以将他主要的案例都服务于对财富和机会的渴望上。他强调决策制定，而不是概率理论在数学方面的复杂性。从一开始他就宣布他的目标是“建立一种规则，通过它，任何人都可以根据自己的财政情况，在承担不同风险的情况下，估计自己的未来前景”。这些话语就像是磨坊中的谷子，值得每一个时代的金融经济学家、企业经理和投资商们细细研磨。风险不再是我们所面对的东西;风险已成为面向选择的机遇。
伯努利效用的观点“财富的某一特定的增长所带来的满足感与之前拥有的财富数量成反比”十分具有生命力，它对随后大部分思想家的工作产生了长久的影响。效用观点成为供求法则的基础。供求法则是维多利亚时代经济学家们的一项杰出革新，它标志着一个起始点，从这里人们开始理解市场是如何运行的，买卖双方是如何达成价格协议的。效用是十分强大的一个概念，在随后的200年，它构成了主要范例的基础，这些范例用来解释人类的决策制定和选择理论，其涉及的领域远远超越了金融领域。效用成为博弈论整个体系中不可分割的一部分，而博弈论又是20世纪在战争、政治和工商管理中有关决策制定的一项理论创新。
效用在心理学和哲学方面同样有着深远的影响，因为伯努利在定义人类理性时制定了标准。例如，绝大多数心理学家和伦理学家认为那些财富效用随着财富的增加而增长的人是精神不正常的;但贪婪不在伯努利的论述范围之中，而且在现代，理性的定义中也不包括贪婪。
效用理论要求一个理性的人在任何情况下衡量效用并相应地做出选择和决定—考虑到我们在一生中所要面对的不确定事件，这个要求就太高了。就如伯努利假设的那样，事实对每个人来说都是相同的，但是日常琐事就已经很困难了。在许多情况下，事实对每个人来说是不一样的。不同的人会得到不同的信息;我们每个人都会对自己掌握的信息按照自己的方式加以润色。即使是最理性的人也常常会对事实的理解持有异议。
虽然伯努利的思想看上去很现代，但是他毕竟是他那个时代的人。他的有关人类理性的概念非常适合启蒙时期的知识环境。就是在这个时代，作家、艺术家、作曲家和政治哲学家都拥护秩序和形式的传统思想，并且坚持认为只要通过知识积累，人类就可以解开生命中的所有神秘事物。1738年，当伯努利的论文出版时，亚历山大教皇正处于事业的巅峰期，他的诗歌中包含了许多经典的引用，他警告说，“学习一点皮毛是危险的事情”，并且声称“人类最适合研究的就是人”。丹尼斯?狄德罗不久就开始编写28卷的百科全书;萨缪尔?约翰逊(Samuel Johnson)正着手编写第一部英语词典;伏尔泰有关社会平庸无奇的观点在知识界占据了中心位置;到1750年，海顿(Haydn)详细说明了交响乐和奏鸣曲的古典形式。
有关人类才华的启蒙乐观主义哲学出现在了《独立宣言》中，并帮助塑造了新成立的美利坚合众国的宪法。当
